段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角、倍角與半角公式、正餘弦的疊合）

興大附中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 3 題（15 分）、多選題 4 題（32 分）、選填題 11 題（53 分）。本頁第 8～18 題依序為原卷選填題的 A～K 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、單選題（占 15 分）說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

已知

a = sin 5

，選出正確的選項：

(1) $- 1 < a < - \frac{1}{2}$
(2) $- \frac{1}{2} < a < 0$
(3) $0 < a < \frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{2} < a < \frac{2}{2}$
(5) $\frac{2}{2} < a < 1$

x

為實數，下列何者與

y = tan 2 x

有相同週期？

(1) $y = tan x + \frac{1}{5}$
(2) $y = sin x + cos x$
(3) $y = ∣ sin (- 2 x) ∣$
(4) $y = sin (- 2 x + 1)$
(5) $y = ∣ sin 2 x ∣ + ∣ cos 2 x ∣$

下列選項中，哪一個的值最小？

(1) $2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ}$
(2) $cos^{2} 3 5^{\circ} - sin^{2} 3 5^{\circ}$
(3) $2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1$
(4) $2 sin^{2} 7 0^{\circ} - 1$
(5) $\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}}$

二、多選題（占 32 分）說明：第 4 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

θ_{1}

，

θ_{2}

，

θ_{3}

，

θ_{4}

分別為第一、二、三、四象限角，且都介於

0

與

2 π

之間。已知

∣ sin θ_{1} ∣ = ∣ sin θ_{2} ∣ = ∣ sin θ_{3} ∣ = ∣ sin θ_{4} ∣ = \frac{3}{4}

，請問下列哪些選項是正確的？

(1) $θ_{1} > \frac{π}{4}$
(2) $θ_{1} + θ_{2} = π$
(3) $cos θ_{2} = - \frac{7}{4}$
(4) $sin θ_{3} = \frac{3}{4}$
(5) $cos θ_{4} = - \frac{7}{4}$

如圖為函數

f (x) = a sin (b x + c) + d

的部分圖形，其中

a

，

b > 0

，

0 \leq c \leq π

，下列各選項何者正確？

(1) 週期為 $π$
(2) $a + b = 2 + 2$
(3) $c = \frac{π}{8}$
(4) $d = 1$
(5) $f (x)$ 亦可表為 $a cos (b x - c) + d$ 。

載入中...

下列哪些選項的值等於

\frac{1}{2}

？

(1) $2 sin 7 5^{\circ} cos 7 5^{\circ}$
(2) $sin 1 7^{\circ} cos 10 3^{\circ} + cos 1 7^{\circ} sin 10 3^{\circ}$
(3) $\frac{1}{2} (cos 1 5^{\circ} - cos 7 5^{\circ})$
(4) $\frac{1 - cos 42 0 ^{\circ}}{2}$
(5) $1 - 2 cos^{2} 15 0^{\circ}$

關於三角函數的值，下列敘述哪些正確？

(1) $sin 1^{\circ} > sin 2^{\circ} > sin 3^{\circ}$
(2) $cos 1^{\circ} > cos 2^{\circ} > cos 3^{\circ}$
(3) $sin 1 > sin 2 > sin 3$
(4) $cos 1 > cos 2 > cos 3$
(5) $tan 1 > tan 2 > tan 3$ 。

三、選填題（占 53 分）說明：1. 第 A 至 K，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8–35）。2. 第 A 至 I 題完全答對給 5 分，第 J 至 K 完全答對給 4 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3. 若答案為分數，必須化為最簡分數，並注意分子、分母的列號順序。

設

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

，

\frac{3 π}{2} \leq y \leq \frac{5 π}{2}

且

sin x cos y = \frac{- 1}{4}

，

cos x sin y = \frac{- 3}{4}

，則

x + y

為 ____。

試求方程式

sin x + cos 2 x = 0

在

π < x < 3 π

的範圍中的所有實根和為 ____。

使得方程式

\frac{x}{a} = sin x

有

11

個解的正整數

a

共有 ____ 個。

設

0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

，且

sin θ - cos θ = 2 sin 202 2^{\circ}

，則

θ =

____ 度。

如圖，扇形的圓心角為

4 5^{\circ}

，半徑為

20

公分，

A B C D

為正方形，則陰影部分的面積為 ____ 平方公分。

載入中...

