段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數、函數的奇偶性與合成、高斯符號與分段函數、函數的極限與連續）

平鎮高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 平鎮高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 平鎮高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題要選出錯誤的敘述，除法性質少了分母的極限不為零這個條件；單選第 5 題要用定義逐一檢查，常數函數與不通過原點的直線都不是奇函數；選填 D（本頁第 10 題）指數上的加五與加二要先拆成係數，答案是負的；選填 G（第 13 題）兩個分式不能各自取極限，要先通分；選填 J（第 17 題）先算出前幾個矩形的對角線，確認公比後再求和。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 6 題（30 分，每題 5 分）、選填題 A 至 M 共 14 小題（70 分，每小題 5 分）；全卷以答案卡作答。卷面的大題編號由「一」直接跳到「三」，照卷面原樣。原卷選填題號 A～M，本頁編為第 7～20 題；H 有兩小題，是第 14、15 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、單選題（占 30 分）｜說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

下列無窮數列何者是發散數列？

(1) $⟨ - 3 ⟩$
(2) $⟨ (\frac{1001}{1000})^{n} ⟩$
(3) $⟨ - \frac{1}{n} ⟩$
(4) $⟨ 1 + \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(5) $⟨ (2 - 1)^{n} ⟩$

已知

x \neq = 0

，不等式

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

恆成立，求

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x}

的值。

(1) $1$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $2$
(5) 不存在

無窮數列

⟨ (\frac{3}{2})^{n} ⟩

的極限為

(1) $\frac{3}{2}$
(2) $1$
(3) $0$
(4) $- 1$
(5) 不存在

設

c

為常數，且函數

f (x)

與

g (x)

在

x = a

的極限分別為

L

與

M

，即

x \to a lim f (x) = L

，

x \to a lim g (x) = M

。關於極限的性質，下列敘述何者是錯誤的？

(1) $x \to a lim (f (x) + g (x)) = L + M$
(2) $x \to a lim (f (x) - g (x)) = L - M$
(3) $x \to a lim (c f (x)) = c L$
(4) $x \to a lim (f (x) g (x)) = L M$
(5) $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{x \to a lim f ( x )}{x \to a lim g ( x )} = \frac{L}{M}$

下列哪一個函數是奇函數？

(1) 函數 $f_{1} (x) = - 3$
(2) 函數 $f_{2} (x) = ∣ x ∣$
(3) 函數 $f_{3} (x) = 3 x + 1$
(4) 函數 $f_{4} (x) = x^{2}$
(5) 函數 $f_{5} (x) = sin x$

關於函數

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

（

x \neq = 0

），選出下列敘述正確的選項？

(1) $x \to 1 lim f (x) = x \to 2 lim f (x)$
(2) $x \to 1 lim f (x) = x \to 0 lim f (x)$
(3) $x \to - 1 lim f (x) = x \to 0 lim f (x)$
(4) $x \to - 1 lim f (x) < x \to 0 lim f (x)$
(5) $x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{+} lim f (x)$

三、選填題（占 70 分）｜說明：1. 第 A 至 M 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號 7–43。每小題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

若無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

的每一項均滿足

3 n^{2} - 2 n + 4 \leq 5 n^{2} \times c_{n} \leq 3 n^{2} + 2 n + 4

，則

n \to \infty lim c_{n} =

____。（原卷答案格是分數

\frac{□}{□}

）

求無窮等比級數

30 + 18 + \frac{54}{5} + \frac{162}{25} + \dots =

____。

求

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2}

的極限為 ____。

試求

n \to \infty lim \frac{2 ^{n + 5} - 3 ^{n + 2}}{5 ( 3 ^{n} )}

的值為 ____。（原卷答案格是

□ \frac{□}{□}

三格）

已知

S_{n} = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}

，求

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{3 ^{n}} =

____。

求

x \to 0 lim (\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}) =

____。

求

x \to 3 lim (\frac{x - 1}{x - 3} - \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - x - 6}) =

____。（原卷答案格是分數

\frac{□}{□}

）

選填 H（第 14～15 題）　依目前臺中市的計程車車資計費方式為：前

1500

公尺，基本收費

85

元，超過

1500

公尺的部分，每

200

公尺加收

5

元，不足

200

公尺以

200

公尺計算。已知搭乘

x

公尺所需支付的車資為

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, 85 - 5 \times ([\frac{b - x}{200}]), 當 0 < x \leq 1500 當 x > 1500

元，其中

a, b

為實數，符號

[]

