段考詳解範圍：實數與絕對值、指數與算幾不等式、常用對數

興大附中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 110 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 110 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題的 a 是負數；多選第 6 題滿足條件的 P 有兩個位置，一個在 A、B 之間、一個在 B 的右邊，選項 (5) 把係數放反了；多選第 7 題選項 (3) 要用參考數據估出 c 不到 4000；選填 H 題（本頁第 16 題）要先補乘一個 2 減 1 才能連續用平方差公式；選填 I 題（本頁第 17 題）要看出頭尾兩項相加等於 1。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

0.0

題原卷全文

0.0

則逐題詳解

0.0

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

0.0

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 4 題（每題 4 分，16 分）、多選題 4 題（每題 8 分，32 分）、選填題 10 題（A 至 F 每題 6 分、G 至 J 每題 4 分，52 分），合計 100 分。本頁第 9～18 題依序為原卷選填 A～J 題；選填題說明裡的列號是答案卡的格子編號，不是題號。卷頭共印六個參考數據，本頁把用得到的三個寫在第 7、16 題題幹後，三個根號近似值全卷用不到。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占16分）｜說明：第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得4分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

已知新冠肺炎病毒直徑大約是

120

nm（奈米），而

1

奈米等於

1 0^{- 7}

公分。頭髮的直徑為

5 \times 1 0^{- 3}

公分，請問頭髮的直徑為新冠肺炎病毒的直徑的多少倍？請選出最接近的選項。

(1) $200$
(2) $400$
(3) $600$
(4) $800$
(5) $1000$

設

a

是無理數

5 + 32

的小數部分，則下列哪一個選項是

2

的小數部分？

(1) $a$
(2) $4 a - 3$
(3) $\frac{a - 5}{4}$
(4) $\frac{a}{4}$
(5) $\frac{a + 1}{4}$

設

a

、

b

為實數，若

∣ a x + 4∣ \leq b

之解為

- 5 \leq x \leq 9

，則

a + b

之值為下列何者？

(1) $- 4$
(2) $0$
(3) $4$
(4) $8$
(5) $12$

設

x

為正實數，且

x^{2} - 3 x - 1 = 0

，則

x^{3} + x^{2} + x^{- 2} - x^{- 3}

之值為下列何者？

(1) $39$
(2) $43$
(3) $47$
(4) $51$
(5) $55$

二、多選題（占32分）｜說明：第5題至第8題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

a = 2^{0.4}

，

b = 2^{0.01}

，試選出正確的選項。

(1) $a^{10} = 8$
(2) $b^{40} = a$
(3) $2 a b^{2} = 2^{1.42}$
(4) $\frac{a}{b ^{10}} = 16$
(5) $4 a^{2} b^{20} = 8$

數線上有

A

、

B

、

P

三點，坐標分別是

a

、

b

、

x

，已知

a < b

，且

3∣ x - a ∣ = 4∣ x - b ∣

，試選出正確的選項。

(1) $P$ 在 $\overline{A B}$ 之間
(2) $\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3$
(3) $5∣ x - a ∣ = ∣ a - b ∣$
(4) $x > \frac{a + b}{2}$
(5) $x = \frac{4 a + 3 b}{7}$

設

a

，

b

，

c

為實數且滿足

lo g a = 1.2

、

lo g b = 2.4

、

lo g c = 3.6

，試選出正確的選項。（卷頭參考數據：

1 0^{0.3010} \approx 2

，

1 0^{0.4771} \approx 3

，

1 0^{0.6990} \approx 5

）

(1) $10 < a < 20$
(2) $200 < b < 300$
(3) $4000 < c < 5000$
(4) $b = 2 a$
(5) $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差數列

不等式

∣ x - 1∣ - ∣ x - 7∣ > k

有解，則實數

k

可以為下列何值？

(1) $0$
(2) $4$
(3) $8$
(4) $12$
(5) $16$

三、選填題（占52分）｜說明：1.第A至J，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（9–33）　2.第A至F題完全答對給6分，第G至J完全答對給4分答錯不倒扣，未完全答對不給分。　3.若答案為分數，必須化為最簡分數，並注意分子、分母的列號順序。

