興大附中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

點數差為 $2$ 的情形有 $(1,3)$、$(3,1)$、$(2,4)$、$(4,2)$、$(3,5)$、$(5,3)$、$(4,6)$、$(6,4)$，共 $8$ 種，每一種機會相等。

其中點數和小於 $7$ 的是 $(1,3)$、$(3,1)$（和為 $4$）與 $(2,4)$、$(4,2)$（和為 $6$），共 $4$ 種。

所求 $=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，選 (3)。

$A$、$B$ 獨立，所以 $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.7\times 0.3=0.21$。

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.7+0.3-0.21=0.79$$

選 (4)。

答案 (1)(2)(4)(5)。全班 $28$ 人，及格 $7$ 人、不及格 $21$ 人。

正確。 (1) 第一次抽到及格的機率為 $\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$。

正確。 (2) 依第一次的結果分兩種：第一次抽到及格（機率 $\frac{1}{4}$），剩下 $27$ 人中及格 $6$ 人；第一次抽到不及格（機率 $\frac{3}{4}$），剩下 $27$ 人中及格 $7$ 人。所以第二次抽到及格的機率就是 $\frac{1}{4}\times \frac{6}{27}+\frac{3}{4}\times \frac{7}{27}$，算出來是 $\frac{6+21}{108}=\frac{1}{4}$，與第一次相同。

錯誤。 (3) 抽籤不放回時，每一次抽到及格同學的機率都一樣：把 $28$ 人抽出的順序看成一個排列，任何一個位置是及格同學的機率都是 $\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$。最後一次也是 $\frac{1}{4}$，不是很接近 $0$。

正確。 (4) 第一次抽到不及格後，剩下 $27$ 人，其中及格 $7$ 人，第二次抽到及格的機率為 $\frac{7}{27}$。

正確。 (5) 第一次抽到不及格後，剩下 $27$ 人中及格 $7$ 人，接下來的抽籤就像對這 $27$ 人重新抽籤；同 (3) 的道理，第三次（對剩下的人是第二次）抽到及格的機率仍是 $\frac{7}{27}$。

也可以直接算：第二次抽到及格再第三次及格是 $\frac{7}{27}\times \frac{6}{26}$，第二次不及格再第三次及格是 $\frac{20}{27}\times \frac{7}{26}$，相加得 $\frac{42+140}{702}=\frac{182}{702}=\frac{7}{27}$。

性別與年級獨立，表示男生中高二與高一的人數比，要等於女生中高二與高一的人數比（每一列的比例相同）。

設再招收 $x$ 名高一女生，則 $$16:8=12:(4+x)$$ 得 $4+x=6$，$x=2$。

檢查：此時全社 $42$ 人，$P(\text{男})=\frac{24}{42}=\frac{4}{7}$，$P(\text{高二})=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$，$P(\text{男且高二})=\frac{16}{42}=\frac{8}{21}=\frac{4}{7}\times \frac{2}{3}$，確實獨立。

條件是「被看成黃色」，看「黃色」那一行：實際紅色 $4$ 次、實際黃色 $7$ 次、實際橘色 $2$ 次，共 $4+7+2=13$ 次。

其中實際也是黃色的有 $7$ 次，所求 $=\frac{7}{13}$。

設 $D$ 為「患有 Covid-19」，$T$ 為「檢驗顯示確診」。已知 $P(D)=0.15$，$P(T\mid D)=0.9$，$P(T\mid D^{\prime })=0.05$。

$$P(T)=0.15\times 0.9+0.85\times 0.05=0.135+0.0425=0.1775$$

$$P(D\mid T)=\frac{P(D\cap T)}{P(T)}=\frac{0.135}{0.1775}=\frac{1350}{1775}=\frac{54}{71}\approx 0.7606$$

四捨五入到整數位為 $76\%$。

方程組為 $$\{\begin{array}{l}ax-2y=4\\ x+(a-3)y=2\end{array}$$ 由第二式 $x=2-(a-3)y$，代入第一式：$a(2-(a-3)y)-2y=4$，整理得 $$(a^2-3a+2)y=2a-4,(a-1)(a-2)y=2(a-2)$$

