段考詳解範圍：高一數學第一、二冊與選修數學乙第一單元（數與式、多項式函數、直線與圓、三角比、數列與級數、數據分析、排列組合與機率、數列的極限與無窮等比級數）

平鎮高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 5 分，答錯不倒扣）、多選題 1 題（全對 5 分，只錯一個選項 3 分，錯兩個選項 1 分）、選填題 A 至 O 共 15 題（每題完全答對 5 分），合計 100 分；全卷畫卡作答。原卷選填題號 A～O，本頁編為第 6～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

第一部分：選擇題（佔 25 分）　壹、單選題（佔 20 分）：第 1 至 4 題，每題選出最適當的一個選項，每題答對得 5 分，答錯不倒扣

已知

a

、

b

為有理數，且

\frac{3 - 2 2}{( a + b 2 ) + ( 7 - 3 2 )} = 3 + 22

，則數對

(a, b)

為何？

(1) $(10, - 9)$
(2) $(10, 15)$
(3) $(9, - 9)$
(4) $(9, 15)$
(5) $(- 9, - 9)$

多項式

f (x) = 3 (4 x + 1)^{3} - 5 (4 x + 1)^{2} + 7 (4 x + 1) - 9

除以

2 x - 1

的餘式為

(1) $- 36$
(2) $- 12$
(3) $- 4$
(4) $16$
(5) $48$

已知直線

L

：

x + 2 y = k

，若

A (5, - 3)

與

B (- 5, 1)

在直線

L

的異側，請選出可能的

k

值為

(1) $- 3$
(2) $- 2$
(3) $- 1$
(4) $0$
(5) $1$

設

cos θ = - \frac{5}{3}

，則

sin (45 0^{\circ} - θ)

的值為下列哪一個選項？

(1) $\frac{5}{3}$
(2) $- \frac{5}{3}$
(3) $\frac{2}{3}$
(4) $- \frac{2}{3}$
(5) $\frac{2 2}{3}$

貳、多選題（佔 5 分）：第 5 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的；每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得 5 分，只錯一個選項可得 3 分，錯兩個選項可得 1 分，不作答或錯三個以上選項不給分

設多項式

f (x) = 3 x^{3} - x^{2} - 3 x + 4 = a (x - 1)^{3} + b (x - 1)^{2} + c (x - 1) + d

，請選出正確的選項。

(1) $a + b + c + d = 18$
(2) 四捨五入取小數點後第二位可得 $f (0.99)$ 的近似值為 $3.04$
(3) $f (x)$ 在 $x = 1$ 附近的一次近似函數 $g (x) = 4 x + 1$
(4) $f (x)$ 圖形的廣域特徵近似於曲線 $y = 3 x^{3}$
(5) $f (x)$ 除以 $(x - 1)^{2}$ 的餘式為 $4 x - 1$

第二部分：選填題（佔 75 分）：第 A 至 O 題，每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分

已知

a = lo g 121

，請問

10 0^{a} \times 1 0^{- a} =

____。

直線

L

：

4 x - 3 y + k = 0

（

k > 0

），和圓

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

相切於一點，試問

k =

____。

若數列

⟨ a_{n} ⟩

的遞迴關係式為

{a_{1} = 2 a_{n} = a_{n - 1} + 3, n \geq 2

，則此數列前

20

項的和

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{20} =

____。

老師要從編號

1 \sim 10

的學生中抽籤任選

2

位，則

2

位同學的編號不相連的機率為 ____。（以最簡分數作答）

將五本不同的書全部分給甲、乙、丙、丁等四人，則丁恰得一本的分法有多少種？____。

設一組

7

筆數據由小至大依序為

3, 5, a, b, c, c, 10

，若算術平均數為

7

，中位數為

7

，眾數為

9

，則序組

(a, b, c) =

____。

△ A B C

，

\overline{A B} = 2

，

\overline{A C} = 23

，

∠ A = 3 0^{\circ}

，求

\overline{B C} =

____。

求

n \to \infty lim ((\frac{3}{n} - 1) (2 + \frac{1}{n ^{2} + 1})) =

____。

求

n \to \infty lim (\frac{6 ^{n + 1} - 5 ^{n}}{5 \times 6 ^{n} + 2 ^{n + 1}}) =

____。（以最簡分數作答）

求

n \to \infty lim (\frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \dots + n ^{3}}{n ^{4}}) =

____。（以最簡分數作答）

求

k = 1 \sum 8 (k + 2) (2 k + 1) =

____。

求無窮等比級數的和：

1 - \frac{2}{5} + \frac{4}{25} - \frac{8}{125} + \dots

其和為 ____。（以最簡分數作答）

將循環小數化成最簡分數：

0.6 \overline{18} =

____。（以最簡分數作答）

如圖，

∠ B A C = 6 0^{\circ}

，其中

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots

均為正方形。已知正方形

A_{1}

的邊長為

3

，求所有正方形

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots

面積的總和。____（答案化成最簡根式）

載入中...

