段考詳解範圍：極限與微分（數列的極限、無窮等比級數、函數的極限、連續、導數與可微分、微分公式、切線、一次近似）

興大附中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

第壹部分選擇題占 22 分（單選題 4 題占 16 分、多選題 1 題占 6 分），第貳部分選填題 13 題占 78 分。原卷選填題的題號是 A 至 M，本頁第 6 至 18 題依序對應原卷的 A 至 M 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

第壹部分：選擇題（占 22 分）一、單選題（占 16 分）說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 4 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

試求

n \to \infty lim \frac{( \frac{10}{11} ) ^{n}}{( \frac{9}{10} ) ^{n} + ( \frac{11}{12} ) ^{n}} =

(1) $0$
(2) $1$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $2$
(5) 不存在

試求

x \to 0 lim \frac{2 x}{tan 7 x} =

(1) $0$
(2) $1$
(3) $\frac{2}{7}$
(4) $\frac{7}{2}$
(5) 不存在

試求

n \to \infty lim (\frac{1}{2 n ^{2} + 1} + \frac{1}{2 n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{2 n ^{2} + n}) =

(1) $0$
(2) $1$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{2}$
(5) 不存在

試求

x \to \infty lim (x + x + x - x) =

(1) $0$
(2) $1$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{4}$
(5) 不存在

二、多選題（占 6 分）說明：第 5 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 6 分；答錯 1 個選項者，得 3.6 分；答錯 2 個選項者，得 1.2 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列各極限哪些存在？

(1) $x \to 1 lim \frac{x ∣ x ∣ - 1}{x - 1}$
(2) $x \to 0 lim x \cdot sin \frac{1}{x}$
(3) $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x}$
(4) $x \to 0 lim {1, 0, x 為有理數 x 為無理數$
(5) $n = 1 \sum \infty (n + 1 - n)$

第貳部分：選填題（占 78 分）說明：1. 第 A 至 M 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（6-43）。2. 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

求級數

1 \times 31 + 2 \times 28 + 3 \times 25 + 4 \times 22 + \dots + 20 \times (- 26) =

____。（每一項都是二等差數列逐項相乘）

求

x \to 0 lim \frac{( x + 1 ) ^{20} - 1}{x} =

____。

若

x \to - 2 lim \frac{f ( x )}{x ^{2}} = 1

，求

x \to - 2 lim (f (x) + \frac{f ( x )}{x}) =

____。

若

x \to - 1 lim \frac{2 x ^{2} + a x + b}{x ^{2} - x - 2} = \frac{5}{3}

，試求數對

(a, b) =

____。

若

x \to 0 lim \frac{a x + b - 2}{x} = 1

，則數對

(a, b) =

____。

謝爾賓斯基地毯 (Sierpinski carpet) 是波蘭數學家謝爾賓斯基 (Sierpinski，1882～1969) 在 1916 年提出的一種碎形結構：如下圖，邊長為

6

單位長的正方形，第一次將其平分成

9

塊（九宮格形），然後挖去中間一塊；第二次再將剩餘各塊各平分成

9

塊，分別去掉中間各一塊；…，以此類推。設第

n

次挖去之正方形面積和為

a_{n}

，則

n = 1 \sum \infty a_{n} =

____。

載入中...

若

a

、

b

為實數，欲使函數

f (x) = {a x - b, x^{2} + b x + 4, x \leq 1 x > 1

為一連續且可微分函數，則數對

(a, b) =

____。

設

f (x) = (2 x^{2} + 3) (x^{3} - 2 x + 2)

，則

f^{'} (- 1) =

____。

設

f (x) = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 4 x + 1}

，則

f^{'} (0) =

____。

試求過函數

f (x) = (2 x - 1)^{4} + 1

上一點

P (1, 2)

的切線方程式為

y =

____。

求函數

f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 2 x

的圖形之所有切線中，斜率最大之切線方程式為

y =

____。

試求

f (x) = x^{10} + 2 x + 1

在

x = 1

附近的一次近似為

y =

____。

設

P

點為

f (x) = x^{2} - 8

圖形外一點，已知過

P

點的切線有二條，其斜率分別為

3

、

- 5

，試求

P

點的坐標為 ____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(3)

