段考詳解範圍：實數與根式、絕對值、指數與算幾不等式

興大附中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 5 題（20 分）、多重選題 4 題（32 分）、選填題 8 題（48 分），合計 100 分。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占 20 分）｜說明：第 1 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 4 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

數線上有五點，依序由左到右為

A (a), B (b), C (c), D (d), E (e)

，若

\overline{A B} : \overline{B C} : \overline{C D} : \overline{D E} = 1 : 3 : 1 : 2

。請選出正確的選項。

(1) $e = \frac{3 d + b}{2}$
(2) $c = \frac{b + e}{2}$
(3) $d = \frac{5 a + 2 e}{7}$
(4) $b = \frac{6 a + d}{7}$
(5) $a = 7 e$

設

a

為整數。已知

\frac{a}{3} < 29 < \frac{a + 1}{3}

，則

a

的值為下列哪一個選項？

(1) $15$
(2) $16$
(3) $17$
(4) $18$
(5) $19$

「十二平均律」是鋼琴音階的依循規則：每一個音的弦長都是前一個音弦長的

122

。若第一個音弦長為

16

，試問第幾個音的弦長為

64

？

(1) $22$
(2) $23$
(3) $24$
(4) $25$
(5) $26$

設

- 2 \leq x \leq 3

，

1 \leq y \leq 4

，則

x y + y

的最小值為下列哪一個選項？

(1) $16$
(2) $7$
(3) $4$
(4) $- 4$
(5) $- 7$

選出數值最大的選項。

(1) $119 - 118$
(2) $120 - 119$
(3) $121 - 120$
(4) $122 - 121$
(5) $123 - 122$

二、多重選題（占 32 分）｜說明：第 6 題至第 9 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

請選出正確的選項。

(1) $0. \overline{34} < 0.3 \overline{43}$
(2) $\frac{2.3 \times 1 0 ^{9}}{99} - 123. \overline{23}$ 為整數
(3) 分數 $\frac{26}{65}$ 可化成有限小數
(4) $0.25 \overline{6} = \frac{77}{300}$
(5) $2401$ 為無理數

若

15 + 176

的整數部分為

a

，小數部分為

b

。請選出正確的選項。

(1) $a = 2$
(2) $b = - 3 + 11$
(3) $ab = - 6 + 211$
(4) $\frac{1}{b} = \frac{11}{11}$
(5) $\frac{2 a - b - 3}{a + b - 2} = \frac{- 11 + 10 11}{11}$

若

a

、

b

都為無理數且

a + b

為有理數，則下列哪個選項一定是無理數？

(1) $\frac{2 a + b}{3}$
(2) $a - b$
(3) $a \cdot b$
(4) $∣ a ∣ + ∣ b ∣$
(5) $a^{2} + b^{2}$

設

a

、

b

、

c

、

d

為實數，請選出正確的選項。

(1) 若 $a + b 2 = c + d 2$ ，則 $a = c$ 且 $b = d$
(2) $(6 - 10) a^{2} \geq (1 - 5) a^{2}$
(3) 若 $a < b$ ，則 $\frac{5 a + b}{5} < \frac{3 a + 2 b}{6}$
(4) 若 $a^{2} > b^{2}$ ，則 $∣ a ∣ > ∣ b ∣$
(5) 若 $a > b > c > d > 0$ ，則 $a > \frac{a c + b d}{c + d} > b$

三、選填題（占 48 分）｜說明：1. 第 A 至 H 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（10–26）。2. 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。（本頁第 10～17 題依序為原卷的 A～H 題）

72 9^{- \frac{1}{3}} + 3 2^{\frac{2}{5}} + (\frac{1}{27})^{- \frac{1}{3}} =

____。

已知

x^{\frac{1}{3}} + x^{- \frac{1}{3}} = 3

，求

x + x^{- 1}

的值為 ____。

設

x, y

為實數，

∣ x - 3∣ < 2

，

∣ y - 5∣ < 3

，使

∣ x y - 10∣ < k

成立之最小

k

值為 ____。

求絕對值不等式

∣ x ∣ + 2∣ x - 2∣ > 5

，的範圍為

x <

____ 或

x >

____。（全對才給分）

設

a, b

為實數，若

∣ a x + 3∣ \geq b

的解為

x \geq 7

或

x \leq - 1

，求

a + b =

____。

設

x, y, z

均為實數，且

x y z \neq = 0

，並滿足

3^{x} = 5^{y} = (315)^{z}

，求

\frac{y z + x z}{x y} =

____。

如圖，

△ A B C

為直角三角形且

P T C R

為矩形，已知

\overline{P R} = 3

，

\overline{P T} = 2

，求

△ A B C

面積的最小值為 ____。

載入中...