已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

中的每一項

a_{n}

都滿足

2 n^{2} + 3 < 5 n^{2} a_{n} < 2 n^{2} + 6 n

，求

n \to \infty lim a_{n} =

____。（以最簡分數作答）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題

11

第 7 題

8

第 8 題

610

第 9 題

\frac{4}{5}

第 10 題

405

第 11 題

(6, 7, 9)

第 12 題

2

第 13 題

- 2

第 14 題

\frac{6}{5}

第 15 題

\frac{1}{4}

第 16 題

604

第 17 題

\frac{5}{7}

第 18 題

\frac{34}{55}

第 19 題

63

第 20 題

\frac{2}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題、多選第 5 題、選填 A（第 6 題）：數與式、對數與多項式函數

第 1 題答案 (1)。左邊的分母合併成

(a + 7) + (b - 3) 2

。由原式，分母

= \frac{3 - 2 2}{3 + 2 2}

，上下同乘

3 - 22

：分母

= \frac{( 3 - 2 2 ) ^{2}}{9 - 8} = 17 - 122

。

a

、

b

是有理數，比較兩邊的有理數部分與

2

的係數：

a + 7 = 17

、

b - 3 = - 12

，得

a = 10

、

b = - 9

。

「

a

、

b

為有理數」這個條件是用來比較係數的：有理數加有理數倍的

2

，寫法只有一種。

第 2 題答案 (5)。除式

2 x - 1

是一次式，餘式是常數，由餘式定理等於

f (\frac{1}{2})

。

x = \frac{1}{2}

時

4 x + 1 = 3

，所以

f (\frac{1}{2}) = 3 \times 3^{3} - 5 \times 3^{2} + 7 \times 3 - 9 = 81 - 45 + 21 - 9 = 48

。

不必把

f (x)

展開，把

4 x + 1

當成一整塊代值就好。

第 5 題答案 (1)(4)(5)。用綜合除法連續除以

x - 1

：第一次，

3, - 1, - 3, 4

得商

3 x^{2} + 2 x - 1

、餘

3

，所以

d = 3

；第二次，

3, 2, - 1

得商

3 x + 5

、餘

4

，所以

c = 4

；第三次，

3, 5

得商

3

、餘

8

，所以

b = 8

、

a = 3

。即

f (x) = 3 (x - 1)^{3} + 8 (x - 1)^{2} + 4 (x - 1) + 3

。(1)

a + b + c + d = 3 + 8 + 4 + 3 = 18

，正確。(2)

x = 0.99

時

x - 1 = - 0.01

，

f (0.99) = 3 \times (- 0.000001) + 8 \times 0.0001 + 4 \times (- 0.01) + 3 = 2.960797

，四捨五入到小數點後第二位是

2.96

，不是

3.04

，錯誤。(3) 在

x = 1

附近的一次近似是後兩項

4 (x - 1) + 3 = 4 x - 1

，不是

4 x + 1

，錯誤。(4)

∣ x ∣

很大時由最高次項決定，圖形近似於

y = 3 x^{3}

，正確。(5)

f (x) = (x - 1)^{2} [3 (x - 1) + 8] + 4 (x - 1) + 3

，除以

(x - 1)^{2}

的餘式是

4 (x - 1) + 3 = 4 x - 1

，正確。

(2) 的

3.04

是把

x - 1

誤當成

+ 0.01

的結果；

0.99

在

1

的左邊，

x - 1

是負的。(3) 與 (5) 是同一個式子

4 x - 1

。

第 6 題

10 0^{a} \times 1 0^{- a} = 1 0^{2 a} \times 1 0^{- a} = 1 0^{a}

。由

a = lo g 121

得

1 0^{a} = 121

，所以

10 0^{a} \times 1 0^{- a} = 121 = 11

。

要寫成 x−1 的多項式就連續做綜合除法，餘數依序是常數項、一次項、二次項的係數；後兩項就是一次近似，也是除以 (x−1) 平方的餘式。

02單選第 3、4 題、選填 B、G（第 7、12 題）：直線、圓與三角比

第 3 題答案 (2)。把直線寫成

x + 2 y - k = 0

。兩點在直線的異側，代入

x + 2 y - k

的值一正一負。

A (5, - 3)