為高斯符號，回答下列問題。

(1) 實數

(a, b) =

( ____ , ____ )。

(2) 車資

300

元最多可搭乘 ____ 公尺。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 2 x + 3, - 2 x + a, 當 x \geq 0 當 x < 0

在

x = 0

處連續，求實數

a

的值

=

____。

將矩形

A B C D

等分成兩個小矩形，並將左邊的矩形編號為 (I)；接著，再將右半邊的矩形等分成兩個小矩形，並將上面的矩形編號為 (II)。如此繼續下去，可得到無窮多個矩形 (III), (IV), (V), …，如圖 (a) 所示。把圖 (a) 中每個矩形連接一條對角線，如圖 (b) 所示。設

\overline{A B} = 22

且

\overline{A D} = 2

。求這些無窮多個矩形對角線長度的總和

=

____。（原卷答案格的形式是

□ □ + □ 6

）

載入中...

已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 7

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

求

k = 1 \sum 10 k (k + 2)

的值

=

____。

已知函數

f (x) = x^{2} - 1

，

g (x) = x + 1

，求合成函數

(g \circ f) (x) =

____

x^{2} +

____

x +

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(3)

第 4 題(5)

第 5 題(5)

第 6 題(1)

第 7 題

\frac{3}{5}

第 8 題

75

第 9 題

3

第 10 題

- \frac{9}{5}

第 11 題

0

第 12 題

- 2

第 13 題

\frac{1}{5}

第 14 題

(85, 1500)

第 15 題

10100

第 16 題

3

第 17 題

23 + 26

第 18 題

(5, - 6)

第 19 題

495

第 20 題

x^{2}

（三格依序填

1

、

0

、

0

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、3 題：數列的收斂與發散

第 1 題答案 (2)。(1) 每一項都是

- 3

的常數數列，極限是

- 3

，收斂。(2) 公比

\frac{1001}{1000} > 1

，

(\frac{1001}{1000})^{n}

會愈來愈大、沒有上限，發散。(3)

- \frac{1}{n} \to 0

，收斂。(4)

1 + \frac{1}{n ^{2}} \to 1

，收斂。(5)

2 - 1 \approx 0.414

，絕對值小於

1

，

(2 - 1)^{n} \to 0

，收斂。

\frac{1001}{1000}

只比

1

大一點點，前面幾項幾乎不動，但公比大於

1

的等比數列一定發散。

第 3 題答案 (3)。這是公比

r = \frac{3}{2} \approx 0.866

的等比數列，

∣ r ∣ < 1

，所以

(\frac{3}{2})^{n} \to 0

。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

：

∣ r ∣ < 1

時極限是

0

，

r = 1

時極限是

1

，其餘情形發散。極限不是第一項

\frac{3}{2}

。

02單選第 2、4、6 題：函數的極限

第 2 題答案 (3)。把

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

各項乘上

∣ x ∣

（

∣ x ∣ > 0

，不等號方向不變），得

- ∣ x ∣ \leq ∣ x ∣ cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

；而

x cos \frac{1}{x}

與

∣ x ∣ cos \frac{1}{x}

只可能差一個正負號，所以同樣有

- ∣ x ∣ \leq x cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

- ∣ x ∣ \to 0

、

∣ x ∣ \to 0

，由夾擠定理，

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x} = 0

。

cos \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時沒有極限，所以不能拆成兩個極限相乘；要用夾擠定理。

第 4 題答案 (5)。(1)(2)(3)(4) 是極限的加、減、係數積、乘法性質，只要

L

、

M

存在就成立。(5) 的除法性質要多一個條件

M \neq = 0

；題目沒有這個條件，

M = 0

時

\frac{L}{M}

沒有意義，所以這個敘述是錯的。

例：

f (x) = x

、

g (x) = x

、

a = 0

，則

L = M = 0

，

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 1

，但

\frac{L}{M} = \frac{0}{0}

無意義。

第 6 題答案 (1)。

x > 0

時

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

。所以

x \to 1 lim f (x) = 1

、

x \to 2 lim f (x) = 1

、

x \to - 1 lim f (x) = - 1

；在

0

的左極限是

- 1

、右極限是

1

，兩者不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。(1) 兩邊都是

1

，正確。(2)(3)(4) 都用到不存在的

x \to 0 lim f (x)

，不能說相等，也不能比大小，都不正確。(5) 左極限

- 1

不等於右極限

1

，不正確。

極限存在要左極限等於右極限；除法性質要分母的極限不為 0；只知道範圍、不能直接代入時用夾擠定理。

03單選第 5 題、選填 M（第 20 題）：奇函數、合成函數

第 5 題答案 (5)。奇函數要對所有

x

都有

f (- x) = - f (x)

