段考詳解範圍：選修數學甲上冊單元 3、4（導數與微分公式、切線、函數的遞增遞減、極值、凹凸與反曲點、最大值與最小值、方程式實根的個數）

平鎮高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、選填題 A～J 共 10 題（每題 5 分，共 50 分），合計 100 分。原卷選填 A～J 本頁編為第 11～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：（共 25 分）說明：第 1 至 5 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

小叮鈴、胖虎、小夫、靜香、大雄五人剛學完可微分函數乘積的導函數公式和連鎖律，試算函數

f (x) = (2 x^{2} - 1)^{6} (1 - x)^{3}

的導函數，請問誰答對了（哪個選項是對的）？

(1) 小叮鈴： $f^{'} (x) = 6 (2 x^{2} - 1)^{5} \cdot 4 x \cdot (1 - x)^{3} + (2 x^{2} - 1)^{6} \cdot 3 (1 - x)^{2}$
(2) 胖虎： $f^{'} (x) = 6 (2 x^{2} - 1)^{5} \cdot (1 - x)^{3} + (2 x^{2} - 1)^{6} \cdot 3 (1 - x)^{2}$
(3) 小夫： $f^{'} (x) = 6 (2 x^{2} - 1)^{5} \cdot (1 - x)^{3} + (2 x^{2} - 1)^{6} \cdot 3 (1 - x)^{2} \cdot (- 1)$
(4) 靜香： $f^{'} (x) = 6 (2 x^{2} - 1)^{5} \cdot 4 x \cdot (1 - x)^{3} - (2 x^{2} - 1)^{6} \cdot 3 (1 - x)^{2} \cdot (- 1)$
(5) 大雄： $f^{'} (x) = 6 (2 x^{2} - 1)^{5} \cdot 4 x \cdot (1 - x)^{3} + (2 x^{2} - 1)^{6} \cdot 3 (1 - x)^{2} \cdot (- 1)$

承上題(1)，五人繼續算出在函數

f (x) = (2 x^{2} - 1)^{6} (1 - x)^{3}

的圖形上以

(0, 1)

為切點的切線方程式，試問誰答對了（哪個選項是對的）？

(1) 小叮鈴： $y = 3 x + 1$
(2) 胖虎： $y = 9 x + 1$
(3) 小夫： $y = - 9 x + 1$
(4) 靜香： $y = 3 x - 1$
(5) 大雄： $y = - 3 x + 1$

已知三次函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c

在

x = - 1

與

x = 1

處有極值，則數對

(a, b)

為何？

(1) $(0, - 3)$
(2) $(0, 3)$
(3) $(3, 9)$
(4) $(3, 3)$
(5) $(3, 0)$

承上題(3)，若加上條件「在

x = 1

處有極小值

- 5

」，則

c =

？

(1) $3$
(2) $- 3$
(3) $0$
(4) $9$
(5) $- 9$

如下圖，已知

A (- 1, 0)

、

B (1, 0)

、

C

、

D

是拋物線

y = 1 - x^{2}

上的四點，且

A B C D

形成一個梯形，則梯形

A B C D

的最大面積為何？

(1) $\frac{1}{2}$
(2) $1$
(3) $\frac{32}{27}$
(4) $\frac{64}{27}$
(5) $\frac{32}{54}$

載入中...

二、多選題：（共 25 分）說明：第 6 題至第 10 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯 3 個選項以上或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

已知可微分函數

f (x)

的圖形與

x

軸交於原點，如圖所示，選出所有正確的選項。

(1) $f^{'} (1) > f^{'} (\frac{1}{2}) > f^{'} (0)$
(2) $\frac{f ( 1 )}{f ^{'} ( 1 )} > 1$
(3) $f^{''} (\frac{1}{2}) < 0$
(4) $f (1) < f^{'} (0)$
(5) $\frac{f ( 0 ) + f ( 1 )}{2} > f (\frac{1}{2})$

載入中...