代入得

5 - 6 - k = - 1 - k

，

B (- 5, 1)

代入得

- 5 + 2 - k = - 3 - k

。兩者相乘小於

0

：

(- 1 - k) (- 3 - k) < 0

，即

(k + 1) (k + 3) < 0

，

- 3 < k < - 1

。選項中只有

k = - 2

在這個範圍內。

k = - 3

時

B

在直線上，

k = - 1

時

A

在直線上，都不算異側。

第 4 題答案 (2)。

45 0^{\circ} - θ = 36 0^{\circ} + (9 0^{\circ} - θ)

，多轉一圈不改變三角比，所以

sin (45 0^{\circ} - θ) = sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ = - \frac{5}{3}

。

不必知道

θ

在第幾象限，也不必求

sin θ

；選項 (3)(4) 的

\pm \frac{2}{3}

是

sin θ

可能的值。

第 7 題把圓配方：

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 12 + 4 + 9 = 25

，圓心

(2, - 3)

、半徑

5

。相切表示圓心到直線的距離等於半徑：

\frac{∣4 \times 2 - 3 \times ( - 3 ) + k ∣}{4 ^{2} + 3 ^{2}} = 5

，即

∣17 + k ∣ = 25

，

k = 8

或

k = - 42

。因為

k > 0

，所以

k = 8

。

第 12 題已知兩邊與夾角，用餘弦定理：

\overline{B C}^{2} = 2^{2} + (23)^{2} - 2 \times 2 \times 23 \times cos 3 0^{\circ} = 4 + 12 - 83 \times \frac{3}{2} = 16 - 12 = 4

，所以

\overline{B C} = 2

。

\overline{B C} = \overline{A B} = 2

，這是頂角

12 0^{\circ}

、兩底角

3 0^{\circ}

的等腰三角形。

異側就是代入後異號；直線與圓相切用圓心到直線的距離等於半徑；角度加減 360° 或遇到 90°−θ 先化簡再代值。

03選填 C、F、K（第 8、11、16 題）：數列、級數與數據分析

第 8 題每一項比前一項多

3

，這是首項

2

、公差

3

的等差數列。

a_{20} = 2 + 19 \times 3 = 59

，前

20

項的和

= \frac{20 \times ( 2 + 59 )}{2} = 610

。

第 11 題

7

筆數據由小到大排好，中位數是第

4

筆，所以

b = 7

。眾數是

9

，表示

9

出現最多次；

3, 5, 10

與

b = 7

都不是

9

，而

a \leq b = 7

也不會是

9

，所以只能是

c = 9

。平均數為

7

，總和是

49

：

3 + 5 + a + 7 + 9 + 9 + 10 = 43 + a = 49

，得

a = 6

。檢查順序

3, 5, 6, 7, 9, 9, 10

確實由小到大，所以

(a, b, c) = (6, 7, 9)

。

第 16 題先展開：

(k + 2) (2 k + 1) = 2 k^{2} + 5 k + 2

。

k = 1 \sum 8 k^{2} = \frac{8 \times 9 \times 17}{6} = 204

，

k = 1 \sum 8 k = \frac{8 \times 9}{2} = 36

，常數

2

加

8

次是

16

。所以原式

= 2 \times 204 + 5 \times 36 + 16 = 408 + 180 + 16 = 604

。

常數項要乘上項數

8

，不是只加一次。

04選填 D、E（第 9、10 題）：排列組合與機率

第 9 題

10

人任選

2

位，共

C_{2}^{10} = 45

種，每一種機會相等。號碼相連的有

(1, 2), (2, 3), \dots, (9, 10)

共

9

種，所以不相連的有

45 - 9 = 36

種，機率

= \frac{36}{45} = \frac{4}{5}

。

第 10 題分兩步。先決定丁拿哪一本：

5

種。剩下

4

本書不能再給丁，每一本各自從甲、乙、丙三人中選一位：

3^{4} = 81

種。共

5 \times 81 = 405

種。

題目只要求丁恰得一本，甲、乙、丙當中可以有人沒拿到書。

「不相連」這類條件，用全部扣掉相連的比較快；分東西給人時，看的是每一件東西有幾個去處。

05選填 H、I、J、L、M、N、O（第 13、14、15、17、18、19、20 題）：數列的極限與無窮等比級數

第 13 題

n \to \infty

時

\frac{3}{n} \to 0

、

\frac{1}{n ^{2} + 1} \to 0

，兩個括號各自收斂到

0 - 1 = - 1

與

2 + 0 = 2

。收斂數列的乘積的極限等於極限的乘積，所以答案是

(- 1) \times 2 = - 2

。

第 14 題底數最大的是

6

，分子、分母同除以

6^{n}

：

\frac{6 ^{n + 1} - 5 ^{n}}{5 \times 6 ^{n} + 2 ^{n + 1}} = \frac{6 - ( \frac{5}{6} ) ^{n}}{5 + 2 \times ( \frac{1}{3} ) ^{n}}

