段考詳解範圍：選修數學甲（上）單元 1～單元 2（數列的極限、無窮等比級數、函數的概念、函數的極限、連續函數）

平鎮高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

這份卷最容易失分的是兩題多選與選填 G。多選第 6 題：兩個數列的乘積收斂，不代表各自收斂；等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於等於 1，等號在右邊。多選第 7 題：絕對值除以本身在 0 的左右極限是負 1 與 1，高斯符號在 0 的左極限是負 1，兩個極限都不存在。選填 G（第 14 題）：這個級數不是等比級數，要先寫出第 n 項，再拆成公比十分之一與百分之一的兩個等比級數，答案是 297 分之 100。單選第 2 題：約去公因式後括號裡有 99 項，答案是 9900。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 6 分，共 30 分）、多重選擇題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、選填題 10 題（每格 6 分，共 60 分），合計 100 分。卷頭的答題說明：選填題遇答案為分數型態，請以最簡分數作答，否則不予計分。選填題卷面的題號是 A～J，本頁依序編為第 8～17 題。第 3 題的選項 (4) 與 (5) 卷面印的是同一個範圍，照卷面原樣呈現，不影響答案。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題全部一致。

一、單選題：（每題 6 分；總分 30 分。）

n \to \infty lim \frac{π ^{π}}{n ^{n}} =

？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $π$
(5) 極限不存在

x \to - 4 lim \frac{100 ( x + 3 ) ^{99} + 100}{x + 4} =

？

(1) $100$
(2) $100!$
(3) $9900$
(4) $10000$
(5) 極限不存在

已知無窮數列

⟨(2 x - 1)^{n} ⟩

為收斂數列，則

x

的範圍是？

(1) $- 1 < x \leq 0$
(2) $0 < x \leq 1$
(3) $1 < x \leq 2$
(4) $2 < x \leq 3$
(5) $2 < x \leq 3$ （卷面選項 (4) 與 (5) 印的相同）

n \to \infty lim (n + 2 - n) =

？

(1) $- 1$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $0$
(5) 極限不存在

f (x) = \frac{x - 1}{2 x - 1}

，其中

x \neq = \frac{1}{2}

。則下列何者為函數

f (x)

的反函數？

(1) $g_{1} (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ，其中 $x \neq = - 1$
(2) $g_{2} (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ ，其中 $x \neq = 1$
(3) $g_{3} (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ，其中 $x \neq = - 1$
(4) $g_{4} (x) = \frac{4 x - 1}{2 x - 1}$ ，其中 $x \neq = \frac{1}{2}$
(5) $g_{5} (x) = \frac{x - 1}{2 x - 1}$ ，其中 $x \neq = \frac{1}{2}$

二、多重選擇題：（每題 5 分；總分 10 分。每題全部答對者得 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個或三個以上選項得 0 分，未作答者不予計分。每題至少有一個正確答案。）

請選出正確的選項？

(1) 若 $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列
(2) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $0$ ，則數列 $⟨ a_{n}^{3} ⟩$ 收斂於 $0$
(3) 若數列 $⟨ a_{n}^{4} ⟩$ 收斂於 $1$ ，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $1$
(4) 等比數列 $⟨ r^{n} ⟩$ 的收斂條件為 $- 1 \leq r < 1$
(5) 若 $⟨ c \cdot a_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，其中 $c$ 為不為零的常數。

請選出正確的選項？

(1) $f (x) = 2022 x + sin x$ 的圖形對稱於原點
(2) $g (x) = x^{2022} + lo g 2022$ 為偶函數
(3) $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1$
(4) $x \to 0^{-} lim [x] = x \to 0^{+} lim [x] = 0$ ，其中 $[]$ 為高斯符號
(5) $h (x) = 1 0^{x}$ 與 $k (x) = lo g_{2} x$ 互為反函數。

三、選填題：（每格 6 分；總分 60 分。）

A、請計算

x \to 0 x \neq = 0 lim [x (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x})] =

____。（原卷答案格：一格）

B、請計算

n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} + 3 n}{n ^{3} - 4 n ^{2} + 4} =

____。（原卷答案格：一格）

C、請計算

n \to \infty lim \frac{2 ^{n} + 3 ^{n} + 5 ^{n}}{5 ^{n + 1}} =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

D、請計算

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{5 ^{n}} =

____。（原卷答案格：分數，分子兩格、分母一格）

E、請計算

n \to \infty lim \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \dots + n ^{3}}{n ^{4}} =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

F、請計算

0.7 + 0.07 + 0.007 + \dots =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

G、請計算

0.3 + 0.033 + 0.00333 + \dots =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各三格）

H、請計算

x \to 0 lim (3 x^{2022} + 2 x^{2019} + 1) =

____。（原卷答案格：一格）

I、請計算

x \to 1 lim (\frac{3}{x ^{2} + x - 2} - \frac{x}{x - 1}) =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

