段考詳解範圍：選修數學甲上冊單元 1、2（數列的極限、無窮等比級數、函數的概念、函數的極限、連續函數）

平鎮高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（25 分，每題 5 分）、多選題 5 題（25 分，每題 5 分）、選填題 10 題（50 分，每題完全答對給 5 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題全部相同。

一、單選題：（25 分，每題 5 分）

下列各數列，何者收斂？

(1) $⟨ \frac{1}{2} [1 + (- 1)^{n}] ⟩$
(2) $⟨ sin nπ ⟩$
(3) $⟨(- 0.001) \cdot n^{3} ⟩$
(4) $⟨ cos \frac{nπ}{2} ⟩$
(5) $⟨ π^{n} ⟩$

以下各函數圖形中，何者在

x = a

時極限值不存在？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

試求

n \to \infty lim (\frac{n ^{2} + 1}{n + 1} - \frac{n ^{2} + 1}{n - 1}) =

(1) $1$
(2) $- 1$
(3) $2$
(4) $- 2$
(5) 發散

若首項為

a

，公比為

0.01

的無窮等比級數和等於循環小數

1. \overline{21}

，則

a =

？

(1) $\frac{1}{5}$
(2) $\frac{2}{5}$
(3) $\frac{3}{5}$
(4) $\frac{4}{5}$
(5) $\frac{6}{5}$

試問下列有關極限

x \to 1 lim \frac{∣3 - 3 x - x ^{2} ∣ - 1}{x - 1}

的敘述何者正確？

(1) 極限不存在
(2) 極限為 $0$
(3) 極限為 $5$
(4) 極限為 $1$
(5) 極限為 $- 2$

二、多選題：（25 分，每題 5 分）說明：第 6 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯 3 個選項以上或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

請選出正確的選項？

(1) 無窮等比級數 $1 + (- 1) + 1 + (- 1) + \dots$ 的和為 $\frac{1}{1 - ( - 1 )} = \frac{1}{2}$
(2) 若函數 $f (x) = x^{2} + 3$ ， $g (x) = x^{3} + 2$ ，則 $(g \circ f) (x)$ 為六次多項式函數
(3) 函數 $f (x) = x + 1$ 的反函數為 $g (x) = x - 1$
(4) 極限 $x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ 不存在
(5) 若多項式函數 $f (x)$ 滿足 $f (1) = 3$ ，則 $x \to 1 lim f (x) = 3$

請選出極限值為

0

的選項？

(1) $lim_{n \to \infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$
(2) $lim_{n \to \infty} \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{6 ^{n}}$
(3) $lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 5}{3 n - 2}$
(4) $lim_{n \to \infty} \frac{c o s n}{n}$
(5) $lim_{n \to \infty} \frac{6 ^{n + 1} + 4 ^{n}}{6 ^{n} + 5 ^{n}}$

設

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots

是一公比為

\frac{1}{2}

的無窮等比數列且

a_{1} = 1

。試問以下哪些數列會收斂？

(1) $- a_{1}, - a_{2}, \dots, - a_{n}, \dots$
(2) $a_{1}^{2}, a_{2}^{2}, \dots, a_{n}^{2}, \dots$
(3) $\frac{1}{a _{1}}, \frac{1}{a _{2}}, \dots, \frac{1}{a _{n}}, \dots$
(4) $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$
(5) $lo g a_{1}, lo g a_{2}, \dots, lo g a_{n}, \dots$

已知數列

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

、

⟨ c_{n} ⟩

、

⟨ d_{n} ⟩

、

⟨ e_{n} ⟩

定義如下：

a_{n} = (- 1)^{n}

；

b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}

；

c_{n} = (- \frac{3}{10})^{n}

；

d_{n} = \frac{1}{307} c_{n}

；

e_{n} = \frac{1}{c _{n}}

；其中

n = 1, 2, 3, \dots

。下列選項中，請選出會收斂的無窮級數？

(1) $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$
(2) $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$
(3) $\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}$
(4) $\sum_{n = 1}^{\infty} d_{n}$
(5) $\sum_{n = 1}^{\infty} e_{n}$

