段考詳解範圍：指數與對數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

平鎮高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 113 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 113 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 19 題濾網層數要把每層剩下的八成寫成次方再取對數，用的是剩下的比例而不是除去的比例；第 16 題要先把十天換成小時，再由兩種物質的質量比求乙的半衰期；第 7 題要分清對數函數圖形通過哪一點、凹口朝哪個方向；第 8 題最後一個選項兩種底數的對數只差一個負號，平方後相等。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 4 題 20 分、多選題 4 題 20 分、選填題 12 格 60 分（原卷選填 A～J，A、B 各有兩小題，本頁編為第 9～20 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題一致。

一、單選題：（每題5分，答錯不倒扣）

指數函數

f (x) = a^{x}

，

g (x) = b^{x}

，

h (x) = c^{x}

，

k (x) = d^{x}

的圖形如下圖所示，則

a

，

b

，

c

，

d

的大小關係為何？

(1) $d > c > b > a$
(2) $d > c > a > b$
(3) $c > d > b > a$
(4) $c > d > a > b$
(5) $a > b > c > d$

載入中...

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則

lo g_{5} 18

以

a

、

b

表示為下列何者？

(1) $\frac{a + 2 b}{1 - a}$
(2) $\frac{a + 3 b}{1 - a}$
(3) $2 b + 1$
(4) $2 a + 2 b - 1$
(5) $2 a + 3 b - 1$

令

a = \frac{1. 8 ^{8} + 1. 8 ^{6}}{2}

，

b = 1. 8^{7}

，

c = 1. 8^{8} - 1. 8^{6}

，請選出正確的大小關係？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

已知

a = lo g_{7} 9

，

b = lo g_{9} 7

，

c = \frac{1}{2} lo g_{3} 8

，請選出正確的大小關係？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

二、多選題：（每題5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以0分計算）

下列敘述哪些正確？

(1) $y = (0.7)^{x}$ 的圖形過點 $(0, 1)$
(2) $y = (0.01)^{x}$ 的圖形與 $y = 1000$ 不相交
(3) $(0.7)^{0.8} > (0.7)^{0.9}$
(4) 若點 $(100, k)$ 在 $y = (0.5)^{x}$ 的圖形上，則 $k < 0$
(5) $y = (0.5)^{x}$ 的圖形是凹口向下

若

5^{x} = 6

，

1 2^{y} = 6

，則下列哪些選項的值和

\frac{x}{y}

相等？

(1) $lo g_{5} 12$
(2) $lo g_{12} 5$
(3) $lo g_{5} 3 + lo g_{5} 4$
(4) $\frac{lo g 12}{lo g 5}$
(5) $\frac{lo g 5}{lo g 12}$

下列敘述哪些正確？

(1) $y = lo g x$ 的圖形過點 $(0, 1)$
(2) $y = lo g x$ 的圖形是凹口向下
(3) $lo g 0.8 > lo g 0.9$
(4) 若點 $(0.02, k)$ 在 $y = - lo g x$ 的圖形上，則 $k < 0$
(5) $y = lo g x$ 的圖形與 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，選出正確的選項。

(1) $(- a)^{8} > (- a)^{10}$
(2) $b^{- 10} > b^{- 8}$
(3) $lo g \frac{1}{a} < lo g \frac{1}{b}$
(4) $lo g_{a} 1 < lo g_{b} 1$
(5) $(lo g_{2} a)^{2} < (lo g_{0.5} a)^{2}$

三、選填題：（每格完全答對給5分）

選填 A（第 9～10 題）　求下列各式之值：

(1)

(lo g_{2} 5 - lo g_{8} 25) (lo g_{125} 8 + lo g_{25} 16) =

____。

(2)

2 lo g 6 + lo g 75 - 3 lo g 30 =

____。

選填 B（第 11～12 題）　解下列各方程式：

(1)

lo g (x + 3) + lo g (x - 1) = lo g 5

，

x =

____。

(2)

4^{x + 1} + 2^{x + 1} - 2 = 0

，

x =

____。

已知不等式

(0.7)^{x^{2} + 1} < (0.49)^{3 x + 14}

，其解為

x < a

或

x > b

，則

a + b =

____。

已知不等式

lo g (x + 3) < 2 lo g 3

，其解為

a < x < b

，則

a - b =

____。

已知

f (x) = lo g_{2} x

，且

f (a) + f (b) = 12

，求

ab =

____。

鉛製容器中有兩種質量相同的放射性物質甲與乙，且甲的半衰期為

12

小時。已知經過

10

天後乙的質量為甲的

16

倍，則乙的半衰期為 ____ 小時。

已知某投資提供年利率為

10%

的理財方案，每年計息一次，依複利計算，若本利和超過本金的

2

倍，則至少要 ____ 年後（取整數年數）。（

lo g 1.1 \approx 0.0414

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

音量

s

（分貝）與聲音強度

w

（瓦特）的關係如下：

s = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

則音量

60

分貝之聲音強度為音量

40

分貝之聲音強度的 ____ 倍。

有一濾水器，每加一層濾網可除去水中

20%

雜質，想要使水中雜質降至原來的

1%

，至少要加 ____ 層濾網。

現今網路訊息散佈速度非常驚人，已知一則訊息在網路流傳

d

天後，網路上知道該訊息的人數比例為

100 (1 - 2^{- k d}) %

，

k

為大於

0

的常數。假設有一知名樂團要開演唱會的訊息在網路上開始流傳

4

天後，就有

80%

的民眾看過。開始流傳

n

天後，在網路上就有超過

99%

的民眾看過，則符合條件的正整數

n

之最小值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(3)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(2)(5)

