段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律與換底公式、指數與對數函數的圖形與平移、指數對數方程式與不等式、常用對數與應用）

興大附中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 4 分）、多選題 4 題（每題 8 分）、選填題 A～L 共 12 題（每題 5 分），合計 100 分。卷頭參考數值：log 2 ≈ 0.3010、log 3 ≈ 0.4771、log 7 ≈ 0.8451。本頁第 7～18 題依序為原卷選填 A～L。答案已與學校公布的答案逐題核對。

第一部分：單選題（占8分）說明：第1題至第2題，每題有5個選項，其中有一個是正確或最佳的選項，請將正確答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。每題答對，得4分；答錯或未作答者，該題以零分計算。

若

0 < a < 1

，則下列哪個選項是正確的？

(1) $a^{(a^{a})} > a^{a} > a$
(2) $a > a^{(a^{a})} > a^{a}$
(3) $a^{a} > a^{(a^{a})} > a$
(4) $a > a^{a} > a^{(a^{a})}$
(5) $a^{a} > a > a^{(a^{a})}$

溶液的 pH 值是將溶液中氫離子濃度的常用對數值加上負號，若將

[H^{+}]

表示成氫離子濃度，則

pH = - lo g [H^{+}]

。班納博士在實驗室研究妹妹珍的血液，他嘗試將血液與不同的東西產生結合，找出任何的危險性，以防有心之人竊取浩克血液去做實驗，進而產生更多危機。過程中有將 10ml 的血液(

pH = 8

)與 10ml 的牛奶(

pH = 6

)混合在一起，結果產生出粉紅色的粒子不斷分裂，班納博士進一步想要來分析該物質，但得先來檢定一下其 pH 值。請問該混合液體的 pH 值與下列哪個選項最為接近？

(1) $pH = 6.0$
(2) $pH = 6.5$
(3) $pH = 7.0$
(4) $pH = 7.5$
(5) $pH = 8.0$

第二部分：多選題（占32分）說明：第3題至第6題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列選項何者為正數？

(1) $3^{- 2}$
(2) $5 - 310$
(3) $2^{30} - 3^{20}$
(4) $lo g_{\frac{1}{7}} \frac{3}{2}$
(5) $lo g_{2022} 2021 - lo g_{2021} 2022$

下列敘述關於對數哪些選項是正確的？

(1) 若 $lo g_{a} 10 = 2$ ，則 $a = \pm 10$
(2) 設 $m > 1$ 且 $n > 1$ ，則 $lo g_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = lo g_{m} n = lo g_{m^{2}} n^{2}$
(3) 設 $lo g β = - 9.527$ ，則 $- 9$ 代表 $β$ 在小數點後第 $9$ 位開始不為 $0$
(4) 設 $r = lo g_{5} 6$ ， $s = lo g_{6} 5$ ，則 $lo g_{r} s$ 為無理數。
(5) 設 $x > 0$ ， $x \neq = 1$ ，則方程式 $lo g_{x} 3 + lo g_{3} x = \frac{2022}{2021}$ 無實數解。

下列敘述關於圖形哪些選項是正確的？

(1) 若 A、B、C 為函數 $y = 1 0^{x}$ 上相異三點，且其 $x$ 坐標分別為 $p$ 、 $p + 1$ 、 $p + 2$ ，則斜率 $m_{A B} < m_{B C}$ 。
(2) 若 A、B、C 為函數 $y = lo g x$ 上相異三點，且其 $x$ 坐標分別為 $p$ 、 $p + 1$ 、 $p + 2$ ，則斜率 $m_{A B} < m_{B C}$ 。
(3) 若 $0 \leq k \leq 1$ ，則 $2^{- ∣ x ∣} = k$ 恆有實根。
(4) $2^{- ∣ x ∣} = lo g_{2} ∣ x ∣$ 有 $1$ 個實根。
(5) $2^{- ∣ x ∣} = ∣ lo g_{2} x ∣$ 有 $2$ 個實根。

發生地震時，因為距離與地形在週遭各地所感受到的震度是不同的，因此每次地震發生時，會利用儀器觀測得到的地動加速度 PGA（

cm / sec^{2}

）與地動速度 PGV（

cm / sec

），換算得到不同地區的地震震度等級，一般是採用整數表示。從 2020 年 1 月 1 日起，中央氣象局採用新的地震震度分級，將原來的 5 級與 6 級，再分成 5 弱、5 強、6 弱、6 強，如下表：