已知多項式函數

f (x)

滿足

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 4

，下列哪些敘述正確？

(1) $x \to 2 lim (\frac{f ( x )}{x - 2} + \frac{x ^{2} - 4}{x - 1}) = 4$
(2) $x \to 2 lim \frac{f ( x )}{2 ( x - 2 )} = 2$
(3) $x \to 2 lim \frac{f ( x )}{( x - 2 ) ^{2}} = 4$
(4) $x \to 2 lim f (x) = 0$
(5) $x \to 0 lim f (x + 2) = 0$

三、選填題：（50 分，須化簡為最簡分數，每題完全答對給 5 分）（本頁第 11～20 題依序為原卷的 A～J 題）

已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

滿足

\frac{n - 3}{4 n} \leq a_{n} \leq \frac{n + 3}{4 n}

，試求

n \to \infty lim a_{n} =

____。

試求

n \to \infty lim \frac{1 + 2 ^{n - 1} + 5 ^{n}}{2 + 3 ^{n} + 5 ^{n + 1}} =

____。

如圖，

A B C D

是邊長為

1

的正方形，連接正方形

A B C D

各邊的中點，可得四個等面積的正方形，將左上方的正方形塗成黑色，再連接右下方正方形各邊的中點，重複這樣的步驟會得到無窮多個正方形，試求所有黑色正方形面積的和

=

____。（卷面的附圖塗黑的是左下方的正方形，再往右上方重複；兩種畫法的黑色正方形大小都相同，面積和不受影響）

載入中...

設

f (x) = 16 + 6 x - x^{2}

，

g (x) = x

，試求

(f \circ g) (4) =

____。

設

[x]

表小於或等於

x

的最大整數，則

[1] + [2] + [3] + \dots + [17] =

____。

x \to 1 lim (\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{( x - 1 ) ( x + 2 )}) =

____。

設

a

，

b

為實數，若

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 5

，試求

a + 2 b =

____。

假設

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x - 1, a x + b, 3 x, x < 1, 1 \leq x \leq 2, x \geq 2,

求出適當

a

，

b

，使得

f (x)

為連續函數，則

2 a + b =

____。

已知三次多項式

f (x)

滿足

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 1

且

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 3

，求

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{x + 4} =

____。

若

t

為

x^{2} \cdot 3^{x} = 3^{10}

的正實根，若

t

落在兩個相鄰正整數

k

與

k + 1

之間，則

k =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(4)

第 4 題(5)

第 5 題(3)

第 6 題(2)(3)(5)

第 7 題(1)(2)(4)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題(2)(3)(4)

第 10 題(1)(2)(4)(5)

第 11 題

\frac{1}{4}

第 12 題

\frac{1}{5}

第 13 題

\frac{1}{3}

第 14 題

24

第 15 題

42

第 16 題

\frac{1}{3}

第 17 題

- 5

第 18 題

6

第 19 題

2

第 20 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：數列的收斂、由圖形看極限、循環小數與含絕對值的極限

第 1 題答案 (2)。把前幾項寫出來看。(1)

n

為奇數時

\frac{1}{2} (1 - 1) = 0

，

n

為偶數時

\frac{1}{2} (1 + 1) = 1

，數列是

0, 1, 0, 1, \dots

，在兩個值之間跳動，發散。(2)

n

是正整數時

sin nπ = 0

，每一項都是

0

，收斂到

0

。(3)

- 0.001 n^{3}

的絕對值隨

n

愈來愈大，沒有上限，發散。(4)

cos \frac{nπ}{2}

依序是

0, - 1, 0, 1, 0, - 1, \dots

，不趨近單一的數，發散。(5)