。(1)

f_{1} (- x) = - 3

，而

- f_{1} (x) = 3

，不是。(2)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是偶函數，不是奇函數。(3)

f_{3} (1) = 4

、

f_{3} (- 1) = - 2

，

- 2 \neq = - 4

，不是。(4)

(- x)^{2} = x^{2}

，是偶函數。(5)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。

(3) 的圖形是直線但不通過原點；奇函數的圖形對稱於原點，在

x = 0

有定義時一定有

f (0) = 0

。

第 20 題

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x^{2} - 1) = (x^{2} - 1) + 1 = x^{2}

。寫成

1 x^{2} + 0 x + 0

，三格依序填

1

、

0

、

0

。

g \circ f

是先算

f

再代入

g

。若順序弄反，

(f \circ g) (x) = (x + 1)^{2} - 1 = x^{2} + 2 x

，會填成

1

、

2

、

0

。

04選填 A、D、E（第 7、10、11 題）：數列的極限

第 7 題各項同除以

5 n^{2}

（

5 n^{2} > 0

，不等號方向不變）：

\frac{3}{5} - \frac{2}{5 n} + \frac{4}{5 n ^{2}} \leq c_{n} \leq \frac{3}{5} + \frac{2}{5 n} + \frac{4}{5 n ^{2}}

。

n \to \infty

時左右兩邊都趨近

\frac{3}{5}

，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = \frac{3}{5}

。

第 10 題

2^{n + 5} = 32 \times 2^{n}

，

3^{n + 2} = 9 \times 3^{n}

。分子分母同除以

3^{n}

：

\frac{32 \times 2 ^{n} - 9 \times 3 ^{n}}{5 \times 3 ^{n}} = \frac{32 ( \frac{2}{3} ) ^{n} - 9}{5}

。

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限為

\frac{0 - 9}{5} = - \frac{9}{5}

。

同除以底數最大的

3^{n}

；指數上的

+ 5

、

+ 2

先拆成係數

2^{5} = 32

、

3^{2} = 9

。

第 11 題

S_{n}

是首項

1

、公比

2

、共

n

項的等比級數，

S_{n} = \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 2^{n} - 1

。所以

\frac{S _{n}}{3 ^{n}} = (\frac{2}{3})^{n} - (\frac{1}{3})^{n}

，兩項都趨近

0

，極限為

0

。

S_{n}

的項數會跟著

n

變多，要先求和成一個式子，再取極限。

只知道範圍時用夾擠定理；指數型的分式同除以底數最大的那一項；項數會變的和先收成一個式子。

05選填 B、J、L（第 8、17、19 題）：Σ 求和與無窮等比級數

第 8 題首項

a = 30

，公比

r = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}

（檢查：

18 \times \frac{3}{5} = \frac{54}{5}

，

\frac{54}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{162}{25}

）。

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{30}{1 - \frac{3}{5}} = 30 \times \frac{5}{2} = 75

。

第 17 題矩形 (I) 是

A B C D

的左半邊，長

2

、寬

2

，對角線長

2 + 4 = 6

。矩形 (II) 是右半邊的上半，長

2

、寬

1

，對角線長

2 + 1 = 3

。矩形 (III) 的長

\frac{2}{2}

、寬

1

，對角線長

\frac{1}{2} + 1 = \frac{6}{2}

；矩形 (IV) 的長

\frac{2}{2}

、寬

\frac{1}{2}

，對角線長

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}

。每切兩次，矩形的長與寬都變成原來的

\frac{1}{2}

，對角線也變成

\frac{1}{2}

。所以編號為奇數的對角線是首項

6

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，和為

\frac{6}{1 - \frac{1}{2}} = 26

；編號為偶數的是首項

3

、公比

\frac{1}{2}

，和為

23

。總和

= 23 + 26

。

也可以看成一個級數：

6, 3, \frac{6}{2}, \frac{3}{2}, \dots

每一項都是前一項的

\frac{1}{2}

倍，和為

\frac{6}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12}{2 - 1} = 23 (2 + 1) = 26 + 23

。這裡

\overline{A B} : \overline{A D} = 2 : 1

，對半切之後的矩形與原來的相似，所以公比固定。

第 19 題

k = 1 \sum 10 k (k + 2) = k = 1 \sum 10 k^{2} + 2 k = 1 \sum 10 k

。其中

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = \frac{10 \times 11}{2} = 55

