段考詳解範圍：直線與圓（直線方程式、圓方程式、圓與直線的關係）

平鎮高中 113 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多重選擇題 3 題（15 分）、選填題 A～N 共 14 題（每格完全答對得 5 分，每題一個答案欄，共 70 分）；本頁第 1～6 題與卷面題號相同，第 7～20 題依序為原卷選填題 A～N。卷頭注意事項：所有的分數型式的答案皆須化成最簡分數。答案已與學校公布的答案逐題核對（原卷所附年級試題分析表列有標準答案），有 1 題看法不同（第 5 題選項 5，本頁照學校的答案，詳解寫明兩種讀法）。

一、單選題：說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

如右圖，

L : a x + b y = c

，則直線

L^{'} : c x + a y = b

的圖形不經過第幾象限？

(1) 第一象限
(2) 第二象限
(3) 第三象限
(4) 第四象限
(5) 無法判斷

載入中...

坐標平面上，直線

y = 2 x

與直線

3 x + y = 5

將坐標平面分割成四個區域。試問下列哪一個選項中的點會和點

(1, 1)

在同一個區域？

(1) $(20, - 56)$
(2) $(13, - 33)$
(3) $(- 1, 1)$
(4) $(- 15, - 29)$
(5) $(- 20, - 29)$

下列哪一個選項中的直線與圓

C

：

x^{2} + y^{2} = 25

所截的弦長最長？

(1) $x = 1$
(2) $3 x + 4 y + 5 = 0$
(3) $4 x - 3 y + 25 = 0$
(4) $x - y - 1 = 0$
(5) $y = 0$

二、多重選擇題：說明：第 4 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

若直線

L

通過

P (3, 6)

且在坐標軸上的截距和為

20

，則直線與兩軸圍成的三角形面積可能為何？

(1) $52$
(2) $48$
(3) $\frac{75}{2}$
(4) $\frac{85}{2}$
(5) $\frac{95}{2}$

在坐標平面上，下列選項哪些正確？

(1) 圓 $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 3$ 的圖形會與 $x$ 軸相交。
(2) 圓 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ 的圖形會通過第三象限。
(3) 圓 $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ 上的點到定點 $A (2, 0)$ 的距離為整數的點有 $8$ 個。
(4) $A (0, 0)$ ， $B (3, 0)$ ， $C (0, 2)$ ， $D (3, 2)$ 四點在同一個圓上。
(5) 已知方程式 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + k = 0$ 的圖形是一個圓，且點 $(3, 1)$ 在圓外，則實數 $k$ 滿足 $k > - 12$ 。

已知坐標平面上三點

A (1, 1)

，

B (5, 3)

，

C (3, 6)

，若過點

(2, 0)

的直線

L

與

△ A B C

交於兩點，則下列哪些可能為直線

L

的斜率？

(1) $3$
(2) $\frac{1}{3}$
(3) $1$
(4) $6$
(5) $- 99$

三、選填題：說明：第 A 至 N 題，每格完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

通過兩直線

x + 2 y = 3

和

2 x - y = 1

的交點，且與直線

2 x - 3 y = 7

垂直的直線為

a x + b y = c

，求序對

(a, b, c) =

____。

坐標平面上有四點，

A (4, 1)

，

B (m, - 6)

，

C (10, n)

，

D (7, 8)

，若

A

、

B

、

C

、

D

四點共線，求

n - 6 m =

____。

設

m

為整數，若兩直線

L_{1} : (2 m + 1) x + 2 y = 5

，

L_{2} : (3 m + 5) x + (3 m + 4) y = 7

互相垂直，則

m =

____。

已知兩平行線

L_{1} : 2 x - 6 y + 9 = 0

，

L_{2} : a x + 3 y + \frac{11}{2} = 0

的距離為

b

，求數對

(a, b) =

____。

在坐標平面上，設圓

C

通過

A (2, 1)

，

B (4, 3)