第 8 題(2)(3)

第 9 題

1

第 10 題

- 1

第 11 題

2

第 12 題

- 1

第 13 題

6

第 14 題

- 9

第 15 題

64

第 16 題

15

第 17 題

8

第 18 題

100

第 19 題

21

第 20 題

12

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：由圖形比較底數、用 log 2 與 log 3 表示對數

第 1 題答案 (4)。四個圖形都通過

(0, 1)

。

f

、

g

由左往右下降，底數在

0

與

1

之間；

h

、

k

由左往右上升，底數大於

1

，所以

c

、

d

都大於

a

、

b

。在

x = 1

處看上升的兩條：

h (1) = c

、

k (1) = d

，

h

的圖形較靠近

y

軸、在

x > 0

時比

k

高，所以

c > d

。在

x = - 1

處看下降的兩條：

f (- 1) = \frac{1}{a}

、

g (- 1) = \frac{1}{b}

，

g

較靠近

y

軸、在

x < 0

時比

f

高，所以

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，

a > b

。合起來

c > d > a > b

。

底數大於

1

時，底數越大，圖形在第一象限越陡、越靠近

y

軸；底數小於

1

時，底數越小，圖形在第二象限越陡。

第 2 題答案 (1)。用換底公式化成常用對數：

lo g_{5} 18 = \frac{lo g 18}{lo g 5}

。分子

lo g 18 = lo g (2 \times 3^{2}) = lo g 2 + 2 lo g 3 = a + 2 b

；分母

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a

。所以

lo g_{5} 18 = \frac{a + 2 b}{1 - a}

。

數值檢查：

lo g_{5} 18 \approx 1.796

，

\frac{0.3010 + 2 \times 0.4771}{0.6990} \approx 1.796

。

lo g 5

寫成

1 - lo g 2

，是用

lo g 2

、

lo g 3

表示其他對數最常用的一步。

02單選第 3、4 題：比較指數式與對數的大小

第 3 題答案 (5)。三個數都提出

1. 8^{6}

：

1. 8^{2} = 3.24

，所以

a = \frac{1. 8 ^{6} ( 3.24 + 1 )}{2} = 2.12 \times 1. 8^{6}

，

b = 1.8 \times 1. 8^{6}

，

c = 1. 8^{6} (3.24 - 1) = 2.24 \times 1. 8^{6}

。

1. 8^{6} > 0

，只要比較

2.12

、

1.8

、

2.24

：

c > a > b

。

第 4 題答案 (2)。

a = lo g_{7} 9

：

9 > 7

，所以

a > lo g_{7} 7 = 1

。

b = lo g_{9} 7

：

7 < 9

，所以

0 < b < 1

。

c = \frac{1}{2} lo g_{3} 8 = \frac{lo g 8}{2 lo g 3} = \frac{lo g 8}{lo g 9} = lo g_{9} 8

，

8 < 9

，所以

c < 1

；又

8 > 7

，底數

9 > 1

時

lo g_{9} 8 > lo g_{9} 7

，所以

c > b

。合起來

a > c > b

。

數值約為

a \approx 1.129

、

c \approx 0.946

、

b \approx 0.886

。

比較對數大小：先和

1

（或

0

）比，再把底數化成相同。

03多選第 5、6 題：指數函數的性質、指數式化成對數

第 5 題答案 (1)(3)。(1) 正確。

x = 0

時

(0.7)^{0} = 1

，圖形過

(0, 1)

。(2) 錯誤。

(0.01)^{x} = 1 0^{- 2 x}

，要等於

1000 = 1 0^{3}

只要

- 2 x = 3

，

x = - \frac{3}{2}

，所以圖形與

y = 1000

交於

(- \frac{3}{2}, 1000)

。(3) 正確。底數

0.7 < 1

，

y = (0.7)^{x}

是遞減函數，

0.8 < 0.9

，所以

(0.7)^{0.8} > (0.7)^{0.9}

。(4) 錯誤。指數函數的值恆為正，

k = (0.5)^{100} > 0

。(5) 錯誤。取

x = 0

與

x = 2

兩點

(0, 1)

、

(2, 0.25)

，連線中點是

(1, 0.625)

，而

(0.5)^{1} = 0.5 < 0.625

，圖形在連線下方；指數函數的圖形都是凹口向上。

第 6 題答案 (1)(3)(4)。由對數的定義，

x = lo g_{5} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 5}

，

y = lo g_{12} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 12}

。所以

\frac{x}{y} = \frac{lo g 6}{lo g 5} \times \frac{lo g 12}{lo g 6} = \frac{lo g 12}{lo g 5} = lo g_{5} 12

。(1) 正確。就是

lo g_{5} 12

。(2) 錯誤。

lo g_{12} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 12}

是它的倒數，

lo g_{5} 12 > 1

而

lo g_{12} 5 < 1

，兩者不相等。(3) 正確。

lo g_{5} 3 + lo g_{5} 4 = lo g_{5} (3 \times 4) = lo g_{5} 12

。(4) 正確。由換底公式

\frac{lo g 12}{lo g 5} = lo g_{5} 12

。(5) 錯誤。與 (2) 相同，是倒數。

\frac{x}{y} = lo g_{5} 12 \approx 1.544

。

指數式

a^{x} = N

一律改寫成

x = lo g_{a} N

，再用換底公式化成常用對數相除。

04多選第 7、8 題：對數函數的性質、指數與對數的大小判斷

第 7 題答案 (2)(5)。(1) 錯誤。

lo g 1 = 0

，圖形通過的是

(1, 0)