。因為

(\frac{5}{6})^{n} \to 0

、

(\frac{1}{3})^{n} \to 0

，極限是

\frac{6 - 0}{5 + 0} = \frac{6}{5}

。

6^{n + 1} = 6 \times 6^{n}

、

2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}

，指數上的

+ 1

要先拆成係數。

第 15 題立方和公式：

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}

。所以原式

= \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{4}} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^{2}

，

n \to \infty

時極限是

\frac{1}{4}

。

分子有

n

項，項數跟著

n

變多，不能一項一項分開取極限（每項都趨近

0

，但加起來不是

0

）；要先求和。

第 17 題首項

1

，公比

r = - \frac{2}{5}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和

= \frac{1}{1 - ( - \frac{2}{5} )} = \frac{1}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7}

。

第 18 題循環節是

18

，

6

不循環：

0.6 \overline{18} = 0.6 + 0.018 + 0.00018 + \dots

。後面是首項

0.018

、公比

0.01

的無窮等比級數，和

= \frac{0.018}{1 - 0.01} = \frac{18}{990} = \frac{1}{55}

。所以

0.6 \overline{18} = \frac{3}{5} + \frac{1}{55} = \frac{33 + 1}{55} = \frac{34}{55}

。

用公式也可以：

\frac{618 - 6}{990} = \frac{612}{990} = \frac{34}{55}

。

第 19 題由圖，每個正方形的底邊在

\overline{A C}

上、左上頂點在

\overline{A B}

上，下一個正方形的右邊貼著前一個正方形的左邊。設第

n

個正方形的邊長是

s_{n}

。它的左上頂點高度是

s_{n}

，而

∠ B A C = 6 0^{\circ}

，所以這個頂點到

A

的水平距離是

\frac{s _{n}}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{s _{n}}{3}

。第

n + 1

個正方形從水平距離

\frac{s _{n + 1}}{3}

的地方開始，寬

s_{n + 1}

，右邊正好到第

n

個正方形的左邊：

\frac{s _{n + 1}}{3} + s_{n + 1} = \frac{s _{n}}{3}

，即

s_{n + 1} (1 + 3) = s_{n}

，

\frac{s _{n + 1}}{s _{n}} = \frac{1}{3 + 1} = \frac{3 - 1}{2}

。邊長成等比，面積也成等比，公比

r = (\frac{3 - 1}{2})^{2} = \frac{4 - 2 3}{4} = \frac{2 - 3}{2}

，介於

0

與

1

之間。首項是

3^{2} = 9

，面積總和

= \frac{9}{1 - \frac{2 - 3}{2}} = \frac{9}{\frac{3}{2}} = \frac{18}{3} = 63

。

面積的公比是邊長公比的平方，不要直接拿邊長的公比去算面積的和。

第 20 題

5 n^{2} > 0

，三邊同除以

5 n^{2}

：

\frac{2 n ^{2} + 3}{5 n ^{2}} < a_{n} < \frac{2 n ^{2} + 6 n}{5 n ^{2}}

。左邊

= \frac{2}{5} + \frac{3}{5 n ^{2}} \to \frac{2}{5}

，右邊

= \frac{2}{5} + \frac{6}{5 n} \to \frac{2}{5}

。兩邊的極限相同，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = \frac{2}{5}

。

極限先看哪一項長得最快，同除以它；項數會變多的和要先求和；圖形題先找相鄰兩個圖形的邊長比，面積的公比是它的平方。

同一次段考的其他學校

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常見問題

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

平鎮高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題要先用綜合除法把多項式改寫成 x 減 1 的形式，選項 (2) 的 0.99 在 1 的左邊，x 減 1 是負的；選填 E（本頁第 10 題）甲乙丙可以有人沒拿到書；選填 M（第 18 題）只有 18 循環，6 不循環；選填 N（第 19 題）要從 60 度角找出相鄰兩個正方形的邊長比，再平方成面積的公比。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自平鎮高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