愛因斯坦認為極大的飛行速度會使得飛行物體的時間減慢，並提出：「太空人以光速的

x

倍（

0 < x < 1

）進行

t

年的太空旅行（太空人老了

t

歲）；旅行結束後返回地球，地球上已經過了

\frac{t}{1 - x ^{2}}

年（地球上的人老了

\frac{t}{1 - x ^{2}}

歲）。」某年，A 太空人

29

歲，他有位

3

歲的兒子。此年，該太空人以光速的

\frac{4}{5}

倍進行

t

年的太空旅行；旅行結束後返回地球，太空人發現他跟兒子的年紀竟然一樣。試問，根據上述理論，A 太空人旅行了 ____ 年。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(2)

第 3 題(4)

第 4 題(4)

第 5 題(1)

第 6 題(2)(3)(4)

第 7 題(2)(5)

第 8 題(1)(2)

第 9 題(2)(4)(5)

第 10 題

\frac{64}{9}

第 11 題

18

第 12 題

30

第 13 題

x < - \frac{1}{3}

或

x > 3

第 14 題

3

第 15 題

3

第 16 題

12

第 17 題

39

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～5：分點、根式的範圍、指數與比大小

第 1 題答案 (2)。設

\overline{A B} = k

（

k > 0

），則

b = a + k

，

c = a + 4 k

，

d = a + 5 k

，

e = a + 7 k

。(1)

\frac{3 d + b}{2} = \frac{4 a + 16 k}{2} = 2 a + 8 k

，和

e = a + 7 k

不是同一個式子。(2)

\frac{b + e}{2} = \frac{2 a + 8 k}{2} = a + 4 k = c

，成立。(3)

\frac{5 a + 2 e}{7} = \frac{7 a + 14 k}{7} = a + 2 k

，不等於

d = a + 5 k

。(4)

\frac{6 a + d}{7} = \frac{7 a + 5 k}{7} = a + \frac{5}{7} k

，不等於

b = a + k

。(5)

a = 7 e

與五點的位置沒有必然關係，例如

a = 0

、

k = 1

時

e = 7

，

a \neq = 7 e

。

\overline{B C} : \overline{C E} = 3 : 3 = 1 : 1

，所以

C

是

\overline{B E}

的中點，這就是選項 (2)。

第 2 題答案 (2)。各項同乘

3

：

a < 329 < a + 1

，而

329 = 9 \times 29 = 261

。因為

1 6^{2} = 256 < 261 < 289 = 1 7^{2}

，所以

16 < 261 < 17

，整數

a = 16

。

第 3 題答案 (4)。

122 = 2^{\frac{1}{12}}

。第

n

個音是從第一個音乘了

n - 1

次，弦長為

16 \times (2^{\frac{1}{12}})^{n - 1} = 16 \times 2^{\frac{n - 1}{12}}

。令它等於

64

：

2^{\frac{n - 1}{12}} = 4 = 2^{2}

，所以

\frac{n - 1}{12} = 2

，

n = 25

。

乘

12

次才變成

2

倍，變成

4

倍要乘

24

次；從第一個音起算，乘

24

次到的是第

25

個音，不是第

24

個。

第 4 題答案 (4)。

x y + y = y (x + 1)