π > 1

，

π^{n}

愈來愈大，發散。

(3) 的係數

0.001

很小，前幾項看起來接近

0

，但

n = 100

時已經是

- 1000

；係數大小不影響發散。

第 2 題答案 (1)。

x \to a

的極限存在，條件是左極限與右極限都存在而且相等，與

x = a

那一點本身有沒有定義、函數值是多少都無關。圖 (1)：從左邊靠近

a

時圖形趨近實心點的高度，從右邊靠近時趨近空心點的高度，兩個高度不同，極限不存在。圖 (2)：圖形沒有斷開，左右都趨近同一點，極限存在。圖 (3)：左右都趨近空心點的高度，極限存在；上方的實心點只表示

f (a)

的值，不影響極限。圖 (4)：

f (a)

沒有定義，但左右都趨近空心點的高度，極限存在。圖 (5)：圖形在

x = a

有轉折，但兩邊的線段接在同一點，左右極限相等，極限存在。

圖 (3)、(4) 是極限存在但在

x = a

不連續的例子；圖 (5) 的尖點不影響極限，也不影響連續。

第 3 題答案 (4)。兩項各自發散，先通分：

(n^{2} + 1) (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n - 1}) = (n^{2} + 1) \cdot \frac{( n - 1 ) - ( n + 1 )}{n ^{2} - 1} = \frac{- 2 ( n ^{2} + 1 )}{n ^{2} - 1}

。分子分母同除以

n^{2}

：

\frac{- 2 ( 1 + \frac{1}{n ^{2}} )}{1 - \frac{1}{n ^{2}}} \to - 2

。

不能寫成「無限大減無限大等於

0

」；兩項都發散時極限的減法性質不能用，要先合併成一個分式。

第 4 題答案 (5)。先把循環小數化成分數：

1. \overline{21} = 1 + 0.21 + 0.0021 + \dots = 1 + \frac{0.21}{1 - 0.01} = 1 + \frac{21}{99} = \frac{40}{33}

。公比

0.01

的絕對值小於

1

，級數和為

\frac{a}{1 - 0.01} = \frac{a}{0.99}

。所以

\frac{a}{0.99} = \frac{40}{33}

，

a = \frac{40}{33} \times \frac{99}{100} = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}

。

也可以直接看：

1. \overline{21} = 1.2 + 0.012 + 0.00012 + \dots

，正是首項

1.2

、公比

0.01

的無窮等比級數，所以

a = 1.2 = \frac{6}{5}

。

第 5 題答案 (3)。

x = 1

時

3 - 3 x - x^{2} = - 1 < 0

，所以

x

在

1

附近時

3 - 3 x - x^{2} < 0

，

∣3 - 3 x - x^{2} ∣ = x^{2} + 3 x - 3

。分子

= x^{2} + 3 x - 3 - 1 = x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4)

，原式

= x \to 1 lim \frac{( x - 1 ) ( x + 4 )}{x - 1} = x \to 1 lim (x + 4) = 5

。

去絕對值前先把

x = 1

代進絕對值裡面看正負。若沒變號就直接拿掉，分子在

x = 1

會是

- 2

，就會誤判成極限不存在。

極限看的是靠近那一點時的趨勢，不是那一點的函數值；兩項都發散時先合併再取極限。

02多選 6～10：函數的觀念、數列與級數的收斂、極限的運算性質

第 6 題答案 (2)(3)(5)。(1) 公比是

- 1

，無窮等比級數只有在公比的絕對值小於

1

時才收斂，才能用

\frac{a}{1 - r}

；這個級數的部分和是

1, 0, 1, 0, \dots

，發散，沒有和，錯。(2)