平鎮高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

第一部分：選擇題（佔 25 分）　壹、單選題（佔 20 分）：第 1 至 4 題，每題選出最適當的一個選項，每題答對得 5 分，答錯不倒扣

已知

a

、

b

為有理數，且

\frac{3 - 2 2}{( a + b 2 ) + ( 7 - 3 2 )} = 3 + 22

，則數對

(a, b)

為何？

(1) $(10, - 9)$
(2) $(10, 15)$
(3) $(9, - 9)$
(4) $(9, 15)$
(5) $(- 9, - 9)$

多項式

f (x) = 3 (4 x + 1)^{3} - 5 (4 x + 1)^{2} + 7 (4 x + 1) - 9

除以

2 x - 1

的餘式為

(1) $- 36$
(2) $- 12$
(3) $- 4$
(4) $16$
(5) $48$

已知直線

L

：

x + 2 y = k

，若

A (5, - 3)

與

B (- 5, 1)

在直線

L

的異側，請選出可能的

k

值為

(1) $- 3$
(2) $- 2$
(3) $- 1$
(4) $0$
(5) $1$

設

cos θ = - \frac{5}{3}

，則

sin (45 0^{\circ} - θ)

的值為下列哪一個選項？

(1) $\frac{5}{3}$
(2) $- \frac{5}{3}$
(3) $\frac{2}{3}$
(4) $- \frac{2}{3}$
(5) $\frac{2 2}{3}$

設多項式

f (x) = 3 x^{3} - x^{2} - 3 x + 4 = a (x - 1)^{3} + b (x - 1)^{2} + c (x - 1) + d

，請選出正確的選項。

(1) $a + b + c + d = 18$
(2) 四捨五入取小數點後第二位可得 $f (0.99)$ 的近似值為 $3.04$
(3) $f (x)$ 在 $x = 1$ 附近的一次近似函數 $g (x) = 4 x + 1$
(4) $f (x)$ 圖形的廣域特徵近似於曲線 $y = 3 x^{3}$
(5) $f (x)$ 除以 $(x - 1)^{2}$ 的餘式為 $4 x - 1$

第二部分：選填題（佔 75 分）：第 A 至 O 題，每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分

已知

a = lo g 121

，請問

10 0^{a} \times 1 0^{- a} =

____。

直線

L

：

4 x - 3 y + k = 0

（

k > 0

），和圓

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

相切於一點，試問

k =

____。

若數列

⟨ a_{n} ⟩

的遞迴關係式為

{a_{1} = 2 a_{n} = a_{n - 1} + 3, n \geq 2

，則此數列前

20

項的和

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{20} =

____。

老師要從編號

1 \sim 10

的學生中抽籤任選

2

位，則

2

位同學的編號不相連的機率為 ____。（以最簡分數作答）

將五本不同的書全部分給甲、乙、丙、丁等四人，則丁恰得一本的分法有多少種？____。

設一組

7

筆數據由小至大依序為

3, 5, a, b, c, c, 10

，若算術平均數為

7

，中位數為

7

，眾數為

9

，則序組

(a, b, c) =

____。

△ A B C

，

\overline{A B} = 2

，

\overline{A C} = 23

，

∠ A = 3 0^{\circ}

，求

\overline{B C} =

____。

求

n \to \infty lim ((\frac{3}{n} - 1) (2 + \frac{1}{n ^{2} + 1})) =

____。

求

n \to \infty lim (\frac{6 ^{n + 1} - 5 ^{n}}{5 \times 6 ^{n} + 2 ^{n + 1}}) =

____。（以最簡分數作答）

求

n \to \infty lim (\frac{1 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \dots + n ^{3}}{n ^{4}}) =

____。（以最簡分數作答）

求

k = 1 \sum 8 (k + 2) (2 k + 1) =

____。

求無窮等比級數的和：

1 - \frac{2}{5} + \frac{4}{25} - \frac{8}{125} + \dots

其和為 ____。（以最簡分數作答）

將循環小數化成最簡分數：

0.6 \overline{18} =

____。（以最簡分數作答）

如圖，

∠ B A C = 6 0^{\circ}

，其中

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots

均為正方形。已知正方形

A_{1}

的邊長為

3

，求所有正方形

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots

面積的總和。____（答案化成最簡根式）

載入中...