。所以原式

= 385 + 2 \times 55 = 495

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」；重複分割的圖形先算前三、四個，確認公比再套公式。

06選填 C、F、G、I、K（第 9、12、13、16、18 題）：函數的極限與連續

第 9 題直接代入是

\frac{0}{0}

，先因式分解：

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

。

x \to 2

時

x \neq = 2

，可以約去

x - 2

，得

x \to 2 lim (x + 1) = 3

。

第 12 題

x = 0

時兩個分母

x - 1 = - 1

、

x + 1 = 1

都不是

0

，可以直接代入：

\frac{0 + 1}{0 - 1} + \frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1 + (- 1) = - 2

。

第 13 題

x \to 3

時兩個分式的分母都趨近

0

，不能分開算，先通分。

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

，所以原式

= \frac{( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( x ^{2} + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} + x - 2 - x ^{2} - 1}{( x - 3 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 3}{( x - 3 ) ( x + 2 )}

。約去

x - 3

後，極限為

x \to 3 lim \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{5}

。

兩個分式各自的極限都不存在，但相減之後分子也出現

x - 3

，可以約掉。

第 16 題在

x = 0

連續，要左極限＝右極限＝函數值。

f (0) = 0 + 0 + 3 = 3

，右極限用

x^{2} + 2 x + 3

算也是

3

；左極限用

- 2 x + a

算，是

a

。所以

a = 3

。

第 18 題分母趨近

0

而極限存在，分子在

x = 1

的值必為

0

：

1 + a + b = 0

，即

b = - 1 - a

。於是

x^{2} + a x + b = x^{2} + a x - (1 + a) = (x - 1) (x + 1 + a)

，約去

x - 1

後極限為

1 + 1 + a = 2 + a = 7

，得

a = 5

，

b = - 6

。所以

(a, b) = (5, - 6)

。

檢查：

x^{2} + 5 x - 6 = (x - 1) (x + 6)

，

x \to 1

時

x + 6 \to 7

。

代入後是 0 分之 0 就先因式分解或通分，把公因式約掉；分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0。

07選填 H（第 14、15 題）：用高斯符號寫車資

第 14 題

0 < x \leq 1500

時只收基本費，所以

a = 85

。

x > 1500

時，超過的

x - 1500

公尺每

200

公尺算一段、不足一段也算一段。先看第一段：

1500 < x \leq 1700

時車資是

85 + 5 = 90

元，所以

[\frac{b - x}{200}] = - 1

，也就是

- 1 \leq \frac{b - x}{200} < 0

，即

b < x \leq b + 200

。這個範圍要與

1500 < x \leq 1700

相同，所以

b = 1500

。檢查下一段：

1700 < x \leq 1900

時

- 2 \leq \frac{1500 - x}{200} < - 1

，高斯值是

- 2

，車資

85 + 10 = 95

元，符合。故

(a, b) = (85, 1500)

。

高斯符號

[t]

是不超過

t

的最大整數，例如

[- 0.5] = - 1

。「不足

200

公尺以

200

公尺計」是無條件進位，把

\frac{1500 - x}{200}

這個負數取高斯再變號，正好就是進位後的段數。

第 15 題車資

300

元時

85 - 5 [\frac{1500 - x}{200}] = 300

，得

[\frac{1500 - x}{200}] = - 43

，也就是加收了

43

段。

- 43 \leq \frac{1500 - x}{200} < - 42

，即

8400 < x - 1500 \leq 8600

，

9900 < x \leq 10100

。最多可搭乘

10100

公尺。

直接想：

300 - 85 = 215

元，

215 \div 5 = 43

段，剛好坐滿

43

段是

1500 + 43 \times 200 = 10100

公尺；再多一點就進到第

44

段，車資變

305

元。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

平鎮高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題要選出錯誤的敘述，除法性質少了分母的極限不為零這個條件；單選第 5 題要用定義逐一檢查，常數函數與不通過原點的直線都不是奇函數；選填 D（本頁第 10 題）指數上的加五與加二要先拆成係數，答案是負的；選填 G（第 13 題）兩個分式不能各自取極限，要先通分；選填 J（第 17 題）先算出前幾個矩形的對角線，確認公比後再求和。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：極限與函數（數列的極限、Σ 求和、無窮等比級數、函數的奇偶性與合成、高斯符號與分段函數、函數的極限與連續）