。由

- 2 \leq x \leq 3

得

- 1 \leq x + 1 \leq 4

，又

1 \leq y \leq 4

，

y

是正數。要讓乘積最小，

x + 1

取負的

- 1

，再讓正數

y

盡量大取

4

：最小值是

4 \times (- 1) = - 4

（此時

x = - 2

，

y = 4

）。

若

x + 1 \geq 0

，乘積不會是負的；若

x + 1 < 0

，則

x + 1 \geq - 1

且

y \leq 4

，乘積

\geq - 4

。所以

- 4

確實是最小值。

第 5 題答案 (1)。把每一個都有理化：

n + 1 - n = \frac{( n + 1 - n ) ( n + 1 + n )}{n + 1 + n} = \frac{1}{n + 1 + n}

。五個選項的分子都是

1

，分母依序是

119 + 118

、

120 + 119

、……、

123 + 122

，越來越大。分母最小的值最大，所以是 (1)。

兩個很接近的根式相減，先有理化成「分子是 1」的形式，再比分母。

02多重選 6～9：循環小數、雙重根式、有理數與無理數、不等式

第 6 題答案 (2)(3)(4)。(1) ×

0. \overline{34} = 0.343434 \dots

，

0.3 \overline{43} = 0.3434343 \dots

，兩個是同一個數（都等於

\frac{34}{99}

），應該是相等，不是小於。(2) ○

\frac{2.3 \times 1 0 ^{9}}{99} = \frac{23 \times 1 0 ^{8}}{99}

，

123. \overline{23} = 123 + \frac{23}{99}

，相減得

\frac{23 ( 1 0 ^{8} - 1 )}{99} - 123

。

1 0^{8} - 1 = 99999999 = 99 \times 1010101

，所以等於

23 \times 1010101 - 123 = 23232323 - 123 = 23232200

，是整數。(3) ○

\frac{26}{65} = \frac{2}{5} = 0.4

。(4) ○

0.25 \overline{6} = \frac{256 - 25}{900} = \frac{231}{900} = \frac{77}{300}

。(5) ×

2401 = 4 9^{2}

，

2401 = 49

，

49 = 7

，是有理數。

(1) 用分數檢查：

0.3 \overline{43} = \frac{343 - 3}{990} = \frac{340}{990} = \frac{34}{99}

。(3) 要先約分，再看分母是不是只有

2

和

5

的質因數。

第 7 題答案 (2)(5)。

176 = 244

，所以

15 + 176 = 11 + 4 + 2 11 \times 4 = (11 + 4)^{2}

，

15 + 176 = 11 + 2

。因為

3 < 11 < 4

，所以

5 < 11 + 2 < 6

，整數部分

a = 5

，小數部分

b = 11 + 2 - 5 = 11 - 3

。(1) ×

a = 5

。(2) ○。(3) ×

ab = 511 - 15

。(4) ×

\frac{1}{b} = \frac{1}{11 - 3} = \frac{11 + 3}{11 - 9} = \frac{11 + 3}{2}

。(5) ○ 分子

2 a - b - 3 = 10 - (11 - 3) - 3 = 10 - 11

，分母

a + b - 2 = 11

，所以原式

= \frac{10 - 11}{11} = \frac{10 11 - 11}{11}

。

雙重根式

p + 2 q

：找兩個數相加是

p

、相乘是

q

。這裡要先把

176

改寫成

244

，再找相加

15

、相乘

44

的兩數

11

與

4

。

第 8 題答案 (1)(2)。設

a + b = r

（有理數），則

b = r - a

。(1) ○

\frac{2 a + b}{3} = \frac{a + r}{3}

；假如它是有理數

q

，則

a = 3 q - r

也是有理數，與

a

是無理數矛盾，所以一定是無理數。(2) ○

a - b = 2 a - r

；假如它是有理數

q

，則

a = \frac{q + r}{2}

是有理數，矛盾。(3) × 取

a = 2

、

b = - 2

，

ab = - 2

。(4) × 取

a = 2

、

b = 2 - 2

（兩個都是正的無理數，和為

2

），

∣ a ∣ + ∣ b ∣ = 2

。(5) × 取

a = 2

、

b = - 2

，

a^{2} + b^{2} = 4

。

「一定是無理數」要用反證法說明；「不一定」只要舉出一組讓它變成有理數的例子。

第 9 題答案 (2)(4)(5)。(1) × 題目只說是實數。取

a = 2

、

b = 0

、

c = 0

、

d = 1

，兩邊都是

2

，但

a \neq = c

。（

a, b, c, d

都是有理數時才成立。）(2) ○ 先比

6 - 10

與

1 - 5

，也就是比

6 + 5

與

1 + 10

：兩個都是正數，平方後是

11 + 230

與

11 + 210

，前者大，所以

6 - 10 > 1 - 5

。兩邊同乘

a^{2} \geq 0

，得

(6 - 10) a^{2} \geq (1 - 5) a^{2}

（

a = 0

時等號成立）。(3) × 取

a = 1

、

b = 2

：左邊

\frac{7}{5}

，右邊

\frac{7}{6}

，左邊比較大。(4) ○

a^{2} = ∣ a ∣^{2}

，

b^{2} = ∣ b ∣^{2}

；

∣ a ∣

、

∣ b ∣

都不是負數，平方大的本身就大。(5) ○

\frac{a c + b d}{c + d} - b = \frac{a c - b c}{c + d} = \frac{c ( a - b )}{c + d} > 0