若 $a\ne 1$ 且 $a\ne 2$，$y$ 有唯一解，方程組有解。

$a=2$：上式成為 $0\cdot y=0$，任何 $y$ 都成立，方程組有無限多解（兩式都是 $x-y=2$）。

$a=1$：上式成為 $0\cdot y=-2$，不可能成立，方程組無解（兩式為 $x-2y=4$ 與 $x-2y=2$，互相矛盾）。

所以 $a=1$，選 (2)。

答案 (2)(3)。逐次相乘： $${\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 9\\ 0& 4\end{array}\right]$$ $${\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right]}^3=\left[\begin{array}{cc}1& 9\\ 0& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 21\\ 0& 8\end{array}\right]$$ 所以 $a_1,a_2,a_3=1,1,1$；$b_1,b_2,b_3=3,9,21$；$c_1,c_2,c_3=0,0,0$；$d_1,d_2,d_3=2,4,8$。

錯誤。 (1) $b_2=9$，不是 $6$。

正確。 (2) $1,1,1$ 是公差為 $0$ 的等差數列。

正確。 (3) $2,4,8$ 是公比為 $2$ 的等比數列。

錯誤。 (4) $9-3=6$，$21-9=12$，相鄰兩項的差不同，不是等差數列。

錯誤。 (5) $0,0,0$ 不是等比數列：等比數列的每一項都不能是 $0$（才能定出公比）。

先把 $\left[\begin{array}{c}7\\ -4\end{array}\right]$ 寫成 $p\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+q\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right]$： $$\{\begin{array}{l}2p-3q=7\\ -p+2q=-4\end{array}$$ 解得 $p=2$，$q=-1$。

由矩陣乘法的分配律， $$A\left[\begin{array}{c}7\\ -4\end{array}\right]=2A\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]-A\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-4\\ -1\end{array}\right]$$ 所以 $a=-4$，$b=-1$，$a+b=-5$。

矩陣乘法沒有交換律，$A^2-B^2$ 一般不等於 $(A+B)(A-B)$，所以先把 $A$、$B$ 求出來。兩式相加、相減再除以 $2$： $$A=\left[\begin{array}{cc}\frac{a+b}{2}& 3\\ 1& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}\frac{a-b}{2}& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$$ 令 $p=\frac{a+b}{2}$，$q=\frac{a-b}{2}$。 $$A^2=\left[\begin{array}{cc}{p}^2+3& 3p+12\\ p+4& 19\end{array}\right],B^2=\left[\begin{array}{cc}{q}^2& q+2\\ 0& 4\end{array}\right]$$ $$A^2-B^2=\left[\begin{array}{cc}{p}^2-q^2+3& 3p-q+10\\ p+4& 15\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}u& 17\\ 6& v\end{array}\right]$$ 由左下角 $p+4=6$ 得 $p=2$；由右上角 $3p-q+10=17$ 得 $q=-1$。

所以 $a=p+q=1$，$b=p-q=3$，$2a+4b=2+12=14$。

$A$ 在 $x$ 軸正向的球面上，$A(4,0,0)$。

$P$ 在北緯 $30^{\circ }$：$P$ 到 $xy$ 平面的距離為 $4\sin 30^{\circ }=2$，$P$ 在 $xy$ 平面上的投影 $Q$ 與 $O$ 的距離為 $4\cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}$。

$P$ 在東經 $120^{\circ }$：$\angle AOQ=120^{\circ }$。在 $xy$ 平面上用餘弦定理： $${\overline{AQ}}^2=4^2+(2\sqrt{3}{)}^2-2\cdot 4\cdot 2\sqrt{3}\cos 120^{\circ }=16+12+8\sqrt{3}=28+8\sqrt{3}$$

$\overline{PQ}$ 垂直 $xy$ 平面，所以 $\overline{PQ}\perp \overline{AQ}$： $${\overline{AP}}^2={\overline{AQ}}^2+{\overline{PQ}}^2=28+8\sqrt{3}+4=32+8\sqrt{3}$$