；

x = 0

時

lo g x

沒有定義。(2) 正確。取

(1, 0)

、

(100, 2)

兩點，連線中點是

(50.5, 1)

，而

lo g 50.5 > lo g 10 = 1

，圖形在連線上方；

y = lo g x

的圖形是凹口向下。(3) 錯誤。底數

10 > 1

，

y = lo g x

遞增，

0.8 < 0.9

，所以

lo g 0.8 < lo g 0.9

。(4) 錯誤。

k = - lo g 0.02 = - lo g \frac{2}{100} = 2 - lo g 2 \approx 1.699 > 0

。(5) 正確。

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的關係是互換

x

、

y

：點

(p, q)

在

y = 1 0^{x}

上，等於

q = 1 0^{p}

，也就是

p = lo g q

，點

(q, p)

在

y = lo g x

上；

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

。

第 8 題答案 (2)(3)。(1) 錯誤。偶數次方把負號去掉：

(- a)^{8} = a^{8}

、

(- a)^{10} = a^{10}

。

a > 1

，

y = a^{x}

遞增，

8 < 10

，所以

a^{8} < a^{10}

。(2) 正確。

b^{- 10} = (\frac{1}{b})^{10}

、

b^{- 8} = (\frac{1}{b})^{8}

，

0 < b < 1

，

\frac{1}{b} > 1

，次方越大越大，所以

b^{- 10} > b^{- 8}

。(3) 正確。

\frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b}

，

y = lo g x

遞增，所以

lo g \frac{1}{a} < 0 < lo g \frac{1}{b}

。(4) 錯誤。任何合法底數的

lo g 1

都是

0

：

lo g_{a} 1 = lo g_{b} 1 = 0

，兩者相等。(5) 錯誤。

lo g_{0.5} a = \frac{lo g a}{lo g 0.5} = \frac{lo g a}{- lo g 2} = - lo g_{2} a

，兩者只差一個負號，平方後相等，不是小於。

取

a = 2

、

b = 0.5

檢查：(1)

256

與

1024

；(2)

1024

與

256

；(5) 兩邊都是

1

。

判斷大小先看底數比

1

大還是小，決定函數遞增或遞減；

lo g_{\frac{1}{p}} x = - lo g_{p} x

。

05選填 A（第 9、10 題）：對數的化簡

第 9 題用

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

：

lo g_{8} 25 = lo g_{2^{3}} 5^{2} = \frac{2}{3} lo g_{2} 5

，所以第一個括號

= lo g_{2} 5 - \frac{2}{3} lo g_{2} 5 = \frac{1}{3} lo g_{2} 5

。

lo g_{125} 8 = lo g_{5^{3}} 2^{3} = lo g_{5} 2

，

lo g_{25} 16 = lo g_{5^{2}} 2^{4} = 2 lo g_{5} 2

，所以第二個括號

= 3 lo g_{5} 2

。相乘：

\frac{1}{3} lo g_{2} 5 \times 3 lo g_{5} 2 = lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 1

。

lo g_{2} 5

與

lo g_{5} 2

互為倒數，乘積為

1

。

第 10 題

2 lo g 6 + lo g 75 - 3 lo g 30 = lo g 36 + lo g 75 - lo g 27000 = lo g \frac{36 \times 75}{27000} = lo g \frac{2700}{27000} = lo g \frac{1}{10} = - 1