，

a - \frac{a c + b d}{c + d} = \frac{a d - b d}{c + d} = \frac{d ( a - b )}{c + d} > 0

，所以它介於

b

與

a

之間。

(3) 的左邊是

a + \frac{b}{5}

，不是

a

、

b

之間的分點（分點的係數和要等於分母，例如

\frac{5 a + b}{6}

）。(5) 的中間那個數是數線上把

a

、

b

兩點依

d : c

分出來的內分點。

判斷「恆成立」的敘述，舉得出一個反例就是錯的；要說它對，就要用式子推出來。

03選填 A～H（第 10～17 題）：指數計算、絕對值不等式、算幾不等式

第 10 題

729 = 3^{6}

，所以

72 9^{- \frac{1}{3}} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}

。

32 = 2^{5}

，所以

3 2^{\frac{2}{5}} = 2^{2} = 4

。

\frac{1}{27} = 3^{- 3}

，所以

(\frac{1}{27})^{- \frac{1}{3}} = 3^{1} = 3

。相加：

\frac{1}{9} + 4 + 3 = \frac{64}{9}

。

第 11 題令

u = x^{\frac{1}{3}}

，則

x^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{u}

，已知

u + \frac{1}{u} = 3

，所求是

u^{3} + \frac{1}{u ^{3}}

。兩邊立方：

(u + \frac{1}{u})^{3} = u^{3} + 3 u + \frac{3}{u} + \frac{1}{u ^{3}} = u^{3} + \frac{1}{u ^{3}} + 3 (u + \frac{1}{u})

。所以

27 = x + x^{- 1} + 3 \times 3

，

x + x^{- 1} = 18

。

用到

(p + q)^{3} = p^{3} + q^{3} + 3 pq (p + q)

，這裡

pq = u \cdot \frac{1}{u} = 1

。

第 12 題

∣ x - 3∣ < 2

即

1 < x < 5

；

∣ y - 5∣ < 3

即

2 < y < 8

。

x

、

y

都是正數，所以

1 \times 2 < x y < 5 \times 8

，即

2 < x y < 40

，

- 8 < x y - 10 < 30

。因此

∣ x y - 10∣ < 30

一定成立；而

x

接近

5

、

y

接近

8

時

x y - 10

可以任意接近

30

，所以

k

不能比

30

小。最小的

k

是

30

。

x y - 10

的範圍是

- 8

到

30

，兩邊不對稱，

k

要取絕對值比較大的那一端。

第 13 題兩個絕對值在

x = 0

與

x = 2

變號，分三段。

x < 0

：

- x + 2 (2 - x) = 4 - 3 x > 5

，

x < - \frac{1}{3}

，與前提取交集得

x < - \frac{1}{3}

。

0 \leq x < 2

：

x + 2 (2 - x) = 4 - x > 5

，

x < - 1

，與前提沒有交集。

x \geq 2

：

x + 2 (x - 2) = 3 x - 4 > 5

，

x > 3

。合起來是

x < - \frac{1}{3}

或

x > 3

。

每一段解出來的範圍都要和那一段的前提取交集，最後再把三段合起來。

第 14 題解的兩個端點

x = 7

與

x = - 1

正好讓等號成立：

∣7 a + 3∣ = b

，

∣ - a + 3∣ = b

。所以

7 a + 3 = - a + 3

或

7 a + 3 = - (- a + 3)