舊制 0 級 1 級 2 級 3 級 4 級 5 級 5 級 6 級 6 級 7 級 新制 0 級 1 級 2 級 3 級 4 級 5 弱 5 強 6 弱 6 強 7 級 I 值 0 \leq I < 0.5 0.5 \leq I < 1.5 1.5 \leq I < 2.5 2.5 \leq I < 3.5 3.5 \leq I < 4.5 4.5 \leq I < 5.0 5.0 \leq I < 5.5 5.5 \leq I < 6.0 6.0 \leq I < 6.5 6.5 \leq I

0～4 級依據地表強震儀觀測 PGA 決定，使用公式

I_{1} = 2.00 \times lo g (PGA) + 0.7 \dots

①；5～7 級依據地表強震儀觀測 PGV 決定，使用公式

I_{2} = 2.14 \times lo g (PGV) + 1.89 \dots

②，地震震度先以 PGA 換算，當計算震度 5 級以上時，改以 PGV 進行計算，但若計算 PGV 震度小於 4 級時，則將震度定為 4 級。根據上述資料，下列哪些地區的地震資料其強度會被中央氣象局公告為 6 強？

(1) $PGA = 50$ ， $PGV = 70$
(2) $PGA = 100$ ， $PGV = 50$
(3) $PGA = 500$ ， $PGV = 100$
(4) $PGA = 1000$ ， $PGV = 90$
(5) $PGA = 700$ ， $PGV = 200$

第三部分：選填題（占60分）說明：1.第A至L題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（7–35）2.第A題到第L題答對得5分，答錯不倒扣，該題未完全答對不給分。

計算

(lo g_{16} 32) \times (9^{\frac{l o g 8}{l o g 3}}) =

____。

不等式

(\frac{1}{4})^{x^{2} - 3 x} > (\frac{1}{1024})^{2}

的解為 ____

< x <

____。

方程式

(lo g_{9} x)^{2} - 2 lo g_{3} x + 4 = 0

的解為

x =

____。

聯立方程式

{7 lo g x - 5 \cdot 3^{y} = - 1 lo g x^{6} + 3^{y + 1} = 21

的解

x =

____，

y =

____。

設

f (x) = 9^{x + 1} - 3^{x + 4}

，

0 \leq x \leq 1

，當

x = a

時，

f (x)

有最大值

M

，則

a =

____，

M =

____。

將

7^{80}

以科學記號表示：

7^{80} = a \times 1 0^{m}

，其中

1 \leq a < 10

，

m

為整數，且

a

的整數部分為

n

，而

7^{80}

的個位數字為

p

，則

m =

____，

n =

____，

p =

____。

設

a

為正實數，且

a^{l o g_{2} 3} = 32

，則

a^{(l o g_{2} 3)^{2}} =

____。(化簡至最簡根式)

設

x

、

y

、

z > 1

，若

lo g_{x} a = 24

，

lo g_{y} a = 40

，

lo g_{x y z} a = 12

，求

lo g_{z} a =

____。

已知直線

x = k

及

x = k + 3

與函數圖形

y = lo g x

分別交於 A、B 兩點，且與

x

軸分別交於 C、D 兩點，其中

k > 1

。若四邊形 ABDC 的面積為

\frac{3}{2}

，則

k

的值為 ____。

如左附圖，

y_{1} = 2^{x}

經過平移之後得到

y_{2} = 2^{x + a} + b

，

y_{2}

的漸近線為

y = - 2

；如右附圖，

y_{3} = lo g_{2} x

經過平移之後得到

y_{4} = lo g_{2} (c x + d)

，

y_{4}

的漸近線為

x = - 4

。求

a + b + c + d =

____。

載入中...

設

a_{n} = lo g_{n} (n + 1)

，

n = 2, 3, 4, \dots, 1023

，若

\frac{1}{l o g _{a_{2}} 1000} + \frac{1}{l o g _{a_{3}} 1000} + \frac{1}{l o g _{a_{4}} 1000} + \dots + \frac{1}{l o g _{a_{1023}} 1000} = k

