01 · 試題原卷 20 題，照原卷順序
多選題 4 題 20 分、選填題 16 小題 80 分，共 20 小題，每小題 5 分（原卷選填為第 5～14 題，部分題目分成兩小題，本頁依序編為第 5～20 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，第 20 題學校答案印 1，本站計算為 2，其餘 19 題一致。
多選題：所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
1
已知某飲料賣出 x 箱的利潤函數為 P(x)=2x2+10x（元），選出正確的選項。- (1) P′(x)=4x+10
- (2) P′(100)=410
- (3) P(101)−P(100) 近似於 410（四捨五入到十位數）
- (4) 賣出第 101 箱所增加的利潤約為 410 元。（四捨五入到十位數）
2
函數 f(x)=x3−12x+4 在下列哪些區間上為嚴格遞減函數？- (1) [−4,−3]
- (2) [−3,−1]
- (3) [−1,1]
- (4) [1,2]
3
關於函數 f(x)=−x3+1，選出所有正確的選項。- (1) f(x) 在區間 [−1,2] 上是遞增函數
- (2) f(x) 在區間 [2,∞) 上是遞減函數
- (3) f(x) 在區間 (1,∞) 的圖形是凹口向下
- (4) f(x) 圖形的反曲點為 (0,1)。
4
關於函數 f(x)=x4−6x2+5 的圖形，選出所有正確的選項- (1) f(x) 在區間 [−1,1] 上是凹口向上
- (2) f(x) 在區間 [1,∞) 上是凹口向上
- (3) f(x) 在區間 (−∞,1) 的圖形是凹口向上
- (4) f(x) 圖形的反曲點為 (±1,0)。
選填題（每小題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分）
5
（原卷第 5 題 (1)）設函數 f(x)=x2。求 f(x) 在 x=1 處的導數 f′(1)= ____。
6
（原卷第 5 題 (2)）承上題，在 f(x) 的圖形上，求以點 P(1,1) 為切點的切線方程式。____ x−y= ____
7
（原卷第 6 題）求函數 f(x)=∣x∣ 在 x=1 處的導數 f′(1)= ____。
8
（原卷第 7 題 (1)）已知 f(x)=x3+3x2−4x+3。求導函數 f′(1)= ____。
9
（原卷第 7 題 (2)）承上題，求二階導函數 f′′(1)= ____。
10
（原卷第 8 題）在函數 f(x)=x3+3x2−4x−5 的圖形上，已知以點 P 為切點的切線斜率為 5，求切點的坐標（有兩個，各五分）。第一個切點：( ____ , ____ )（原卷答案格 ⑫⑬、⑭）
11
（原卷第 8 題）承上題，第二個切點：( ____ , ____ )（原卷答案格 ⑮、⑯⑰）
12
（原卷第 9 題）已知 P(3,−6) 為二次函數 f(x)=x2−4x+1 圖形外一點，求切點的坐標（有兩個，各五分）。第一個切點：( ____ , ____ )（原卷答案格 ⑱、⑲）
13
（原卷第 9 題）承上題，第二個切點：( ____ , ____ )（原卷答案格 ⑳、㉑㉒）
14
（原卷第 10 題 (1)）求函數 f(x)=x4−2x2+5 的極大值 ____。
15
（原卷第 10 題 (2)）承上題，求函數 f(x)=x4−2x2+5 的極小值 ____。
16
（原卷第 11 題 (1)）求函數 f(x)=x3−3x2+2 在閉區間 [−2,4] 上的最大值 ____。
17
（原卷第 11 題 (2)）承上題，求函數 f(x)=x3−3x2+2 在閉區間 [−2,4] 上的最小值 ____。
18
（原卷第 12 題）已知三次函數 f(x) 在 x=1 處有極大值 9，在 x=−1 處有極小值 1，求 f(x)。f(x)= ____ x3+ ____ x+ ____
19
（原卷第 13 題）已知點 (1,8) 為三次函數 f(x)=x3+ax2+bx+1 圖形的反曲點，求實數 (a,b) 的值。( ____ , ____ )
20
（原卷第 14 題）將邊長 16 公寸，寬 10 公寸的矩形鐵片，四個角各截去一個面積相等的正方形，如下圖所示；然後再將各邊沿著虛線摺起來，做成一個無蓋的長方體容器，當 x 為多少時，盒子有最大的容積？____ 第 1 題(1)(2)(3)(4)
第 2 題(3)(4)
第 3 題(2)(3)(4)
第 4 題(2)(4)
第 5 題2
第 6 題2，1（即 2x−y=1）
第 7 題1
第 8 題5
第 9 題12
第 10 題(−3,7)
第 11 題(1,−5)
第 12 題(5,6)
第 13 題(1,−2)
第 14 題5
第 15 題4
第 16 題18
第 17 題−18
第 18 題−2，6，5（即 f(x)=−2x3+6x+5）
第 19 題(−3,9)
第 20 題2（學校答案印 1）