化簡

\frac{( 8 ) ^{- 2}}{( 16 ) ^{3}} \times \frac{( 2 ) ^{2}}{( - 32 ) ^{- 4}} =

____。

設

a^{2 x} = 4

，求

\frac{a ^{x} - a ^{- x}}{a ^{3 x} + a ^{- 5 x}} =

____。

設

a = \frac{5 + 1}{5 - 1}

，

b = \frac{5 - 1}{5 + 1}

，試求

a^{3} + b^{3}

之值為 ____。

已知

x = lo g (1.9)

，求

1 0^{x + 1} + 3 \times 1 0^{- x - 1} =

____。

放射性物質的半衰期

T

定義為每經過時間

T

，該物質質量會衰退成原來的一半。今有甲、乙兩種物質，開始記錄時甲物質的質量是乙物質質量的兩倍，而已知甲的半衰期為

15

小時，且經過

60

小時後，甲物質質量是乙物質質量的

8

倍。試求乙物質的半衰期是 ____ 小時。

設

x

、

y

為整數，且滿足

x + y 11 - 62 = x 18 + 82 + 6

，則數對

(x, y) =

____。

x > - 3

，求

\frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x + 3}

的最小值為 ____。

將

(2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1)

全部乘開後為 ____ 位數字。（卷頭參考數據：

1 0^{0.3010} \approx 2

，

1 0^{0.4771} \approx 3

，

1 0^{0.6990} \approx 5

）

化簡

\frac{6 ^{\frac{1}{6}}}{6 ^{\frac{1}{6}} + 6} + \frac{6 ^{\frac{2}{6}}}{6 ^{\frac{2}{6}} + 6} + \frac{6 ^{\frac{3}{6}}}{6 ^{\frac{3}{6}} + 6} + \frac{6 ^{\frac{4}{6}}}{6 ^{\frac{4}{6}} + 6} + \frac{6 ^{\frac{5}{6}}}{6 ^{\frac{5}{6}} + 6} =

____。

某種傳染病的感染率定義為：感染率

I (t) = \frac{1}{1 + a \times 7 ^{- b t}}

，其中

t

表時間（週），

a

，

b

為常數。若此種傳染病在某城市蔓延，已知剛開始（即

t = 0

）時，有

2%

的人口被傳染；而經過

3

週後（即

t = 3

）有

12.5%

的人口被傳染。則 ____ 週後，該城市的人口被傳染過該傳染病的比例達

87.5%

。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(5)

第 3 題(5)

第 4 題(3)

第 5 題(2)(3)(5)

第 6 題(2)(4)

第 7 題(1)(2)

第 8 題(1)(2)

第 9 題

4

第 10 題

\frac{48}{257}

第 11 題

18

第 12 題

\frac{364}{19}

第 13 題

10

第 14 題

(- 1, 1)

第 15 題

- 1

第 16 題

20

第 17 題

\frac{5}{2}

第 18 題

9

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

註冊就能免費體驗，不需綁定信用卡。

免費註冊

04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：科學記號、小數部分、絕對值不等式與乘法公式

第 1 題答案 (2)。先把病毒的直徑換成公分：

120 \times 1 0^{- 7} = 1.2 \times 1 0^{2} \times 1 0^{- 7} = 1.2 \times 1 0^{- 5}

公分。倍數

= \frac{5 \times 1 0 ^{- 3}}{1.2 \times 1 0 ^{- 5}} = \frac{5}{1.2} \times 1 0^{- 3 - (- 5)} = \frac{5}{1.2} \times 1 0^{2} \approx 4.17 \times 100 = 417