，則有理數

k =

____。(化簡至最簡分數)

根據對數定律，

LOG A + LOG N = LOGAN

，LOGAN-羅根(金鋼狼)，是 X 戰警的其中一員，近期死侍已透漏羅根將會於死侍 3 再次回歸。而 X 戰警是由 X 教授所帶領的團隊，成員都是變種人，變種人是具有特異功能的人，他們相信人類與變種人可以和平共處。曾在某時期倡導過注射「變種人血清」，變種人血清注射之後，可以讓變種人變回正常人，只是這血清被一位名為 Mr.Z 的拿來開發不當用途，他為了統治世界，開發出一種新型病毒 ME(Mutant Extinction)，感染 ME 的變種人會在幾秒內的時間失去特異功能進而變成正常人。某天，X 教授及羅根發現變種人發生異狀，調查後得知病毒 ME 已經開始大量擴散，他們決定號召所有變種人來聯手對付 Mr.Z。目前經過精密計算得知 ME 病毒的擴散速度為，「經過

h

小時，變種人的感染率為

1 - (2.5)^{- 0.5 h}

」，若變種人有

90%

以上的人被感染，則依照他們的戰力將無法戰勝 Mr.Z，所以他們得在這之前趕緊打倒 Mr.Z，以拿到解藥。則至少 H 小時之後，會有

90%

以上的變種人被感染而變回正常人。求

H =

____。(取整數)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(3)

第 2 題(2)

第 3 題(1)(2)

第 4 題(2)(5)

第 5 題(1)(5)

第 6 題(3)(4)

第 7 題

80

第 8 題

- 2 < x < 5

第 9 題

81

第 10 題

x = 100

，

y = 1

第 11 題

a = 0

，

M = - 72

第 12 題

m = 67

，

n = 4

，

p = 1

第 13 題

93

第 14 題

60

第 15 題

2

第 16 題

35

第 17 題

\frac{1}{3}

第 18 題

6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～2：底數小於 1 的指數比大小、混合溶液的 pH 值

第 1 題

答案 (3)。 $0 < a < 1$ 時， $y = a^{x}$ 是遞減函數：指數愈大，值愈小。

先比 $a^{a}$ 與 $a$ ：指數 $a < 1$ ，所以 $a^{a} > a^{1} = a$ 。

再看 $a^{(a^{a})}$ ：它的指數是 $a^{a}$ 。 $a^{a}$ 是底數 $a$ 的正次方，所以 $0 < a^{a} < 1$ ；又由上一步 $a^{a} > a$ ，因此指數滿足 $a < a^{a} < 1$ 。遞減函數把大小反過來：

$a^{a} > a^{(a^{a})} > a^{1} = a$

所以 $a^{a} > a^{(a^{a})} > a$ 。

可以代

a = \frac{1}{4}

檢查：

a^{a} = (\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}} \approx 0.707

，

a^{(a^{a})} = (\frac{1}{4})^{0.707} \approx 0.375

，

a = 0.25

，順序與答案一致。

第 2 題

答案 (2)。 $pH = 8$ 的血液 $[H^{+}] = 1 0^{- 8}$ ， $pH = 6$ 的牛奶 $[H^{+}] = 1 0^{- 6}$ 。兩者各 10ml 混合，總體積 20ml，氫離子濃度變成兩者的平均：

$[H^{+}] = \frac{1 0 ^{- 8} + 1 0 ^{- 6}}{2} = \frac{1.01 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 5.05 \times 1 0^{- 7}$

所以 $pH = - lo g (5.05 \times 1 0^{- 7}) = 7 - lo g 5.05$ 。

$lo g 5.05$ 略大於 $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.699$ ，所以 $pH \approx 7 - 0.70 = 6.30$ 。

$6.30$ 與 $6.5$ 差約 $0.2$ ，與 $6.0$ 差約 $0.3$ ，最接近 $pH = 6.5$ 。

判斷是否比

6.25

大（

6.0

與

6.5

的中點），只要

lo g 5.05 < 0.75

，也就是

5.0 5^{4} < 1 0^{3}

；

5.0 5^{4} \approx 650 < 1000

，成立。依題目定義平均氫離子濃度：這裡是把氫離子濃度平均後再取對數，不是把兩個 pH 值平均。

底數介於 0 與 1 之間，指數愈大值愈小；pH 是濃度的對數，混合時先平均濃度再取對數。

02多選 3～4：判斷正負、對數的定義與首數

第 3 題

答案 (1)(2)。

(1) 正確。 $3^{- 2} = \frac{1}{9} > 0$ 。

(2) 正確。比較 $5$ 與 $310$ ，兩者都六次方： $(5)^{6} = 5^{3} = 125$ ， $(310)^{6} = 1 0^{2} = 100$ 。 $125 > 100$ ，所以 $5 > 310$ ，差為正數。

(3) 錯誤。 $2^{30} = (2^{3})^{10} = 8^{10}$ ， $3^{20} = (3^{2})^{10} = 9^{10}$ ， $8^{10} < 9^{10}$ ，差為負數。