平鎮高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

下列無窮數列何者是發散數列？

(1) $⟨ - 3 ⟩$
(2) $⟨ (\frac{1001}{1000})^{n} ⟩$
(3) $⟨ - \frac{1}{n} ⟩$
(4) $⟨ 1 + \frac{1}{n ^{2}} ⟩$
(5) $⟨ (2 - 1)^{n} ⟩$

已知

x \neq = 0

，不等式

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

恆成立，求

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x}

的值。

(1) $1$
(2) $- 1$
(3) $0$
(4) $2$
(5) 不存在

無窮數列

⟨ (\frac{3}{2})^{n} ⟩

的極限為

(1) $\frac{3}{2}$
(2) $1$
(3) $0$
(4) $- 1$
(5) 不存在

設

c

為常數，且函數

f (x)

與

g (x)

在

x = a

的極限分別為

L

與

M

，即

x \to a lim f (x) = L

，

x \to a lim g (x) = M

。關於極限的性質，下列敘述何者是錯誤的？

(1) $x \to a lim (f (x) + g (x)) = L + M$
(2) $x \to a lim (f (x) - g (x)) = L - M$
(3) $x \to a lim (c f (x)) = c L$
(4) $x \to a lim (f (x) g (x)) = L M$
(5) $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{x \to a lim f ( x )}{x \to a lim g ( x )} = \frac{L}{M}$

下列哪一個函數是奇函數？

(1) 函數 $f_{1} (x) = - 3$
(2) 函數 $f_{2} (x) = ∣ x ∣$
(3) 函數 $f_{3} (x) = 3 x + 1$
(4) 函數 $f_{4} (x) = x^{2}$
(5) 函數 $f_{5} (x) = sin x$

關於函數

f (x) = \frac{∣ x ∣}{x}

（

x \neq = 0

），選出下列敘述正確的選項？

(1) $x \to 1 lim f (x) = x \to 2 lim f (x)$
(2) $x \to 1 lim f (x) = x \to 0 lim f (x)$
(3) $x \to - 1 lim f (x) = x \to 0 lim f (x)$
(4) $x \to - 1 lim f (x) < x \to 0 lim f (x)$
(5) $x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{+} lim f (x)$

若無窮數列

⟨ c_{n} ⟩

的每一項均滿足

3 n^{2} - 2 n + 4 \leq 5 n^{2} \times c_{n} \leq 3 n^{2} + 2 n + 4

，則

n \to \infty lim c_{n} =

____。（原卷答案格是分數

\frac{□}{□}

）

求無窮等比級數

30 + 18 + \frac{54}{5} + \frac{162}{25} + \dots =

____。

求

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x - 2}

的極限為 ____。

試求

n \to \infty lim \frac{2 ^{n + 5} - 3 ^{n + 2}}{5 ( 3 ^{n} )}

的值為 ____。（原卷答案格是

□ \frac{□}{□}

三格）

已知

S_{n} = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{n - 1}

，求

n \to \infty lim \frac{S _{n}}{3 ^{n}} =

____。

求

x \to 0 lim (\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1}) =

____。

求

x \to 3 lim (\frac{x - 1}{x - 3} - \frac{x ^{2} + 1}{x ^{2} - x - 6}) =

____。（原卷答案格是分數

\frac{□}{□}

）

選填 H（第 14～15 題）　依目前臺中市的計程車車資計費方式為：前

1500

公尺，基本收費

85

元，超過

1500

公尺的部分，每

200

公尺加收

5

元，不足

200

公尺以

200

公尺計算。已知搭乘

x

公尺所需支付的車資為

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a, 85 - 5 \times ([\frac{b - x}{200}]), 當 0 < x \leq 1500 當 x > 1500

元，其中

a, b

為實數，符號

[]

為高斯符號，回答下列問題。

(1) 實數

(a, b) =

( ____ , ____ )。

(2) 車資

300

元最多可搭乘 ____ 公尺。

已知函數

f (x) = {x^{2} + 2 x + 3, - 2 x + a, 當 x \geq 0 當 x < 0

在

x = 0

處連續，求實數

a

的值

=

____。

將矩形

A B C D

\overline{A B} = 22

且

\overline{A D} = 2

。求這些無窮多個矩形對角線長度的總和

=

____。（原卷答案格的形式是

□ □ + □ 6

）

載入中...