兩點，且其圓心在直線

x + 2 y - 3 = 0

上，則圓

C

的方程式為

x^{2} + y^{2} + d x + ey + f = 0

，求序對

(d, e, f) =

____。

在坐標平面上，不等式

⎩ ⎨ ⎧ x + y \geq 0 ， 7 x - 2 y \leq 18 x - 2 y \geq - 6

之圖形所圍成的區域面積為 ____。

已知圓

C

：

x^{2} + y^{2} + x - 7 y + k = 0

與直線

x - 2 y = 0

相切，則實數

k =

____。

坐標平面上，點

(7, - 1)

對直線

x - 2 y - 4 = 0

的對稱坐標為 ____。

已知三直線

L_{1} : x + 3 y - 1 = 0

，

L_{2} : x - y + 3 = 0

，

L_{3} : 2 x + k y + 1 = 0

不能圍成三角形，求

k

所有可能的值的和為 ____。

已知

A (1, - 1)

，

B (2, 3)

與

P (x, y)

三點滿足

\overline{P A} = 2 \overline{P B}

的所有

P

點所成圖形為阿波羅尼斯圓，求其圓心坐標為 ____。

設圓

C

：

(x - 8)^{2} + (y + 9)^{2} = 16

，直線

L

：

5 x + 12 y + 3 = 0

，請問圓上有多少個點與直線的距離為正整數？

在坐標平面上，一道光線沿著直線

y = a x + b

射向

x

軸之點

Q

，假設光線依光學原理（入射角等於反射角）反射後沿著直線

y = 4 x - 12

走，則數對

(a, b) =

____。

在坐標平面上

A (8, 10)

處有一點光源，將圓

(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 5

投射到

y

軸上，則其在

y

軸上的影子長為 ____。

通過點

A (5, - 2)

且與直線

L

：

3 x - y = 1

相切於點

B (1, 2)

之圓方程式為

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r

，求序對

(a, b, r) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(1)

第 3 題(5)

第 4 題(2)(3)

第 5 題(3)(4)（照學校公布的答案；選項 (5) 照字面邏輯也成立，那樣讀答案為 (3)(4)(5)，見詳解）

第 6 題(1)(4)(5)

第 7 題

(3, 2, 5)

第 8 題

9

第 9 題

- 1

第 10 題

(- 1, 10)

第 11 題

(- 14, 4, 19)

第 12 題

18

第 13 題

\frac{5}{4}

第 14 題

(5, 3)

第 15 題

7

第 16 題

(\frac{7}{3}, \frac{13}{3})

第 17 題

16

第 18 題

(- 4, 12)

第 19 題

12

第 20 題

(4, 1, 10)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：由圖判斷係數、兩直線分割平面、弦長

第 1 題答案 (2)。

L

不是鉛直線，所以

b \neq = 0

，可寫成

y = - \frac{a}{b} x + \frac{c}{b}

。由圖，

L

往右上升，斜率

- \frac{a}{b} > 0

；與

y

軸交在原點上方，

y

截距

\frac{c}{b} > 0

。因此

a

與

b

異號、

c

與

b

同號，

a \neq = 0

。

L^{'}

：

c x + a y = b

寫成

y = - \frac{c}{a} x + \frac{b}{a}

：斜率

- \frac{c}{a}

，因為

c

與

a

異號，斜率為正；

y

截距

\frac{b}{a} < 0

。斜率為正、

y

截距為負的直線經過第一、三、四象限，不經過第二象限。

也可以直接取一組符合的數，例如

a = - 1

、

b = 2

、

c = 2

（

L : - x + 2 y = 2

斜率

\frac{1}{2}

、

y

截距

1

），則

L^{'} : 2 x - y = 2

，即

y = 2 x - 2

，不經過第二象限。

第 2 題答案 (1)。把兩條直線寫成

y - 2 x = 0

與

3 x + y - 5 = 0

。同一個區域內的點，代入

y - 2 x

與

3 x + y - 5

的正負號都相同。

(1, 1)

代入：

y - 2 x = - 1 < 0

，

3 x + y - 5 = - 1 < 0

。逐一代入選項：(1)

(20, - 56)

：

- 56 - 40 = - 96 < 0

，

60 - 56 - 5 = - 1 < 0

，兩個都負，同一區域。(2)

(13, - 33)

：

3 x + y - 5 = 39 - 33 - 5 = 1 > 0

，不同。(3)

(- 1, 1)