設

x

為實數，

f (x) = 1 + sin x + cos x - sin x cos x

，求

f (x)

的最小值為 ____。（以最簡根式表示）

如圖，欲在一半徑

100

公尺的圓上建造一座通過圓心

O

的「I」字型木橋。已知

\overline{A B} = \overline{C D}

且

\overline{A B}

與

\overline{C D}

皆與

\overline{E F}

垂直。求

\overline{A B} + \overline{C D} + \overline{E F}

的最大值為 ____。（以最簡根式表示）

載入中...

設

a = sin 3 5^{\circ}

，

b = cos 11 5^{\circ}

，則

1 - a^{2} \times 1 - b^{2} + ab

之值為 ____。

依據醫學研究，人的身體能量模式為

P = 50 (1 + sin ω t)

，

ω > 0

，

P %

表身體能量的百分比，

t

表示出生後的天數，如果某人的身體能量週期是

30

天，則在一個週期中，有 ____ 天身體能量的百分比不小於

75%

。

如圖，設圓半徑

3

，

A

是圓周上某定點，且

B

，

C

是圓周上異於

A

的兩相異動點。若

∠ B A C = \frac{2 π}{3}

，則

3 \overline{A B} + 4 \overline{A C}

的最大值為 ____。（以最簡根式表示）

載入中...

如圖，正方形

A B C D

，

\overline{A B} = 3 \overline{A E}

，

\overline{B C} = 4 \overline{B F}

，

∠ B D E = α

，

∠ B D F = β

，求

tan (α - β) =

____。

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(3)

第 3 題(3)

第 4 題(1)(2)(3)

第 5 題(1)(2)(4)(5)

第 6 題(1)(3)(4)

第 7 題(2)(4)

第 8 題

\frac{3 π}{2}

第 9 題

\frac{11 π}{2}

第 10 題

6

第 11 題

3

第 12 題

50 π - 80

第 13 題

\frac{1 - 2 2}{2}

第 14 題

2005

第 15 題

\frac{1}{2}

第 16 題

10

第 17 題

613

第 18 題

\frac{1}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：弧度角的正弦值、週期、倍角公式比大小

第 1 題答案 (1)。沒有寫度的角是弧度。

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，

\frac{5 π}{3} \approx 5.24

，所以

\frac{3 π}{2} < 5 < \frac{5 π}{3}

，

5

弧度是第四象限角。在

\frac{3 π}{2}

到

2 π

之間，正弦值隨角度變大而變大，所以

sin \frac{3 π}{2} < sin 5 < sin \frac{5 π}{3}

，即

- 1 < a < - \frac{3}{2}

。而

- \frac{3}{2} \approx - 0.87 < - \frac{1}{2}

，所以

- 1 < a < - \frac{1}{2}

。

5

弧度約是

286. 5^{\circ}

，

sin 5 \approx - 0.96

。把

5

看成

5^{\circ}

會誤選 (3)。

第 2 題答案 (3)。

y = tan 2 x

的週期是

\frac{π}{2}

。(1)

y = tan x + \frac{1}{5}

的週期是

π

；加絕對值後，函數仍然只在

x = \frac{π}{2} + k π

（

k

為整數）沒有定義，相鄰兩個沒有定義的位置相距

π

，週期還是

π

。(2)

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，週期是

2 π

。(3)

∣ sin (- 2 x) ∣ = ∣ sin 2 x ∣

；

y = sin 2 x

的週期是

π

，加絕對值後

x

軸下方的部分翻到上方，週期減半成

\frac{π}{2}

，與

y = tan 2 x

相同。(4) 週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(5) 把

x

換成

x + \frac{π}{4}

：

sin (2 x + \frac{π}{2}) + cos (2 x + \frac{π}{2}) = ∣ cos 2 x ∣ + ∣ sin 2 x ∣

，與原式相同，所以週期是

\frac{π}{4}

。

加絕對值不一定讓週期減半：

y = sin 2 x

的圖形上下對稱地擺動，翻上去後每半個週期重複一次；

y = tan x + \frac{1}{5}

翻上去的部分與原來在上方的部分形狀不同，週期不變。

第 3 題答案 (3)。用倍角公式把五個選項各寫成一個三角函數值。(1)

