平鎮高中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (2)。$f^{\prime }(x)=-2x^3+24x$，$f^{\prime \prime }(x)=-6x^2+24=-6(x+2)(x-2)$。$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=-2$ 與 $x=2$ 的左右兩側都變號，所以反曲點的 $x$ 坐標是 $\pm 2$。

$f(-2)=-\frac{1}{2}\cdot 16+12\cdot 4=-8+48=40$，反曲點 $(-2,40)$ 在選項 (2)；另一個反曲點是 $(2,40)$，不在選項中。

答案 (1)。$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$。在 $x=-1$ 與 $x=3$ 有極值，$-1$、$3$ 是 $3x^2+2ax+b=0$ 的兩根。兩根之和 $-\frac{2a}{3}=2$，$a=-3$；兩根之積 $\frac{b}{3}=-3$，$b=-9$。

再由極大值 $f(-1)=-1+a-b+c=-1-3+9+c=5+c=7$，$c=2$。所以 $a+b+c=-3-9+2=-10$。

答案 (5)。由乘法的微分公式，$g^{\prime }(x)=(3x^2-2x)f(x)+(x^3-x^2)f^{\prime }(x)$。代入 $x=-1$：$3x^2-2x=3+2=5$，$x^3-x^2=-1-1=-2$，

$$g^{\prime }(-1)=5\cdot 2+(-2)\cdot (-1)=10+2=12$$

答案 (3)(5)。$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。

(1) 錯誤。 圖形往右一路往下（$x$ 很大時 $f(x)$ 趨近負無限大），最高次項係數 $a<0$。

(2) 錯誤。 反曲點的 $x$ 坐標是 $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的根 $-\frac{b}{3a}$。由圖，黑點在 $y$ 軸左邊，$-\frac{b}{3a}<0$，即 $\frac{b}{a}>0$；又 $a<0$，所以 $b<0$。

(3) 正確。 $c=f^{\prime }(0)$ 是圖形在 $x=0$ 的切線斜率。由圖，圖形在 $y$ 軸處還在往上升（極大點在 $y$ 軸右邊），所以 $c>0$。

(4) 錯誤。 $d=f(0)$ 是圖形與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標，由圖在 $x$ 軸上方，$d>0$。

(5) 正確。 圖形有一個極大和一個極小，$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ 有兩相異實根，判別式 $(2b{)}^2-4\cdot 3a\cdot c=4(b^2-3ac)>0$，所以 $b^2-3ac>0$。

答案 (1)(2)(3)。$f^{\prime }(x)=4x^3-24x^2=4x^2(x-6)$。在開區間 $(-\infty ,0)$ 與 $(0,6)$ 內 $f^{\prime }(x)<0$，又 $f(x)$ 處處連續，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0]$ 與 $[0,6]$ 上都嚴格遞減，接起來在 $(-\infty ,6]$ 上嚴格遞減；在 $(6,\infty )$ 內 $f^{\prime }(x)>0$，所以在 $[6,\infty )$ 上嚴格遞增。

(1) 正確。 $[-4,-1]$ 在 $(-\infty ,6]$ 內。

(2) 正確。 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 與 $[0,2]$ 上都嚴格遞減，所以在 $[-1,2]$ 上嚴格遞減；$f^{\prime }(0)=0$ 只是在那一點切線水平。

(3) 正確。 $[2,5]$ 在 $(-\infty ,6]$ 內。

(4) 錯誤。 在 $(6,8)$ 內 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 在 $[6,8]$ 上嚴格遞增。

(5) 錯誤。 在 $(8,\infty )$ 內 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 在 $[8,\infty )$ 上嚴格遞增。

答案 (1)(2)。$f^{\prime }(x)$ 的圖形是開口向上、過 $(-1,0)$ 與 $(3,0)$ 的拋物線，設 $f^{\prime }(x)=k(x+1)(x-3)$，$k>0$。則 $f^{\prime \prime }(x)=k[(x-3)+(x+1)]=2k(x-1)$。

(1) 正確。 $f^{\prime }(x)$ 是二次式，所以 $f(x)$ 是三次多項式函數。

(2) 正確。 切線斜率 $f^{\prime }(0)=k\cdot 1\cdot (-3)=-3k<0$。

(3) 錯誤。 $f^{\prime \prime }(x)=2k(x-1)$ 只在 $x=1$ 變號，反曲點是 $(1,f(1))$，不是 $(2,f(2))$。

(4) 錯誤。 $-1<x<3$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$x>3$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 先減後增，$x=3$ 處是極小值。

(5) 錯誤。 $-1<x<1$ 時 $f^{\prime \prime }(x)<0$，圖形凹口向下；只有 $1<x<3$ 這一段凹口向上。

由乘法的微分公式與連鎖律，$f^{\prime }(x)=(x-3{)}^5+x\cdot 5(x-3{)}^4$。代入 $x=4$：$f^{\prime }(4)=1+4\cdot 5\cdot 1=21$。又 $f(4)=4\cdot 1^5=4$，切點確實是 $P(4,4)$。

切線為 $y-4=21(x-4)$，即 $y=21x-80$，寫成 $21x-y=80$。所以 $a=21$，$c=80$。

$y=\frac{1}{x}$ 的導數是 $-\frac{1}{x^2}$。切線斜率為 $-4$：$-\frac{1}{x_0^2}=-4$，$x_0^2=\frac{1}{4}$，$x_0=\pm \frac{1}{2}$。