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = (x^{2} + 3)^{3} + 2

，展開後最高次項是

x^{6}

，是六次多項式函數，對。(3) 令

y = x + 1

，則

x = y - 1

，反函數為

g (x) = x - 1

；檢查

g (f (x)) = (x + 1) - 1 = x

，對。(4)

x \neq = 1

時

\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

，

x \to 1

時趨近

2

，極限存在，錯。(5) 多項式函數在每一點都連續，所以

x \to 1 lim f (x) = f (1) = 3

，對。

(1) 的公式只在

∣ r ∣ < 1

時成立，代公式前要先檢查公比。(4) 分母趨近

0

不代表極限不存在，分子也趨近

0

時要先約分。

第 7 題答案 (1)(2)(4)。(1)

- \frac{1}{n ^{2}} \leq \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。(2)

\frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{6 ^{n}} = (\frac{1}{3})^{n} + (\frac{1}{2})^{n} \to 0

。(3) 分子分母同除以

n

：

\frac{2 + \frac{5}{n}}{3 - \frac{2}{n}} \to \frac{2}{3}

，不是

0

。(4)

- 1 \leq cos n \leq 1

，所以

- \frac{1}{n} \leq \frac{cos n}{n} \leq \frac{1}{n}

，兩邊都趨近

0

，由夾擠定理極限為

0

。(5) 分子分母同除以

6^{n}

：

\frac{6 + ( \frac{4}{6} ) ^{n}}{1 + ( \frac{5}{6} ) ^{n}} \to 6

，不是

0

。

(4) 的

cos n

本身不收斂，但它被夾在

- 1

與

1

之間，除以愈來愈大的

n

之後就被夾到

0

。(5) 分子的

6^{n + 1} = 6 \cdot 6^{n}

，極限是

6

不是

1

。

第 8 題答案 (1)(2)(4)。

a_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}

。(1)

- a_{n} = - (\frac{1}{2})^{n - 1} \to 0

，收斂。(2)

a_{n}^{2} = (\frac{1}{4})^{n - 1}

，公比

\frac{1}{4}

，趨近

0

，收斂。(3)

\frac{1}{a _{n}} = 2^{n - 1}

，公比

2 > 1

，愈來愈大，發散。(4)

a_{n} = (\frac{1}{2})^{n - 1}

，公比

\frac{1}{2}

介於

0

與

1

之間，趨近

0

，收斂。(5)

lo g a_{n} = (n - 1) lo g \frac{1}{2} = - (n - 1) lo g 2

，是公差

- lo g 2

的等差數列，愈來愈小、沒有下限，發散。

(5) 取對數後等比數列變成等差數列；公差不是

0

的等差數列一定發散。

第 9 題答案 (2)(3)(4)。(1)

a_{n}

依序是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，部分和是

- 1, 0, - 1, 0, \dots

，不趨近單一的數，級數發散。(2)

b_{n} = (- 1)^{n} + (- 1)^{n + 1} = (- 1)^{n} (1 - 1) = 0

，每一項都是

0

，部分和恆為

0

，級數收斂（和為

0

）。(3) 這是公比

r = - \frac{3}{10}

的無窮等比級數；因為

3 = 9 < 10

，

∣ r ∣ = \frac{3}{10} < 1

，收斂。(4)

d_{n}

是首項

\frac{1}{307} \cdot (- \frac{3}{10})

、公比同為

- \frac{3}{10}

的等比數列，公比的絕對值小於

1

，級數收斂。(5)

e_{n} = (- \frac{10}{3})^{n}

，公比的絕對值

\frac{10}{3} > 1

，級數發散。

(1) 與 (2) 要分清楚：

⟨ a_{n} ⟩

的級數發散，但

b_{n}

是相鄰兩項相加，先在每一項裡面抵消成

0

，所以

⟨ b_{n} ⟩

的級數收斂。

第 10 題答案 (1)(2)(4)(5)。(1)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 1} = \frac{0}{1} = 0

，兩個極限都存在，和的極限

= 4 + 0 = 4

，對。(2)

\frac{f ( x )}{2 ( x - 2 )} = \frac{1}{2} \cdot \frac{f ( x )}{x - 2} \to \frac{1}{2} \cdot 4 = 2