2 sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}

。(2)

cos^{2} 3 5^{\circ} - sin^{2} 3 5^{\circ} = cos 7 0^{\circ} = sin 2 0^{\circ}

。(3)

2 cos^{2} 4 0^{\circ} - 1 = cos 8 0^{\circ} = sin 1 0^{\circ}

。(4)

2 sin^{2} 7 0^{\circ} - 1 = - (1 - 2 sin^{2} 7 0^{\circ}) = - cos 14 0^{\circ} = cos 4 0^{\circ} = sin 5 0^{\circ}

。(5)

\frac{2 tan 2 5 ^{\circ}}{1 - tan ^{2} 2 5 ^{\circ}} = tan 5 0^{\circ}

，而

tan 5 0^{\circ} > tan 4 5^{\circ} = 1

。前四個都是銳角的正弦值，角度愈小值愈小，

sin 1 0^{\circ}

最小；(5) 比

1

大。所以選 (3)。

五個值約為

0.64

、

0.34

、

0.17

、

0.77

、

1.19

。(4) 的符號要小心：

2 sin^{2} θ - 1 = - cos 2 θ

。

沒有度的記號就是弧度，先判斷角落在哪個象限；比大小之前先用倍角公式把每一項化成單一的三角函數值。

02多選 4～7：象限角的正餘弦、由圖形決定函數、公式求值、函數值的大小

第 4 題答案 (1)(2)(3)。(1)

θ_{1}

是第一象限角，

sin θ_{1} = \frac{3}{4} = 0.75

，而

sin \frac{π}{4} = \frac{2}{2} \approx 0.707

。在

0

到

\frac{π}{2}

之間正弦值隨角度變大而變大，

sin θ_{1} > sin \frac{π}{4}

，所以

θ_{1} > \frac{π}{4}

，對。(2)

θ_{2}

在第二象限，

sin θ_{2} = \frac{3}{4} = sin θ_{1} = sin (π - θ_{1})

，而

π - θ_{1}

也在第二象限，第二象限內正弦值為

\frac{3}{4}

的角只有一個，所以

θ_{2} = π - θ_{1}

，即

θ_{1} + θ_{2} = π

，對。(3) 第二象限的餘弦是負的，

cos θ_{2} = - 1 - \frac{9}{16} = - \frac{7}{4}

，對。(4) 第三象限的正弦是負的，

sin θ_{3} = - \frac{3}{4}

，錯。(5) 第四象限的餘弦是正的，

cos θ_{4} = \frac{7}{4}

，錯。

四個角的正弦絕對值相同，表示它們與

x

軸所夾的銳角相同：

θ_{2} = π - θ_{1}

，

θ_{3} = π + θ_{1}

，

θ_{4} = 2 π - θ_{1}

。

第 5 題答案 (1)(2)(4)(5)。圖形的最高點是

(\frac{π}{8}, 1 + 2)

，最低點是

(\frac{5 π}{8}, 1 - 2)

。

a > 0

，所以

d = \frac{( 1 + 2 ) + ( 1 - 2 )}{2} = 1

，

a = \frac{( 1 + 2 ) - ( 1 - 2 )}{2} = 2

。相鄰的最高點與最低點相距半個週期，

\frac{5 π}{8} - \frac{π}{8} = \frac{π}{2}

，所以週期是

π

，

b = \frac{2 π}{π} = 2

。最高點處

sin (2 \cdot \frac{π}{8} + c) = 1

，

\frac{π}{4} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

，配合

0 \leq c \leq π

得

c = \frac{π}{4}

。檢查：

f (0) = 2 sin \frac{π}{4} + 1 = 2

，與圖上的

(0, 2)

相符。所以

f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1

。(1) 週期為

π

，對。(2)

a + b = 2 + 2

，對。(3)

c = \frac{π}{4}

，不是

\frac{π}{8}

，錯。(4)

d = 1

，對。(5) 由

cos θ = sin (θ + \frac{π}{2})

，

2 cos (2 x - \frac{π}{4}) + 1 = 2 sin (2 x - \frac{π}{4} + \frac{π}{2}) + 1 = 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) + 1 = f (x)