若 $x_0=\frac{1}{2}$，$y_0=2$，代入 $y=-4x+b$：$2=-2+b$，$b=4>0$，合。

若 $x_0=-\frac{1}{2}$，$y_0=-2$：$-2=2+b$，$b=-4<0$，不合。

所以 $(x_0,y_0,b)=\left(\frac{1}{2},2,4\right)$。

由除法的微分公式，

$$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2+x+1)-(x^2-1)(2x+1)}{(x^2+x+1{)}^2}$$

代入 $x=2$：分子 $4\cdot 7-3\cdot 5=28-15=13$，分母 $7^2=49$，所以 $f^{\prime }(2)=\frac{13}{49}$。

由圖，圖形在 $x=-1$ 穿過 $x$ 軸，在 $x=1$ 與 $x$ 軸相切（碰到而不穿過），所以 $x=1$ 是二重根。設 $f(x)=k(x+1)(x-1{)}^2$；圖形往右一路往下，$k<0$。

展開 $f(x)=k(x^3-x^2-x+1)$，$f^{\prime }(x)=k(3x^2-2x-1)$。$P$ 是 $(0,f(0))$，切線斜率 $f^{\prime }(0)=-k=2$，$k=-2$。

所以 $f(x)=-2(x+1)(x-1{)}^2$，$f(2)=-2\cdot 3\cdot 1=-6$。

$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-9$。令 $6x^2+6x-9=3$：$6x^2+6x-12=0$，$x^2+x-2=0$，$(x+2)(x-1)=0$，$x=-2$ 或 $1$。因為 $x_0<0$，取 $x_0=-2$。

$y_0=f(-2)=2(-8)+3\cdot 4-9(-2)+5=-16+12+18+5=19$。

設底面正方形邊長 $x$、高 $h$（$x>0$，$h>0$）。總表面積 $2x^2+4xh=36$，$h=\frac{18-x^2}{2x}$，其中 $0<x<3\sqrt{2}$。

體積 $V(x)=x^{2}h=\frac{x(18-x^2)}{2}=9x-\frac{1}{2}{x}^3$。$V^{\prime }(x)=9-\frac{3}{2}{x}^2$，令 $V^{\prime }(x)=0$ 得 $x^2=6$，$x=\sqrt{6}$。

$0<x<\sqrt{6}$ 時 $V^{\prime }(x)>0$，$\sqrt{6}<x<3\sqrt{2}$ 時 $V^{\prime }(x)<0$，所以 $x=\sqrt{6}$ 時體積最大：

$$V(\sqrt{6})=\frac{\sqrt{6}(18-6)}{2}=6\sqrt{6}$$

$f^{\prime }(x)=4x^3-12x=4x(x^2-3)$，在 $[-1,3]$ 內的臨界點是 $x=0$ 與 $x=\sqrt{3}$（$-\sqrt{3}$ 不在區間內）。

比較端點與臨界點的函數值：$f(-1)=1-6+5=0$，$f(0)=5$，$f(\sqrt{3})=9-18+5=-4$，$f(3)=81-54+5=32$。

所以最大值 $M=32$，最小值 $m=-4$，$(M,m)=(32,-4)$。

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$。圖形過原點且在原點有水平切線：$f(0)=d=0$，$f^{\prime }(0)=c=0$。

在 $(4,2)$ 有水平切線：$f(4)=64a+16b=2$，$f^{\prime }(4)=48a+8b=0$。由第二式 $b=-6a$，代入第一式 $64a-96a=-32a=2$，$a=-\frac{1}{16}$，$b=\frac{3}{8}$。

高度變化率是 $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{16}{x}^2+\frac{3}{4}x=-\frac{3}{16}(x-2{)}^2+\frac{3}{4}$，在 $0\le x\le 4$ 中 $x=2$ 時最大。這時 $f(2)=-\frac{8}{16}+\frac{3}{8}\cdot 4=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=1$，飛機的坐標為 $(2,1)$。

$10$ 年的本利和是 $10000\times (1.012{)}^{10}$ 元。令 $g(x)=x^{10}$，$g^{\prime }(x)=10x^9$，在 $x=1$ 附近用切線做一次估計：

$$g(1.012)\approx g(1)+g^{\prime }(1)\times 0.012=1+10\times 0.012=1.12$$

所以本利和約為 $10000\times 1.12=11200$ 元。

設 $P(t,2t^2)$，$0<t<3$。$y=2x^2$ 的導數是 $4x$，切線為 $y-2t^2=4t(x-t)$，即 $y=4tx-2t^2$。

切線與 $x$ 軸交於 $A\left(\frac{t}{2},0\right)$；與 $x=3$ 交於 $B(3,12t-2t^2)$；$C(3,0)$。$△ABC$ 的面積

$$S(t)=\frac{1}{2}\left(3-\frac{t}{2}\right)(12t-2t^2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{6-t}{2}\cdot 2t(6-t)=\frac{t(6-t{)}^2}{2}$$

$S^{\prime }(t)=\frac{(6-t{)}^2-2t(6-t)}{2}=\frac{(6-t)(6-3t)}{2}$。在 $0<t<2$ 時 $S^{\prime }(t)>0$，在 $2<t<3$ 時 $S^{\prime }(t)<0$，所以 $t=2$ 時面積最大：$S(2)=\frac{2\cdot 16}{2}=16$。