三次函數

f (x) = \frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2} + c x + d

的圖形，如圖所示，其中在

x = 0

時有極大值

f (0)

，選出正確的選項。

(1) $a > 0$
(2) $b < 0$
(3) $c > 0$
(4) $d > 0$
(5) $b^{2} - 4 a c > 0$

載入中...

關於函數

f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 24 x^{2} + 10

，選出所有正確的選項。

(1) $f (x)$ 在區間 $[0, \infty)$ 上為遞增函數
(2) $f (x)$ 在區間 $(- \infty, 0]$ 的圖形凹口向上
(3) $f (x)$ 在 $x = 0$ 處有極小值 $f (0)$ ，在 $x = 2$ 處有極大值 $f (2)$
(4) $f (x)$ 的圖形有兩個反曲點 $(\frac{2}{3}, f (\frac{2}{3}))$ 和 $(2, f (2))$
(5) $f (x)$ 在區間 $[- 1, 2]$ 上有最小值 $10$ ，但沒有最大值

設多項式函數

f (x)

滿足

f^{'} (x)

的圖形為開口向上的拋物線，且該拋物線通過

(0, 0)

與

(2, 0)

二點，選出所有正確的選項。

(1) $f (x)$ 為二次多項式函數
(2) 在 $f (x)$ 的圖形上，以 $(3, f (3))$ 為切點的切線之斜率為正數
(3) $f (x)$ 的圖形恰有一個反曲點 $(1, 0)$
(4) $f (x)$ 在 $x = 0$ 處有極大值 $f (0)$
(5) $f (x)$ 在區間 $(2, \infty)$ 的圖形是凹口向下

實數

k

會決定方程式

x^{3} - 6 x - k = 0

解的個數，下列敘述何者正確？

(1) 當 $k = 0$ 時，此方程式有二實根
(2) 當 $k = 42$ 時，此方程式有三相異實根
(3) 當 $k = 10$ 時，此方程式恰有一正實根
(4) 不論 $k$ 值為何此方程式至少有一實數解
(5) 存在實數 $k$ 使得此方程式無實數解

三、選填題：（共 50 分）說明：1. 第 A 至 J 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號（11～32）。2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。須化簡為最簡分數

(A) 已知

f (x) = x^{3} - x^{2} + 365

，求

x \to 2025 lim \frac{f ^{''} ( x ) - f ^{''} ( 2025 )}{x - 2025} =

____。

(B) 已知多項式

f (x)

滿足

f (0) = 1

，

f^{'} (0) = \frac{1}{3}

，

g (x) = (x^{3} - 5 x) f (x) - 3 x

，求

g^{'} (0) =

____。

f (x) = \frac{( x - 2020 ) ( x - 2021 ) ( x - 2022 ) ( x - 2023 ) ( x - 2024 )}{( x - 2025 ) ( x - 2026 ) ( x - 2027 ) ( x - 2028 )}

，求

f^{'} (2024) =

____。

(D) 已知函數

f (x) = \frac{x - 1}{x ^{2} + 4}

，求

f^{'} (0) =

____。

(E) 已知在函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 3

圖形上所有切線的斜率中，以

P (- 1, 4)

為切點的切線斜率最小，求數對

(a, b) =

____。

選填 (F)(G)（第 16～17 題）　以函數

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 7

，回答(F)(G)

(F) 在

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 7

的圖形上，已知以點

P

為切點的切線斜率為

- 7

，求

P

點坐標 ____。

(G) 已知與直線

y = - 4 x

平行，且與函數

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 7

圖形相切的直線有兩條，則此兩條平行直線的距離為 ____。

(H) 已知

(1, 4)

為函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 2

圖形的反曲點，求數對

(a, b) =

____。

(I) 下圖為三次函數

f (x)

的圖形，這圖形剛好與

x

軸碰到二次，從左到右依序為

x = - 3

與

x = 1

的位置。已知圖形在以點

(0, f (0))

為切點的切線斜率為

81

，則反曲點的

y

坐標為 ____。

載入中...