，對。(4)

f (x) = \frac{f ( x )}{x - 2} \cdot (x - 2) \to 4 \cdot 0 = 0

，對。(5)

f (x)

是多項式函數，處處連續，由 (4) 得

f (2) = x \to 2 lim f (x) = 0

；令

t = x + 2

，

x \to 0

時

t \to 2

，所以

x \to 0 lim f (x + 2) = t \to 2 lim f (t) = 0

，對。(3) 若

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{( x - 2 ) ^{2}}

存在，設為

L

，則

\frac{f ( x )}{x - 2} = \frac{f ( x )}{( x - 2 ) ^{2}} \cdot (x - 2) \to L \cdot 0 = 0

，與已知的

4

矛盾，所以這個極限不存在，錯。

可以拿

f (x) = 4 (x - 2)

當例子檢查：(3) 變成

\frac{4}{x - 2}

，

x \to 2

時極限不存在；(1) 的第二個分式分母是

x - 1

，在

x = 2

不為

0

，直接代入即可。

無窮等比級數先看公比的絕對值是否小於 1；極限的四則運算只有在各個極限都存在時才能拆開。

03選填 11～15（原卷 A～E）：夾擠定理、無窮等比級數、合成函數與高斯符號

第 11 題

\frac{n - 3}{4 n} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4 n} \to \frac{1}{4}

，

\frac{n + 3}{4 n} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4 n} \to \frac{1}{4}

。

a_{n}

被夾在兩個極限同為

\frac{1}{4}

的數列之間，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = \frac{1}{4}

。

第 12 題底數最大的是

5

，分子分母同除以

5^{n}

：分子

= (\frac{1}{5})^{n} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5})^{n} + 1 \to 1

；分母

= 2 (\frac{1}{5})^{n} + (\frac{3}{5})^{n} + 5 \to 5

。所以極限為

\frac{1}{5}

。

2^{n - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{n}

、

5^{n + 1} = 5 \cdot 5^{n}

，先把指數整理成

n

再同除。

第 13 題第一個黑色正方形的邊長是

\frac{1}{2}

，面積

\frac{1}{4}

。每重複一次，是在邊長減半的正方形裡做同樣的事，所以下一個黑色正方形的邊長是前一個的

\frac{1}{2}

，面積是前一個的

\frac{1}{4}

。黑色正方形的面積依序為

\frac{1}{4}, \frac{1}{16}, \frac{1}{64}, \dots

，是首項

\frac{1}{4}

、公比

\frac{1}{4}

的無窮等比級數，和為

\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3}

。

題幹的文字（塗左上方、往右下方重複）與卷面附圖（塗左下方、往右上方重複）方向不同，但每一步塗黑的正方形大小一樣，面積和都是

\frac{1}{3}

。

第 14 題

(f \circ g) (4) = f (g (4))

。先算裡面：

g (4) = 4 = 2

；再算

f (2) = 16 + 12 - 4 = 24

。

f \circ g

是先做

g

再做

f

。若順序弄反算成

g (f (4))

，會得到

24 = 26

。

第 15 題依

k

落在哪兩個整數之間分組：

k = 1, 2, 3

時

1 \leq k < 2

，

[k] = 1

，共

3

項；

k = 4

到

8

時

[k] = 2

，共

5

項；

k = 9

到

15

時

[k] = 3

，共

7

項；

k = 16, 17

時

[k] = 4

，共

2

項。總和

= 1 \times 3 + 2 \times 5 + 3 \times 7 + 4 \times 2 = 3 + 10 + 21 + 8 = 42

。

最後一組只到

17

，只有

2

項，不是完整的

9

項（

16

到

24

）。

被兩個極限相同的數列夾住就用夾擠定理；圖形反覆縮小的面積和是無窮等比級數。

04選填 16～20（原卷 F～J）：函數的極限、連續與中間值定理

第 16 題通分：

\frac{1}{x - 1} - \frac{3}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{( x + 2 ) - 3}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 1}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{1}{x + 2}