，對。

(3) 的

\frac{π}{8}

是最高點的

x

坐標，不是

c

；

f (x) = 2 sin 2 (x + \frac{π}{8}) + 1

，圖形是向左平移

\frac{π}{8}

，括號乘開後

c = \frac{π}{4}

。

第 6 題答案 (1)(3)(4)。(1) 由倍角公式，

2 sin 7 5^{\circ} cos 7 5^{\circ} = sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，對。(2) 由和角公式，原式

= sin (1 7^{\circ} + 10 3^{\circ}) = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

，錯。(3)

cos 7 5^{\circ} = sin 1 5^{\circ}

，所以

\frac{1}{2} (cos 1 5^{\circ} - sin 1 5^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} - sin 4 5^{\circ} sin 1 5^{\circ} = cos (4 5^{\circ} + 1 5^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，對。(4)

cos 42 0^{\circ} = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，原式

= \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

，對。(5)

1 - 2 cos^{2} 15 0^{\circ} = - (2 cos^{2} 15 0^{\circ} - 1) = - cos 30 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

，錯。

(4) 也可以用半角公式看成

∣ sin 21 0^{\circ} ∣ = \frac{1}{2}

；根號算出來的值不會是負的。(5) 與

1 - 2 sin^{2} θ = cos 2 θ

只差在正弦換成餘弦，結果差一個負號。

第 7 題答案 (2)(4)。(1)

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間正弦值隨角度變大而變大，

sin 1^{\circ} < sin 2^{\circ} < sin 3^{\circ}

，錯。(2)

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間餘弦值隨角度變大而變小，對。(3)(4)(5) 的角是弧度：

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

π \approx 3.14

，所以

1

在第一象限，

2

與

3

在第二象限。(3)

sin 2 = sin (π - 2)

，

π - 2 \approx 1.14 > 1

，兩個都是第一象限角，所以

sin 2 > sin 1

，錯。(4) 在

0

到

π

之間餘弦值隨角度變大而變小，

cos 1 > cos 2 > cos 3

，對。(5)

tan 1 > 0

，

tan 2

與

tan 3

都是負的；在

\frac{π}{2}

到

π

之間正切值隨角度變大而變大，所以

tan 2 < tan 3

，錯。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

、

sin 2 \approx 0.91

、

sin 3 \approx 0.14

；

cos 1 \approx 0.54

、

cos 2 \approx - 0.42

、

cos 3 \approx - 0.99

；

tan 1 \approx 1.56

、

tan 2 \approx - 2.19

、

tan 3 \approx - 0.14

。

由圖形求正弦型函數：先用最高點與最低點定出上下平移、振幅與週期，再代一個點決定角的平移。

03選填 8～11（原卷 A～D）：由和角決定角、倍角公式解方程式、直線與正弦曲線的交點、疊合後解角

第 8 題兩式相加：

sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y = - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = - 1

。由

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

與

\frac{3 π}{2} \leq y \leq \frac{5 π}{2}

得

π \leq x + y \leq 3 π

，這個範圍內正弦值為

- 1

的角只有

\frac{3 π}{2}

，所以

x + y = \frac{3 π}{2}

。

兩式相減可得

sin (x - y) = \frac{1}{2}

，但題目只問

x + y

，用不到。例如

x = - \frac{π}{6}

、

y = \frac{5 π}{3}

就滿足全部條件。

第 9 題用

cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x

：

sin x + 1 - 2 sin^{2} x = 0

，即

2 sin^{2} x - sin x - 1 = 0

，

(2 sin x + 1) (sin x - 1) = 0

，

sin x = 1

或

sin x = - \frac{1}{2}

。在

π < x < 3 π

內：

sin x = 1

得

x = \frac{5 π}{2}

；

sin x = - \frac{1}{2}

時

x

在第三或第四象限，得

x = \frac{7 π}{6}

、

\frac{11 π}{6}

（

2 π

到

3 π

之間正弦值不是負的，沒有解）。所有實根的和為

\frac{7 π}{6} + \frac{11 π}{6} + \frac{5 π}{2} = 3 π + \frac{5 π}{2} = \frac{11 π}{2}