(J) 已知函數

f (x) = 2 x^{2} - ∣ x + 1∣ + ∣ x - 3∣

，試問導數

f^{'} (1) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(5)

第 2 題(5)

第 3 題(1)

第 4 題(2)

第 5 題(3)

第 6 題(1)(5)

第 7 題(2)(5)

第 8 題(1)(2)(4)

第 9 題(2)(4)

第 10 題(3)(4)

第 11 題

6

第 12 題

- 8

第 13 題

1

第 14 題

\frac{1}{4}

第 15 題

(3, - 5)

第 16 題

(2, 1)

第 17 題

\frac{4}{17}

（即

\frac{4 17}{17}

）

第 18 題

(- 3, 4)

第 19 題

- 128

第 20 題

2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：連鎖律、切線、極值求係數、梯形的最大面積

第 1 題

答案 (5)。由乘法的微分公式， $f^{'} (x) = [(2 x^{2} - 1)^{6}]^{'} (1 - x)^{3} + (2 x^{2} - 1)^{6} [(1 - x)^{3}]^{'}$ 。

由連鎖律， $[(2 x^{2} - 1)^{6}]^{'} = 6 (2 x^{2} - 1)^{5} \cdot 4 x$ （要乘內層 $2 x^{2} - 1$ 的導數 $4 x$ ）； $[(1 - x)^{3}]^{'} = 3 (1 - x)^{2} \cdot (- 1)$ （要乘內層 $1 - x$ 的導數 $- 1$ ）。

所以 $f^{'} (x) = 6 (2 x^{2} - 1)^{5} \cdot 4 x \cdot (1 - x)^{3} + (2 x^{2} - 1)^{6} \cdot 3 (1 - x)^{2} \cdot (- 1)$ ，就是大雄的答案。

小叮鈴漏乘

- 1

，胖虎兩個內層導數都漏了，小夫漏乘

4 x

，靜香多了一個負號（把減號和

- 1

都寫上，等於沒乘

- 1

）。

第 2 題答案 (5)。把

x = 0

代入第 1 題的導函數：第一項有因式

4 x

，等於

0

；第二項

(0 - 1)^{6} \cdot 3 \cdot 1^{2} \cdot (- 1) = - 3

。所以切線斜率

f^{'} (0) = - 3

。又

f (0) = (- 1)^{6} \cdot 1^{3} = 1

，切點確實是

(0, 1)

。切線為

y - 1 = - 3 (x - 0)

，即

y = - 3 x + 1

。

第 3 題答案 (1)。

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

。在

x = - 1

與

x = 1

有極值，所以

f^{'} (- 1) = f^{'} (1) = 0

，即

- 1

、

1

是

3 x^{2} + 2 a x + b = 0

的兩根。兩根之和

- \frac{2 a}{3} = 0

，

a = 0

；兩根之積

\frac{b}{3} = - 1

，

b = - 3

。

(a, b) = (0, - 3)

。

檢查：

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)

，在

x = \pm 1

的左右兩側正負都改變，確實是極值。

第 4 題答案 (2)。由第 3 題，

f (x) = x^{3} - 3 x + c

，

f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 1)

：

- 1 < x < 1

時

f^{'} (x) < 0

，

x > 1

時

f^{'} (x) > 0

，所以

x = 1

確實是極小。極小值

f (1) = 1 - 3 + c = c - 2 = - 5

，

c = - 3

。

題目的「承上題(3)」指第 3 題，不是選項 (3)。

第 5 題

答案 (3)。 $C$ 、 $D$ 在拋物線上且 $\overline{C D}$ 與 $\overline{A B}$ 平行，由對稱設 $C (t, 1 - t^{2})$ 、 $D (- t, 1 - t^{2})$ ， $0 < t < 1$ 。上底 $2 t$ 、下底 $2$ 、高 $1 - t^{2}$ ，面積

$S (t) = \frac{( 2 t + 2 ) ( 1 - t ^{2} )}{2} = (1 + t) (1 - t^{2}) = - t^{3} - t^{2} + t + 1$