J、已知函數

f (x) = {x^{2} + x - 3, x + a, 若 x \geq 2 若 x < 2

在

x = 2

處連續，則

a =

____。（原卷答案格：一格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(1)(2)

第 8 題

0

第 9 題

2

第 10 題

\frac{1}{5}

第 11 題

\frac{13}{6}

第 12 題

\frac{1}{4}

第 13 題

\frac{7}{9}

第 14 題

\frac{100}{297}

第 15 題

1

第 16 題

- \frac{4}{3}

第 17 題

1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：數列的極限、約去公因式、等比數列的收斂條件、反函數

第 1 題答案 (1)。分子

π^{π}

是一個固定的正數（約

36.5

），和

n

無關。分母

n^{n}

在

n \geq 1

時滿足

n^{n} \geq n

，所以

0 < \frac{π ^{π}}{n ^{n}} \leq \frac{π ^{π}}{n}

。

n \to \infty

時

\frac{π ^{π}}{n} \to 0

，由夾擠定理，原式的極限為

0

。

卷面分子的指數很小，本頁讀作

π

。若把分子讀成

π^{n}

，結論相同：

n \geq 4

時

0 < \frac{π ^{n}}{n ^{n}} = (\frac{π}{n})^{n} \leq (\frac{π}{4})^{n}

，而

\frac{π}{4} < 1

，

(\frac{π}{4})^{n} \to 0

，極限一樣是

0

。

第 2 題答案 (3)。

x = - 4

代入，分子

= 100 (- 1)^{99} + 100 = 0

，分母也是

0

，要先約分。令

t = x + 3

，

x \to - 4

時

t \to - 1

，而

x + 4 = t + 1

，原式

= t \to - 1 lim \frac{100 ( t ^{99} + 1 )}{t + 1}

。

99

是奇數，

t^{99} + 1 = (t + 1) (t^{98} - t^{97} + t^{96} - \dots - t + 1)

，約去

t + 1

後剩下

100 (t^{98} - t^{97} + t^{96} - \dots - t + 1)

，括號內共

99

項。

t = - 1

代入：偶數次方的項是

1

，奇數次方的項前面有負號，

- (- 1) = 1

，每一項都是

1

，括號的值是

99

。極限

= 100 \times 99 = 9900

。

括號裡從

t^{98}

到

t^{0}

共

99

項，不是

98

項，也不是

100

項。

第 3 題答案 (2)。

⟨(2 x - 1)^{n} ⟩

是公比

r = 2 x - 1

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

。

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

：

∣ r ∣ < 1

時收斂到

0

，

r = 1

時每一項都是

1

，收斂到

1

；

r = - 1

時是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，發散；

∣ r ∣ > 1

時發散。所以

- 1 < 2 x - 1 \leq 1

，各加

1

得

0 < 2 x \leq 2

，即

0 < x \leq 1

。

卷面的選項 (4) 與 (5) 印的是同一個範圍

2 < x \leq 3

，兩個都不是答案，不影響作答。等號在右邊（

r = 1

可以、

r = - 1

不行），和無窮等比級數的收斂條件

∣ r ∣ < 1

不一樣。

第 4 題答案 (4)。兩個根式各自都趨向無限大，不能直接相減，先有理化：

n + 2 - n = \frac{( n + 2 - n ) ( n + 2 + n )}{n + 2 + n} = \frac{( n + 2 ) - n}{n + 2 + n} = \frac{2}{n + 2 + n}

。分子是定值

2

，分母趨向無限大，所以極限為

0

。

第 5 題答案 (5)。令

y = \frac{x - 1}{2 x - 1}

，把

x

用

y

表示：

y (2 x - 1) = x - 1

，

2 x y - y = x - 1

，

x (2 y - 1) = y - 1

，

x = \frac{y - 1}{2 y - 1}

（

y \neq = \frac{1}{2}

）。把

x

、

y

對調，反函數是

y = \frac{x - 1}{2 x - 1}

，

x \neq = \frac{1}{2}

，和

f (x)

本身是同一個函數，就是

g_{5} (x)

。檢查：

f (f (x)) = \frac{\frac{x - 1}{2 x - 1} - 1}{2 \cdot \frac{x - 1}{2 x - 1} - 1} = \frac{( x - 1 ) - ( 2 x - 1 )}{2 ( x - 1 ) - ( 2 x - 1 )} = \frac{- x}{- 1} = x

。

f (x)

的值不會等於

\frac{1}{2}

（

\frac{x - 1}{2 x - 1} = \frac{1}{2}

會得到

2 x - 2 = 2 x - 1

，無解），所以反函數的定義域正好是

x \neq = \frac{1}{2}

。反函數和原函數相同並不奇怪，

y = \frac{1}{x}

也是這樣。

等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於等於 1；兩項都趨向無限大時先合併或有理化，再取極限。