已知

x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 7

，求數對

(a, b) =

( ____ , ____ )。

求

k = 1 \sum 10 k (k + 2)

的值

=

____。

已知函數

f (x) = x^{2} - 1

，

g (x) = x + 1

，求合成函數

(g \circ f) (x) =

____

x^{2} +

____

x +

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(3)

第 4 題(5)

第 5 題(5)

第 6 題(1)

第 7 題

\frac{3}{5}

第 8 題

75

第 9 題

3

第 10 題

- \frac{9}{5}

第 11 題

0

第 12 題

- 2

第 13 題

\frac{1}{5}

第 14 題

(85, 1500)

第 15 題

10100

第 16 題

3

第 17 題

23 + 26

第 18 題

(5, - 6)

第 19 題

495

第 20 題

x^{2}

（三格依序填

1

、

0

、

0

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、3 題：數列的收斂與發散

第 1 題答案 (2)。(1) 每一項都是

- 3

的常數數列，極限是

- 3

，收斂。(2) 公比

\frac{1001}{1000} > 1

，

(\frac{1001}{1000})^{n}

會愈來愈大、沒有上限，發散。(3)

- \frac{1}{n} \to 0

，收斂。(4)

1 + \frac{1}{n ^{2}} \to 1

，收斂。(5)

2 - 1 \approx 0.414

，絕對值小於

1

，

(2 - 1)^{n} \to 0

，收斂。

\frac{1001}{1000}

只比

1

大一點點，前面幾項幾乎不動，但公比大於

1

的等比數列一定發散。

第 3 題答案 (3)。這是公比

r = \frac{3}{2} \approx 0.866

的等比數列，

∣ r ∣ < 1

，所以

(\frac{3}{2})^{n} \to 0

。

等比數列

⟨ r^{n} ⟩

：

∣ r ∣ < 1

時極限是

0

，

r = 1

時極限是

1

，其餘情形發散。極限不是第一項

\frac{3}{2}

。

02單選第 2、4、6 題：函數的極限

第 2 題答案 (3)。把

- 1 \leq cos \frac{1}{x} \leq 1

各項乘上

∣ x ∣

（

∣ x ∣ > 0

，不等號方向不變），得

- ∣ x ∣ \leq ∣ x ∣ cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

；而

x cos \frac{1}{x}

與

∣ x ∣ cos \frac{1}{x}

只可能差一個正負號，所以同樣有

- ∣ x ∣ \leq x cos \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

。

x \to 0

時

- ∣ x ∣ \to 0

、

∣ x ∣ \to 0

，由夾擠定理，

x \to 0 lim x cos \frac{1}{x} = 0

。

cos \frac{1}{x}

本身在

x \to 0

時沒有極限，所以不能拆成兩個極限相乘；要用夾擠定理。

第 4 題答案 (5)。(1)(2)(3)(4) 是極限的加、減、係數積、乘法性質，只要

L

、

M

存在就成立。(5) 的除法性質要多一個條件

M \neq = 0

；題目沒有這個條件，

M = 0

時

\frac{L}{M}

沒有意義，所以這個敘述是錯的。

例：

f (x) = x

、

g (x) = x

、

a = 0

，則

L = M = 0

，

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 1

，但

\frac{L}{M} = \frac{0}{0}

無意義。

第 6 題答案 (1)。

x > 0

時

f (x) = \frac{x}{x} = 1

；

x < 0

時

f (x) = \frac{- x}{x} = - 1

。所以

x \to 1 lim f (x) = 1

、

x \to 2 lim f (x) = 1

、

x \to - 1 lim f (x) = - 1

；在

0

的左極限是

- 1

、右極限是

1

，兩者不相等，

x \to 0 lim f (x)

不存在。(1) 兩邊都是

1

，正確。(2)(3)(4) 都用到不存在的

x \to 0 lim f (x)

，不能說相等，也不能比大小，都不正確。(5) 左極限

- 1

不等於右極限

1

，不正確。

極限存在要左極限等於右極限；除法性質要分母的極限不為 0；只知道範圍、不能直接代入時用夾擠定理。

03單選第 5 題、選填 M（第 20 題）：奇函數、合成函數

第 5 題答案 (5)。奇函數要對所有

x

都有

f (- x) = - f (x)

。(1)

f_{1} (- x) = - 3

，而

- f_{1} (x) = 3

，不是。(2)

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

，是偶函數，不是奇函數。(3)

f_{3} (1) = 4

、

f_{3} (- 1) = - 2

，

- 2 \neq = - 4

，不是。(4)

(- x)^{2} = x^{2}

，是偶函數。(5)

sin (- x) = - sin x

，是奇函數。

(3) 的圖形是直線但不通過原點；奇函數的圖形對稱於原點，在

x = 0

有定義時一定有

f (0) = 0

。

第 20 題

(g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x^{2} - 1) = (x^{2} - 1) + 1 = x^{2}