已知無窮數列

⟨ a_{n} ⟩

中的每一項

a_{n}

都滿足

2 n^{2} + 3 < 5 n^{2} a_{n} < 2 n^{2} + 6 n

，求

n \to \infty lim a_{n} =

____。（以最簡分數作答）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(2)

第 4 題(2)

第 5 題(1)(4)(5)

第 6 題

11

第 7 題

8

第 8 題

610

第 9 題

\frac{4}{5}

第 10 題

405

第 11 題

(6, 7, 9)

第 12 題

2

第 13 題

- 2

第 14 題

\frac{6}{5}

第 15 題

\frac{1}{4}

第 16 題

604

第 17 題

\frac{5}{7}

第 18 題

\frac{34}{55}

第 19 題

63

第 20 題

\frac{2}{5}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題、多選第 5 題、選填 A（第 6 題）：數與式、對數與多項式函數

第 1 題答案 (1)。左邊的分母合併成

(a + 7) + (b - 3) 2

。由原式，分母

= \frac{3 - 2 2}{3 + 2 2}

，上下同乘

3 - 22

：分母

= \frac{( 3 - 2 2 ) ^{2}}{9 - 8} = 17 - 122

。

a

、

b

是有理數，比較兩邊的有理數部分與

2

的係數：

a + 7 = 17

、

b - 3 = - 12

，得

a = 10

、

b = - 9

。

「

a

、

b

為有理數」這個條件是用來比較係數的：有理數加有理數倍的

2

，寫法只有一種。

第 2 題答案 (5)。除式

2 x - 1

是一次式，餘式是常數，由餘式定理等於

f (\frac{1}{2})

。

x = \frac{1}{2}

時

4 x + 1 = 3

，所以

f (\frac{1}{2}) = 3 \times 3^{3} - 5 \times 3^{2} + 7 \times 3 - 9 = 81 - 45 + 21 - 9 = 48

。

不必把

f (x)

展開，把

4 x + 1

當成一整塊代值就好。

第 5 題答案 (1)(4)(5)。用綜合除法連續除以

x - 1

：第一次，

3, - 1, - 3, 4

得商

3 x^{2} + 2 x - 1

、餘

3

，所以

d = 3

；第二次，

3, 2, - 1

得商

3 x + 5

、餘

4

，所以

c = 4

；第三次，

3, 5

得商

3

、餘

8

，所以

b = 8

、

a = 3

。即

f (x) = 3 (x - 1)^{3} + 8 (x - 1)^{2} + 4 (x - 1) + 3

。(1)

a + b + c + d = 3 + 8 + 4 + 3 = 18

，正確。(2)

x = 0.99

時

x - 1 = - 0.01

，

f (0.99) = 3 \times (- 0.000001) + 8 \times 0.0001 + 4 \times (- 0.01) + 3 = 2.960797

，四捨五入到小數點後第二位是

2.96

，不是

3.04

，錯誤。(3) 在

x = 1

附近的一次近似是後兩項

4 (x - 1) + 3 = 4 x - 1

，不是

4 x + 1

，錯誤。(4)

∣ x ∣

很大時由最高次項決定，圖形近似於

y = 3 x^{3}

，正確。(5)

f (x) = (x - 1)^{2} [3 (x - 1) + 8] + 4 (x - 1) + 3

，除以

(x - 1)^{2}

的餘式是

4 (x - 1) + 3 = 4 x - 1

，正確。

(2) 的

3.04

是把

x - 1

誤當成

+ 0.01

的結果；

0.99

在

1

的左邊，

x - 1

是負的。(3) 與 (5) 是同一個式子

4 x - 1

。

第 6 題

10 0^{a} \times 1 0^{- a} = 1 0^{2 a} \times 1 0^{- a} = 1 0^{a}

。由

a = lo g 121

得

1 0^{a} = 121

，所以

10 0^{a} \times 1 0^{- a} = 121 = 11

。

要寫成 x−1 的多項式就連續做綜合除法，餘數依序是常數項、一次項、二次項的係數；後兩項就是一次近似，也是除以 (x−1) 平方的餘式。

02單選第 3、4 題、選填 B、G（第 7、12 題）：直線、圓與三角比

第 3 題答案 (2)。把直線寫成

x + 2 y - k = 0

。兩點在直線的異側，代入

x + 2 y - k

的值一正一負。

A (5, - 3)

代入得

5 - 6 - k = - 1 - k

，

B (- 5, 1)

代入得

- 5 + 2 - k = - 3 - k

。兩者相乘小於

0

：

(- 1 - k) (- 3 - k) < 0

，即

(k + 1) (k + 3) < 0

，

- 3 < k < - 1

。選項中只有

k = - 2

在這個範圍內。

k = - 3

時

B

在直線上，

k = - 1

時

A

在直線上，都不算異側。

第 4 題答案 (2)。

45 0^{\circ} - θ = 36 0^{\circ} + (9 0^{\circ} - θ)