(4) 錯誤。底數 $\frac{1}{7}$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = lo g_{\frac{1}{7}} x$ 遞減；真數 $\frac{3}{2} > 1$ ，所以 $lo g_{\frac{1}{7}} \frac{3}{2} < lo g_{\frac{1}{7}} 1 = 0$ ，是負數。

(5) 錯誤。 $lo g_{2022} 2021 < lo g_{2022} 2022 = 1$ ， $lo g_{2021} 2022 > lo g_{2021} 2021 = 1$ ，前者小於後者，差為負數。

比較不同次方根時，取兩個根指數的最小公倍數次方；比較兩個對數時，拿

1

或

0

當中間的比較基準。

第 4 題

答案 (2)(5)。

(1) 錯誤。 $lo g_{a} 10 = 2$ 表示 $a^{2} = 10$ ，但對數的底數必須 $a > 0$ 且 $a \neq = 1$ ，所以只有 $a = 10$ ，不能取負的。

(2) 正確。由換底公式 $lo g_{a^{k}} b^{k} = \frac{k l o g b}{k l o g a} = lo g_{a} b$ （ $k \neq = 0$ ）：

$lo g_{\frac{1}{m}} \frac{1}{n} = lo g_{m^{- 1}} n^{- 1} = lo g_{m} n$ ； $lo g_{m} n = lo g_{m^{\frac{1}{2}}} n^{\frac{1}{2}} = lo g_{m} n$ ； $lo g_{m^{2}} n^{2} = lo g_{m} n$ 。三者相等。（由 $m > 1$ 可以確定三個底數都是正數且不等於 $1$ 。）

(3) 錯誤。 $lo g β = - 9.527 = - 10 + 0.473$ ，首數是 $- 10$ 、尾數是 $0.473$ ，所以 $β = 1 0^{0.473} \times 1 0^{- 10}$ ，其中 $1 < 1 0^{0.473} < 10$ 。 $β$ 從小數點後第 $10$ 位開始不為 $0$ ，不是第 $9$ 位； $- 9$ 也不是首數。

(4) 錯誤。 $s = lo g_{6} 5 = \frac{1}{l o g _{5} 6} = \frac{1}{r}$ ，所以 $lo g_{r} s = lo g_{r} r^{- 1} = - 1$ ，是有理數。（ $r = lo g_{5} 6 > 1$ ，可以當底數。）

(5) 正確。設 $t = lo g_{3} x$ ，因為 $x \neq = 1$ ， $t \neq = 0$ ，且 $lo g_{x} 3 = \frac{1}{t}$ 。方程式變成 $t + \frac{1}{t} = \frac{2022}{2021}$ 。

$t > 0$ 時由算幾不等式 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ ； $t < 0$ 時 $t + \frac{1}{t} \leq - 2$ 。所以 $t + \frac{1}{t} \geq 2$ ，而 $\frac{2022}{2021}$ 介於 $1$ 與 $2$ 之間，方程式沒有實數解。

(3) 的首數必須是整數、尾數必須在

0

與

1

之間（可以等於

0

），負的對數值要先改寫成「負整數＋正小數」才讀得出首數。

對數的底數一定是正數且不等於 1；首數要先把對數寫成整數加上 0 到 1 之間的尾數再讀。

03多選 5～6：圖形上的斜率與交點個數、震度公式

第 5 題

答案 (1)(5)。

(1) 正確。 $A (p, 1 0^{p})$ 、 $B (p + 1, 1 0^{p + 1})$ 、 $C (p + 2, 1 0^{p + 2})$ 。

$m_{A B} = 1 0^{p + 1} - 1 0^{p} = 9 \times 1 0^{p}$ ， $m_{B C} = 1 0^{p + 2} - 1 0^{p + 1} = 90 \times 1 0^{p}$ ，所以 $m_{A B} < m_{B C}$ 。

(2) 錯誤。真數要大於 $0$ ，所以 $p > 0$ 。 $m_{A B} = lo g (p + 1) - lo g p = lo g \frac{p + 1}{p}$ ， $m_{B C} = lo g \frac{p + 2}{p + 1}$ 。

比較真數： $\frac{p + 1}{p} - \frac{p + 2}{p + 1} = \frac{( p + 1 ) ^{2} - p ( p + 2 )}{p ( p + 1 )} = \frac{1}{p ( p + 1 )} > 0$ ，又 $y = lo g x$ 遞增，所以 $m_{A B} > m_{B C}$ 。