02多選 6～7：收斂與發散的觀念、奇偶函數、左右極限、反函數

第 6 題答案 (2)(5)。(1) 錯。取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，則

a_{n} b_{n} = 1

，

⟨ a_{n} b_{n} ⟩

收斂到

1

，但

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，發散。(2) 對。

a_{n}^{3} = a_{n} \cdot a_{n} \cdot a_{n}

，三個因式的極限都存在，由極限的乘法性質，

n \to \infty lim a_{n}^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0

。(3) 錯。取

a_{n} = - 1

，則

a_{n}^{4} = 1

收斂到

1

，但

⟨ a_{n} ⟩

收斂到

- 1

；取

a_{n} = (- 1)^{n}

，

⟨ a_{n} ⟩

甚至發散。(4) 錯。

⟨ r^{n} ⟩

的收斂條件是

- 1 < r \leq 1

：

r = 1

時每一項都是

1

，收斂；

r = - 1

時是

- 1, 1, - 1, \dots

，發散。選項把等號放錯邊。(5) 對。看它的另一種說法：若

⟨ a_{n} ⟩

收斂到

α

，則

⟨ c \cdot a_{n} ⟩

收斂到

c α

。所以

⟨ c \cdot a_{n} ⟩

發散時，

⟨ a_{n} ⟩

不可能收斂，一定發散。

(1)(3) 是把極限的運算性質倒過來用：性質說的是「各個數列收斂，則積、次方也收斂」，反過來不成立。(5) 的條件

c \neq = 0

在這個方向其實用不到；要說「

⟨ a_{n} ⟩

發散則

⟨ c \cdot a_{n} ⟩

發散」時才需要

c \neq = 0

。

第 7 題答案 (1)(2)。(1) 對。

f (- x) = 2022 (- x) + sin (- x) = - 2022 x - sin x = - f (x)

，

f

是奇函數，圖形對稱於原點。(2) 對。

lo g 2022

是常數，

g (- x) = (- x)^{2022} + lo g 2022 = x^{2022} + lo g 2022 = g (x)

（

2022

是偶數），

g

是偶函數。(3) 錯。

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，右極限是

1

；

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{- x}{x} = - 1

，左極限是

- 1

。左右極限不相等，極限不存在。(4) 錯。高斯符號

[x]

表示不大於

x

的最大整數。

0 < x < 1

時

[x] = 0

，右極限是

0

；

- 1 < x < 0

時

[x] = - 1

，左極限是

- 1

，不是

0

。(5) 錯。

h (x) = 1 0^{x}

的反函數是

y = lo g_{10} x = lo g x

，底數要相同；

k (x) = lo g_{2} x

是

y = 2^{x}

的反函數。例如

h (1) = 10

，但

k (10) = lo g_{2} 10 \neq = 1

。

(2) 的

lo g 2022

不含

x

，只是把圖形上下平移，不影響對稱於

y

軸。(4) 負的小數取高斯符號是往下取：

[- 0.1] = - 1

，不是

0

。

極限的運算性質只能從「各自收斂」推到「和、積收斂」，不能倒過來；判斷極限存在要左右兩邊都看。

03選填 A～E（第 8～12 題）：夾擠定理、分式型與指數型的極限、無窮等比級數

第 8 題

x \to 0

時

sin \frac{1}{x}

與

cos \frac{1}{x}

一直在

- 1

與

1

之間振盪，本身沒有極限，所以不能把乘積拆開各自取極限。但它們有界：

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

，相加得

- 2 \leq sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x} \leq 2

。乘上

x

後取絕對值：

x (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x}) \leq 2∣ x ∣

，也就是

- 2∣ x ∣ \leq x (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x}) \leq 2∣ x ∣

。

x \to 0

時

- 2∣ x ∣

與

2∣ x ∣

都趨近

0

，由夾擠定理，所求極限為

0

。

不可以寫成「

0

乘以不存在等於不存在」。一個趨近

0

的量乘上一個有界的量，結果趨近

0

。

第 9 題分子分母同除以最高次項

n^{3}

：

\frac{2 n ^{3} + 3 n}{n ^{3} - 4 n ^{2} + 4} = \frac{2 + \frac{3}{n ^{2}}}{1 - \frac{4}{n} + \frac{4}{n ^{3}}}

。

n \to \infty

時

\frac{3}{n ^{2}}

、

\frac{4}{n}

、

\frac{4}{n ^{3}}

都趨近

0

，極限

= \frac{2 + 0}{1 - 0 + 0} = 2

。

第 10 題分子分母同除以底數最大的

5^{n}

：

\frac{2 ^{n} + 3 ^{n} + 5 ^{n}}{5 ^{n + 1}} = \frac{( \frac{2}{5} ) ^{n} + ( \frac{3}{5} ) ^{n} + 1}{5}

。

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{5}

的絕對值都小於

1

，所以

(\frac{2}{5})^{n} \to 0

、

(\frac{3}{5})^{n} \to 0

，極限

= \frac{0 + 0 + 1}{5} = \frac{1}{5}

。

分母是

5^{n + 1} = 5 \cdot 5^{n}

，除以

5^{n}

之後還剩一個

5

。

第 11 題一般項

\frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{5 ^{n}} = (\frac{2}{5})^{n} + (\frac{3}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{5}