。五個選項裡最接近的是

400

。

兩個長度要先換成同一個單位再相除；

1 0^{- 3} \div 1 0^{- 5} = 1 0^{2}

，指數是相減。

第 2 題答案 (5)。

25 < 32 < 36

，所以

5 < 32 < 6

，

10 < 5 + 32 < 11

，整數部分是

10

，小數部分

a = 5 + 32 - 10 = 32 - 5 = 42 - 5

。由此

2 = \frac{a + 5}{4}

。又

1 < 2 < 2

，

2

的整數部分是

1

，小數部分是

2 - 1 = \frac{a + 5}{4} - 1 = \frac{a + 1}{4}

。

小數部分＝原數減去整數部分。這裡

32 = 42

是把兩個數連起來的關鍵。

第 3 題答案 (5)。解

- 5 \leq x \leq 9

的中點是

2

、中點到兩端的距離是

7

，所以它就是

∣ x - 2∣ \leq 7

。另一方面，

a = 0

時原式不含

x

，解不會是一段有限的範圍，所以

a \neq = 0

，

∣ a x + 4∣ = ∣ a ∣ \cdot x + \frac{4}{a}

，原式即

x + \frac{4}{a} \leq \frac{b}{∣ a ∣}

。兩式對照：

\frac{4}{a} = - 2

，

a = - 2

；

\frac{b}{∣ a ∣} = 7

，

b = 14

。所以

a + b = 12

。

檢查：

∣ - 2 x + 4∣ \leq 14

兩邊同除以

2

得

∣ x - 2∣ \leq 7

，即

- 5 \leq x \leq 9

。

a

是負數，別只憑直覺取正的。

第 4 題答案 (3)。

x

是正數，不是

0

，把

x^{2} - 3 x - 1 = 0

兩邊同除以

x

：

x - 3 - \frac{1}{x} = 0

，即

x - x^{- 1} = 3

。平方：

x^{2} - 2 + x^{- 2} = 9

，所以

x^{2} + x^{- 2} = 11

。再用立方差公式：

x^{3} - x^{- 3} = (x - x^{- 1}) (x^{2} + x \cdot x^{- 1} + x^{- 2}) = 3 \times (11 + 1) = 36

。所求

= (x^{3} - x^{- 3}) + (x^{2} + x^{- 2}) = 36 + 11 = 47

。

式子裡三次方的兩項是相減、二次方的兩項是相加，分成兩組各自處理；不必把

x

解出來。

絕對值不等式的解是一段範圍時，先找中點與半徑；看到

x

與

x^{- 1}

成對出現，先求

x - x^{- 1}

或

x + x^{- 1}

。

02多選 5～8：指數律、數線上的距離、常用對數與絕對值的範圍

第 5 題答案 (2)(3)(5)。全部換成

2

的次方，用指數律算指數。(1) ×

a^{10} = 2^{0.4 \times 10} = 2^{4} = 16

，不是

8

。(2) ○

b^{40} = 2^{0.01 \times 40} = 2^{0.4} = a

。(3) ○

2 a b^{2} = 2^{1} \times 2^{0.4} \times 2^{0.02} = 2^{1.42}

。(4) ×

\frac{a}{b ^{10}} = 2^{0.4 - 0.1} = 2^{0.3}

，而

1 < 2^{0.3} < 2

，不是

16

。(5) ○

4 a^{2} b^{20} = 2^{2} \times 2^{0.8} \times 2^{0.2} = 2^{3} = 8

。

同底數相乘指數相加、相除指數相減、次方的次方指數相乘，三條分清楚就好。

第 6 題答案 (2)(4)。

∣ x - a ∣

是

\overline{P A}

、

∣ x - b ∣

是

\overline{P B}

，條件就是

3 \overline{P A} = 4 \overline{P B}

。去絕對值分兩種情形。異號（

P

在

A

、

B

之間）：

3 (x - a) = 4 (b - x)

，

x = \frac{3 a + 4 b}{7}

。同號（

P

在

A

、

B

同一側）：

3 (x - a) = 4 (x - b)

，

x = 4 b - 3 a = b + 3 (b - a)

，比

b

大，

P

在

B

的右邊。兩種位置都符合條件。(1) × 第二種位置的

P

不在

A

、

B

之間。(2) ○

3 \overline{P A} = 4 \overline{P B}

就是

\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3

。(3) × 第一種位置

∣ x - a ∣ = \frac{4 ( b - a )}{7}

，第二種位置

∣ x - a ∣ = 4 (b - a)