。

範圍是

π < x < 3 π

，不是

0

到

2 π

：

\frac{π}{2}

不在範圍內，要取

\frac{5 π}{2}

。

第 10 題看直線

y = \frac{x}{a}

與

y = sin x

的交點。兩個圖形都對稱於原點，

x = 0

是一個解，其餘的解正負成對，所以

11

個解表示

x > 0

的部分恰有

5

個交點。

x > 0

時直線在

x

軸上方，只會和

y = sin x

在

x

軸上方的山丘相交，山丘依序在

(0, π)

、

(2 π, 3 π)

、

(4 π, 5 π)

、

(6 π, 7 π)

，山頂在

x = \frac{π}{2}

、

\frac{5 π}{2}

、

\frac{9 π}{2} \approx 14.14

、

\frac{13 π}{2} \approx 20.42

。

a > 1

時，第一個山丘交

1

個點（原點不算）；後面的山丘，直線如果穿過就交

2

個點。所以要恰好穿過第二、第三個山丘，而且碰不到第四個山丘，共

1 + 2 + 2 = 5

個。直線在

x = a

時升到高度

1

，之後就比曲線高。

a \geq 15

時，直線在第三個山頂的高度

\frac{14.14}{a} < 1

，比山頂低，而山丘兩端曲線的高度是

0

、比直線低，所以穿過第三個山丘（第二個山丘同理）；

a = 14

時，直線在

x = 14

就升到

1

，還沒到山頂，而

sin 14 \approx 0.991 < 1

，再往左看

x = 13.9

時直線高

0.993

、曲線高

0.972

；用計算機在第三個山丘上逐點比較，直線都比曲線高，最接近的地方在

x \approx 14.07

，仍高出約

0.007

，所以碰不到第三個山丘。同樣地，

a \geq 21

時直線在第四個山頂的高度

\frac{20.42}{a} < 1

，會穿過第四個山丘，交點太多；

a = 20

時直線在

x = 20

升到

1

，而

sin 20 \approx 0.913

；同樣逐點比較，直線在第四個山丘上都比曲線高，最接近的地方在

x \approx 20.37

，仍高出約

0.02

，所以碰不到第四個山丘。所以

a = 15, 16, 17, 18, 19, 20

，共

6

個。

大致的判斷是

\frac{9 π}{2} < a < \frac{13 π}{2}

，即

14.14 < a < 20.42

。邊界附近的

a = 14

與

a = 20

要另外檢查，因為直線不一定要低於山頂才碰得到山丘（它可以在山頂左側與曲線相切），這裡檢查的結果是兩個都碰不到。

第 11 題左邊疊合：

sin θ - cos θ = 2 (sin θ cos 4 5^{\circ} - cos θ sin 4 5^{\circ}) = 2 sin (θ - 4 5^{\circ})

。右邊

202 2^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 2^{\circ}

，

sin 202 2^{\circ} = sin 22 2^{\circ} = - sin 4 2^{\circ} = sin (- 4 2^{\circ})

。所以

sin (θ - 4 5^{\circ}) = sin (- 4 2^{\circ})