第 3 題(4)

第 4 題(3)

第 5 題(1)(2)(3)

第 6 題

- 1470

第 7 題

20

第 8 題

2

第 9 題

(- 1, - 3)

第 10 題

(4, 4)

第 11 題

36

第 12 題

(- 1, - 3)

第 13 題

- 7

第 14 題

- 2

第 15 題

y = 8 x - 6

第 16 題

y = 5 x - 1

第 17 題

y = 12 x - 8

第 18 題

(- \frac{1}{2}, - \frac{47}{4})

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：數列與函數的極限

第 1 題答案 (1)。三個底數化成小數比大小：

\frac{9}{10} = 0.9

，

\frac{10}{11} \approx 0.909

，

\frac{11}{12} \approx 0.917

，最大的是

\frac{11}{12}

。分子分母同除以

(\frac{11}{12})^{n}

：分子變成

(\frac{10}{11} \times \frac{12}{11})^{n} = (\frac{120}{121})^{n}

，分母變成

(\frac{9}{10} \times \frac{12}{11})^{n} + 1 = (\frac{54}{55})^{n} + 1

。

n \to \infty

時

(\frac{120}{121})^{n}

與

(\frac{54}{55})^{n}

都趨近

0

，所以極限為

\frac{0}{0 + 1} = 0

。

分子的底數

\frac{10}{11}

不是三個裡面最大的，所以極限是

0

；如果只和

\frac{9}{10}

比就會以為分子比較大。

第 2 題答案 (3)。

tan 7 x = \frac{sin 7 x}{cos 7 x}

，所以

\frac{2 x}{tan 7 x} = \frac{2 x cos 7 x}{sin 7 x} = \frac{2}{7} \cdot \frac{7 x}{sin 7 x} \cdot cos 7 x

。

x \to 0

時

7 x \to 0

，由

θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1

知

\frac{7 x}{sin 7 x} \to 1

，又

cos 7 x \to 1

，所以極限為

\frac{2}{7} \times 1 \times 1 = \frac{2}{7}

。

要配成「同一個角」的

\frac{sin θ}{θ}

：分母是

sin 7 x

，分子就要配出

7 x

。

第 3 題答案 (4)。括號裡共有

n

項，項數會跟著

n

變多，不能逐項取極限。

n

項中分母最小的是

2 n^{2} + 1

、最大的是

2 n^{2} + n

，所以

\frac{n}{2 n ^{2} + n} \leq \frac{1}{2 n ^{2} + 1} + \dots + \frac{1}{2 n ^{2} + n} \leq \frac{n}{2 n ^{2} + 1}

。左邊

= \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} \to \frac{1}{2}

，右邊

= \frac{1}{2 + \frac{1}{n ^{2}}} \to \frac{1}{2}

。由夾擠定理，所求的極限為

\frac{1}{2}

。

每一項各自都趨近

0

，但有

n

項，加起來不是

0

。

第 4 題答案 (3)。有理化：

x + x + x - x = \frac{( x + x + x ) - x}{x + x + x + x} = \frac{x + x}{x + x + x + x}

。分子分母同除以

x

：分子為

1 + \frac{1}{x}

，分母為

1 + \frac{x + x}{x} + 1

，其中

\frac{x + x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x x}

。

x \to \infty

時

\frac{1}{x}

與

\frac{x + x}{x}

都趨近

0

，所以極限為

\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

。

兩個根號各自都趨向無限大，不能說差是

0

；有理化之後再同除以

x

。

指數型同除以底數最大的項；項數變多的和用夾擠；無限大相減先有理化。

02多選 5：哪些極限存在

第 5 題答案 (1)(2)(3)。(1)

x

在

1

附近時

x > 0

，

∣ x ∣ = x

，所以

\frac{x ∣ x ∣ - 1}{x - 1} = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = x + 1