：

y - 2 x = 1 + 2 = 3 > 0

，不同。(4)

(- 15, - 29)

：

y - 2 x = - 29 + 30 = 1 > 0

，不同。(5)

(- 20, - 29)

：

y - 2 x = - 29 + 40 = 11 > 0

，不同。

選項 (1) 和 (2) 的數字都設計成很靠近邊界線（代入值只差

1

），要算清楚，不能用目測。

第 3 題答案 (5)。圓心

O (0, 0)

，半徑

5

。圓心到直線的距離

d

愈小，弦長

2 25 - d^{2}

愈長。(1)

x = 1

：

d = 1

。(2)

d = \frac{∣5∣}{9 + 16} = 1

。(3)

d = \frac{∣25∣}{16 + 9} = 5

，等於半徑，相切，只交一點。(4)

d = \frac{∣ - 1∣}{2} = \frac{2}{2}

。(5)

y = 0

通過圓心，

d = 0

，所截的弦是直徑，長

10

，最長。

判斷點在哪一側，就看代入直線式

a x + b y + c

的正負號；比較弦長，就比較圓心到直線的距離。

02多重選擇 4～6：截距、圓的性質、過定點的直線

第 4 題答案 (2)(3)。設

x

截距為

p

、

y

截距為

q

（要圍成三角形，兩者都不為

0

），直線為

\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1

，且

p + q = 20

。過

P (3, 6)

：

\frac{3}{p} + \frac{6}{q} = 1

，即

3 q + 6 p = pq

。以

q = 20 - p

代入：

3 (20 - p) + 6 p = p (20 - p)

，

60 + 3 p = 20 p - p^{2}

，

p^{2} - 17 p + 60 = 0

，

(p - 5) (p - 12) = 0

。

p = 12

時

q = 8

，面積

\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48

；

p = 5

時

q = 15

，面積

\frac{1}{2} \times 5 \times 15 = \frac{75}{2}

。所以 (2)(3) 對，(1)(4)(5) 錯。

檢查：

\frac{3}{12} + \frac{6}{8} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1

；

\frac{3}{5} + \frac{6}{15} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1

，兩條直線都通過

P

。

第 5 題答案 (3)(4)（照學校公布的答案，選項 (5) 的兩種讀法見下）。(1) 錯：圓心

(1, 2)

到

x

軸的距離是

2

，半徑

3 < 2

，圓與

x

軸不相交。(2) 錯：圓心

(2, 1)

、半徑

5

，而原點到圓心的距離是

4 + 1 = 5

，圓剛好通過原點。第三象限的點

(x, y)

有

x < 0

、

y < 0

，所以

(x - 2)^{2} > 4

、

(y - 1)^{2} > 1

，到圓心的距離大於

5

，都在圓外；圓不通過第三象限。(3) 對：圓心

(- 2, 3)

、半徑

2

，圓心到

A

的距離

16 + 9 = 5

。圓上的點到

A

的距離最小是

5 - 2 = 3

（只有一點）、最大是

5 + 2 = 7

（只有一點）；從最近點沿圓走到最遠點有左右兩條弧，每條弧上距離從

3

連續增加到

7

，所以距離為

4

、

5

、

6

的點各有

2

個。共

1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8

個。(4) 對：四點是長方形的四個頂點，兩條對角線

\overline{A D}

、

\overline{B C}

的中點都是

(\frac{3}{2}, 1)

、長都是

13

，所以四點到

(\frac{3}{2}, 1)

的距離都是

\frac{13}{2}

，在同一個圓上。(5) 這個選項有兩種讀法：配方得

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5 - k

，是圓要

5 - k > 0

，即

k < 5

；點

(3, 1)

在圓外：

(3 + 1)^{2} + (1 - 2)^{2} > 5 - k

，

17 > 5 - k

，

k > - 12

。兩個條件合起來，

k

的範圍是

- 12 < k < 5

。學校判此選項不正確，理由是只寫

k > - 12

漏了

k < 5

（例如

k = 6

雖然大於

- 12

，方程式

(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = - 1

卻沒有圖形）。但照字面讀，「在這兩個條件下，

k

一定大於

- 12

」這句話本身是對的，因為

- 12 < k < 5

的每個

k

都大於

- 12

；這樣讀答案是 (3)(4)(5)。本頁照學校公布的答案寫 (3)(4)。

(2) 的圓通過原點但沒有進入第三象限，原點不屬於任何象限。(5) 作答時看到「則

k

滿足…」這類敘述，要想一想題目要的是完整範圍，還是只問這句話成不成立。

第 6 題答案 (1)(4)(5)。設

P (2, 0)