，乘以

5

都不等於

b - a

。(4) ○

\overline{P A} > \overline{P B}

，

P

離

B

較近，所以在中點

\frac{a + b}{2}

的右邊；直接算也可以：

\frac{3 a + 4 b}{7} - \frac{a + b}{2} = \frac{b - a}{14} > 0

，而

4 b - 3 a > b > \frac{a + b}{2}

。(5) ×

\frac{4 a + 3 b}{7}

比

\frac{3 a + 4 b}{7}

小

\frac{b - a}{7}

，也比

b

小，兩種位置都不是它。

\overline{P A} : \overline{P B} = 4 : 3

的點有內分、外分兩個；(5) 把

a

、

b

的係數放反了，那是

\overline{P A} : \overline{P B} = 3 : 4

的內分點。

第 7 題答案 (1)(2)。由常用對數的定義，

a = 1 0^{1.2}

，

b = 1 0^{2.4}

，

c = 1 0^{3.6}

。(1) ○

a = 10 \times 1 0^{0.2}

，而

0 < 0.2 < 0.3010

，所以

1 < 1 0^{0.2} < 1 0^{0.3010} \approx 2

，

10 < a < 20

。(2) ○

b = 100 \times 1 0^{0.4}

，而

0.3010 < 0.4 < 0.4771

，所以

1 0^{0.4}

在

2

與

3

之間，

200 < b < 300

。(3) ×

c = 1000 \times 1 0^{0.6}

；

1 0^{0.6020} = (1 0^{0.3010})^{2} \approx 4

，而

0.6 < 0.6020

，所以

1 0^{0.6}

比

4

小，

c

不到

4000

。(4) ×

b = 1 0^{2.4} = (1 0^{1.2})^{2} = a^{2}

；由 (1) 知

2 a < 40

，由 (2) 知

b > 200

，兩者不相等。(5) × 若成等差數列則

a + c = 2 b

；但

0.6 > 0.4771

，

c > 1000 \times 3 = 3000

，而

2 b < 600

，不可能相等。

lo g

的值成等差（

1.2

，

2.4

，

3.6

）時，原來的數是每次乘上同一個數

1 0^{1.2}

，不是每次加上同一個數。

第 8 題答案 (1)(2)。先求

∣ x - 1∣ - ∣ x - 7∣

的範圍，分三段。

x < 1

時，原式

= (1 - x) - (7 - x) = - 6

。

1 \leq x < 7

時，原式

= (x - 1) - (7 - x) = 2 x - 8

，由

- 6

增加到接近

6

。

x \geq 7

時，原式

= (x - 1) - (x - 7) = 6

。所以

- 6 \leq ∣ x - 1∣ - ∣ x - 7∣ \leq 6

，最大值是

6

。不等式有解，就是有某個

x

讓左邊比

k

大，條件是

k < 6

。(1) ○

0 < 6

。(2) ○

4 < 6

。(3) × (4) × (5) ×

8

、

12

、

16

都不小於

6

，左邊最大只有

6

，不可能比它們大。

用距離看：

x

到

1

的距離減去到

7

的距離，最多差兩點的距離

6

。「有解」只要找得到一個

x

，所以拿左邊的最大值和

k

比。

含兩個絕對值的式子，先用數線上的距離想一次範圍，再分段確認。

03選填 A～F（第 9～14 題）：根式、指數式、對數定義與半衰期

第 9 題四個部分各自算：

(8)^{- 2} = \frac{1}{( 8 ) ^{2}} = \frac{1}{8}

；

(16)^{3} = 4^{3} = 64

；

(2)^{2} = 2

；

(- 32)^{- 4} = \frac{1}{( - 32 ) ^{4}} = \frac{1}{3 2 ^{2}} = \frac{1}{1024}

。原式

= \frac{1}{8 \times 64} \times (2 \times 1024) = \frac{2048}{512} = 4

。

全部換成

2

的次方也可以：

\frac{2 ^{- 3}}{2 ^{6}} \times \frac{2 ^{1}}{2 ^{- 10}} = 2^{- 9} \times 2^{11} = 2^{2}

。負數的偶數次方是正的。

第 10 題分子分母同乘

a^{x}

：

\frac{a ^{x} - a ^{- x}}{a ^{3 x} + a ^{- 5 x}} = \frac{a ^{2 x} - 1}{a ^{4 x} + a ^{- 4 x}}