，極限為

2

，存在。(2) 因為

sin \frac{1}{x} \leq 1

，所以

- ∣ x ∣ \leq x sin \frac{1}{x} \leq ∣ x ∣

，兩邊在

x \to 0

時都趨近

0

，由夾擠定理知極限為

0

，存在。(3) 分子分母同乘

1 + cos x

：

\frac{1 - cos x}{x} = \frac{1 - cos ^{2} x}{x ( 1 + cos x )} = \frac{sin x}{x} \cdot \frac{sin x}{1 + cos x}

，

x \to 0

時前者趨近

1

、後者趨近

\frac{0}{2} = 0

，極限為

0

，存在。(4) 不論離

0

多近，都同時有有理數與無理數：例如

x = \frac{1}{k}

（有理數）時函數值是

1

，

x = \frac{2}{k}

（無理數）時函數值是

0

，

k

越大兩種點都越靠近

0

，函數值卻不會靠近同一個數，極限不存在。(5) 前

N

項的和為

(2 - 1) + (3 - 2) + \dots + (N + 1 - N) = N + 1 - 1

，

N \to \infty

時趨向無限大，級數發散，極限不存在。

(5) 的一般項

n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n}

會趨近

0

，但級數仍然發散；一般項趨近

0

不足以推出級數收斂。

極限存在＝不管怎麼靠近，函數值都靠近同一個數；無窮級數要看部分和。

03選填 6～8（原卷 A～C）：有限項的和、函數的極限

第 6 題前面的因數是

1, 2, 3, \dots, 20

，第

k

項的是

k

；後面的因數是首項

31

、公差

- 3

的等差數列，第

k

項是

31 - 3 (k - 1) = 34 - 3 k

（

k = 20

時為

- 26

，與題目相符）。所以原式

= k = 1 \sum 20 k (34 - 3 k) = 34 k = 1 \sum 20 k - 3 k = 1 \sum 20 k^{2}

。其中

k = 1 \sum 20 k = \frac{20 \times 21}{2} = 210

，

k = 1 \sum 20 k^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2870

。原式

= 34 \times 210 - 3 \times 2870 = 7140 - 8610 = - 1470

。

先寫出第

k

項，再用

\sum k

與

\sum k^{2}

的公式；後面的項是負的，總和是負數並不奇怪。

第 7 題用二項式定理展開：

(x + 1)^{20} = 1 + 20 x + C_{2}^{20} x^{2} + \dots + x^{20}

，所以

(x + 1)^{20} - 1 = 20 x + C_{2}^{20} x^{2} + \dots + x^{20}

。除以

x

得

20 + C_{2}^{20} x + \dots + x^{19}

，

x \to 0

時除了

20

以外每一項都趨近

0

，極限為

20

。

也可以看成導數的定義：令

g (t) = t^{20}

，原式就是

x \to 0 lim \frac{g ( 1 + x ) - g ( 1 )}{x} = g^{'} (1) = 20

。

第 8 題

f (x) = \frac{f ( x )}{x ^{2}} \cdot x^{2}

，兩個因式在

x \to - 2

時的極限都存在，所以

x \to - 2 lim f (x) = 1 \times (- 2)^{2} = 4

。於是

x \to - 2 lim (f (x) + \frac{f ( x )}{x}) = 4 + \frac{4}{- 2} = 2

。

題目沒有說

f (x)

是多項式或連續，所以不寫

f (- 2) = 4

，只用極限的四則運算。

已知的極限存在時，把所求的式子拆成已知極限的四則運算。

04選填 9～11（原卷 D～F）：由極限決定係數、無窮等比級數

第 9 題分母

x^{2} - x - 2 = (x + 1) (x - 2)

，

x \to - 1

時趨近

0

。極限存在，所以分子在

x = - 1

的值也要是

0

：

2 - a + b = 0

，即

a = b + 2

。此時分子

2 x^{2} + (b + 2) x + b = (x + 1) (2 x + b)

，原式

= x \to - 1 lim \frac{2 x + b}{x - 2} = \frac{b - 2}{- 3}

。令

\frac{b - 2}{- 3} = \frac{5}{3}

，得

b - 2 = - 5

，

b = - 3

，

a = - 1

。

(a, b) = (- 1, - 3)