。

\overline{A B}

在

x = 2

處的高度是

\frac{3}{2} > 0

，所以

P

在三角形下方、三角形外。

P

到三個頂點的斜率：

m_{P A} = \frac{1 - 0}{1 - 2} = - 1

，

m_{P B} = \frac{3 - 0}{5 - 2} = 1

，

m_{P C} = \frac{6 - 0}{3 - 2} = 6

。從

P

看過去，三角形夾在直線

P B

（斜率

1

）與直線

P A

（斜率

- 1

）之間，

P C

在兩者之間。所以過

P

的直線要穿過三角形，斜率要大於

1

或小於

- 1

（或是鉛直線）；這時直線從

\overline{A B}

穿入、從另一邊穿出，交於兩點。斜率剛好是

1

或

- 1

時，直線只碰到頂點

B

或

A

一點；斜率在

- 1

與

1

之間時與三角形不相交。(1)

3 > 1

，可能。(2)

\frac{1}{3}

在

- 1

與

1

之間，不相交。(3)

1

只交於

B

一點，不行。(4)

6

：直線通過

C

，又與

\overline{A B}

交於另一點，交於兩點，可能。(5)

- 99 < - 1

，可能。

檢查 (4)：

y = 6 x - 12

與

\overline{A B}

（

y = \frac{x + 1}{2}

）的交點

x = \frac{25}{11}

，在

1

與

5

之間，確實在線段上。

過定點的直線與線段或三角形相交，先算定點到各頂點的斜率，再看斜率要落在哪一段；端點剛好碰到頂點的情形要另外檢查交點個數。

03選填 A～E（第 7～11 題）：垂直、共線、平行線距離、求圓

第 7 題解

x + 2 y = 3

、

2 x - y = 1

：第二式乘

2

得

4 x - 2 y = 2

，與第一式相加

5 x = 5

，

x = 1

、

y = 1

，交點

(1, 1)

。與

2 x - 3 y = 7

垂直的直線可寫成

3 x + 2 y = c

（把

x

、

y

的係數對調，並改一個正負號）。代入

(1, 1)

：

c = 3 + 2 = 5

。所以直線為

3 x + 2 y = 5

，

(a, b, c) = (3, 2, 5)

。

a x + b y = c

乘上任何不為

0

的數仍是同一條直線；卷面三格都是一位數的答案欄，對應的是

3 x + 2 y = 5

這個寫法。檢查垂直：

2 x - 3 y = 7

斜率

\frac{2}{3}

，

3 x + 2 y = 5

斜率

- \frac{3}{2}

，相乘為

- 1

。

第 8 題四點共線，任兩點的斜率都相同。

A (4, 1)

、

D (7, 8)