（

x \neq = 1

）。

x \to 1

時趨近

\frac{1}{3}

。

第 17 題

x \to 1

時分母趨近

0

，極限要存在，分子也必須趨近

0

：

1 + a + b = 0

，即

b = - (a + 1)

。分子

x^{2} + a x - (a + 1) = (x - 1) (x + a + 1)

，所以極限

= x \to 1 lim (x + a + 1) = a + 2 = 5

，得

a = 3

，

b = - 4

。

a + 2 b = 3 - 8 = - 5

。

第 18 題三段各自都是一次式，在各段內部連續，只要檢查接點

x = 1

與

x = 2

。在

x = 1

：左極限

x \to 1^{-} lim (x - 1) = 0

，要等於

f (1) = a + b

，所以

a + b = 0

。在

x = 2

：

x \to 2^{-} lim (a x + b) = 2 a + b

，要等於

x \to 2^{+} lim 3 x = 6

，所以

2 a + b = 6

。所求就是

2 a + b = 6

。（兩式相減得

a = 6

，

b = - 6

，確實有這樣的

a

，

b

。）

卷面第二段與第三段都含

x = 2

；連續時兩段在

x = 2

的值同為

6

，沒有衝突。

第 19 題

x \to 1

與

x \to 2

時分母趨近

0

而極限存在，所以

f (1) = 0

、

f (2) = 0

，

f (x)

有因式

(x - 1) (x - 2)

。

f (x)

是三次，設

f (x) = (x - 1) (x - 2) (a x + b)

。

x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = (1 - 2) (a + b) = - (a + b) = 1

，得

a + b = - 1

；

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = (2 - 1) (2 a + b) = 2 a + b = 3

。兩式相減得

a = 4

，

b = - 5

，

f (x) = (x - 1) (x - 2) (4 x - 5)

。

x \to 3

時分母

x + 4

趨近

7

，不為

0

，直接代入：

\frac{f ( 3 )}{7} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 7}{7} = 2

。

最後一個極限的分母是

x + 4

，在

x = 3

不為

0

，不要再去找因式，直接代入。

第 20 題令

g (x) = x^{2} \cdot 3^{x}

。

x > 0

時

x^{2}

與

3^{x}

都是正的而且都隨

x

增大而增大，所以

g (x)

在

x > 0

是遞增函數，方程式

g (x) = 3^{10}

的正實根只有一個。

3^{10} = 59049

。試整數：

g (6) = 36 \times 729 = 26244 < 59049

，

g (7) = 49 \times 2187 = 107163 > 59049

。

g (x)

是連續函數，由中間值定理，在

6

與

7

之間有一個

t

使

g (t) = 3^{10}

，所以

k = 6

。

也可以改比較

3

的次方：

g (6) = 36 \cdot 3^{6} < 81 \cdot 3^{6} = 3^{10}

，

g (7) = 49 \cdot 3^{7} > 27 \cdot 3^{7} = 3^{10}

，不必把數字乘出來。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定有同一個因式；找根的位置就代整數看函數值在哪兩個數之間跨過目標值。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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平鎮高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 10 題：除以 x 減 2 的平方的那個極限不存在，而 f 在 x 加 2 的極限要換成 f 在 2 的值來看。多選第 6 題：公比是負 1 的等比級數發散，不能代和的公式。多選第 7 題：分子是 cos n 的那個數列要用夾擠定理才看得出極限是 0。單選第 1 題：sin n 乘圓周率每一項都是 0 所以收斂，而係數很小的負 0.001 乘 n 的三次方仍然發散。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自平鎮高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～5：數列的收斂、由圖形看極限、循環小數與含絕對值的極限

02多選 6～10：函數的觀念、數列與級數的收斂、極限的運算性質

03選填 11～15（原卷 A～E）：夾擠定理、無窮等比級數、合成函數與高斯符號

04選填 16～20（原卷 F～J）：函數的極限、連續與中間值定理

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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