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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01多選題（第 1～4 題）：邊際利潤、遞增遞減、凹向與反曲點
第 1 題答案 (1)(2)(3)(4)。
(1) 正確。 P′(x)=2×2x+10=4x+10。
(2) 正確。 P′(100)=400+10=410。
(3) 正確。 P(101)−P(100)=2(1012−1002)+10×1=2×201+10=412，四捨五入到十位數是 410。
(4) 正確。 賣出第 101 箱所增加的利潤就是 P(101)−P(100)=412 元，四捨五入到十位數約為 410 元。
邊際利潤 P′(100)=410 是「賣到第 100 箱時，再多賣一箱大約多賺多少」的估計值，實際增加的是 412 元，兩者很接近。
第 2 題答案 (3)(4)。f′(x)=3x2−12=3(x+2)(x−2)。−2<x<2 時 f′(x)<0，f 在 [−2,2] 上嚴格遞減；x<−2 或 x>2 時 f′(x)>0，f 嚴格遞增。
(1) 錯誤。 [−4,−3] 整段在 x<−2，是遞增，例如 f(−4)=−12、f(−3)=13。
(2) 錯誤。 [−3,−1] 跨過 x=−2：在 [−3,−2] 遞增、在 [−2,−1] 遞減，例如 f(−3)=13、f(−2)=20，不是整段遞減。
(3) 正確。 [−1,1] 整段在 −2<x<2 內，f′(x)<0。
(4) 正確。 [1,2] 在 [−2,2] 內，只有端點 x=2 使 f′(x)=0，其餘 f′(x)<0，仍是嚴格遞減，例如 f(1)=−7、f(2)=−12。
判斷一個區間上是否遞減，要看整段區間內導數的正負，只要區間跨過導數變號的點就不是整段遞減。
第 3 題答案 (2)(3)(4)。f′(x)=−3x2，f′′(x)=−6x。
(1) 錯誤。 除了 x=0 以外 f′(x)<0，f 在整條數線上都是遞減，例如 f(−1)=2、f(2)=−7，在 [−1,2] 上不是遞增。
(2) 正確。 x≥2 時 f′(x)=−3x2<0，是遞減函數。
(3) 正確。 x>1 時 f′′(x)=−6x<0，圖形凹口向下。
(4) 正確。 f′′(x)=0 得 x=0；x<0 時 f′′(x)>0（凹口向上），x>0 時 f′′(x)<0（凹口向下），凹向在 x=0 改變。f(0)=1，反曲點為 (0,1)。
第 4 題答案 (2)(4)。f′(x)=4x3−12x，f′′(x)=12x2−12=12(x+1)(x−1)。x<−1 或 x>1 時 f′′(x)>0，凹口向上；−1<x<1 時 f′′(x)<0，凹口向下。
(1) 錯誤。 在 [−1,1] 上 f′′(x)≤0，是凹口向下。
(2) 正確。 在 [1,∞) 上除了端點 x=1 以外 f′′(x)>0，凹口向上。
(3) 錯誤。 (−∞,1) 包含 −1<x<1 這一段，那裡凹口向下，不是整段凹口向上。
(4) 正確。 凹向在 x=−1 與 x=1 都改變，f(1)=1−6+5=0，f(−1)=0，反曲點為 (1,0) 與 (−1,0)，即 (±1,0)。
遞增遞減看一階導數的正負，凹向看二階導數的正負；區間要整段符合才算，反曲點是凹向改變的點。
02選填第 5～7 題（本頁第 5～9 題）：導數、切線與二階導數
第 5 題f′(x)=2x，所以 f′(1)=2。
也可以用定義：f′(1)=h→0limh(1+h)2−1=h→0lim(2+h)=2。
第 6 題P(1,1) 在圖形上，切線斜率是 f′(1)=2。切線方程式為 y−1=2(x−1)，即 y=2x−1，移項寫成 2x−y=1，兩格依序填 2、1。
第 7 題在 x=1 附近 x>0，f(x)=∣x∣=x。用定義：f′(1)=h→0limh∣1+h∣−1，當 ∣h∣<1 時 1+h>0，∣1+h∣=1+h，所以 f′(1)=h→0limhh=1。
f(x)=∣x∣ 只有在 x=0 的尖角處沒有導數；在 x=1 附近圖形就是直線 y=x，斜率 1。
第 8 題f′(x)=3x2+6x−4，所以 f′(1)=3+6−4=5。
第 9 題f′′(x)=6x+6，所以 f′′(1)=6+6=12。
切線方程式＝切點＋斜率，斜率就是導函數在切點的值。
03選填第 8、9 題（本頁第 10～13 題）：找切點
第 10 題f′(x)=3x2+6x−4。切線斜率為 5：3x2+6x−4=5，3x2+6x−9=0，x2+2x−3=0，(x+3)(x−1)=0，x=−3 或 x=1。
f(−3)=−27+27+12−5=7，f(1)=1+3−4−5=−5。兩個切點是 (−3,7) 與 (1,−5)。
原卷第一個切點的 x 坐標占兩格、y 坐標占一格，是 (−3,7)。
第 11 題由上題，另一個切點是 (1,−5)，x 坐標占一格、y 坐標占兩格，與原卷第二組答案格相符。
第 12 題P(3,−6) 不在圖形上（f(3)=9−12+1=−2=−6），所以不能直接把 P 當切點，要先設切點。
設切點為 (t,t2−4t+1)，f′(x)=2x−4，切線斜率 2t−4，切線方程式為 y−(t2−4t+1)=(2t−4)(x−t)。