的斜率

\frac{8 - 1}{7 - 4} = \frac{7}{3}

。

A

、

B

：

\frac{- 6 - 1}{m - 4} = \frac{7}{3}

，

m - 4 = - 3

，

m = 1

。

A

、

C

：

\frac{n - 1}{10 - 4} = \frac{7}{3}

，

n - 1 = 14

，

n = 15

。所以

n - 6 m = 15 - 6 = 9

。

第 9 題兩直線

a_{1} x + b_{1} y = c_{1}

與

a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

垂直的條件是

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0

（由斜率相乘為

- 1

整理即得，

y

的係數為

0

時也適用）。所以

(2 m + 1) (3 m + 5) + 2 (3 m + 4) = 0

，

6 m^{2} + 13 m + 5 + 6 m + 8 = 0

，

6 m^{2} + 19 m + 13 = 0

，

(m + 1) (6 m + 13) = 0

，

m = - 1

或

m = - \frac{13}{6}

。

m

為整數，所以

m = - 1

。

檢查：

m = - 1

時

L_{1} : - x + 2 y = 5

、

L_{2} : 2 x + y = 7

，斜率

\frac{1}{2}

與

- 2

，相乘為

- 1

。用斜率相乘為

- 1

列式時，要注意

L_{2}

的

y

係數

3 m + 4

可能為

0

，用

a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} = 0

就不必分情形。

第 10 題兩直線平行，

x

、

y

的係數成比例：

\frac{a}{2} = \frac{3}{- 6}

，

a = - 1

。

L_{2} : - x + 3 y + \frac{11}{2} = 0

，兩邊乘以

- 2

得

2 x - 6 y - 11 = 0

，和

L_{1} : 2 x - 6 y + 9 = 0

的係數一致。平行線距離

b = \frac{∣9 - ( - 11 ) ∣}{2 ^{2} + ( - 6 ) ^{2}} = \frac{20}{40} = \frac{20}{2 10} = 10

。所以

(a, b) = (- 1, 10)

。

用平行線距離公式

\frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

之前，一定要先把兩式的

x

、

y

係數化成完全相同。

第 11 題圓心到

A

、

B

等距，所以圓心在

\overline{A B}

的中垂線上。

\overline{A B}

中點

(3, 2)

，斜率

\frac{3 - 1}{4 - 2} = 1

，中垂線斜率

- 1

：

y - 2 = - (x - 3)

，即

x + y = 5

。與

x + 2 y - 3 = 0

聯立：相減得

y = - 2

，

x = 7

，圓心

(7, - 2)

。半徑平方

= (7 - 2)^{2} + (- 2 - 1)^{2} = 25 + 9 = 34

。圓：

(x - 7)^{2} + (y + 2)^{2} = 34

，展開

x^{2} + y^{2} - 14 x + 4 y + 49 + 4 - 34 = 0

，即

x^{2} + y^{2} - 14 x + 4 y + 19 = 0

。

(d, e, f) = (- 14, 4, 19)

。

檢查

B (4, 3)

：

16 + 9 - 56 + 12 + 19 = 0

。

過兩點的圓，圓心一定在這兩點連線的中垂線上；再加一條圓心所在的直線，聯立就得到圓心。

04選填 F～J（第 12～16 題）：區域面積、相切、對稱點、三直線、阿波羅尼斯圓

第 12 題三條邊界線兩兩求交點：

x + y = 0

與

7 x - 2 y = 18

：

y = - x

代入，

9 x = 18

，得

(2, - 2)

。

x + y = 0

與

x - 2 y = - 6

：

y = - x

代入，

3 x = - 6

，得

(- 2, 2)

。

7 x - 2 y = 18

與

x - 2 y = - 6

：相減

6 x = 24

，得

(4, 5)

。檢查

(1, 1)

三個不等式都成立（

2 \geq 0

、

5 \leq 18

、

- 1 \geq - 6

），而

(1, 1)

在這三點圍成的三角形內，所以區域就是這個三角形。以

(2, - 2)

與

(- 2, 2)

的連線（在

x + y = 0

上）當底，底長

4^{2} + 4^{2} = 42

；高是

(4, 5)

到

x + y = 0

的距離

\frac{∣4 + 5∣}{2} = \frac{9}{2}

。面積

\frac{1}{2} \times 42 \times \frac{9}{2} = 18

。

也可以把三角形放進外接長方形：

x

從

- 2

到

4

、

y

從

- 2

到

5

，長方形面積

6 \times 7 = 42

，減去三個直角三角形

\frac{1}{2} \times 4 \times 4 + \frac{1}{2} \times 2 \times 7 + \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 8 + 7 + 9 = 24

，得

18

。

第 13 題配方：

(x + \frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{7}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{49}{4} - k = \frac{25}{2} - k

，圓心

(- \frac{1}{2}, \frac{7}{2})

，半徑平方

\frac{25}{2} - k

。相切時圓心到直線

x - 2 y = 0

的距離等於半徑：

\frac{- \frac{1}{2} - 7}{1 + 4} = \frac{15}{2 5}

，平方得

\frac{225}{20} = \frac{45}{4}

。所以

\frac{25}{2} - k = \frac{45}{4}

，

k = \frac{50}{4} - \frac{45}{4} = \frac{5}{4}

。

另解：把

x = 2 y

代入圓的方程式得

5 y^{2} - 5 y + k = 0

，相切時只有一個交點，判別式

25 - 20 k = 0

，

k = \frac{5}{4}

。

第 14 題設對稱點為

(p, q)