。

0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ}

時

- 4 5^{\circ} \leq θ - 4 5^{\circ} \leq 13 5^{\circ}

，這個範圍內正弦值是負的只有

- 4 5^{\circ}

到

0^{\circ}

這一段，而這一段正弦值隨角度變大而變大，所以

θ - 4 5^{\circ} = - 4 2^{\circ}

，

θ = 3^{\circ}

。

sin 22 2^{\circ}

也等於

sin 31 8^{\circ}

，但

31 8^{\circ}

與

22 2^{\circ}

加減

36 0^{\circ}

的整數倍都不在

- 4 5^{\circ}

到

13 5^{\circ}

之間，只有

- 4 2^{\circ}

合。

解出三角函數值之後，一定要回到題目給的角度範圍找角；方程式的解數用圖形看，邊界的整數要個別檢查。

04選填 12～15（原卷 E～H）：扇形內的正方形、正餘弦的和當變數、I 字型木橋、化成和角公式

第 12 題設正方形邊長為

s

。

D

在扇形的一條半徑上，

∠ D O A = 4 5^{\circ}

，

∠ O A D = 9 0^{\circ}

，所以

△ O A D

是等腰直角三角形，

\overline{O A} = \overline{A D} = s

。於是

\overline{O B} = 2 s

，

\overline{B C} = s

。

C

在弧上，

\overline{O C} = 20

，直角三角形

O B C

中

(2 s)^{2} + s^{2} = 2 0^{2}

，

5 s^{2} = 400

，

s^{2} = 80

。扇形的圓心角是

4 5^{\circ} = \frac{π}{4}

，面積為

\frac{1}{2} \cdot 2 0^{2} \cdot \frac{π}{4} = 50 π

。陰影是扇形去掉正方形：

50 π - 80

平方公分。

扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。只需要

s^{2} = 80

，不必求出

s

。

第 13 題令

t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，

x

為任意實數時

- 2 \leq t \leq 2

。

t^{2} = 1 + 2 sin x cos x

，所以

sin x cos x = \frac{t ^{2} - 1}{2}

。

f = 1 + t - \frac{t ^{2} - 1}{2} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + \frac{3}{2} = - \frac{1}{2} (t - 1)^{2} + 2

。這是開口向下的拋物線，頂點在

t = 1

；在

- 2 \leq t \leq 2

上，離

t = 1

最遠的是

t = - 2

，最小值為

- \frac{1}{2} \cdot 2 - 2 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2} - 2 = \frac{1 - 2 2}{2}

。

t

的範圍不能漏：拋物線開口向下，最小值發生在範圍的端點。最大值是

t = 1

時的

2

。

第 14 題

\overline{E F}

通過圓心而且與弦

\overline{A B}

、

\overline{C D}

垂直，所以

E

、

F

分別是

\overline{A B}

、

\overline{C D}

的中點；兩弦等長，所以到圓心的距離相等，

\overline{O E} = \overline{O F}

。設

∠ E O B = θ

（

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

），直角三角形

O E B

中

\overline{O B} = 100

，

\overline{E B} = 100 sin θ

，

\overline{O E} = 100 cos θ

。於是

\overline{A B} = \overline{C D} = 200 sin θ

，

\overline{E F} = 200 cos θ

，

\overline{A B} + \overline{C D} + \overline{E F} = 400 sin θ + 200 cos θ = 200 (2 sin θ + cos θ) = 2005 sin (θ + ϕ)

，其中

cos ϕ = \frac{2}{5}

，

sin ϕ = \frac{1}{5}

，

ϕ

是銳角。

θ = 9 0^{\circ} - ϕ

在

0^{\circ}

到

9 0^{\circ}

之間，此時

sin (θ + ϕ) = 1

，所以最大值為

2005

公尺。

最大時

tan θ = 2

，也就是

\overline{E B} = 2 \overline{O E}

。本頁的圖是示意，兩條弦的位置沒有照最大值時的大小畫。

第 15 題

1 - a^{2} = cos^{2} 3 5^{\circ} = cos 3 5^{\circ}

（

cos 3 5^{\circ} > 0

）。

b = cos 11 5^{\circ} = cos (9 0^{\circ} + 2 5^{\circ}) = - sin 2 5^{\circ}

，

1 - b^{2} = cos^{2} 2 5^{\circ} = cos 2 5^{\circ}

。所以原式

= cos 3 5^{\circ} cos 2 5^{\circ} + sin 3 5^{\circ} \cdot (- sin 2 5^{\circ}) = cos 3 5^{\circ} cos 2 5^{\circ} - sin 3 5^{\circ} sin 2 5^{\circ} = cos (3 5^{\circ} + 2 5^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