的絕對值都小於

1

，各自收斂，可以分開求和。

n = 1 \sum \infty (\frac{2}{5})^{n}

的首項是

\frac{2}{5}

，和為

\frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{2}{3}

；

n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n}

的首項是

\frac{3}{5}

，和為

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{3}{2}

。所求

= \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}

。

求和從

n = 1

開始，首項是

\frac{2}{5}

與

\frac{3}{5}

，不是

1

。

第 12 題分子用立方和公式：

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}

。所以原式

= \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{4}} = \frac{1}{4} (\frac{n + 1}{n})^{2} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^{2}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

，極限

= \frac{1}{4}

。

不可以拆成

\frac{1 ^{3}}{n ^{4}} + \frac{2 ^{3}}{n ^{4}} + \dots + \frac{n ^{3}}{n ^{4}}

後說每一項都趨近

0

所以總和是

0

：項數

n

也跟著變多，極限的加法性質只適用於固定個數的項。

分式型的極限同除以成長最快的那一項；一般項能拆成幾個等比數列的和，就各自求和再相加。

04選填 F～J（第 13～17 題）：無窮等比級數、多項式函數的極限、約去公因式、連續

第 13 題

0.7 + 0.07 + 0.007 + \dots

是首項

0.7 = \frac{7}{10}

、公比

\frac{1}{10}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，收斂。和

= \frac{\frac{7}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{7}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{7}{9}

。

這個級數就是循環小數

0. \overline{7} = 0.777 \dots

，化成分數是

\frac{7}{9}

。

第 14 題先看每一項的樣子：

0.3 = \frac{3}{10}

，

0.033 = \frac{33}{1 0 ^{3}}

，

0.00333 = \frac{333}{1 0 ^{5}}

。第

n

項的分子是

n

個

3

，也就是

\frac{1 0 ^{n} - 1}{3}

；分母是

1 0^{2 n - 1}

。所以第

n

項

= \frac{1 0 ^{n} - 1}{3 \cdot 1 0 ^{2 n - 1}} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1 0 ^{n} - 1}{1 0 ^{2 n}} = \frac{10}{3} [(\frac{1}{10})^{n} - (\frac{1}{100})^{n}]

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{1}{10}

、

\frac{1}{100}

的絕對值都小於

1

，各自收斂：

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{10})^{n} = \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9}

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{100})^{n} = \frac{\frac{1}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{1}{99}

。所求

= \frac{10}{3} (\frac{1}{9} - \frac{1}{99}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{11 - 1}{99} = \frac{10}{3} \cdot \frac{10}{99} = \frac{100}{297}

。

這個級數本身不是等比級數（

\frac{0.033}{0.3} = 0.11

，

\frac{0.00333}{0.033} \approx 0.101

，比值不固定），不能直接套

\frac{a}{1 - r}

。

297 = 3^{3} \times 11

與

100

互質，

\frac{100}{297}

已是最簡分數。

第 15 題

3 x^{2022} + 2 x^{2019} + 1

是多項式函數，多項式函數在每一點都連續，極限等於函數值。

x = 0

代入：

3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 = 1

。

第 16 題

x \to 1

時兩個分式的分母都趨近

0

，各自沒有極限，要先通分。

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

，所以

\frac{3}{x ^{2} + x - 2} - \frac{x}{x - 1} = \frac{3 - x ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{- x ^{2} - 2 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{- ( x - 1 ) ( x + 3 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )}

。

x \neq = 1

時約去

x - 1

，得

- \frac{x + 3}{x + 2}

。

x \to 1

時趨近

- \frac{4}{3}

。

分子

3 - x (x + 2) = - (x^{2} + 2 x - 3) = - (x - 1) (x + 3)

，前面的負號容易漏掉。

第 17 題

f (2) = 2^{2} + 2 - 3 = 3

，右極限

x \to 2^{+} lim (x^{2} + x - 3) = 3

，左極限

x \to 2^{-} lim (x + a) = 2 + a

。在

x = 2

連續，左極限要等於右極限也等於

f (2)

：

2 + a = 3

，

a = 1

。

不是等比的級數，先寫出一般項，看能不能拆成等比級數；兩個分式的分母都趨近 0 時，先通分再約去公因式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

平鎮高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

這份卷最容易失分的是兩題多選與選填 G。多選第 6 題：兩個數列的乘積收斂，不代表各自收斂；等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於等於 1，等號在右邊。多選第 7 題：絕對值除以本身在 0 的左右極限是負 1 與 1，高斯符號在 0 的左極限是負 1，兩個極限都不存在。選填 G（第 14 題）：這個級數不是等比級數，要先寫出第 n 項，再拆成公比十分之一與百分之一的兩個等比級數，答案是 297 分之 100。單選第 2 題：約去公因式後括號裡有 99 項，答案是 9900。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自平鎮高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：選修數學甲（上）單元 1～單元 2（數列的極限、無窮等比級數、函數的概念、函數的極限、連續函數）