。答案格依序填

-

、

1

。

06選填 B（第 11、12 題）：解對數方程式與指數方程式

第 11 題先看真數：

x + 3 > 0

且

x - 1 > 0

，所以

x > 1

。在這個條件下

lo g (x + 3) + lo g (x - 1) = lo g ((x + 3) (x - 1)) = lo g 5

，得

(x + 3) (x - 1) = 5

，

x^{2} + 2 x - 8 = 0

，

(x + 4) (x - 2) = 0

，

x = 2

或

x = - 4

。

x = - 4

不滿足

x > 1

（真數

- 1

、

- 5

為負），不合，所以

x = 2

。

代回：

lo g 5 + lo g 1 = lo g 5

，成立。

第 12 題

4^{x + 1} = (2^{x + 1})^{2}

。令

t = 2^{x + 1}

，

t > 0

，方程式變成

t^{2} + t - 2 = 0

，

(t + 2) (t - 1) = 0

，

t = 1

或

t = - 2

。

t > 0

，所以

t = 1

，即

2^{x + 1} = 1 = 2^{0}

，

x + 1 = 0

，

x = - 1

。答案格依序填

-

、

1

。

代回：

4^{0} + 2^{0} - 2 = 0

，成立。

對數方程式先寫下真數為正的條件，最後一定要回頭刪去不合的根；指數方程式看出平方關係就換元。

07選填 C～E（第 13～15 題）：指數與對數不等式、根號底數的對數

第 13 題

0.49 = 0. 7^{2}

，所以右邊

= (0.7)^{2 (3 x + 14)} = (0.7)^{6 x + 28}

。底數

0.7 < 1

，

y = (0.7)^{x}

遞減，函數值較小的指數反而較大，不等號反向：

x^{2} + 1 > 6 x + 28

，

x^{2} - 6 x - 27 > 0

，

(x - 9) (x + 3) > 0

，

x < - 3

或

x > 9

。所以

a = - 3

、

b = 9

，

a + b = 6

。

第 14 題真數為正：

x + 3 > 0

，

x > - 3

。

2 lo g 3 = lo g 9

，底數

10 > 1

，

y = lo g x

遞增，所以

lo g (x + 3) < lo g 9

等於

x + 3 < 9

，

x < 6

。合起來

- 3 < x < 6

，

a = - 3

、

b = 6

，

a - b = - 9

。答案格依序填

-

、

9

。

只解

x + 3 < 9

會漏掉

x > - 3

這個條件，得不到左端點。

第 15 題

f (a) + f (b) = lo g_{2} a + lo g_{2} b = lo g_{2} (ab) = 12

（

a

、

b

都要為正）。由對數的定義，

ab = (2)^{12} = (2^{\frac{1}{2}})^{12} = 2^{6} = 64

。

底數小於

1

的指數不等式要把不等號反向；對數不等式除了比真數，還要加上真數為正。

08選填 F～H（第 16～18 題）：半衰期、複利、分貝

第 16 題設兩者原本質量都是

m

。

10

天

= 240

小時。甲的半衰期

12

小時，經過

\frac{240}{12} = 20

個半衰期，剩

m (\frac{1}{2})^{20}

。設乙的半衰期

T

小時，剩

m (\frac{1}{2})^{\frac{240}{T}}

。由題意

m (\frac{1}{2})^{\frac{240}{T}} = 16 \times m (\frac{1}{2})^{20} = m (\frac{1}{2})^{20 - 4} = m (\frac{1}{2})^{16}

，所以

\frac{240}{T} = 16

，

T = 15

。

16 = 2^{4} = (\frac{1}{2})^{- 4}

，乙比甲少經過

4

個半衰期。

第 17 題本金

P

，

n

年後本利和

P (1.1)^{n}

。要

P (1.1)^{n} > 2 P

，即

(1.1)^{n} > 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 > lo g 2

，

n > \frac{0.3010}{0.0414} \approx 7.27

。

n

取整數，至少

8

年。

檢查：

(1.1)^{7} \approx 1.949 < 2

，

(1.1)^{8} \approx 2.144 > 2

。

第 18 題設

60

分貝、

40

分貝的強度分別是

w_{1}

、

w_{2}

。

60 = 10 lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}}

，

lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 6

，

w_{1} = 1 0^{6} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 6}

。同理

40 = 10 lo g \frac{w _{2}}{1 0 ^{- 12}}

，

w_{2} = 1 0^{4} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 8}

。

\frac{w _{1}}{w _{2}} = \frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 8}} = 1 0^{2} = 100

倍。答案格依序填

1

、

0

、

0

。

兩式相減也可以：

60 - 40 = 10 lo g \frac{w _{1}}{w _{2}}

，

lo g \frac{w _{1}}{w _{2}} = 2

。

「經過幾段時間」的問題寫成「起始量 × 比例的次方」，再化成同底或取對數比較指數。

09選填 I、J（第 19、20 題）：按比例遞減的次數、由條件求常數

第 19 題每加一層濾網除去

20%

，剩下原來的

80%

。加

n

層後剩

(0.8)^{n}

。要降至

1%

：

(0.8)^{n} \leq 0.01

。取常用對數：

n lo g 0.8 \leq - 2

。

lo g 0.8 = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx 3 \times 0.3010 - 1 = - 0.097

，是負數，兩邊同除以它不等號反向：

n \geq \frac{2}{0.097} \approx 20.6

。至少要

21

層。答案格依序填

2

、

1

。

檢查：

(0.8)^{20} \approx 0.0115

仍大於

1%

，

(0.8)^{21} \approx 0.0092

已低於

1%

。用的是「剩下的

0.8

」，不是「除去的

0.2

」。

第 20 題由

4

天後

80%

：

1 - 2^{- 4 k} = 0.8

，

2^{- 4 k} = 0.2 = \frac{1}{5}

。

n

天後的比例超過

99%

：

1 - 2^{- k n} > 0.99

，

2^{- k n} < 0.01

。而

2^{- k n} = (2^{- 4 k})^{\frac{n}{4}} = (\frac{1}{5})^{\frac{n}{4}}

，所以

(\frac{1}{5})^{\frac{n}{4}} < \frac{1}{100}

，即

5^{\frac{n}{4}} > 100

。取常用對數：

\frac{n}{4} lo g 5 > 2

，

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.699

，

\frac{n}{4} > \frac{2}{0.699} \approx 2.861

，

n > 11.44

。正整數

n

最小為

12

。答案格依序填

1

、

2

。

檢查：

n = 12

時

(\frac{1}{5})^{3} = 0.008 < 0.01

；

n = 11

時

(\frac{1}{5})^{2.75} \approx 0.0120 > 0.01

。

模型裡的常數不必解出來：把已知條件整塊（例如

2^{- 4 k}

）代進要求的式子，再取對數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

平鎮高中 113 上高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 113 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 19 題濾網層數要把每層剩下的八成寫成次方再取對數，用的是剩下的比例而不是除去的比例；第 16 題要先把十天換成小時，再由兩種物質的質量比求乙的半衰期；第 7 題要分清對數函數圖形通過哪一點、凹口朝哪個方向；第 8 題最後一個選項兩種底數的對數只差一個負號，平方後相等。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 113 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：指數與對數（指數函數及其圖形、對數與對數律、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

平鎮高中 113 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、單選題：（每題5分，答錯不倒扣）

指數函數

f (x) = a^{x}

，

g (x) = b^{x}

，

h (x) = c^{x}

，

k (x) = d^{x}

的圖形如下圖所示，則

a

，

b

，

c

，

d

的大小關係為何？

(1) $d > c > b > a$
(2) $d > c > a > b$
(3) $c > d > b > a$
(4) $c > d > a > b$
(5) $a > b > c > d$

載入中...