1 - b^{2} = ∣ sin 11 5^{\circ} ∣

，是正的；

b

本身是負的，所以

ab

是負的，兩項之間是減號，合成和角的餘弦。

式子裡同時有正餘弦的和與積，就令和為新變數；長度的和寫成一個角的正餘弦一次式後，用疊合求最大值。

05選填 16～18（原卷 I～K）：週期現象的不等式、圓上弦長的最大值、正切的差角公式

第 16 題週期是

30

天，所以

\frac{2 π}{ω} = 30

，

ω = \frac{π}{15}

。

P \geq 75

即

50 (1 + sin ω t) \geq 75

，

sin ω t \geq \frac{1}{2}

。看一個週期

0 \leq ω t \leq 2 π

：正弦值不小於

\frac{1}{2}

的範圍是

\frac{π}{6} \leq ω t \leq \frac{5 π}{6}

，即

\frac{π}{6} \leq \frac{π}{15} t \leq \frac{5 π}{6}

，

2.5 \leq t \leq 12.5

，長度是

10

天。

也可以直接看比例：

\frac{5 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{2 π}{3}

占一個週期

2 π

的

\frac{1}{3}

，所以是

30 \times \frac{1}{3} = 10

天。

第 17 題

△ A B C

內接於半徑

3

的圓，

∠ A = \frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}

，所以

∠ B + ∠ C = 6 0^{\circ}

。設

∠ C = θ

，則

∠ B = 6 0^{\circ} - θ

，其中

0^{\circ} < θ < 6 0^{\circ}

。由正弦定理，

\overline{A B} = 2 \cdot 3 \cdot sin C = 6 sin θ

，

\overline{A C} = 2 \cdot 3 \cdot sin B = 6 sin (6 0^{\circ} - θ)

。

3 \overline{A B} + 4 \overline{A C} = 18 sin θ + 24 sin (6 0^{\circ} - θ) = 18 sin θ + 24 (\frac{3}{2} cos θ - \frac{1}{2} sin θ) = 6 sin θ + 123 cos θ

。疊合：

6^{2} + (123)^{2} = 468 = 613

，原式

= 613 sin (θ + ϕ)

，其中

cos ϕ = \frac{1}{13}

，

sin ϕ = \frac{2 3}{13}

。最高點在

θ = 9 0^{\circ} - ϕ

，此時

tan θ = \frac{cos ϕ}{sin ϕ} = \frac{1}{2 3} < 3 = tan 6 0^{\circ}

，所以

θ

在

0^{\circ}

與

6 0^{\circ}

之間，取得到。最大值為

613

。

疊合之後要檢查最高點的角在不在範圍內；這題

θ

約

1 6^{\circ}

，在範圍內。本頁的圖是示意，

B

、

C

的位置沒有照最大值時的位置畫。

第 18 題設正方形邊長為

12

，則

\overline{A E} = 4

，

\overline{B F} = 3

，

\overline{C F} = 9

。對角線

\overline{B D}

平分直角，

∠ A D B = ∠ C D B = 4 5^{\circ}

。直角三角形

A D E

中

tan ∠ A D E = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

，而

α = ∠ B D E = 4 5^{\circ} - ∠ A D E

，所以

tan α = \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}

。直角三角形

C D F

中

tan ∠ C D F = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

，而

β = ∠ B D F = 4 5^{\circ} - ∠ C D F

，所以

tan β = \frac{1 - \frac{3}{4}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1}{7}

。由正切的差角公式，

tan (α - β) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{7}}{1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{7}} = \frac{\frac{5}{14}}{\frac{15}{14}} = \frac{1}{3}

。

邊長設成

3

與

4

的公倍數

12

，各段長都是整數。

E

在

\overline{A B}

上靠近

A

，

F

在

\overline{B C}

上靠近

B

。本頁的圖是示意，

E

、

F

的位置沒有照實際比例畫。

圓內接三角形的邊長用正弦定理寫成對角的正弦；要求的角是兩個已知正切值的角相減，就用正切的差角公式。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題：角是 5 弧度不是 5 度，落在第四象限，正弦值接近負 1。多選第 7 題：後三個選項的角是弧度，2 與 3 都在第二象限。選填 C（本頁第 10 題）：先用對稱把 11 個解化成正的一側 5 個交點，再看直線要穿過第三個山丘而碰不到第四個，邊界的 14 與 20 要個別檢查，答案是 15 到 20 共 6 個。選填 F（本頁第 13 題）：正餘弦的和當新變數後，別漏了它只能在正負根號 2 之間，最小值在端點。選填 J（本頁第 17 題）：用正弦定理把兩條弦寫成同一個角的函數再疊合，並檢查最高點的角在範圍內。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自興大附中 111 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～3：弧度角的正弦值、週期、倍角公式比大小

02多選 4～7：象限角的正餘弦、由圖形決定函數、公式求值、函數值的大小

03選填 8～11（原卷 A～D）：由和角決定角、倍角公式解方程式、直線與正弦曲線的交點、疊合後解角

04選填 12～15（原卷 E～H）：扇形內的正方形、正餘弦的和當變數、I 字型木橋、化成和角公式

05選填 16～18（原卷 I～K）：週期現象的不等式、圓上弦長的最大值、正切的差角公式

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高二第一次段考
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