。

驗算：分子

2 x^{2} - x - 3 = (x + 1) (2 x - 3)

，約分後

\frac{2 x - 3}{x - 2}

在

x = - 1

的值是

\frac{- 5}{- 3} = \frac{5}{3}

。

第 10 題

x \to 0

時分母趨近

0

而極限存在，所以分子也要趨近

0

：

b - 2 = 0

，

b = 4

。有理化：

\frac{a x + 4 - 2}{x} = \frac{( a x + 4 ) - 4}{x ( a x + 4 + 2 )} = \frac{a}{a x + 4 + 2}

，

x \to 0

時趨近

\frac{a}{2 + 2} = \frac{a}{4}

。令

\frac{a}{4} = 1

，得

a = 4

。

(a, b) = (4, 4)

。

第 11 題原正方形面積為

6 \times 6 = 36

。第一次：分成

9

塊，每塊邊長

2

，挖去中間

1

塊，

a_{1} = 2^{2} = 4

，剩下

8

塊。第二次：

8

塊各分成

9

小塊（邊長

\frac{2}{3}

），各挖去

1

塊，

a_{2} = 8 \times (\frac{2}{3})^{2} = \frac{32}{9}

，剩下

8^{2}

小塊。每做一次，挖去的塊數變成

8

倍、每塊面積變成

\frac{1}{9}

，所以

⟨ a_{n} ⟩

是首項

4

、公比

\frac{8}{9}

的等比數列。公比的絕對值小於

1

，級數收斂，和為

\frac{4}{1 - \frac{8}{9}} = 36

。

和恰好等於原正方形的面積：每一次剩下的面積是前一次的

\frac{8}{9}

，剩下的面積

36 \times (\frac{8}{9})^{n}

趨近

0

，所以挖去的面積總和趨近

36

。這也可以拿來驗算。

分母趨近 0 而極限存在，分子一定也趨近 0；圖形的規律先寫出前兩項找公比。

05選填 12～14（原卷 G～I）：可微分的條件、乘法與除法的微分公式

第 12 題在

x = 1

要連續：左邊的值

f (1) = a - b

，右極限

x \to 1^{+} lim (x^{2} + b x + 4) = 5 + b

，所以

a - b = 5 + b

，即

a = 2 b + 5

。在

x = 1

要可微分，兩側的斜率要相等。左側是直線

y = a x - b

，斜率為

a

。右側：

h \to 0^{+} lim \frac{( 1 + h ) ^{2} + b ( 1 + h ) + 4 - ( 5 + b )}{h} = h \to 0^{+} lim (2 + b + h) = 2 + b

（分子的

f (1)

已用連續條件換成

5 + b

）。所以

a = 2 + b

。與

a = 2 b + 5

聯立得

b = - 3

，

a = - 1

。

(a, b) = (- 1, - 3)

。

x \neq = 1

的地方兩段各自是多項式，本來就連續且可微分，只需要處理接點

x = 1

。兩個條件都要用：先讓函數值接得上，再讓兩側斜率相等。

第 13 題乘法的微分公式：

f^{'} (x) = (2 x^{2} + 3)^{'} (x^{3} - 2 x + 2) + (2 x^{2} + 3) (x^{3} - 2 x + 2)^{'} = 4 x (x^{3} - 2 x + 2) + (2 x^{2} + 3) (3 x^{2} - 2)

。代入

x = - 1

：

4 (- 1) \times (- 1 + 2 + 2) + (2 + 3) (3 - 2) = - 12 + 5 = - 7

。

不必先乘開；直接把

x = - 1

代進兩個括號比較快。

第 14 題除法的微分公式：

f^{'} (x) = \frac{( 2 x + 1 ) ^{'} ( x ^{2} + 4 x + 1 ) - ( 2 x + 1 ) ( x ^{2} + 4 x + 1 ) ^{'}}{( x ^{2} + 4 x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( x ^{2} + 4 x + 1 ) - ( 2 x + 1 ) ( 2 x + 4 )}{( x ^{2} + 4 x + 1 ) ^{2}}