。連線與直線

x - 2 y - 4 = 0

（斜率

\frac{1}{2}

）垂直，所以

\frac{q + 1}{p - 7} = - 2

，即

q + 1 = - 2 (p - 7)

。中點

(\frac{p + 7}{2}, \frac{q - 1}{2})

在直線上：

\frac{p + 7}{2} - (q - 1) - 4 = 0

，即

p - 2 q = - 1

。由第一式

q = 13 - 2 p

，代入第二式：

p - 26 + 4 p = - 1

，

p = 5

，

q = 3

。對稱點

(5, 3)

。

檢查：中點

(6, 1)

代入

6 - 2 - 4 = 0

；連線斜率

\frac{3 - ( - 1 )}{5 - 7} = - 2

，與

\frac{1}{2}

相乘為

- 1

。

第 15 題三直線不能圍成三角形有兩種情形：有兩條平行，或三條交於一點。

L_{1}

斜率

- \frac{1}{3}

，

L_{2}

斜率

1

，兩者不平行。

L_{3} : 2 x + k y + 1 = 0

。(i)

L_{3} ∥ L_{1}

：

\frac{2}{1} = \frac{k}{3}

，

k = 6

（此時

L_{3} : 2 x + 6 y + 1 = 0

，與

L_{1} : 2 x + 6 y - 2 = 0

不重合）。(ii)

L_{3} ∥ L_{2}

：

\frac{2}{1} = \frac{k}{- 1}

，

k = - 2

（此時

L_{3} : 2 x - 2 y + 1 = 0

，與

L_{2} : 2 x - 2 y + 6 = 0

不重合）。(iii) 三線共點：

L_{1}

、

L_{2}

聯立，相減得

4 y = 4

，

y = 1

、

x = - 2

，交點

(- 2, 1)

代入

L_{3}

：

- 4 + k + 1 = 0

，

k = 3

。

k

所有可能的值的和

6 + (- 2) + 3 = 7

。

第 16 題

\overline{P A} = 2 \overline{P B}

兩邊平方：

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4 [(x - 2)^{2} + (y - 3)^{2}]

。展開：

x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 2 = 4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x - 24 y + 52

，移項整理得

3 x^{2} + 3 y^{2} - 14 x - 26 y + 50 = 0

，同除以

3

：

x^{2} + y^{2} - \frac{14}{3} x - \frac{26}{3} y + \frac{50}{3} = 0

。圓心是

x

、

y

係數的一半變號：

(\frac{7}{3}, \frac{13}{3})

。

檢查圖形確實是圓：半徑平方

= (\frac{7}{3})^{2} + (\frac{13}{3})^{2} - \frac{50}{3} = \frac{49 + 169 - 150}{9} = \frac{68}{9} > 0

。圓心

(\frac{7}{3}, \frac{13}{3})

在直線

A B

上、

B

的外側（

A

到它的位移是

A

到

B

的

\frac{4}{3}

倍）。

三直線不能圍成三角形：兩兩平行（含與哪一條平行）和三線共點，每種情形都要算進去。

05選填 K～N（第 17～20 題）：圓上的點到直線的距離、反射、影子長、相切的圓

第 17 題圓心

(8, - 9)

，半徑

4

。圓心到

L

的距離

\frac{∣40 - 108 + 3∣}{25 + 144} = \frac{65}{13} = 5 > 4

，直線在圓外。圓上的點到

L

的距離最小

5 - 4 = 1

（只有一點）、最大

5 + 4 = 9

（只有一點）。從最近點沿圓走到最遠點有兩條弧，每條弧上距離從

1

連續增加到

9

，所以距離為

2, 3, \dots, 8

的點各有

2

個。正整數距離的點共

1 + 7 \times 2 + 1 = 16

個。

另一個看法：距離

L

為

t

的點在兩條與

L

平行的直線上，靠圓這一側的那條與圓心的距離是

∣5 - t ∣

；

∣5 - t ∣ < 4

時交圓於兩點，

= 4

時相切一點。

第 18 題反射後的光線

y = 4 x - 12

與

x

軸交於

Q (3, 0)