。

a^{2 x} = 4

，所以

a^{4 x} = (a^{2 x})^{2} = 16

，

a^{- 4 x} = \frac{1}{16}

。原式

= \frac{4 - 1}{16 + \frac{1}{16}} = \frac{3}{\frac{257}{16}} = \frac{48}{257}

。

同乘

a^{x}

之後每一項的指數都是

2 x

的倍數，就不必管

a^{x}

本身是多少。

第 11 題先有理化：

a = \frac{( 5 + 1 ) ^{2}}{( 5 - 1 ) ( 5 + 1 )} = \frac{6 + 2 5}{4} = \frac{3 + 5}{2}

，同理

b = \frac{3 - 5}{2}

。所以

a + b = 3

；又

a

、

b

互為倒數，

ab = 1

。

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 27 - 9 = 18

。

第 12 題由常用對數的定義，

x = lo g 1.9

就是

1 0^{x} = 1.9

。

1 0^{x + 1} = 1 0^{x} \times 10 = 19

；

1 0^{- x - 1} = \frac{1}{1 0 ^{x + 1}} = \frac{1}{19}

。所求

= 19 + \frac{3}{19} = \frac{361 + 3}{19} = \frac{364}{19}

。

- x - 1 = - (x + 1)

，所以第二項正好是第一項的倒數乘以

3

。

第 13 題設開始時乙的質量是

m

，甲是

2 m

。甲的半衰期

15

小時，

60

小時是

4

個半衰期，甲剩下

2 m \times (\frac{1}{2})^{4} = \frac{m}{8}

。此時甲是乙的

8

倍，所以乙剩下

\frac{m}{8} \div 8 = \frac{m}{64} = m \times (\frac{1}{2})^{6}

，也就是乙在

60

小時內經過了

6

個半衰期。乙的半衰期

= 60 \div 6 = 10

小時。

開始時甲是乙的

2

倍，

60

小時後變成

8

倍，表示乙衰退得比甲快，半衰期比

15

小時短，答案合理。

第 14 題先化簡兩個雙重根號。

11 - 62 = 9 - 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2 = (3 - 2)^{2}

，且

3 - 2 > 0

，所以

11 - 62 = 3 - 2

。

18 + 82 = 16 + 2 \cdot 4 \cdot 2 + 2 = (4 + 2)^{2}

，所以

18 + 82 = 4 + 2

。代回原式：

x + y (3 - 2) = x (4 + 2) + 6

，整理成

(- 3 x + 3 y - 6) + (- x - y) 2 = 0

。

x

、

y

是整數，兩個括號都是整數，而

2

是無理數，所以兩個括號都必須是

0

：

x + y = 0

且

- x + y = 2

。解得

x = - 1

，

y = 1

，即

(x, y) = (- 1, 1)

。

若

2

的係數不是

0

，就能把

2

寫成兩個整數相除，與

2

是無理數矛盾；所以有理數的部分與

2

的係數要分別等於

0

。

由

lo g N = x

直接換成

1 0^{x} = N

；等式裡同時有整數與無理數時，把兩部分分開比較。

04選填 G～J（第 15～18 題）：算幾不等式、位數、配對與指數模型

第 15 題把分子用分母表示：

x^{2} + 3 x + 1 = x (x + 3) + 1

，所以

\frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x + 3} = x + \frac{1}{x + 3} = (x + 3) + \frac{1}{x + 3} - 3

。

x > - 3

時

x + 3

與

\frac{1}{x + 3}

都是正數，由算幾不等式

(x + 3) + \frac{1}{x + 3} \geq 2 (x + 3) \cdot \frac{1}{x + 3} = 2

，所以原式

\geq 2 - 3 = - 1

。等號在

x + 3 = \frac{1}{x + 3}

，即

x + 3 = 1

、

x = - 2

時成立，而

- 2 > - 3

符合條件。最小值是

- 1

。

用算幾不等式要三件事都確認：兩數是正的、乘積是定值、等號成立的

x

在題目的範圍內。

第 16 題在最前面乘上

(2 - 1) = 1

，值不變，然後連續用平方差公式：

(2 - 1) (2 + 1) = 2^{2} - 1

，

(2^{2} - 1) (2^{2} + 1) = 2^{4} - 1

，

\dots

，最後

(2^{32} - 1) (2^{32} + 1) = 2^{64} - 1

。再估計

2^{64}

：

2 \approx 1 0^{0.3010}

，所以

2^{64} \approx 1 0^{0.3010 \times 64} = 1 0^{19.264} = 1 0^{0.264} \times 1 0^{19}