平鎮高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題：（每題 6 分；總分 30 分。）

n \to \infty lim \frac{π ^{π}}{n ^{n}} =

？

(1) $0$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $π$
(5) 極限不存在

x \to - 4 lim \frac{100 ( x + 3 ) ^{99} + 100}{x + 4} =

？

(1) $100$
(2) $100!$
(3) $9900$
(4) $10000$
(5) 極限不存在

已知無窮數列

⟨(2 x - 1)^{n} ⟩

為收斂數列，則

x

的範圍是？

(1) $- 1 < x \leq 0$
(2) $0 < x \leq 1$
(3) $1 < x \leq 2$
(4) $2 < x \leq 3$
(5) $2 < x \leq 3$ （卷面選項 (4) 與 (5) 印的相同）

n \to \infty lim (n + 2 - n) =

？

(1) $- 1$
(2) $1$
(3) $2$
(4) $0$
(5) 極限不存在

f (x) = \frac{x - 1}{2 x - 1}

，其中

x \neq = \frac{1}{2}

。則下列何者為函數

f (x)

的反函數？

(1) $g_{1} (x) = \frac{2 x + 1}{x + 1}$ ，其中 $x \neq = - 1$
(2) $g_{2} (x) = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ ，其中 $x \neq = 1$
(3) $g_{3} (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ ，其中 $x \neq = - 1$
(4) $g_{4} (x) = \frac{4 x - 1}{2 x - 1}$ ，其中 $x \neq = \frac{1}{2}$
(5) $g_{5} (x) = \frac{x - 1}{2 x - 1}$ ，其中 $x \neq = \frac{1}{2}$

請選出正確的選項？

(1) 若 $⟨ a_{n} \cdot b_{n} ⟩$ 為收斂數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 與 $⟨ b_{n} ⟩$ 為收斂數列
(2) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $0$ ，則數列 $⟨ a_{n}^{3} ⟩$ 收斂於 $0$
(3) 若數列 $⟨ a_{n}^{4} ⟩$ 收斂於 $1$ ，則數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 收斂於 $1$
(4) 等比數列 $⟨ r^{n} ⟩$ 的收斂條件為 $- 1 \leq r < 1$
(5) 若 $⟨ c \cdot a_{n} ⟩$ 為發散數列，則 $⟨ a_{n} ⟩$ 為發散數列，其中 $c$ 為不為零的常數。

請選出正確的選項？

(1) $f (x) = 2022 x + sin x$ 的圖形對稱於原點
(2) $g (x) = x^{2022} + lo g 2022$ 為偶函數
(3) $x \to 0 lim \frac{∣ x ∣}{x} = 1$
(4) $x \to 0^{-} lim [x] = x \to 0^{+} lim [x] = 0$ ，其中 $[]$ 為高斯符號
(5) $h (x) = 1 0^{x}$ 與 $k (x) = lo g_{2} x$ 互為反函數。

三、選填題：（每格 6 分；總分 60 分。）

A、請計算

x \to 0 x \neq = 0 lim [x (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x})] =

____。（原卷答案格：一格）

B、請計算

n \to \infty lim \frac{2 n ^{3} + 3 n}{n ^{3} - 4 n ^{2} + 4} =

____。（原卷答案格：一格）

C、請計算

n \to \infty lim \frac{2 ^{n} + 3 ^{n} + 5 ^{n}}{5 ^{n + 1}} =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

D、請計算

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{5 ^{n}} =

____。（原卷答案格：分數，分子兩格、分母一格）

E、請計算

n \to \infty lim \frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \dots + n ^{3}}{n ^{4}} =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

F、請計算

0.7 + 0.07 + 0.007 + \dots =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各一格）

G、請計算

0.3 + 0.033 + 0.00333 + \dots =

____。（原卷答案格：分數，分子、分母各三格）

H、請計算

x \to 0 lim (3 x^{2022} + 2 x^{2019} + 1) =

____。（原卷答案格：一格）

I、請計算

x \to 1 lim (\frac{3}{x ^{2} + x - 2} - \frac{x}{x - 1}) =

____。（原卷為畫卡作答的答案格）

J、已知函數

f (x) = {x^{2} + x - 3, x + a, 若 x \geq 2 若 x < 2

在

x = 2

處連續，則

a =

____。（原卷答案格：一格）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(3)

第 3 題(2)

第 4 題(4)

第 5 題(5)

第 6 題(2)(5)

第 7 題(1)(2)

第 8 題

0

第 9 題

2

第 10 題

\frac{1}{5}

第 11 題

\frac{13}{6}

第 12 題

\frac{1}{4}

第 13 題

\frac{7}{9}

第 14 題

\frac{100}{297}

第 15 題

1

第 16 題

- \frac{4}{3}

第 17 題

1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01單選 1～5：數列的極限、約去公因式、等比數列的收斂條件、反函數