。代入

x = 0

：

\frac{2 \times 1 - 1 \times 4}{1 ^{2}} = - 2

。

分子是「上微下不微，減，上不微下微」，順序與負號不要顛倒。

分段函數在接點：先連續，再左右斜率相等。

06選填 15～18（原卷 J～M）：切線與一次近似

第 15 題先確認

P

在圖形上：

f (1) = (2 - 1)^{4} + 1 = 2

。微分：

f^{'} (x) = 4 (2 x - 1)^{3} \cdot 2 = 8 (2 x - 1)^{3}

，

f^{'} (1) = 8

。切線過

(1, 2)

、斜率

8

：

y - 2 = 8 (x - 1)

，即

y = 8 x - 6

。

(2 x - 1)^{4}

微分時要再乘上括號裡面的導數

2

。不用連鎖律也可以：把

(2 x - 1)^{4}

展開成

16 x^{4} - 32 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 1

再逐項微分，

x = 1

時為

64 - 96 + 48 - 8 = 8

，結果相同。

第 16 題切線斜率為

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 2 = - 3 (x - 1)^{2} + 5

，在

x = 1

時有最大值

5

。切點為

(1, f (1)) = (1, - 1 + 3 + 2) = (1, 4)

。切線：

y - 4 = 5 (x - 1)

，即

y = 5 x - 1

。

「斜率最大」是對

f^{'} (x)

這個二次函數配方求最大值，不是對

f (x)

求。

第 17 題

f (1) = 1 + 2 + 1 = 4

；

f^{'} (x) = 10 x^{9} + 2

，

f^{'} (1) = 12

。

f (x)

在

x = 1

附近的一次近似就是在

x = 1

的切線：

y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = 4 + 12 (x - 1) = 12 x - 8

。

第 18 題

f^{'} (x) = 2 x

。斜率為

3

的切線，切點的

x

坐標滿足

2 x = 3

，

x = \frac{3}{2}

，切點

(\frac{3}{2}, \frac{9}{4} - 8) = (\frac{3}{2}, - \frac{23}{4})

，切線為

y + \frac{23}{4} = 3 (x - \frac{3}{2})

，即

y = 3 x - \frac{41}{4}

。斜率為

- 5

的切線，

2 x = - 5

，

x = - \frac{5}{2}

，切點

(- \frac{5}{2}, \frac{25}{4} - 8) = (- \frac{5}{2}, - \frac{7}{4})

，切線為

y + \frac{7}{4} = - 5 (x + \frac{5}{2})

，即

y = - 5 x - \frac{57}{4}

。

P

是兩條切線的交點：

3 x - \frac{41}{4} = - 5 x - \frac{57}{4}

，

8 x = - 4

，

x = - \frac{1}{2}

；

y = - \frac{3}{2} - \frac{41}{4} = - \frac{47}{4}

。所以

P (- \frac{1}{2}, - \frac{47}{4})

。

驗算：

f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - 8 = - \frac{31}{4}

，比

- \frac{47}{4}

大，

P

在拋物線下方，確實是圖形外的點。

P

的

x

坐標正好是兩個切點

x

坐標的平均。

切線問題先找切點：已知斜率就解導數等於斜率，再寫點斜式。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

興大附中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題：三個底數裡最大的是十二分之十一，不是分子的十一分之十，同除以最大的那一項才看得出極限是 0。單選第 3 題：括號裡有 n 項，每一項都趨近 0 但加起來不是 0，要用夾擠定理。多選第 5 題：選項 5 的一般項趨近 0，級數卻發散，要看部分和。選填 M（本頁第 18 題）：先由斜率求出兩個切點，寫出兩條切線再求交點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 111 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：數列與函數的極限

02多選 5：哪些極限存在

03選填 6～8（原卷 A～C）：有限項的和、函數的極限

04選填 9～11（原卷 D～F）：由極限決定係數、無窮等比級數

05選填 12～14（原卷 G～I）：可微分的條件、乘法與除法的微分公式

06選填 15～18（原卷 J～M）：切線與一次近似

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

興大附中 111 上 高三第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 111 上 高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

興大附中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？