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，則

lo g_{5} 18

以

a

、

b

表示為下列何者？

(1) $\frac{a + 2 b}{1 - a}$
(2) $\frac{a + 3 b}{1 - a}$
(3) $2 b + 1$
(4) $2 a + 2 b - 1$
(5) $2 a + 3 b - 1$

令

a = \frac{1. 8 ^{8} + 1. 8 ^{6}}{2}

，

b = 1. 8^{7}

，

c = 1. 8^{8} - 1. 8^{6}

，請選出正確的大小關係？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

已知

a = lo g_{7} 9

，

b = lo g_{9} 7

，

c = \frac{1}{2} lo g_{3} 8

，請選出正確的大小關係？

(1) $a > b > c$
(2) $a > c > b$
(3) $b > a > c$
(4) $b > c > a$
(5) $c > a > b$

二、多選題：（每題5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以0分計算）

下列敘述哪些正確？

(1) $y = (0.7)^{x}$ 的圖形過點 $(0, 1)$
(2) $y = (0.01)^{x}$ 的圖形與 $y = 1000$ 不相交
(3) $(0.7)^{0.8} > (0.7)^{0.9}$
(4) 若點 $(100, k)$ 在 $y = (0.5)^{x}$ 的圖形上，則 $k < 0$
(5) $y = (0.5)^{x}$ 的圖形是凹口向下

若

5^{x} = 6

，

1 2^{y} = 6

，則下列哪些選項的值和

\frac{x}{y}

相等？

(1) $lo g_{5} 12$
(2) $lo g_{12} 5$
(3) $lo g_{5} 3 + lo g_{5} 4$
(4) $\frac{lo g 12}{lo g 5}$
(5) $\frac{lo g 5}{lo g 12}$

下列敘述哪些正確？

(1) $y = lo g x$ 的圖形過點 $(0, 1)$
(2) $y = lo g x$ 的圖形是凹口向下
(3) $lo g 0.8 > lo g 0.9$
(4) 若點 $(0.02, k)$ 在 $y = - lo g x$ 的圖形上，則 $k < 0$
(5) $y = lo g x$ 的圖形與 $y = 1 0^{x}$ 的圖形對稱於直線 $y = x$

設

a > 1 > b > 0

，關於下列不等式，選出正確的選項。

(1) $(- a)^{8} > (- a)^{10}$
(2) $b^{- 10} > b^{- 8}$
(3) $lo g \frac{1}{a} < lo g \frac{1}{b}$
(4) $lo g_{a} 1 < lo g_{b} 1$
(5) $(lo g_{2} a)^{2} < (lo g_{0.5} a)^{2}$

三、選填題：（每格完全答對給5分）

選填 A（第 9～10 題）　求下列各式之值：

(1)

(lo g_{2} 5 - lo g_{8} 25) (lo g_{125} 8 + lo g_{25} 16) =

____。

(2)

2 lo g 6 + lo g 75 - 3 lo g 30 =

____。

選填 B（第 11～12 題）　解下列各方程式：

(1)

lo g (x + 3) + lo g (x - 1) = lo g 5

，

x =

____。

(2)

4^{x + 1} + 2^{x + 1} - 2 = 0

，

x =

____。

已知不等式

(0.7)^{x^{2} + 1} < (0.49)^{3 x + 14}

，其解為

x < a

或

x > b

，則

a + b =

____。

已知不等式

lo g (x + 3) < 2 lo g 3

，其解為

a < x < b

，則

a - b =

____。

已知

f (x) = lo g_{2} x

，且

f (a) + f (b) = 12

，求

ab =

____。

鉛製容器中有兩種質量相同的放射性物質甲與乙，且甲的半衰期為

12

小時。已知經過

10

天後乙的質量為甲的

16

倍，則乙的半衰期為 ____ 小時。

已知某投資提供年利率為

10%

的理財方案，每年計息一次，依複利計算，若本利和超過本金的

2

倍，則至少要 ____ 年後（取整數年數）。（

lo g 1.1 \approx 0.0414

，

lo g 2 \approx 0.3010

）

音量

s

（分貝）與聲音強度

w

（瓦特）的關係如下：

s = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

則音量

60

分貝之聲音強度為音量

40

分貝之聲音強度的 ____ 倍。

有一濾水器，每加一層濾網可除去水中

20%

雜質，想要使水中雜質降至原來的

1%

，至少要加 ____ 層濾網。

現今網路訊息散佈速度非常驚人，已知一則訊息在網路流傳

d

天後，網路上知道該訊息的人數比例為

100 (1 - 2^{- k d}) %

，

k

為大於

0

的常數。假設有一知名樂團要開演唱會的訊息在網路上開始流傳

4

天後，就有

80%

的民眾看過。開始流傳

n

天後，在網路上就有超過

99%

的民眾看過，則符合條件的正整數

n

之最小值為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(4)

第 2 題(1)

第 3 題(5)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(3)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(2)(5)