，入射光線也通過

Q

。依入射角等於反射角，入射光線與反射光線對

x

軸對稱：把

y = 4 x - 12

的

y

換成

- y

，得

- y = 4 x - 12

，即

y = - 4 x + 12

。所以

(a, b) = (- 4, 12)

。

對稱於

x

軸的兩直線斜率互為相反數，且通過同一個

x

軸上的點：斜率

- 4

、過

(3, 0)

，得

y = - 4 (x - 3)

。

第 19 題影子的兩端是從

A

畫圓的兩條切線與

y

軸的交點。過

A (8, 10)

斜率

m

的直線：

y - 10 = m (x - 8)

，即

m x - y + 10 - 8 m = 0

。圓心

(3, 5)

到它的距離等於半徑

5

：

\frac{∣3 m - 5 + 10 - 8 m ∣}{m ^{2} + 1} = 5

，

(5 - 5 m)^{2} = 5 (m^{2} + 1)

，

25 m^{2} - 50 m + 25 = 5 m^{2} + 5

，

20 m^{2} - 50 m + 20 = 0

，

2 m^{2} - 5 m + 2 = 0

，

(2 m - 1) (m - 2) = 0

，

m = \frac{1}{2}

或

2

。兩條切線的

y

截距為

10 - 8 m

：

m = \frac{1}{2}

時

6

，

m = 2

時

- 6

。影子長

6 - (- 6) = 12

。

圓的

x

範圍是

3 - 5

到

3 + 5

，都大於

0

，圓整個在光源與

y

軸之間，影子就是兩條切線在

y

軸上截出的線段。鉛直線

x = 8

與圓心的距離

5 > 5

，不是切線，不會漏掉。

第 20 題圓與

L

相切於

B

，所以圓心在過

B

且垂直

L

的直線上。

L : 3 x - y = 1

斜率

3

，垂線斜率

- \frac{1}{3}

：

y - 2 = - \frac{1}{3} (x - 1)

，即

x + 3 y = 7

。圓心

(a, b)

又到

A

、

B

等距，在

\overline{A B}

的中垂線上：

\overline{A B}

中點

(3, 0)

，斜率

\frac{- 2 - 2}{5 - 1} = - 1

，中垂線斜率

1

：

y = x - 3

。聯立

x + 3 (x - 3) = 7

，

x = 4

，

y = 1

，圓心

(4, 1)

。

r

在題目的式子裡是半徑的平方：

r = (4 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2} = 10

。

(a, b, r) = (4, 1, 10)

。

題目把方程式寫成

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r

，所以

r

是

10

，不是

10

。檢查

A

：

(5 - 4)^{2} + (- 2 - 1)^{2} = 10

；圓心到

L

的距離

\frac{∣12 - 1 - 1∣}{10} = 10

，等於半徑，確實相切。

圓上的點到直線（或定點）的距離，從最小值連續變到最大值，兩端各一點、中間每個值兩點。

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《直線與圓》單元冊 02・高一上

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依原卷所附的試題分析表，答對率最低的是選填 N（第 20 題，圓心要同時在過切點的垂線上與 AB 的中垂線上，而且題目的 r 是半徑的平方）與第 5 題（選項 2 的圓剛好通過原點，並沒有進入第三象限；選項 3 要分清楚距離最小與最大時各只有一點；選項 5 的敘述有兩種讀法，學校判為不正確（見詳解））；選填 F（第 12 題，先求三條邊界線的交點再算三角形面積）與選填 J（第 16 題，平方展開後要同除以 3 再找圓心）也只有不到兩成答對。詳解逐題寫在本頁。

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03選填 A～E（第 7～11 題）：垂直、共線、平行線距離、求圓

04選填 F～J（第 12～16 題）：區域面積、相切、對稱點、三直線、阿波羅尼斯圓

05選填 K～N（第 17～20 題）：圓上的點到直線的距離、反射、影子長、相切的圓

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