，多轉一圈不改變三角比，所以

sin (45 0^{\circ} - θ) = sin (9 0^{\circ} - θ) = cos θ = - \frac{5}{3}

。

不必知道

θ

在第幾象限，也不必求

sin θ

；選項 (3)(4) 的

\pm \frac{2}{3}

是

sin θ

可能的值。

第 7 題把圓配方：

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 12 + 4 + 9 = 25

，圓心

(2, - 3)

、半徑

5

。相切表示圓心到直線的距離等於半徑：

\frac{∣4 \times 2 - 3 \times ( - 3 ) + k ∣}{4 ^{2} + 3 ^{2}} = 5

，即

∣17 + k ∣ = 25

，

k = 8

或

k = - 42

。因為

k > 0

，所以

k = 8

。

第 12 題已知兩邊與夾角，用餘弦定理：

\overline{B C}^{2} = 2^{2} + (23)^{2} - 2 \times 2 \times 23 \times cos 3 0^{\circ} = 4 + 12 - 83 \times \frac{3}{2} = 16 - 12 = 4

，所以

\overline{B C} = 2

。

\overline{B C} = \overline{A B} = 2

，這是頂角

12 0^{\circ}

、兩底角

3 0^{\circ}

的等腰三角形。

異側就是代入後異號；直線與圓相切用圓心到直線的距離等於半徑；角度加減 360° 或遇到 90°−θ 先化簡再代值。

03選填 C、F、K（第 8、11、16 題）：數列、級數與數據分析

第 8 題每一項比前一項多

3

，這是首項

2

、公差

3

的等差數列。

a_{20} = 2 + 19 \times 3 = 59

，前

20

項的和

= \frac{20 \times ( 2 + 59 )}{2} = 610

。

第 11 題

7

筆數據由小到大排好，中位數是第

4

筆，所以

b = 7

。眾數是

9

，表示

9

出現最多次；

3, 5, 10

與

b = 7

都不是

9

，而

a \leq b = 7

也不會是

9

，所以只能是

c = 9

。平均數為

7

，總和是

49

：

3 + 5 + a + 7 + 9 + 9 + 10 = 43 + a = 49

，得

a = 6

。檢查順序

3, 5, 6, 7, 9, 9, 10

確實由小到大，所以

(a, b, c) = (6, 7, 9)

。

第 16 題先展開：

(k + 2) (2 k + 1) = 2 k^{2} + 5 k + 2

。

k = 1 \sum 8 k^{2} = \frac{8 \times 9 \times 17}{6} = 204

，

k = 1 \sum 8 k = \frac{8 \times 9}{2} = 36

，常數

2

加

8

次是

16

。所以原式

= 2 \times 204 + 5 \times 36 + 16 = 408 + 180 + 16 = 604

。

常數項要乘上項數

8

，不是只加一次。

04選填 D、E（第 9、10 題）：排列組合與機率

第 9 題

10

人任選

2

位，共

C_{2}^{10} = 45

種，每一種機會相等。號碼相連的有

(1, 2), (2, 3), \dots, (9, 10)

共

9

種，所以不相連的有

45 - 9 = 36

種，機率

= \frac{36}{45} = \frac{4}{5}

。

第 10 題分兩步。先決定丁拿哪一本：

5

種。剩下

4

本書不能再給丁，每一本各自從甲、乙、丙三人中選一位：

3^{4} = 81

種。共

5 \times 81 = 405

種。

題目只要求丁恰得一本，甲、乙、丙當中可以有人沒拿到書。

「不相連」這類條件，用全部扣掉相連的比較快；分東西給人時，看的是每一件東西有幾個去處。

05選填 H、I、J、L、M、N、O（第 13、14、15、17、18、19、20 題）：數列的極限與無窮等比級數

第 13 題

n \to \infty

時

\frac{3}{n} \to 0

、

\frac{1}{n ^{2} + 1} \to 0

，兩個括號各自收斂到

0 - 1 = - 1

與

2 + 0 = 2

。收斂數列的乘積的極限等於極限的乘積，所以答案是

(- 1) \times 2 = - 2

。

第 14 題底數最大的是

6

，分子、分母同除以

6^{n}

：

\frac{6 ^{n + 1} - 5 ^{n}}{5 \times 6 ^{n} + 2 ^{n + 1}} = \frac{6 - ( \frac{5}{6} ) ^{n}}{5 + 2 \times ( \frac{1}{3} ) ^{n}}