第 8 題(2)(3)

第 9 題

1

第 10 題

- 1

第 11 題

2

第 12 題

- 1

第 13 題

6

第 14 題

- 9

第 15 題

64

第 16 題

15

第 17 題

8

第 18 題

100

第 19 題

21

第 20 題

12

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：由圖形比較底數、用 log 2 與 log 3 表示對數

第 1 題答案 (4)。四個圖形都通過

(0, 1)

。

f

、

g

由左往右下降，底數在

0

與

1

之間；

h

、

k

由左往右上升，底數大於

1

，所以

c

、

d

都大於

a

、

b

。在

x = 1

處看上升的兩條：

h (1) = c

、

k (1) = d

，

h

的圖形較靠近

y

軸、在

x > 0

時比

k

高，所以

c > d

。在

x = - 1

處看下降的兩條：

f (- 1) = \frac{1}{a}

、

g (- 1) = \frac{1}{b}

，

g

較靠近

y

軸、在

x < 0

時比

f

高，所以

\frac{1}{b} > \frac{1}{a}

，

a > b

。合起來

c > d > a > b

。

底數大於

1

時，底數越大，圖形在第一象限越陡、越靠近

y

軸；底數小於

1

時，底數越小，圖形在第二象限越陡。

第 2 題答案 (1)。用換底公式化成常用對數：

lo g_{5} 18 = \frac{lo g 18}{lo g 5}

。分子

lo g 18 = lo g (2 \times 3^{2}) = lo g 2 + 2 lo g 3 = a + 2 b

；分母

lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 = 1 - a

。所以

lo g_{5} 18 = \frac{a + 2 b}{1 - a}

。

數值檢查：

lo g_{5} 18 \approx 1.796

，

\frac{0.3010 + 2 \times 0.4771}{0.6990} \approx 1.796

。

lo g 5

寫成

1 - lo g 2

，是用

lo g 2

、

lo g 3

表示其他對數最常用的一步。

02單選第 3、4 題：比較指數式與對數的大小

第 3 題答案 (5)。三個數都提出

1. 8^{6}

：

1. 8^{2} = 3.24

，所以

a = \frac{1. 8 ^{6} ( 3.24 + 1 )}{2} = 2.12 \times 1. 8^{6}

，

b = 1.8 \times 1. 8^{6}

，

c = 1. 8^{6} (3.24 - 1) = 2.24 \times 1. 8^{6}

。

1. 8^{6} > 0

，只要比較

2.12

、

1.8

、

2.24

：

c > a > b

。

第 4 題答案 (2)。

a = lo g_{7} 9

：

9 > 7

，所以

a > lo g_{7} 7 = 1

。

b = lo g_{9} 7

：

7 < 9

，所以

0 < b < 1

。

c = \frac{1}{2} lo g_{3} 8 = \frac{lo g 8}{2 lo g 3} = \frac{lo g 8}{lo g 9} = lo g_{9} 8

，

8 < 9

，所以

c < 1

；又

8 > 7

，底數

9 > 1

時

lo g_{9} 8 > lo g_{9} 7

，所以

c > b

。合起來

a > c > b

。

數值約為

a \approx 1.129

、

c \approx 0.946

、

b \approx 0.886

。

比較對數大小：先和

1

（或

0

）比，再把底數化成相同。

03多選第 5、6 題：指數函數的性質、指數式化成對數

第 5 題答案 (1)(3)。(1) 正確。

x = 0

時

(0.7)^{0} = 1

，圖形過

(0, 1)

。(2) 錯誤。

(0.01)^{x} = 1 0^{- 2 x}

，要等於

1000 = 1 0^{3}

只要

- 2 x = 3

，

x = - \frac{3}{2}

，所以圖形與

y = 1000

交於

(- \frac{3}{2}, 1000)

。(3) 正確。底數

0.7 < 1

，

y = (0.7)^{x}

是遞減函數，

0.8 < 0.9

，所以

(0.7)^{0.8} > (0.7)^{0.9}

。(4) 錯誤。指數函數的值恆為正，

k = (0.5)^{100} > 0

。(5) 錯誤。取

x = 0

與

x = 2

兩點

(0, 1)

、

(2, 0.25)

，連線中點是

(1, 0.625)

，而

(0.5)^{1} = 0.5 < 0.625

，圖形在連線下方；指數函數的圖形都是凹口向上。

第 6 題答案 (1)(3)(4)。由對數的定義，

x = lo g_{5} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 5}

，

y = lo g_{12} 6 = \frac{lo g 6}{lo g 12}

。所以

\frac{x}{y} = \frac{lo g 6}{lo g 5} \times \frac{lo g 12}{lo g 6} = \frac{lo g 12}{lo g 5} = lo g_{5} 12

。(1) 正確。就是

lo g_{5} 12

。(2) 錯誤。

lo g_{12} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 12}

是它的倒數，

lo g_{5} 12 > 1

而

lo g_{12} 5 < 1

，兩者不相等。(3) 正確。

lo g_{5} 3 + lo g_{5} 4 = lo g_{5} (3 \times 4) = lo g_{5} 12

。(4) 正確。由換底公式

\frac{lo g 12}{lo g 5} = lo g_{5} 12

。(5) 錯誤。與 (2) 相同，是倒數。

\frac{x}{y} = lo g_{5} 12 \approx 1.544

。

指數式

a^{x} = N

一律改寫成

x = lo g_{a} N

，再用換底公式化成常用對數相除。

04多選第 7、8 題：對數函數的性質、指數與對數的大小判斷

第 7 題答案 (2)(5)。(1) 錯誤。

lo g 1 = 0

，圖形通過的是

(1, 0)