第 1 題答案 (1)。分子

π^{π}

是一個固定的正數（約

36.5

），和

n

無關。分母

n^{n}

在

n \geq 1

時滿足

n^{n} \geq n

，所以

0 < \frac{π ^{π}}{n ^{n}} \leq \frac{π ^{π}}{n}

。

n \to \infty

時

\frac{π ^{π}}{n} \to 0

，由夾擠定理，原式的極限為

0

。

卷面分子的指數很小，本頁讀作

π

。若把分子讀成

π^{n}

，結論相同：

n \geq 4

時

0 < \frac{π ^{n}}{n ^{n}} = (\frac{π}{n})^{n} \leq (\frac{π}{4})^{n}

，而

\frac{π}{4} < 1

，

(\frac{π}{4})^{n} \to 0

，極限一樣是

0

。

第 2 題答案 (3)。

x = - 4

代入，分子

= 100 (- 1)^{99} + 100 = 0

，分母也是

0

，要先約分。令

t = x + 3

，

x \to - 4

時

t \to - 1

，而

x + 4 = t + 1

，原式

= t \to - 1 lim \frac{100 ( t ^{99} + 1 )}{t + 1}

。

99

是奇數，

t^{99} + 1 = (t + 1) (t^{98} - t^{97} + t^{96} - \dots - t + 1)

，約去

t + 1

後剩下

100 (t^{98} - t^{97} + t^{96} - \dots - t + 1)

，括號內共

99

項。

t = - 1

代入：偶數次方的項是

1

，奇數次方的項前面有負號，

- (- 1) = 1

，每一項都是

1

，括號的值是

99

。極限

= 100 \times 99 = 9900

。

括號裡從

t^{98}

到

t^{0}

共

99

項，不是

98

項，也不是

100

項。

第 3 題答案 (2)。

⟨(2 x - 1)^{n} ⟩

是公比

r = 2 x - 1

的等比數列

⟨ r^{n} ⟩

。

⟨ r^{n} ⟩

收斂的條件是

- 1 < r \leq 1

：

∣ r ∣ < 1

時收斂到

0

，

r = 1

時每一項都是

1

，收斂到

1

；

r = - 1

時是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，發散；

∣ r ∣ > 1

時發散。所以

- 1 < 2 x - 1 \leq 1

，各加

1

得

0 < 2 x \leq 2

，即

0 < x \leq 1

。

卷面的選項 (4) 與 (5) 印的是同一個範圍

2 < x \leq 3

，兩個都不是答案，不影響作答。等號在右邊（

r = 1

可以、

r = - 1

不行），和無窮等比級數的收斂條件

∣ r ∣ < 1

不一樣。

第 4 題答案 (4)。兩個根式各自都趨向無限大，不能直接相減，先有理化：

n + 2 - n = \frac{( n + 2 - n ) ( n + 2 + n )}{n + 2 + n} = \frac{( n + 2 ) - n}{n + 2 + n} = \frac{2}{n + 2 + n}

。分子是定值

2

，分母趨向無限大，所以極限為

0

。

第 5 題答案 (5)。令

y = \frac{x - 1}{2 x - 1}

，把

x

用

y

表示：

y (2 x - 1) = x - 1

，

2 x y - y = x - 1

，

x (2 y - 1) = y - 1

，

x = \frac{y - 1}{2 y - 1}

（

y \neq = \frac{1}{2}

）。把

x

、

y

對調，反函數是

y = \frac{x - 1}{2 x - 1}

，

x \neq = \frac{1}{2}

，和

f (x)

本身是同一個函數，就是

g_{5} (x)

。檢查：

f (f (x)) = \frac{\frac{x - 1}{2 x - 1} - 1}{2 \cdot \frac{x - 1}{2 x - 1} - 1} = \frac{( x - 1 ) - ( 2 x - 1 )}{2 ( x - 1 ) - ( 2 x - 1 )} = \frac{- x}{- 1} = x

。

f (x)

的值不會等於

\frac{1}{2}

（

\frac{x - 1}{2 x - 1} = \frac{1}{2}

會得到

2 x - 2 = 2 x - 1

，無解），所以反函數的定義域正好是

x \neq = \frac{1}{2}

。反函數和原函數相同並不奇怪，

y = \frac{1}{x}

也是這樣。

等比數列收斂的條件是公比大於負 1 且小於等於 1；兩項都趨向無限大時先合併或有理化，再取極限。

02多選 6～7：收斂與發散的觀念、奇偶函數、左右極限、反函數

第 6 題答案 (2)(5)。(1) 錯。取

a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n}

，則

a_{n} b_{n} = 1

，

⟨ a_{n} b_{n} ⟩

收斂到

1

，但

⟨ a_{n} ⟩

、

⟨ b_{n} ⟩

都是

- 1, 1, - 1, 1, \dots

，發散。(2) 對。

a_{n}^{3} = a_{n} \cdot a_{n} \cdot a_{n}

，三個因式的極限都存在，由極限的乘法性質，

n \to \infty lim a_{n}^{3} = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0