，其中

1 < 1 0^{0.264} < 10

，所以

2^{64}

是

20

位數。

2^{64}

大於

1 0^{19}

，減

1

之後仍然不小於

1 0^{19}

，所以

2^{64} - 1

也是

20

位數。

把數寫成

c \times 1 0^{n}

（

1 \leq c < 10

，

n

為正整數或

0

），它的整數部分就是

n + 1

位數。

2^{64} = 18446744073709551616

，確實是

20

位。

第 17 題五項的指數是

\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}

，頭尾兩兩相加都是

1

。設

u = 6^{\frac{k}{6}}

，則與它配對的那一項底下是

6^{\frac{6 - k}{6}} = \frac{6}{u}

，而

\frac{\frac{6}{u}}{\frac{6}{u} + 6} = \frac{6}{6 + 6 u} = \frac{6}{6 + u}

（分子分母同除以

6

）。所以配對的兩項相加

= \frac{u}{u + 6} + \frac{6}{6 + u} = 1

。第

1

項與第

5

項的和是

1

，第

2

項與第

4

項的和是

1

；中間第

3

項

6^{\frac{3}{6}} = 6

，值是

\frac{6}{6 + 6} = \frac{1}{2}

。總和

= 1 + 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

。

6 = 6^{\frac{1}{2}}

正好是

6^{1}

的一半次方，所以指數相加為

1

的兩項會互補成

1

。

第 18 題代 t＝0：

I (0) = \frac{1}{1 + a} = 2% = \frac{1}{50}

，所以

1 + a = 50

，

a = 49

。代 t＝3：

I (3) = \frac{1}{1 + 49 \times 7 ^{- 3 b}} = 12.5% = \frac{1}{8}

，所以

49 \times 7^{- 3 b} = 7

，

7^{- 3 b} = \frac{1}{7} = 7^{- 1}

，

b = \frac{1}{3}

。求時間：

87.5% = \frac{7}{8}

，要

1 + 49 \times 7^{- \frac{t}{3}} = \frac{8}{7}

，

49 \times 7^{- \frac{t}{3}} = \frac{1}{7}

，即

7^{2 - \frac{t}{3}} = 7^{- 1}

，

2 - \frac{t}{3} = - 1

，

t = 9

。

三個百分比先換成分數（

\frac{1}{50}

、

\frac{1}{8}

、

\frac{7}{8}

），分母的式子就都是

7

的整數次方。

分式求極值，先把分子用分母改寫；一長串相加的式子，先看頭尾配對能不能湊成定值。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

考完把題目頁拍照或掃描上傳，我們收到後會盡快做好放上來：題目重新打字，附答案和逐題詳解，一樣免費下載 PDF。

上傳前可以先把姓名、座號遮掉。我們只用題目，不會放你的照片或筆跡。上傳要登入 Google 帳號。

上傳考卷

常見問題

興大附中 110 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 110 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 3 題的 a 是負數；多選第 6 題滿足條件的 P 有兩個位置，一個在 A、B 之間、一個在 B 的右邊，選項 (5) 把係數放反了；多選第 7 題選項 (3) 要用參考數據估出 c 不到 4000；選填 H 題（本頁第 16 題）要先補乘一個 2 減 1 才能連續用平方差公式；選填 I 題（本頁第 17 題）要看出頭尾兩項相加等於 1。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 110 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 110 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 18 題，照原卷順序

答案一覽，先對再看詳解

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

對完答案了？勾你錯的題號

考前先拿一份自己的考前藍圖

每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：科學記號、小數部分、絕對值不等式與乘法公式

02多選 5～8：指數律、數線上的距離、常用對數與絕對值的範圍

03選填 A～F（第 9～14 題）：根式、指數式、對數定義與半衰期

04選填 G～J（第 15～18 題）：算幾不等式、位數、配對與指數模型

同一次段考的其他學校

你們學校的段考卷也想要詳解？

常見問題

興大附中 110 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 110 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

這份段考卷可以下載列印嗎？

興大附中 110 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 110 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 110 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？