$S^{'} (t) = - 3 t^{2} - 2 t + 1 = - (3 t - 1) (t + 1)$ 。在 $0 < t < \frac{1}{3}$ 時 $S^{'} (t) > 0$ ，在 $\frac{1}{3} < t < 1$ 時 $S^{'} (t) < 0$ ，所以 $t = \frac{1}{3}$ 時面積最大： $S (\frac{1}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{8}{9} = \frac{32}{27}$ 。

圖上

C

、

D

的位置只是示意。選項 (5) 的

\frac{32}{54}

是最大面積的一半，只算了

y

軸右邊那半個梯形就會得到它。

連鎖律要記得乘內層函數的導數；求最大面積，先用一個變數表示面積，再看導數的正負變化。

02多選 6～10：凹凸、由圖形看係數、極值與反曲點、實根個數

第 6 題

答案 (1)(5)。由圖形看， $f (x)$ 遞增、圖形凹口向上，且 $f (0) = 0$ 、 $f (1) > 0$ 。

(1) 正確。 凹口向上表示 $f^{''} (x) > 0$ ，導函數 $f^{'} (x)$ 遞增，所以 $f^{'} (1) > f^{'} (\frac{1}{2}) > f^{'} (0)$ 。

(2) 錯誤。 凹口向上時，圖形在每一條切線的上方。取 $x = 1$ 處的切線 $y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1)$ ，在 $x = 0$ 時圖形較高： $f (0) > f (1) - f^{'} (1)$ ，即 $0 > f (1) - f^{'} (1)$ ， $f^{'} (1) > f (1) > 0$ 。所以 $\frac{f ( 1 )}{f ^{'} ( 1 )} < 1$ 。

(3) 錯誤。 凹口向上， $f^{''} (\frac{1}{2}) > 0$ 。

(4) 錯誤。 取 $x = 0$ 處的切線 $y = f^{'} (0) x$ ，圖形在它上方，在 $x = 1$ 時 $f (1) > f^{'} (0)$ 。

(5) 正確。 凹口向上時，連接 $(0, f (0))$ 、 $(1, f (1))$ 的線段在圖形上方；線段中點的高度 $\frac{f ( 0 ) + f ( 1 )}{2}$ 大於圖形在 $x = \frac{1}{2}$ 的高度 $f (\frac{1}{2})$ 。

(2)(4) 都是比較「切線」和「圖形」：凹口向上的圖形在切線上方。圖中的曲線可以想成

y = x + \frac{x ^{2}}{4}

這類凹口向上的函數來檢查：

f (1) = \frac{5}{4}

、

f^{'} (0) = 1

、

f^{'} (1) = \frac{3}{2}

。

第 7 題

答案 (2)(5)。 $f^{'} (x) = a x^{2} + b x + c$ 。

(1) 錯誤。 圖形往右一路往下，最高次項係數 $\frac{a}{3} < 0$ ， $a < 0$ 。

(3) 錯誤。 在 $x = 0$ 有極大值， $f^{'} (0) = c = 0$ ，不是正數。

(2) 正確。 $c = 0$ 時 $f^{'} (x) = x (a x + b)$ ，另一個極值點是 $x = - \frac{b}{a}$ 。由圖形，另一個極值（極小）在 $y$ 軸左邊， $- \frac{b}{a} < 0$ ，即 $\frac{b}{a} > 0$ ；又 $a < 0$ ，所以 $b < 0$ 。

(4) 錯誤。 $d = f (0)$ 是極大值，圖上這一點在 $x$ 軸下方， $d < 0$ 。

(5) 正確。 $c = 0$ ， $b^{2} - 4 a c = b^{2}$ ，而 $b \neq = 0$ ，所以 $b^{2} - 4 a c > 0$ 。也可以這樣看：圖形有兩個極值點， $f^{'} (x) = 0$ 有兩個相異實根，判別式為正。

c

是

f^{'} (0)

，也就是圖形在

x = 0

的切線斜率；在

x = 0

有極值，切線水平，

c = 0

。

第 8 題

答案 (1)(2)(4)。 $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x = 12 x (x - 2)^{2}$ ， $f^{''} (x) = 36 x^{2} - 96 x + 48 = 12 (3 x - 2) (x - 2)$ 。