。(3) 錯。取

a_{n} = - 1

，則

a_{n}^{4} = 1

收斂到

1

，但

⟨ a_{n} ⟩

收斂到

- 1

；取

a_{n} = (- 1)^{n}

，

⟨ a_{n} ⟩

甚至發散。(4) 錯。

⟨ r^{n} ⟩

的收斂條件是

- 1 < r \leq 1

：

r = 1

時每一項都是

1

，收斂；

r = - 1

時是

- 1, 1, - 1, \dots

，發散。選項把等號放錯邊。(5) 對。看它的另一種說法：若

⟨ a_{n} ⟩

收斂到

α

，則

⟨ c \cdot a_{n} ⟩

收斂到

c α

。所以

⟨ c \cdot a_{n} ⟩

發散時，

⟨ a_{n} ⟩

不可能收斂，一定發散。

(1)(3) 是把極限的運算性質倒過來用：性質說的是「各個數列收斂，則積、次方也收斂」，反過來不成立。(5) 的條件

c \neq = 0

在這個方向其實用不到；要說「

⟨ a_{n} ⟩

發散則

⟨ c \cdot a_{n} ⟩

發散」時才需要

c \neq = 0

。

第 7 題答案 (1)(2)。(1) 對。

f (- x) = 2022 (- x) + sin (- x) = - 2022 x - sin x = - f (x)

，

f

是奇函數，圖形對稱於原點。(2) 對。

lo g 2022

是常數，

g (- x) = (- x)^{2022} + lo g 2022 = x^{2022} + lo g 2022 = g (x)

（

2022

是偶數），

g

是偶函數。(3) 錯。

x > 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = 1

，右極限是

1

；

x < 0

時

\frac{∣ x ∣}{x} = \frac{- x}{x} = - 1

，左極限是

- 1

。左右極限不相等，極限不存在。(4) 錯。高斯符號

[x]

表示不大於

x

的最大整數。

0 < x < 1

時

[x] = 0

，右極限是

0

；

- 1 < x < 0

時

[x] = - 1

，左極限是

- 1

，不是

0

。(5) 錯。

h (x) = 1 0^{x}

的反函數是

y = lo g_{10} x = lo g x

，底數要相同；

k (x) = lo g_{2} x

是

y = 2^{x}

的反函數。例如

h (1) = 10

，但

k (10) = lo g_{2} 10 \neq = 1

。

(2) 的

lo g 2022

不含

x

，只是把圖形上下平移，不影響對稱於

y

軸。(4) 負的小數取高斯符號是往下取：

[- 0.1] = - 1

，不是

0

。

極限的運算性質只能從「各自收斂」推到「和、積收斂」，不能倒過來；判斷極限存在要左右兩邊都看。

03選填 A～E（第 8～12 題）：夾擠定理、分式型與指數型的極限、無窮等比級數

第 8 題

x \to 0

時

sin \frac{1}{x}

與

cos \frac{1}{x}

一直在

- 1

與

1

之間振盪，本身沒有極限，所以不能把乘積拆開各自取極限。但它們有界：

- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1

，

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

，相加得

- 2 \leq sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x} \leq 2

。乘上

x

後取絕對值：

x (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x}) \leq 2∣ x ∣

，也就是

- 2∣ x ∣ \leq x (sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x}) \leq 2∣ x ∣

。

x \to 0

時

- 2∣ x ∣

與

2∣ x ∣

都趨近

0

，由夾擠定理，所求極限為

0

。

不可以寫成「

0

乘以不存在等於不存在」。一個趨近

0

的量乘上一個有界的量，結果趨近

0

。

第 9 題分子分母同除以最高次項

n^{3}

：

\frac{2 n ^{3} + 3 n}{n ^{3} - 4 n ^{2} + 4} = \frac{2 + \frac{3}{n ^{2}}}{1 - \frac{4}{n} + \frac{4}{n ^{3}}}

。

n \to \infty

時

\frac{3}{n ^{2}}

、

\frac{4}{n}

、

\frac{4}{n ^{3}}

都趨近

0

，極限

= \frac{2 + 0}{1 - 0 + 0} = 2

。

第 10 題分子分母同除以底數最大的

5^{n}

：

\frac{2 ^{n} + 3 ^{n} + 5 ^{n}}{5 ^{n + 1}} = \frac{( \frac{2}{5} ) ^{n} + ( \frac{3}{5} ) ^{n} + 1}{5}