(3) 錯誤。 $2^{- ∣ x ∣} > 0$ 恆成立，所以 $k = 0$ 時 $2^{- ∣ x ∣} = 0$ 沒有實根。（ $0 < k \leq 1$ 時 $∣ x ∣ = - lo g_{2} k$ 才有實根。）

(4) 錯誤。兩邊都把 $x$ 換成 $- x$ 不變，所以實根成對出現（ $x$ 與 $- x$ ），且 $x \neq = 0$ 。先看 $x > 0$ ：方程式為 $2^{- x} = lo g_{2} x$ ，左邊遞減、右邊遞增，至多一個交點； $x = 1$ 時左邊為 $\frac{1}{2}$ 、右邊為 $0$ ，左邊較大； $x = 2$ 時左邊為 $\frac{1}{4}$ 、右邊為 $1$ ，右邊較大，所以在 $1$ 與 $2$ 之間恰有一個正根。再加上它的相反數，共 $2$ 個實根，不是 $1$ 個。

(5) 正確。 $lo g_{2} x$ 要求 $x > 0$ ，方程式為 $2^{- x} = ∣ lo g_{2} x ∣$ 。

$x \geq 1$ 時：右邊是 $lo g_{2} x$ ，遞增且從 $0$ 開始；左邊 $2^{- x}$ 遞減。 $x = 1$ 時左邊較大（ $\frac{1}{2}$ 對 $0$ ）， $x = 2$ 時右邊較大（ $\frac{1}{4}$ 對 $1$ ），恰有一個交點。

$0 < x < 1$ 時：方程式為 $(\frac{1}{2})^{x} = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 。 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。

至少一個： $x = \frac{1}{2}$ 時右邊 $1$ 大於左邊 $2^{- \frac{1}{2}} \approx 0.71$ ； $x = \frac{2}{2}$ 時右邊 $\frac{1}{2}$ 小於左邊（左邊大於 $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ ），所以這一段至少有一個交點。

至多一個：設 $(p, q)$ 是交點，則 $q = (\frac{1}{2})^{p}$ ；又因為兩函數互為反函數， $p = (\frac{1}{2})^{q}$ ，且 $p$ 、 $q$ 都在 $0$ 與 $1$ 之間。若 $p \neq = q$ ，不妨設 $p < q$ （另一種情形把 $p$ 、 $q$ 對調，論證相同），令 $d = q - p$ ，則 $0 < d < 1$ ，且

$d = q - p = (\frac{1}{2})^{p} - (\frac{1}{2})^{q} = (\frac{1}{2})^{p} (1 - 2^{- d}) < 1 - 2^{- d} .$

但 $0 < d < 1$ 時， $y = 2^{x}$ 的圖形在連接 $(0, 1)$ 、 $(1, 2)$ 的弦下方，所以 $2^{d} < 1 + d$ ，得 $2^{- d} > \frac{1}{1 + d} > 1 - d$ ，即 $1 - 2^{- d} < d$ 。兩式合起來得 $d < d$ ，矛盾。

所以交點一定在直線 $y = x$ 上，也就是 $x = (\frac{1}{2})^{x}$ ；左邊遞增、右邊遞減，只有一個解。因此這一段恰有一個交點。

共 $2$ 個實根。

(4) 與 (5) 的差別：

lo g_{2} ∣ x ∣

讓圖形左右對稱，負的一側也有根；

∣ lo g_{2} x ∣

只把

0 < x < 1

那段翻到

x

軸上方，定義域仍是

x > 0

。

第 6 題

答案 (3)(4)。先用 ① 由 PGA 算 $I_{1}$ ； $I_{1} \geq 4.5$ （5 級以上）才改用 ② 由 PGV 算 $I_{2}$ 。6 強要 $6.0 \leq I_{2} < 6.5$ 。

$I_{1} \geq 4.5$ 等價於 $2 lo g (PGA) \geq 3.8$ ，即 $lo g (PGA) \geq 1.9$ 。

(1) 錯誤。 $lo g 50 = 2 - lo g 2 \approx 1.699 < 1.9$ ， $I_{1} \approx 2 \times 1.699 + 0.7 = 4.098$ ，是 4 級，不改用 PGV。

(2) 錯誤。 $lo g 100 = 2$ ， $I_{1} = 4.7$ ，改用 PGV： $lo g 50 \approx 1.699$ ， $I_{2} \approx 2.14 \times 1.699 + 1.89 \approx 5.53$ ，是 6 弱。