(1) 正確。 $x > 0$ 時 $f^{'} (x) \geq 0$ ，只在 $x = 2$ 一個點等於 $0$ ，所以 $f (x)$ 在 $[0, \infty)$ 上遞增。

(2) 正確。 $x < \frac{2}{3}$ 時 $f^{''} (x) > 0$ ，所以在 $(- \infty, 0]$ 上凹口向上。

(3) 錯誤。 $x = 0$ 左邊 $f^{'} (x) < 0$ 、右邊 $f^{'} (x) > 0$ ， $f (0)$ 是極小值；但 $x = 2$ 的左右兩側 $f^{'} (x)$ 都是正的， $f (x)$ 一直遞增， $f (2)$ 不是極值。

(4) 正確。 $f^{''} (x)$ 在 $x = \frac{2}{3}$ 與 $x = 2$ 的左右兩側都改變正負（凹口向上→向下→向上），兩點都是反曲點。

(5) 錯誤。 $f (x)$ 在 $[- 1, 0]$ 遞減、在 $[0, 2]$ 遞增，最小值是 $f (0) = 10$ 。但閉區間上的連續函數一定有最大值：比較兩端 $f (- 1) = 3 + 16 + 24 + 10 = 53$ 、 $f (2) = 48 - 128 + 96 + 10 = 26$ ，最大值是 $53$ 。

f^{'} (2) = 0

不代表

x = 2

是極值，要看左右兩側

f^{'} (x)

有沒有變號；

(x - 2)^{2}

這種平方因式不會變號。

第 9 題

答案 (2)(4)。 $f^{'} (x)$ 的圖形是開口向上、過 $(0, 0)$ 與 $(2, 0)$ 的拋物線，設 $f^{'} (x) = a x (x - 2)$ ， $a > 0$ 。則 $f^{''} (x) = a (2 x - 2) = 2 a (x - 1)$ 。

(1) 錯誤。 $f^{'} (x)$ 是二次式， $f (x)$ 是三次多項式函數。

(2) 正確。 切線斜率 $f^{'} (3) = 3 a > 0$ 。

(3) 錯誤。 $f^{''} (x)$ 只在 $x = 1$ 變號，反曲點的 $x$ 坐標是 $1$ ；但 $f (x)$ 的常數項不知道， $f (1)$ 無法確定，不一定是 $(1, 0)$ 。

(4) 正確。 $x < 0$ 時 $f^{'} (x) > 0$ ， $0 < x < 2$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 先增後減， $f (0)$ 是極大值。

(5) 錯誤。 $x > 2$ 時 $f^{''} (x) = 2 a (x - 1) > 0$ ，凹口向上。

由導函數只能決定

f (x)

到差一個常數；凡是要用到函數值本身的敘述（例如 (3) 反曲點的

y

坐標），都要另外檢查。

第 10 題

答案 (3)(4)。方程式 $x^{3} - 6 x = k$ 的實根個數，就是 $y = g (x) = x^{3} - 6 x$ 的圖形與水平線 $y = k$ 的交點數。 $g^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 = 3 (x + 2) (x - 2)$ ：極大值 $g (- 2) = - 22 + 62 = 42$ ，極小值 $g (2) = - 42$ 。

(1) 錯誤。 $k = 0$ 時 $x (x^{2} - 6) = 0$ ， $x = 0, \pm 6$ ，三個實根。

(2) 錯誤。 $k = 42$ 等於極大值，水平線與圖形在極大點相切、另外再交一點，只有兩個相異實根（ $x = - 2$ 是重根，另一根是 $22$ ）。

(3) 正確。 $10 > 42$ ，水平線 $y = 10$ 比極大值高，與圖形只交一點。 $x \leq 6$ 時：在 $x \leq 0$ 的部分 $g (x) \leq 42 < 10$ ，在 $0 < x \leq 6$ 的部分 $g (x) \leq 0$ ；所以交點在 $x > 6$ ，恰有一個正實根。