切線通過 P(3,−6)：−6−(t2−4t+1)=(2t−4)(3−t)，整理得 −t2+4t−7=−2t2+10t−12，即 t2−6t+5=0，(t−1)(t−5)=0，t=1 或 t=5。
f(5)=25−20+1=6，f(1)=1−4+1=−2。兩個切點是 (5,6) 與 (1,−2)；原卷第一組答案格兩個坐標各一格，是 (5,6)。
檢查：切點 (5,6) 的切線斜率 6，y=6x−24，代 x=3 得 −6；切點 (1,−2) 的切線斜率 −2，y=−2x，代 x=3 得 −6。兩條都過 P。
第 13 題由上題，另一個切點是 (1,−2)，y 坐標占兩格，與原卷第二組答案格相符。
已知斜率找切點：解 f′(x)= 斜率；過圖形外一點作切線：先設切點，寫出切線再代入那一點。
04選填第 10～14 題（本頁第 14～20 題）：極值、最大最小值與反曲點
第 14 題f′(x)=4x3−4x=4x(x+1)(x−1)，f′(x)=0 得 x=−1、0、1。
x<−1 時 f′(x)<0；−1<x<0 時 f′(x)>0；0<x<1 時 f′(x)<0；x>1 時 f′(x)>0。
x=0 處由增轉減，極大值 f(0)=5。
第 15 題由上題，x=−1 與 x=1 處都由減轉增，是極小值：f(±1)=1−2+5=4。極小值為 4。
兩個極小點的函數值相同，所以極小值只有一個數 4。
第 16 題f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，在 [−2,4] 內的臨界點是 x=0、x=2。把臨界點與兩個端點的函數值都算出來：
f(−2)=−8−12+2=−18，f(0)=2，f(2)=8−12+2=−2，f(4)=64−48+2=18。
最大值為 18（在右端點 x=4）。
極大值 f(0)=2 不是最大值；閉區間上的最大最小值要連端點一起比。
第 17 題由上題列出的四個值，最小值為 −18（在左端點 x=−2），比極小值 f(2)=−2 還小。
第 18 題設 f(x)=ax3+bx2+cx+d（a=0），f′(x)=3ax2+2bx+c。
x=±1 處有極值，所以 f′(1)=3a+2b+c=0，f′(−1)=3a−2b+c=0，兩式相減得 b=0，再得 c=−3a。
f(1)=a+c+d=−2a+d=9，f(−1)=−a−c+d=2a+d=1，兩式相加得 d=5，相減得 a=−2，c=6。
f(x)=−2x3+6x+5，三格依序填 −2、6、5。
檢查：f′(x)=−6x2+6=−6(x+1)(x−1)，x 從小於 1 到大於 1 時 f′(x) 由正變負，x=1 是極大，f(1)=9；x=−1 處由負變正，是極小，f(−1)=1。
第 19 題f′(x)=3x2+2ax+b，f′′(x)=6x+2a。反曲點的 x 坐標是 1，所以 f′′(1)=6+2a=0，a=−3。反曲點在圖形上：f(1)=1+a+b+1=8，代入 a=−3 得 b=9。(a,b)=(−3,9)。
檢查：f(x)=x3−3x2+9x+1，f′′(x)=6x−6 在 x=1 由負變正，f(1)=1−3+9+1=8。
第 20 題截去的正方形邊長為 x，摺成的盒子底面是 (16−2x)×(10−2x)，高是 x。邊長要是正的：0<x<5。
容積 V(x)=x(16−2x)(10−2x)=4x3−52x2+160x。
V′(x)=12x2−104x+160=4(3x2−26x+40)=4(3x−20)(x−2)，V′(x)=0 得 x=2 或 x=320；320 不在 0<x<5 內。
0<x<2 時 V′(x)>0，2<x<5 時 V′(x)<0，所以 x=2 時容積最大，最大容積 V(2)=2×12×6=144 立方公寸。
學校答案印 1，本站計算為 2：x=1 時容積 V(1)=1×14×8=112，比 x=2 時的 144 小，所以 x=1 時容積不是最大。題目的 x 是截去正方形的邊長（見圖），依題意 x=2；學校答案 1 應為誤植。
極值看導數有沒有變號；閉區間的最大最小值把臨界點與端點的函數值全部列出來比；最佳化問題先寫出函數與定義域。
同一次段考的其他學校
同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
平鎮高中 113 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
平鎮高中 113 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
第 1 題的選項 (3)(4) 要實際算出多賣一箱增加的利潤再四捨五入到十位數；第 2 題的區間要整段落在導數小於 0 的範圍內，跨過負 2 的那段不算；第 4 題凹向看二階導數，含負 1 到 1 那段的區間都不是凹口向上；第 9 題的切點要從圖形外一點反推，設切點再代入；第 20 題容積函數的定義域要先寫出來，導數為 0 的兩個值只有一個在範圍內。詳解逐題寫在本頁。
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