選 (5)。

著色的臺階面依序是：第一階的立面（$10$）、第一階的踏面（$30$）、第二階的立面（$10$）、第二階的踏面（$30$），它們的長都是 $60$。把這四面依序攤平成一個長方形，寬 $60$、高 $10+30+10+30=80$。

$A$ 在攤平後長方形的左下角。$B$ 是第二階踏面右側那條邊（長 $30$）的中點，所以攤平後 $B$ 在右邊緣上，離底邊 $10+30+10+15=65$。

最短路徑是攤平後的直線段： $$\sqrt{60^2+65^2}=\sqrt{3600+4225}=\sqrt{7825}=5\sqrt{313}$$

由兩點距離公式： $${\overline{BC}}^2=1^2+1^2+(-2{)}^2=6$$ $${\overline{AB}}^2=1^2+(y-1{)}^2+1^2=(y-1{)}^2+2,{\overline{AC}}^2=2^2+y^2+(-1{)}^2=y^2+5$$

正三角形三邊等長：$(y-1{)}^2+2=6$ 得 $y=3$ 或 $y=-1$；$y^2+5=6$ 得 $y=1$ 或 $y=-1$。兩者同時成立只有 $y=-1$。

取 $FG$ 的中點 $M$、$BC$ 的中點 $N$，設 $N$ 在平面 $EFGH$ 上的投影為 $N^{\prime }$，高為 $h$（$=\overline{N{N}^{\prime }}$，與 $B$ 到平面 $EFGH$ 的距離相同）。

四側面是全等的等腰梯形，上下兩正方形的中心上下對齊。下底中心到 $FG$ 的距離是 $5$，上底中心到 $BC$ 的距離是 $3$，所以 $\overline{M{N}^{\prime }}=5-3=2$。

等腰梯形 $BCGF$ 中 $\overline{MN}\perp \overline{FG}$；$\overline{N{N}^{\prime }}$ 垂直底面，$\overline{M{N}^{\prime }}\perp \overline{FG}$。所以 $\angle NM{N}^{\prime }$ 就是兩面角 $\theta$： $$\cos \theta =\frac{\overline{M{N}^{\prime }}}{\overline{MN}}=\frac{2}{\sqrt{4+h^2}}$$

要 $\cos \theta \ge \frac{3}{5}$：$\sqrt{4+h^2}\le \frac{10}{3}$，$4+h^2\le \frac{100}{9}$，$h^2\le \frac{64}{9}$，$h\le \frac{8}{3}$。

所以高度不得超過 $\frac{8}{3}$ 公尺。

答案 (1)(3)。由圖 (a)，燈高 $\sqrt{3}$、照出的圓半徑 $1$，圓錐的母線與軸的夾角 $\alpha$ 滿足 $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\alpha =30^{\circ }$。

燈旋轉 $\theta$ 後，軸與鉛直線夾 $\theta$，光錐的母線與鉛直線的夾角從 $\theta -30^{\circ }$ 到 $\theta +30^{\circ }$。地板是水平面，與鉛直線夾 $90^{\circ }$ 的母線恰與地板平行：

所有母線與鉛直線的夾角都小於 $90^{\circ }$，每條母線都碰到地板，截出封閉的橢圓；恰有一條母線與地板平行，截出拋物線；有母線與鉛直線的夾角超過 $90^{\circ }$，截出雙曲線的一支。

正確。 (1) $\theta =30^{\circ }$：夾角從 $0^{\circ }$ 到 $60^{\circ }$，都小於 $90^{\circ }$，照亮區域為橢圓。

錯誤。 (2) 同 (1)，是橢圓不是拋物線。

正確。 (3) $\theta =60^{\circ }$：最外側母線與鉛直線夾 $90^{\circ }$，恰與地板平行，照亮區域為拋物線。

錯誤。 (4) 同 (3)，是拋物線不是雙曲線。

錯誤。 (5) $\theta =90^{\circ }$：夾角從 $60^{\circ }$ 到 $120^{\circ }$，有母線朝上、碰不到地板，截出的是雙曲線的一支，不是拋物線。