(4) 正確。 三次函數的圖形往左趨近負無限大、往右趨近正無限大，任何水平線都至少交一次。

(5) 錯誤。 由 (4)，不存在這樣的 $k$ 。

42 \approx 5.66

。含參數的方程式，先把參數移到一邊，再看水平線和固定圖形的交點。

判斷極值看一階導數有沒有變號，判斷反曲點看二階導數有沒有變號；實根個數看水平線與圖形的交點。

03選填 11～15（原卷 A～E）：導數的定義、乘除法的微分、斜率最小的切線

第 11 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2 x$ ， $f^{''} (x) = 6 x - 2$ 。所求極限就是 $f^{''} (x)$ 在 $x = 2025$ 的導數；直接算：

$\frac{f ^{''} ( x ) - f ^{''} ( 2025 )}{x - 2025} = \frac{( 6 x - 2 ) - ( 6 \cdot 2025 - 2 )}{x - 2025} = \frac{6 ( x - 2025 )}{x - 2025} = 6$

所以極限為 $6$ 。

2025

這個數只是嚇人；

f^{''} (x)

是一次函數，它的導數處處都是

6

。

第 12 題由乘法的微分公式，

g^{'} (x) = (3 x^{2} - 5) f (x) + (x^{3} - 5 x) f^{'} (x) - 3

。代入

x = 0

：

g^{'} (0) = (- 5) \cdot 1 + 0 \cdot \frac{1}{3} - 3 = - 8

。

x^{3} - 5 x

在

x = 0

等於

0

，所以

f^{'} (0)

這個條件其實用不到。

第 13 題

令 $h (x) = \frac{( x - 2020 ) ( x - 2021 ) ( x - 2022 ) ( x - 2023 )}{( x - 2025 ) ( x - 2026 ) ( x - 2027 ) ( x - 2028 )}$ ，則 $f (x) = (x - 2024) h (x)$ 。由乘法的微分公式， $f^{'} (x) = h (x) + (x - 2024) h^{'} (x)$ ，所以 $f^{'} (2024) = h (2024)$ 。

$h (2024) = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 )} = \frac{24}{24} = 1$

把等於

0

的那個因式單獨拿出來，另一項乘上

0

就消失了，不必把整個分式微分。

第 14 題

由除法的微分公式，

$f^{'} (x) = \frac{1 \cdot ( x ^{2} + 4 ) - ( x - 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 4 ) ^{2}}$

代入 $x = 0$ ： $f^{'} (0) = \frac{4 - 0}{16} = \frac{1}{4}$ 。

第 15 題切線斜率

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b = 3 (x + \frac{a}{3})^{2} + b - \frac{a ^{2}}{3}

，在

x = - \frac{a}{3}

時最小。斜率最小的切點是

x = - 1

，所以

- \frac{a}{3} = - 1

，

a = 3

。又

P (- 1, 4)

在圖形上：

f (- 1) = - 1 + a - b - 3 = 4

，

- 1 + 3 - b - 3 = 4

，

b = - 5

。

(a, b) = (3, - 5)

。

斜率最小的切點也就是反曲點：

f^{''} (x) = 6 x + 2 a = 0

得

x = - \frac{a}{3}

，結果相同。

在一點的導數若有一個因式等於 0，用乘法公式把它單獨拿出來最快；斜率最小或最大的切線，就是對導函數求極值。

04選填 16～20（原卷 F～J）：切點、平行切線、反曲點、含絕對值的導數

第 16 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 5

。令

3 x^{2} - 12 x + 5 = - 7

：

3 x^{2} - 12 x + 12 = 0

，

3 (x - 2)^{2} = 0

，

x = 2

。

f (2) = 8 - 24 + 10 + 7 = 1

，所以

P (2, 1)

。

- 7

正好是導函數

3 (x - 2)^{2} - 7

的最小值，所以只有一個切點。

第 17 題

與 $y = - 4 x$ 平行，斜率為 $- 4$ 。令 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 5 = - 4$ ： $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ ， $3 (x - 1) (x - 3) = 0$ ， $x = 1$ 或 $3$ 。