(3) 正確。 $lo g 500 = 3 - lo g 2 \approx 2.699$ ， $I_{1} \approx 6.10$ ，改用 PGV： $lo g 100 = 2$ ， $I_{2} = 2.14 \times 2 + 1.89 = 6.17$ ，是 6 強。

(4) 正確。 $lo g 1000 = 3$ ， $I_{1} = 6.7$ ，改用 PGV： $lo g 90 = 1 + 2 lo g 3 \approx 1.9542$ ， $I_{2} \approx 2.14 \times 1.9542 + 1.89 \approx 6.07$ ，是 6 強。

(5) 錯誤。 $lo g 700 = 2 + lo g 7 \approx 2.8451$ ， $I_{1} \approx 6.39$ ，改用 PGV： $lo g 200 = 2 + lo g 2 \approx 2.3010$ ， $I_{2} \approx 2.14 \times 2.3010 + 1.89 \approx 6.81$ ，是 7 級。

(2) 的 PGA 剛好在門檻上（

I_{1} = 4.7

），要記得換成 PGV 公式；震度最後由

I_{2}

決定，不是由

I_{1}

。

數交點個數先看對稱與定義域，再在每一段看兩個函數一增一減；分級題照流程先判斷用哪一個公式。

04選填 A～F（本頁第 7～12 題）：換底、指數不等式、對數方程式、聯立、最大值、科學記號

第 7 題

$lo g_{16} 32 = \frac{l o g _{2} 2 ^{5}}{l o g _{2} 2 ^{4}} = \frac{5}{4}$ 。

$\frac{l o g 8}{l o g 3} = lo g_{3} 8$ ，所以 $9^{\frac{l o g 8}{l o g 3}} = 9^{l o g_{3} 8} = (3^{2})^{l o g_{3} 8} = (3^{l o g_{3} 8})^{2} = 8^{2} = 64$ 。

所求 $= \frac{5}{4} \times 64 = 80$ 。

a^{l o g_{a} b} = b

：把

9

寫成

3^{2}

，讓底數與對數的底一致。

第 8 題

$(\frac{1}{1024})^{2} = (\frac{1}{4 ^{5}})^{2} = (\frac{1}{4})^{10}$ 。原不等式為

$(\frac{1}{4})^{x^{2} - 3 x} > (\frac{1}{4})^{10}$

底數 $\frac{1}{4} < 1$ ， $y = (\frac{1}{4})^{x}$ 遞減，所以指數的不等號反向： $x^{2} - 3 x < 10$ ， $x^{2} - 3 x - 10 < 0$ ， $(x - 5) (x + 2) < 0$ ， $- 2 < x < 5$ 。

1024 = 2^{10} = 4^{5}

；底數小於

1

時去掉底數要把不等號反過來。

第 9 題

真數條件 $x > 0$ 。設 $t = lo g_{3} x$ ，則 $lo g_{9} x = \frac{l o g _{3} x}{l o g _{3} 9} = \frac{t}{2}$ 。方程式變成

$\frac{t ^{2}}{4} - 2 t + 4 = 0 \Rightarrow t^{2} - 8 t + 16 = 0 \Rightarrow (t - 4)^{2} = 0$

$t = 4$ ， $x = 3^{4} = 81$ 。

把不同底的對數換成同一個底後，就是

t

的一元二次方程式。

第 10 題

由第一式的 $lo g x$ 知 $x > 0$ ，所以 $lo g x^{6} = 6 lo g x$ 。設 $u = lo g x$ ， $v = 3^{y}$ （ $v > 0$ ）， $3^{y + 1} = 3 v$ ，聯立方程式變成

${7 u - 5 v = - 1 6 u + 3 v = 21$

第二式除以 $3$ ： $2 u + v = 7$ ， $v = 7 - 2 u$ 。代入第一式： $7 u - 5 (7 - 2 u) = - 1$ ， $17 u = 34$ ， $u = 2$ ， $v = 3$ 。

$lo g x = 2$ 得 $x = 100$ ； $3^{y} = 3$ 得 $y = 1$ 。

代回檢查：

7 \times 2 - 5 \times 3 = - 1

，

12 + 9 = 21

，都成立。

第 11 題

設 $t = 3^{x}$ ， $0 \leq x \leq 1$ 時 $1 \leq t \leq 3$ 。 $9^{x + 1} = 9 \times (3^{x})^{2} = 9 t^{2}$ ， $3^{x + 4} = 81 \times 3^{x} = 81 t$ ，所以