。寫成

1 x^{2} + 0 x + 0

，三格依序填

1

、

0

、

0

。

g \circ f

是先算

f

再代入

g

。若順序弄反，

(f \circ g) (x) = (x + 1)^{2} - 1 = x^{2} + 2 x

，會填成

1

、

2

、

0

。

04選填 A、D、E（第 7、10、11 題）：數列的極限

第 7 題各項同除以

5 n^{2}

（

5 n^{2} > 0

，不等號方向不變）：

\frac{3}{5} - \frac{2}{5 n} + \frac{4}{5 n ^{2}} \leq c_{n} \leq \frac{3}{5} + \frac{2}{5 n} + \frac{4}{5 n ^{2}}

。

n \to \infty

時左右兩邊都趨近

\frac{3}{5}

，由夾擠定理，

n \to \infty lim c_{n} = \frac{3}{5}

。

第 10 題

2^{n + 5} = 32 \times 2^{n}

，

3^{n + 2} = 9 \times 3^{n}

。分子分母同除以

3^{n}

：

\frac{32 \times 2 ^{n} - 9 \times 3 ^{n}}{5 \times 3 ^{n}} = \frac{32 ( \frac{2}{3} ) ^{n} - 9}{5}

。

(\frac{2}{3})^{n} \to 0

，所以極限為

\frac{0 - 9}{5} = - \frac{9}{5}

。

同除以底數最大的

3^{n}

；指數上的

+ 5

、

+ 2

先拆成係數

2^{5} = 32

、

3^{2} = 9

。

第 11 題

S_{n}

是首項

1

、公比

2

、共

n

項的等比級數，

S_{n} = \frac{2 ^{n} - 1}{2 - 1} = 2^{n} - 1

。所以

\frac{S _{n}}{3 ^{n}} = (\frac{2}{3})^{n} - (\frac{1}{3})^{n}

，兩項都趨近

0

，極限為

0

。

S_{n}

的項數會跟著

n

變多，要先求和成一個式子，再取極限。

只知道範圍時用夾擠定理；指數型的分式同除以底數最大的那一項；項數會變的和先收成一個式子。

05選填 B、J、L（第 8、17、19 題）：Σ 求和與無窮等比級數

第 8 題首項

a = 30

，公比

r = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}

（檢查：

18 \times \frac{3}{5} = \frac{54}{5}

，

\frac{54}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{162}{25}

）。

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和為

\frac{a}{1 - r} = \frac{30}{1 - \frac{3}{5}} = 30 \times \frac{5}{2} = 75

。

第 17 題矩形 (I) 是

A B C D

的左半邊，長

2

、寬

2

，對角線長

2 + 4 = 6

。矩形 (II) 是右半邊的上半，長

2

、寬

1

，對角線長

2 + 1 = 3

。矩形 (III) 的長

\frac{2}{2}

、寬

1

，對角線長

\frac{1}{2} + 1 = \frac{6}{2}

；矩形 (IV) 的長

\frac{2}{2}

、寬

\frac{1}{2}

，對角線長

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}

。每切兩次，矩形的長與寬都變成原來的

\frac{1}{2}

，對角線也變成

\frac{1}{2}

。所以編號為奇數的對角線是首項

6

、公比

\frac{1}{2}

的無窮等比級數，和為

\frac{6}{1 - \frac{1}{2}} = 26

；編號為偶數的是首項

3

、公比

\frac{1}{2}

，和為

23

。總和

= 23 + 26

。

也可以看成一個級數：

6, 3, \frac{6}{2}, \frac{3}{2}, \dots

每一項都是前一項的

\frac{1}{2}

倍，和為

\frac{6}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{12}{2 - 1} = 23 (2 + 1) = 26 + 23

。這裡

\overline{A B} : \overline{A D} = 2 : 1

，對半切之後的矩形與原來的相似，所以公比固定。

第 19 題

k = 1 \sum 10 k (k + 2) = k = 1 \sum 10 k^{2} + 2 k = 1 \sum 10 k

。其中

k = 1 \sum 10 k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385

，

k = 1 \sum 10 k = \frac{10 \times 11}{2} = 55

。所以原式

= 385 + 2 \times 55 = 495

。

無窮等比級數先確認公比的絕對值小於 1，再用「首項除以（1 減公比）」；重複分割的圖形先算前三、四個，確認公比再套公式。

06選填 C、F、G、I、K（第 9、12、13、16、18 題）：函數的極限與連續

第 9 題直接代入是

\frac{0}{0}

，先因式分解：

x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)