。前者得

a = 0

，這時不等式變成

3 \geq b

，解不會是題目給的樣子，不合；後者得

6 a = - 6

，

a = - 1

，

b = ∣ (- 1) (- 1) + 3∣ = 4

。檢查：

∣ - x + 3∣ \geq 4

即

∣ x - 3∣ \geq 4

，解為

x \geq 7

或

x \leq - 1

，符合。所以

a + b = - 1 + 4 = 3

。

也可以從距離看：解是「與

3

的距離至少

4

」，即

∣ x - 3∣ \geq 4

，而

∣ a x + 3∣ = ∣ a ∣ x + \frac{3}{a}

，對照得

- \frac{3}{a} = 3

。

第 15 題設

3^{x} = 5^{y} = (315)^{z} = k

。

x \neq = 0

，所以

k \neq = 1

。

(315)^{z} = 1 5^{\frac{z}{3}}

。把三個式子各開成

3 = k^{\frac{1}{x}}

，

5 = k^{\frac{1}{y}}

，

15 = k^{\frac{3}{z}}

。因為

15 = 3 \times 5

，所以

k^{\frac{3}{z}} = k^{\frac{1}{x}} \cdot k^{\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}

，得

\frac{3}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}

。所求

\frac{y z + x z}{x y} = z (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = z \cdot \frac{3}{z} = 3

。

先把所求拆成

\frac{z}{x} + \frac{z}{y}

，就知道需要的是

\frac{1}{x}

、

\frac{1}{y}

與

\frac{1}{z}

的關係。

第 16 題設

\overline{B T} = s

，

\overline{A R} = t

（都是正數）。

P T C R

是矩形，所以

\overline{T C} = \overline{P R} = 3

，

\overline{R C} = \overline{P T} = 2

，且

\overline{P T}

平行

\overline{A C}

、

\overline{P R}

平行

\overline{B C}

。直角三角形

P B T

與

A P R

的對應角相等，兩者相似：

\frac{B T}{P T} = \frac{P R}{A R}

，即

\frac{s}{2} = \frac{3}{t}

，

s t = 6

。

△ A B C

的面積

= \frac{1}{2} \overline{B C} \cdot \overline{A C} = \frac{1}{2} (s + 3) (t + 2) = \frac{1}{2} (s t + 2 s + 3 t + 6) = \frac{1}{2} (12 + 2 s + 3 t)

。由算幾不等式

2 s + 3 t \geq 2 2 s \cdot 3 t = 236 = 12

，所以面積

\geq \frac{1}{2} (12 + 12) = 12

。等號在

2 s = 3 t

時成立，配合

s t = 6

得

s = 3

、

t = 2

，確實做得到。最小值是

12

。

面積最小時

\overline{B C} = 6

、

\overline{A C} = 4

，

P

正好是斜邊

\overline{A B}

的中點。題目的圖只是示意，不是面積最小時的形狀。

第 17 題

x = \frac{4}{5}

時

1 - x^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} = \frac{3}{5}

，所以地球上經過

\frac{t}{\frac{3}{5}} = \frac{5 t}{3}

年。回到地球時，太空人

29 + t

歲，兒子

3 + \frac{5 t}{3}

歲。兩者相等：

29 + t = 3 + \frac{5 t}{3}

，

26 = \frac{2 t}{3}

，

t = 39

。

檢查：太空人

29 + 39 = 68

歲；地球上過了

65

年，兒子

3 + 65 = 68

歲。

含絕對值的題目先換成不含絕對值的範圍；求極值時先找出「乘積固定」的關係，再用算幾不等式，最後檢查等號做不做得到。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

興大附中 111 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 111 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多重選第 6 題選項 (1) 的兩個循環小數寫法不同但其實是同一個數；多重選第 9 題選項 (1) 只說是實數、沒有說是有理數，選項 (3) 的左邊不是分點，要代數字檢查；選填 C 題（本頁第 12 題）乘積的範圍兩邊不對稱，要取比較大的那一端；選填 G 題（本頁第 16 題）要先用相似三角形找出乘積固定的關係，才能用算幾不等式。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 111 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 111 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

原卷 17 題，照原卷順序

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每一題，錯在哪一步

01單選 1～5：分點、根式的範圍、指數與比大小

02多重選 6～9：循環小數、雙重根式、有理數與無理數、不等式

03選填 A～H（第 10～17 題）：指數計算、絕對值不等式、算幾不等式

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興大附中 111 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

興大附中 111 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

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興大附中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

興大附中 111 上高一第一次段考數學的答案在哪裡？

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