$f (x) = 9 t^{2} - 81 t = 9 (t - \frac{9}{2})^{2} - \frac{729}{4}$

這是開口向上的拋物線，頂點在 $t = \frac{9}{2}$ ，不在 $1 \leq t \leq 3$ 之內；在這一段上 $t$ 愈大值愈小，所以最大值在 $t = 1$ ，也就是 $x = 0$ 。

$M = 9 - 81 = - 72$ ， $a = 0$ 。

換元後要先寫出新變數的範圍；頂點不在範圍內時，極值發生在端點，離頂點較遠的端點（

t = 1

）是最大值。

第 12 題

$lo g 7^{80} = 80 lo g 7 \approx 80 \times 0.8451 = 67.608 = 67 + 0.608$ ，所以 $7^{80} = 1 0^{0.608} \times 1 0^{67}$ ， $m = 67$ ， $a = 1 0^{0.608}$ 。

$lo g 4 = 2 lo g 2 \approx 0.6020$ ， $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.6990$ ， $0.6020 < 0.608 < 0.6990$ ，所以 $4 < a < 5$ ， $n = 4$ 。

個位數字： $7^{1}, 7^{2}, 7^{3}, 7^{4}$ 的個位數字依序為 $7, 9, 3, 1$ ，之後每 $4$ 次循環一次。 $80 = 4 \times 20$ ，所以 $7^{80}$ 的個位數字與 $7^{4}$ 相同， $p = 1$ 。

7^{80}

是

68

位數，最高位數字是

4

，個位數字是

1

。尾數

0.608

要拿

lo g 4

與

lo g 5

夾住。

換元時記得新變數的範圍；科學記號的次方看首數、最高位數字看尾數。

05選填 G～L（本頁第 13～18 題）：次方的整體代換、倒數換底、梯形面積、平移、連乘相消、感染模型

第 13 題

$a^{(l o g_{2} 3)^{2}} = (a^{l o g_{2} 3})^{l o g_{2} 3} = (32)^{l o g_{2} 3} = (2^{\frac{5}{2}})^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{\frac{5}{2}} = 3^{\frac{5}{2}}$ 。

$3^{\frac{5}{2}} = 3^{2} \times 3^{\frac{1}{2}} = 93$ 。

不必解出

a

：把已知的

a^{l o g_{2} 3}

當整體，再取

lo g_{2} 3

次方；指數相乘可以交換順序。

第 14 題

由 $lo g_{b} a = \frac{1}{l o g _{a} b}$ ： $lo g_{a} x = \frac{1}{24}$ ， $lo g_{a} y = \frac{1}{40}$ ， $lo g_{a} (x y z) = \frac{1}{12}$ 。

$lo g_{a} (x y z) = lo g_{a} x + lo g_{a} y + lo g_{a} z$ ，所以

$lo g_{a} z = \frac{1}{12} - \frac{1}{24} - \frac{1}{40} = \frac{10 - 5 - 3}{120} = \frac{1}{60}$

$lo g_{z} a = 60$ 。

題目給的都是「以

a

為真數」，取倒數後變成以

a

為底，乘積才能拆成相加。

第 15 題

$A (k, lo g k)$ 、 $B (k + 3, lo g (k + 3))$ 、 $C (k, 0)$ 、 $D (k + 3, 0)$ 。 $k > 1$ ，所以 $lo g k > 0$ 、 $lo g (k + 3) > 0$ ， $A$ 、 $B$ 都在 $x$ 軸上方。

$\overline{A C}$ 與 $\overline{B D}$ 都垂直於 $x$ 軸，四邊形 ABDC 是梯形，上下底長為 $lo g k$ 、 $lo g (k + 3)$ ，高為 $3$ ：

$\frac{[ lo g k + lo g ( k + 3 ) ] \times 3}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow lo g [k (k + 3)] = 1$

$k (k + 3) = 10$ ， $k^{2} + 3 k - 10 = 0$ ， $(k + 5) (k - 2) = 0$ ， $k > 1$ ，所以 $k = 2$ 。

兩個底的對數相加，用對數律合成一個對數再化成代數方程式。

第 16 題

圖上標出 $y_{2}$ 的圖形通過點 $(5, 2)$ ， $y_{4}$ 的圖形通過點 $(4, 6)$ 。

左圖： $y_{2} = 2^{x + a} + b$ 的漸近線是 $y = b$ ，所以 $b = - 2$ 。代入 $(5, 2)$ ： $2^{5 + a} - 2 = 2$ ， $2^{5 + a} = 4 = 2^{2}$ ， $a = - 3$ 。