。

x \to 2

時

x \neq = 2

，可以約去

x - 2

，得

x \to 2 lim (x + 1) = 3

。

第 12 題

x = 0

時兩個分母

x - 1 = - 1

、

x + 1 = 1

都不是

0

，可以直接代入：

\frac{0 + 1}{0 - 1} + \frac{0 - 1}{0 + 1} = - 1 + (- 1) = - 2

。

第 13 題

x \to 3

時兩個分式的分母都趨近

0

，不能分開算，先通分。

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

，所以原式

= \frac{( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( x ^{2} + 1 )}{( x - 3 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} + x - 2 - x ^{2} - 1}{( x - 3 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 3}{( x - 3 ) ( x + 2 )}

。約去

x - 3

後，極限為

x \to 3 lim \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{5}

。

兩個分式各自的極限都不存在，但相減之後分子也出現

x - 3

，可以約掉。

第 16 題在

x = 0

連續，要左極限＝右極限＝函數值。

f (0) = 0 + 0 + 3 = 3

，右極限用

x^{2} + 2 x + 3

算也是

3

；左極限用

- 2 x + a

算，是

a

。所以

a = 3

。

第 18 題分母趨近

0

而極限存在，分子在

x = 1

的值必為

0

：

1 + a + b = 0

，即

b = - 1 - a

。於是

x^{2} + a x + b = x^{2} + a x - (1 + a) = (x - 1) (x + 1 + a)

，約去

x - 1

後極限為

1 + 1 + a = 2 + a = 7

，得

a = 5

，

b = - 6

。所以

(a, b) = (5, - 6)

。

檢查：

x^{2} + 5 x - 6 = (x - 1) (x + 6)

，

x \to 1

時

x + 6 \to 7

。

代入後是 0 分之 0 就先因式分解或通分，把公因式約掉；分母趨近 0 而極限存在時，分子也要趨近 0。

07選填 H（第 14、15 題）：用高斯符號寫車資

第 14 題

0 < x \leq 1500

時只收基本費，所以

a = 85

。

x > 1500

時，超過的

x - 1500

公尺每

200

公尺算一段、不足一段也算一段。先看第一段：

1500 < x \leq 1700

時車資是

85 + 5 = 90

元，所以

[\frac{b - x}{200}] = - 1

，也就是

- 1 \leq \frac{b - x}{200} < 0

，即

b < x \leq b + 200

。這個範圍要與

1500 < x \leq 1700

相同，所以

b = 1500

。檢查下一段：

1700 < x \leq 1900

時

- 2 \leq \frac{1500 - x}{200} < - 1

，高斯值是

- 2

，車資

85 + 10 = 95

元，符合。故

(a, b) = (85, 1500)

。

高斯符號

[t]

是不超過

t

的最大整數，例如

[- 0.5] = - 1

。「不足

200

公尺以

200

公尺計」是無條件進位，把

\frac{1500 - x}{200}

這個負數取高斯再變號，正好就是進位後的段數。

第 15 題車資

300

元時

85 - 5 [\frac{1500 - x}{200}] = 300

，得

[\frac{1500 - x}{200}] = - 43

，也就是加收了

43

段。

- 43 \leq \frac{1500 - x}{200} < - 42

，即

8400 < x - 1500 \leq 8600

，

9900 < x \leq 10100

。最多可搭乘

10100

公尺。

直接想：

300 - 85 = 215

元，

215 \div 5 = 43

段，剛好坐滿

43

段是

1500 + 43 \times 200 = 10100

公尺；再多一點就進到第

44

段，車資變

305

元。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

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上傳考卷

常見問題

平鎮高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 113 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自平鎮高中 113 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 113 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 20 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選第 1、3 題：數列的收斂與發散

02單選第 2、4、6 題：函數的極限

03單選第 5 題、選填 M（第 20 題）：奇函數、合成函數

04選填 A、D、E（第 7、10、11 題）：數列的極限

05選填 B、J、L（第 8、17、19 題）：Σ 求和與無窮等比級數

06選填 C、F、G、I、K（第 9、12、13、16、18 題）：函數的極限與連續

07選填 H（第 14、15 題）：用高斯符號寫車資

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平鎮高中 113 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

平鎮高中 113 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

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07選填 H（第 14、15 題）：用高斯符號寫車資

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平鎮高中 113 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

平鎮高中 113 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

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高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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