；

x = 0

時

lo g x

沒有定義。(2) 正確。取

(1, 0)

、

(100, 2)

兩點，連線中點是

(50.5, 1)

，而

lo g 50.5 > lo g 10 = 1

，圖形在連線上方；

y = lo g x

的圖形是凹口向下。(3) 錯誤。底數

10 > 1

，

y = lo g x

遞增，

0.8 < 0.9

，所以

lo g 0.8 < lo g 0.9

。(4) 錯誤。

k = - lo g 0.02 = - lo g \frac{2}{100} = 2 - lo g 2 \approx 1.699 > 0

。(5) 正確。

y = 1 0^{x}

與

y = lo g x

的關係是互換

x

、

y

：點

(p, q)

在

y = 1 0^{x}

上，等於

q = 1 0^{p}

，也就是

p = lo g q

，點

(q, p)

在

y = lo g x

上；

(p, q)

與

(q, p)

對稱於直線

y = x

。

第 8 題答案 (2)(3)。(1) 錯誤。偶數次方把負號去掉：

(- a)^{8} = a^{8}

、

(- a)^{10} = a^{10}

。

a > 1

，

y = a^{x}

遞增，

8 < 10

，所以

a^{8} < a^{10}

。(2) 正確。

b^{- 10} = (\frac{1}{b})^{10}

、

b^{- 8} = (\frac{1}{b})^{8}

，

0 < b < 1

，

\frac{1}{b} > 1

，次方越大越大，所以

b^{- 10} > b^{- 8}

。(3) 正確。

\frac{1}{a} < 1 < \frac{1}{b}

，

y = lo g x

遞增，所以

lo g \frac{1}{a} < 0 < lo g \frac{1}{b}

。(4) 錯誤。任何合法底數的

lo g 1

都是

0

：

lo g_{a} 1 = lo g_{b} 1 = 0

，兩者相等。(5) 錯誤。

lo g_{0.5} a = \frac{lo g a}{lo g 0.5} = \frac{lo g a}{- lo g 2} = - lo g_{2} a

，兩者只差一個負號，平方後相等，不是小於。

取

a = 2

、

b = 0.5

檢查：(1)

256

與

1024

；(2)

1024

與

256

；(5) 兩邊都是

1

。

判斷大小先看底數比

1

大還是小，決定函數遞增或遞減；

lo g_{\frac{1}{p}} x = - lo g_{p} x

。

05選填 A（第 9、10 題）：對數的化簡

第 9 題用

lo g_{a^{m}} b^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} b

：

lo g_{8} 25 = lo g_{2^{3}} 5^{2} = \frac{2}{3} lo g_{2} 5

，所以第一個括號

= lo g_{2} 5 - \frac{2}{3} lo g_{2} 5 = \frac{1}{3} lo g_{2} 5

。

lo g_{125} 8 = lo g_{5^{3}} 2^{3} = lo g_{5} 2

，

lo g_{25} 16 = lo g_{5^{2}} 2^{4} = 2 lo g_{5} 2

，所以第二個括號

= 3 lo g_{5} 2

。相乘：

\frac{1}{3} lo g_{2} 5 \times 3 lo g_{5} 2 = lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 1

。

lo g_{2} 5

與

lo g_{5} 2

互為倒數，乘積為

1

。

第 10 題

2 lo g 6 + lo g 75 - 3 lo g 30 = lo g 36 + lo g 75 - lo g 27000 = lo g \frac{36 \times 75}{27000} = lo g \frac{2700}{27000} = lo g \frac{1}{10} = - 1