。因為

(\frac{5}{6})^{n} \to 0

、

(\frac{1}{3})^{n} \to 0

，極限是

\frac{6 - 0}{5 + 0} = \frac{6}{5}

。

6^{n + 1} = 6 \times 6^{n}

、

2^{n + 1} = 2 \times 2^{n}

，指數上的

+ 1

要先拆成係數。

第 15 題立方和公式：

1^{3} + 2^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2} = \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4}

。所以原式

= \frac{n ^{2} ( n + 1 ) ^{2}}{4 n ^{4}} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{n})^{2}

，

n \to \infty

時極限是

\frac{1}{4}

。

分子有

n

項，項數跟著

n

變多，不能一項一項分開取極限（每項都趨近

0

，但加起來不是

0

）；要先求和。

第 17 題首項

1

，公比

r = - \frac{2}{5}

，

∣ r ∣ < 1

，級數收斂，和

= \frac{1}{1 - ( - \frac{2}{5} )} = \frac{1}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7}

。

第 18 題循環節是

18

，

6

不循環：

0.6 \overline{18} = 0.6 + 0.018 + 0.00018 + \dots

。後面是首項

0.018

、公比

0.01

的無窮等比級數，和

= \frac{0.018}{1 - 0.01} = \frac{18}{990} = \frac{1}{55}

。所以

0.6 \overline{18} = \frac{3}{5} + \frac{1}{55} = \frac{33 + 1}{55} = \frac{34}{55}

。

用公式也可以：

\frac{618 - 6}{990} = \frac{612}{990} = \frac{34}{55}

。

第 19 題由圖，每個正方形的底邊在

\overline{A C}

上、左上頂點在

\overline{A B}

上，下一個正方形的右邊貼著前一個正方形的左邊。設第

n

個正方形的邊長是

s_{n}

。它的左上頂點高度是

s_{n}

，而

∠ B A C = 6 0^{\circ}

，所以這個頂點到

A

的水平距離是

\frac{s _{n}}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{s _{n}}{3}

。第

n + 1

個正方形從水平距離

\frac{s _{n + 1}}{3}

的地方開始，寬

s_{n + 1}

，右邊正好到第

n

個正方形的左邊：

\frac{s _{n + 1}}{3} + s_{n + 1} = \frac{s _{n}}{3}

，即

s_{n + 1} (1 + 3) = s_{n}

，

\frac{s _{n + 1}}{s _{n}} = \frac{1}{3 + 1} = \frac{3 - 1}{2}

。邊長成等比，面積也成等比，公比

r = (\frac{3 - 1}{2})^{2} = \frac{4 - 2 3}{4} = \frac{2 - 3}{2}

，介於

0

與

1

之間。首項是

3^{2} = 9

，面積總和

= \frac{9}{1 - \frac{2 - 3}{2}} = \frac{9}{\frac{3}{2}} = \frac{18}{3} = 63

。

面積的公比是邊長公比的平方，不要直接拿邊長的公比去算面積的和。

第 20 題

5 n^{2} > 0

，三邊同除以

5 n^{2}

：

\frac{2 n ^{2} + 3}{5 n ^{2}} < a_{n} < \frac{2 n ^{2} + 6 n}{5 n ^{2}}

。左邊

= \frac{2}{5} + \frac{3}{5 n ^{2}} \to \frac{2}{5}

，右邊

= \frac{2}{5} + \frac{6}{5 n} \to \frac{2}{5}

。兩邊的極限相同，由夾擠定理，

n \to \infty lim a_{n} = \frac{2}{5}

。

極限先看哪一項長得最快，同除以它；項數會變多的和要先求和；圖形題先找相鄰兩個圖形的邊長比，面積的公比是它的平方。

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題目取自平鎮高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

平鎮高中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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每一題，錯在哪一步

01單選第 1、2 題、多選第 5 題、選填 A（第 6 題）：數與式、對數與多項式函數

02單選第 3、4 題、選填 B、G（第 7、12 題）：直線、圓與三角比

03選填 C、F、K（第 8、11、16 題）：數列、級數與數據分析

04選填 D、E（第 9、10 題）：排列組合與機率

05選填 H、I、J、L、M、N、O（第 13、14、15、17、18、19、20 題）：數列的極限與無窮等比級數

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平鎮高中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2 題、多選第 5 題、選填 A（第 6 題）：數與式、對數與多項式函數

02單選第 3、4 題、選填 B、G（第 7、12 題）：直線、圓與三角比

03選填 C、F、K（第 8、11、16 題）：數列、級數與數據分析

04選填 D、E（第 9、10 題）：排列組合與機率

05選填 H、I、J、L、M、N、O（第 13、14、15、17、18、19、20 題）：數列的極限與無窮等比級數

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