。

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{5}

的絕對值都小於

1

，所以

(\frac{2}{5})^{n} \to 0

、

(\frac{3}{5})^{n} \to 0

，極限

= \frac{0 + 0 + 1}{5} = \frac{1}{5}

。

分母是

5^{n + 1} = 5 \cdot 5^{n}

，除以

5^{n}

之後還剩一個

5

。

第 11 題一般項

\frac{2 ^{n} + 3 ^{n}}{5 ^{n}} = (\frac{2}{5})^{n} + (\frac{3}{5})^{n}

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{2}{5}

、

\frac{3}{5}

的絕對值都小於

1

，各自收斂，可以分開求和。

n = 1 \sum \infty (\frac{2}{5})^{n}

的首項是

\frac{2}{5}

，和為

\frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{2}{3}

；

n = 1 \sum \infty (\frac{3}{5})^{n}

的首項是

\frac{3}{5}

，和為

\frac{\frac{3}{5}}{1 - \frac{3}{5}} = \frac{3}{2}

。所求

= \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}

。

求和從

n = 1

開始，首項是

\frac{2}{5}

與

\frac{3}{5}

，不是

1

。

第 12 題分子用立方和公式：

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}

。所以原式

= \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{4}} = \frac{1}{4} (\frac{n + 1}{n})^{2} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^{2}

。

n \to \infty

時

\frac{1}{n} \to 0

，極限

= \frac{1}{4}

。

不可以拆成

\frac{1 ^{3}}{n ^{4}} + \frac{2 ^{3}}{n ^{4}} + \dots + \frac{n ^{3}}{n ^{4}}

後說每一項都趨近

0

所以總和是

0

：項數

n

也跟著變多，極限的加法性質只適用於固定個數的項。

分式型的極限同除以成長最快的那一項；一般項能拆成幾個等比數列的和，就各自求和再相加。

04選填 F～J（第 13～17 題）：無窮等比級數、多項式函數的極限、約去公因式、連續

第 13 題

0.7 + 0.07 + 0.007 + \dots

是首項

0.7 = \frac{7}{10}

、公比

\frac{1}{10}

的無窮等比級數，公比的絕對值小於

1

，收斂。和

= \frac{\frac{7}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{7}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{7}{9}

。

這個級數就是循環小數

0. \overline{7} = 0.777 \dots

，化成分數是

\frac{7}{9}

。

第 14 題先看每一項的樣子：

0.3 = \frac{3}{10}

，

0.033 = \frac{33}{1 0 ^{3}}

，

0.00333 = \frac{333}{1 0 ^{5}}

。第

n

項的分子是

n

個

3

，也就是

\frac{1 0 ^{n} - 1}{3}

；分母是

1 0^{2 n - 1}

。所以第

n

項

= \frac{1 0 ^{n} - 1}{3 \cdot 1 0 ^{2 n - 1}} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1 0 ^{n} - 1}{1 0 ^{2 n}} = \frac{10}{3} [(\frac{1}{10})^{n} - (\frac{1}{100})^{n}]

。兩個無窮等比級數的公比

\frac{1}{10}

、

\frac{1}{100}

的絕對值都小於

1

，各自收斂：

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{10})^{n} = \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9}

，

n = 1 \sum \infty (\frac{1}{100})^{n} = \frac{\frac{1}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{1}{99}

。所求

= \frac{10}{3} (\frac{1}{9} - \frac{1}{99}) = \frac{10}{3} \cdot \frac{11 - 1}{99} = \frac{10}{3} \cdot \frac{10}{99} = \frac{100}{297}

。

這個級數本身不是等比級數（

\frac{0.033}{0.3} = 0.11

，

\frac{0.00333}{0.033} \approx 0.101

，比值不固定），不能直接套

\frac{a}{1 - r}

。

297 = 3^{3} \times 11

與

100

互質，

\frac{100}{297}

已是最簡分數。

第 15 題

3 x^{2022} + 2 x^{2019} + 1

是多項式函數，多項式函數在每一點都連續，極限等於函數值。

x = 0

代入：

3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 = 1

。

第 16 題

x \to 1

時兩個分式的分母都趨近

0

，各自沒有極限，要先通分。

x^{2} + x - 2 = (x - 1) (x + 2)

，所以

\frac{3}{x ^{2} + x - 2} - \frac{x}{x - 1} = \frac{3 - x ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{- x ^{2} - 2 x + 3}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{- ( x - 1 ) ( x + 3 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )}

。

x \neq = 1

時約去

x - 1

，得

- \frac{x + 3}{x + 2}

。

x \to 1

時趨近

- \frac{4}{3}

。

分子

3 - x (x + 2) = - (x^{2} + 2 x - 3) = - (x - 1) (x + 3)

，前面的負號容易漏掉。

第 17 題

f (2) = 2^{2} + 2 - 3 = 3

，右極限

x \to 2^{+} lim (x^{2} + x - 3) = 3

，左極限

x \to 2^{-} lim (x + a) = 2 + a

。在

x = 2

連續，左極限要等於右極限也等於

f (2)

：

2 + a = 3

，

a = 1

。

不是等比的級數，先寫出一般項，看能不能拆成等比級數；兩個分式的分母都趨近 0 時，先通分再約去公因式。

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02多選 6～7：收斂與發散的觀念、奇偶函數、左右極限、反函數

03選填 A～E（第 8～12 題）：夾擠定理、分式型與指數型的極限、無窮等比級數

04選填 F～J（第 13～17 題）：無窮等比級數、多項式函數的極限、約去公因式、連續

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