。答案格依序填

-

、

1

。

06選填 B（第 11、12 題）：解對數方程式與指數方程式

第 11 題先看真數：

x + 3 > 0

且

x - 1 > 0

，所以

x > 1

。在這個條件下

lo g (x + 3) + lo g (x - 1) = lo g ((x + 3) (x - 1)) = lo g 5

，得

(x + 3) (x - 1) = 5

，

x^{2} + 2 x - 8 = 0

，

(x + 4) (x - 2) = 0

，

x = 2

或

x = - 4

。

x = - 4

不滿足

x > 1

（真數

- 1

、

- 5

為負），不合，所以

x = 2

。

代回：

lo g 5 + lo g 1 = lo g 5

，成立。

第 12 題

4^{x + 1} = (2^{x + 1})^{2}

。令

t = 2^{x + 1}

，

t > 0

，方程式變成

t^{2} + t - 2 = 0

，

(t + 2) (t - 1) = 0

，

t = 1

或

t = - 2

。

t > 0

，所以

t = 1

，即

2^{x + 1} = 1 = 2^{0}

，

x + 1 = 0

，

x = - 1

。答案格依序填

-

、

1

。

代回：

4^{0} + 2^{0} - 2 = 0

，成立。

對數方程式先寫下真數為正的條件，最後一定要回頭刪去不合的根；指數方程式看出平方關係就換元。

07選填 C～E（第 13～15 題）：指數與對數不等式、根號底數的對數

第 13 題

0.49 = 0. 7^{2}

，所以右邊

= (0.7)^{2 (3 x + 14)} = (0.7)^{6 x + 28}

。底數

0.7 < 1

，

y = (0.7)^{x}

遞減，函數值較小的指數反而較大，不等號反向：

x^{2} + 1 > 6 x + 28

，

x^{2} - 6 x - 27 > 0

，

(x - 9) (x + 3) > 0

，

x < - 3

或

x > 9

。所以

a = - 3

、

b = 9

，

a + b = 6

。

第 14 題真數為正：

x + 3 > 0

，

x > - 3

。

2 lo g 3 = lo g 9

，底數

10 > 1

，

y = lo g x

遞增，所以

lo g (x + 3) < lo g 9

等於

x + 3 < 9

，

x < 6

。合起來

- 3 < x < 6

，

a = - 3

、

b = 6

，

a - b = - 9

。答案格依序填

-

、

9

。

只解

x + 3 < 9

會漏掉

x > - 3

這個條件，得不到左端點。

第 15 題

f (a) + f (b) = lo g_{2} a + lo g_{2} b = lo g_{2} (ab) = 12

（

a

、

b

都要為正）。由對數的定義，

ab = (2)^{12} = (2^{\frac{1}{2}})^{12} = 2^{6} = 64

。

底數小於

1

的指數不等式要把不等號反向；對數不等式除了比真數，還要加上真數為正。

08選填 F～H（第 16～18 題）：半衰期、複利、分貝

第 16 題設兩者原本質量都是

m

。

10

天

= 240

小時。甲的半衰期

12

小時，經過

\frac{240}{12} = 20

個半衰期，剩

m (\frac{1}{2})^{20}

。設乙的半衰期

T

小時，剩

m (\frac{1}{2})^{\frac{240}{T}}

。由題意

m (\frac{1}{2})^{\frac{240}{T}} = 16 \times m (\frac{1}{2})^{20} = m (\frac{1}{2})^{20 - 4} = m (\frac{1}{2})^{16}

，所以

\frac{240}{T} = 16

，

T = 15

。

16 = 2^{4} = (\frac{1}{2})^{- 4}

，乙比甲少經過

4

個半衰期。

第 17 題本金

P

，

n

年後本利和

P (1.1)^{n}

。要

P (1.1)^{n} > 2 P

，即

(1.1)^{n} > 2

。兩邊取常用對數：

n lo g 1.1 > lo g 2

，

n > \frac{0.3010}{0.0414} \approx 7.27

。

n

取整數，至少

8

年。

檢查：

(1.1)^{7} \approx 1.949 < 2

，

(1.1)^{8} \approx 2.144 > 2

。

第 18 題設

60

分貝、

40

分貝的強度分別是

w_{1}

、

w_{2}

。

60 = 10 lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}}

，

lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 6

，

w_{1} = 1 0^{6} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 6}

。同理

40 = 10 lo g \frac{w _{2}}{1 0 ^{- 12}}

，

w_{2} = 1 0^{4} \times 1 0^{- 12} = 1 0^{- 8}

。

\frac{w _{1}}{w _{2}} = \frac{1 0 ^{- 6}}{1 0 ^{- 8}} = 1 0^{2} = 100

倍。答案格依序填

1

、

0

、

0

。

兩式相減也可以：

60 - 40 = 10 lo g \frac{w _{1}}{w _{2}}

，

lo g \frac{w _{1}}{w _{2}} = 2

。

「經過幾段時間」的問題寫成「起始量 × 比例的次方」，再化成同底或取對數比較指數。

09選填 I、J（第 19、20 題）：按比例遞減的次數、由條件求常數

第 19 題每加一層濾網除去

20%

，剩下原來的

80%

。加

n

層後剩

(0.8)^{n}

。要降至

1%

：

(0.8)^{n} \leq 0.01

。取常用對數：

n lo g 0.8 \leq - 2

。

lo g 0.8 = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx 3 \times 0.3010 - 1 = - 0.097

，是負數，兩邊同除以它不等號反向：

n \geq \frac{2}{0.097} \approx 20.6

。至少要

21

層。答案格依序填

2

、

1

。

檢查：

(0.8)^{20} \approx 0.0115

仍大於

1%

，

(0.8)^{21} \approx 0.0092

已低於

1%

。用的是「剩下的

0.8

」，不是「除去的

0.2

」。

第 20 題由

4

天後

80%

：

1 - 2^{- 4 k} = 0.8

，

2^{- 4 k} = 0.2 = \frac{1}{5}

。

n

天後的比例超過

99%

：

1 - 2^{- k n} > 0.99

，

2^{- k n} < 0.01

。而

2^{- k n} = (2^{- 4 k})^{\frac{n}{4}} = (\frac{1}{5})^{\frac{n}{4}}

，所以

(\frac{1}{5})^{\frac{n}{4}} < \frac{1}{100}

，即

5^{\frac{n}{4}} > 100

。取常用對數：

\frac{n}{4} lo g 5 > 2

，

lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.699

，

\frac{n}{4} > \frac{2}{0.699} \approx 2.861

，

n > 11.44

。正整數

n

最小為

12

。答案格依序填

1

、

2

。

檢查：

n = 12

時

(\frac{1}{5})^{3} = 0.008 < 0.01

；

n = 11

時

(\frac{1}{5})^{2.75} \approx 0.0120 > 0.01

。

模型裡的常數不必解出來：把已知條件整塊（例如

2^{- 4 k}

）代進要求的式子，再取對數。

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03多選第 5、6 題：指數函數的性質、指數式化成對數

04多選第 7、8 題：對數函數的性質、指數與對數的大小判斷

05選填 A（第 9、10 題）：對數的化簡

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