右圖： $y_{4} = lo g_{2} (c x + d)$ 的漸近線是真數為 $0$ 的直線 $c x + d = 0$ ，也就是 $x = - \frac{d}{c}$ ，所以 $- \frac{d}{c} = - 4$ ， $d = 4 c$ 。代入 $(4, 6)$ ： $lo g_{2} (4 c + 4 c) = 6$ ， $8 c = 2^{6} = 64$ ， $c = 8$ ， $d = 32$ 。

此時 $y_{4} = lo g_{2} (8 x + 32) = lo g_{2} [8 (x + 4)] = 3 + lo g_{2} (x + 4)$ ，確實是 $y_{3} = lo g_{2} x$ 向左平移 $4$ 、向上平移 $3$ 的圖形。

$a + b + c + d = - 3 - 2 + 8 + 32 = 35$ 。

對數函數的漸近線來自「真數等於

0

」；

lo g_{2} (c x + d)

把

c

提出來就看得出它是

lo g_{2} x

的平移。

第 17 題

$a_{n} = lo g_{n} (n + 1) > 1$ ，可以當底數。由倒數關係 $\frac{1}{l o g _{a_{n}} 1000} = lo g_{1000} a_{n}$ ，所以

$k = lo g_{1000} a_{2} + lo g_{1000} a_{3} + \dots + lo g_{1000} a_{1023} = lo g_{1000} (a_{2} a_{3} \dots a_{1023})$

而 $a_{2} a_{3} \dots a_{1023} = lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times \dots \times lo g_{1023} 1024 = \frac{l o g 3}{l o g 2} \times \frac{l o g 4}{l o g 3} \times \dots \times \frac{l o g 1024}{l o g 1023} = \frac{l o g 1024}{l o g 2} = lo g_{2} 1024 = 10$ 。

$k = lo g_{1000} 10 = \frac{1}{3}$ 。

連乘的換底公式前後相消，只剩頭尾：

lo g_{2} 3 \times lo g_{3} 4 \times \dots \times lo g_{1023} 1024 = lo g_{2} 1024

。

第 18 題

感染率至少 $90%$ ： $1 - (2.5)^{- 0.5 h} \geq 0.9$ ，即 $(2.5)^{- 0.5 h} \leq 0.1 = 1 0^{- 1}$ 。

兩邊取常用對數： $- 0.5 h lo g 2.5 \leq - 1$ ，即 $h \geq \frac{2}{l o g 2.5}$ 。

$lo g 2.5 = lo g \frac{10}{4} = 1 - 2 lo g 2 \approx 1 - 0.6020 = 0.398$ ，所以 $h \geq \frac{2}{0.398} \approx 5.03$ 。

$h = 5$ 時 $0.5 h lo g 2.5 \approx 2.5 \times 0.398 = 0.995 < 1$ ， $(2.5)^{- 2.5} > 0.1$ ，感染率還不到 $90%$ ； $h = 6$ 時 $3 \times 0.398 = 1.194 > 1$ ，已超過 $90%$ 。取整數， $H = 6$ 。

lo g 2.5 > 0

，兩邊同除以

- 0.5 lo g 2.5

（負數）時不等號反向。

5.03

只比

5

多一點，要取

6

不是

5

。

倒數關係與換底公式能把各種底數統一起來；模型題取對數後，不等號方向看除以的數是正是負。

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本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 2 題：要平均的是氫離子濃度，不是直接把兩個 pH 值平均。多選第 5 題第 (4)(5) 選項：對數加絕對值的位置不同，一個圖形左右對稱有兩根，一個只翻折 0 到 1 那段，答案都是 2 個實根。多選第 4 題第 (3) 選項：負的對數值要改寫成負整數加正小數，首數是負 10。選填 L（本頁第 18 題）：算出約 5.03 小時，取整數要進到 6。詳解逐題寫在本頁。

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興大附中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01單選 1～2：底數小於 1 的指數比大小、混合溶液的 pH 值

02多選 3～4：判斷正負、對數的定義與首數

03多選 5～6：圖形上的斜率與交點個數、震度公式

04選填 A～F（本頁第 7～12 題）：換底、指數不等式、對數方程式、聯立、最大值、科學記號

05選填 G～L（本頁第 13～18 題）：次方的整體代換、倒數換底、梯形面積、平移、連乘相消、感染模型

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