切點 $f (1) = 1 - 6 + 5 + 7 = 7$ ，切線 $y - 7 = - 4 (x - 1)$ ，即 $4 x + y - 11 = 0$ ；切點 $f (3) = 27 - 54 + 15 + 7 = - 5$ ，切線 $y + 5 = - 4 (x - 3)$ ，即 $4 x + y - 7 = 0$ 。

兩平行線的距離為

$\frac{∣ - 11 - ( - 7 ) ∣}{4 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{4}{17}$

第 18 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

，

f^{''} (x) = 6 x + 2 a

。反曲點在

x = 1

，

f^{''} (1) = 6 + 2 a = 0

，

a = - 3

。點

(1, 4)

在圖形上：

f (1) = 1 + a + b + 2 = b = 4

。

(a, b) = (- 3, 4)

。

檢查：

f^{''} (x) = 6 (x - 1)

在

x = 1

的左右兩側變號，確實是反曲點。

第 19 題

圖形在 $x = - 3$ 與 $x$ 軸相切（碰到而不穿過）， $x = - 3$ 是二重根；在 $x = 1$ 穿過 $x$ 軸。設 $f (x) = k (x + 3)^{2} (x - 1)$ ，由圖形往右上升， $k > 0$ 。

$f^{'} (x) = k [2 (x + 3) (x - 1) + (x + 3)^{2}] = k (x + 3) (3 x + 1)$ ， $f^{'} (0) = k \cdot 3 \cdot 1 = 3 k = 81$ ， $k = 27$ 。

$f^{''} (x) = k [(3 x + 1) + 3 (x + 3)] = k (6 x + 10)$ ，反曲點在 $x = - \frac{5}{3}$ 。

$f (- \frac{5}{3}) = 27 \cdot (\frac{4}{3})^{2} \cdot (- \frac{8}{3}) = 27 \cdot \frac{16}{9} \cdot (- \frac{8}{3}) = - 128$

三次函數的反曲點

x

坐標等於三根的平均：

\frac{( - 3 ) + ( - 3 ) + 1}{3} = - \frac{5}{3}

，可以拿來檢查。

第 20 題在

x = 1

附近，

x + 1 > 0

、

x - 3 < 0

，所以

∣ x + 1∣ = x + 1

，

∣ x - 3∣ = 3 - x

。這時

f (x) = 2 x^{2} - (x + 1) + (3 - x) = 2 x^{2} - 2 x + 2

，

f^{'} (x) = 4 x - 2

，

f^{'} (1) = 2

。

絕對值只在

x = - 1

與

x = 3

轉折，

x = 1

離這兩點都有距離，所以可以先去絕對值再微分。

圖形與 x 軸相切的地方是重根；含絕對值的函數，先看那一點附近絕對值裡面的正負，去掉絕對值再微分。

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同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 113 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

選填 I（本頁第 19 題）：圖形在 x 等於負 3 與 x 軸相切，要設成 x 加 3 的平方乘 x 減 1 再乘一個常數，由切線斜率 81 求出常數 27，反曲點在 x 等於負三分之五。多選第 10 題：k 等於 4 倍根號 2 時有一個重根，只有兩個相異實根；k 等於 10 時只有一個實根，而且是正根。多選第 9 題：反曲點的 x 坐標是 1，但 y 坐標由導函數決定不了。多選第 8 題：x 等於 2 處導數為 0 但左右同號，不是極值；閉區間上的連續函數一定有最大值。詳解逐題寫在本頁。

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平鎮高中 113 上高三第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～5：連鎖律、切線、極值求係數、梯形的最大面積

02多選 6～10：凹凸、由圖形看係數、極值與反曲點、實根個數

03選填 11～15（原卷 A～E）：導數的定義、乘除法的微分、斜率最小的切線

04選填 16～20（原卷 F～J）：切點、平行切線、反曲點、含絕對值的導數

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平鎮高中 113 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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