興大附中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (1)。依 $x$ 的正負去掉絕對值：$x<0$ 時 $x+|x|+1=1$；$x\ge 0$ 時 $x+|x|+1=2x+1$。所以

$${\int }_{-2}^1\left(x+|x|+1\right)dx={\int }_{-2}^{0}1dx+{\int }_0^1(2x+1)dx=2+[x^2+x{]}_0^1=2+2=4$$

選 (1)。

答案 (3)。由微積分基本定理，

$${\int }_0^a{f}^{\prime }(x)dx=f(a)-f(0)$$

而 $f(0)=0$，所以條件就是 $f(a)=a(a+1)\left(a^3+2\right)=0$，得 $a=0$、$a=-1$ 或 $a^3=-2$，即 $a=-\sqrt[3]{2}$。三個值互不相同，共 $3$ 個，選 (3)。

答案 (2)。方程式 $f(x)=k$ 的相異實根個數，就是水平線 $y=k$ 與 $y=f(x)$ 圖形的交點數。

若三次函數沒有極值（恆遞增或恆遞減），每條水平線都只交一點，不會有「$3$ 個相異實根」，所以 $f$ 有極大值 $M$ 與極小值 $\alpha$，且 $\alpha <M$。這時：$\alpha <k<M$ 時交 $3$ 點；$k=\alpha$ 或 $k=M$ 時交 $2$ 點；$k<\alpha$ 或 $k>M$ 時交 $1$ 點。

由表：$k=0$、$k=-10$ 都交 $3$ 點，所以 $\alpha <-10$ 且 $0<M$。$k=-20$ 只交 $1$ 點，而 $-20<-10<M$，所以只能是 $-20<\alpha$。（$k=10$、$20$ 交 $1$ 點，得 $M<10$，與 $\alpha$ 無關。）

故 $-20<\alpha <-10$，選 (2)。

答案 (3)。$[0,1]$ 分成 $n$ 等分，每段寬 $\frac{1}{n}$，分點 $x_k=\frac{k}{n}$。$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 遞增，每一小段的上矩形高取右端點的函數值 ${\left(\frac{k}{n}\right)}^2$：

$$U_n=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^2\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^2+3n+1}{6n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6n^2}$$

選 (3)。

答案 (3)(4)。由圖：圖形由左上往右下，在 $y$ 軸正向交 $y$ 軸；在 $x$ 軸正向的某一點 $x=r$（$r>0$）與 $x$ 軸相切，並在那裡由 $x$ 軸上方穿到下方，曲線在切點左邊凹向上、右邊凹向下。

圖形在 $x=r$ 與 $x$ 軸相切，$f(r)=0$ 且 $f^{\prime }(r)=0$，所以 $(x-r{)}^2$ 是 $f(x)$ 的因式；圖形又在 $x=r$ 穿過 $x$ 軸（兩側異號），剩下的一次因式也必須是 $x-r$（否則兩側同號）。所以 $f(x)=a(x-r{)}^3$。展開：

$$f(x)=a{x}^3-3ar{x}^2+3a{r}^{2}x-a{r}^3$$

即 $b=-3ar$，$c=3a{r}^2$，$d=-a{r}^3$。

錯誤。 (1) $x\to \infty$ 時圖形往下，$a<0$。

錯誤。 (2) $b=-3ar$，$a<0$、$r>0$，所以 $b>0$。

正確。 (3) $c=3a{r}^2$，$a<0$，所以 $c<0$。也可以看 $f^{\prime }(0)=c$：圖形在 $x=0$ 處往下走，切線斜率為負。

正確。 (4) $d=f(0)$ 是 $y$ 軸截距，在 $x$ 軸上方，$d>0$。

錯誤。 (5) $b^2-3ac=9a^2{r}^2-9a^2{r}^2=0$，不小於 $0$。

答案 (2)(5)。

錯誤。 (1) 在 $1<x<4$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，$f^{\prime }(x)$ 在這一段遞增，所以 $f^{\prime }(2)<f^{\prime }(3)$。

正確。 (2) $x<4$ 時 $f^{\prime }(x)<0$（$x=0$、$1$ 兩點由連續性 $f^{\prime }\le 0$），$f(x)$ 在 $x\le 4$ 遞減；$x>4$ 時 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 在 $x\ge 4$ 遞增。所以 $f(4)$ 比其他所有函數值都小，$f(x)$ 在 $x=4$ 有最小值。

錯誤。 (3) $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 由正變負、在 $x=1$ 由負變正，凹向改變兩次，$x=0$ 與 $x=1$ 都是反曲點，共兩個。

錯誤。 (4) 若 $n=3$，$f^{\prime \prime }(x)$ 是一次式，至多變號一次；但 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 與 $x=1$ 各變號一次，矛盾。所以 $n$ 不可能是 $3$。

正確。 (5) $x>4$ 時 $f^{\prime \prime }(x)>0$，所以 $f^{\prime \prime }(x)$ 的最高次項係數為正。$f(x)$ 的最高次項若是 $p{x}^n$，$f^{\prime \prime }(x)$ 的最高次項是 $n(n-1)p{x}^{n-2}$（$n\ge 4$），$n(n-1)>0$，所以 $p>0$。

答案 (3)(4)。令 $f(x)=x^3+2x+4$，$f^{\prime }(x)=3x^2+2>0$ 對所有實數 $x$ 都成立，$f(x)$ 是遞增函數。

錯誤。 (1) 遞增函數沒有極大、極小值，$x\to \infty$ 時 $f(x)\to \infty$，$x\to -\infty$ 時 $f(x)\to -\infty$，圖形沒有最高點也沒有最低點。

錯誤。 (2) 水平切線的斜率是 $0$，但 $f^{\prime }(x)=3x^2+2\ge 2$，不會等於 $0$。

正確。 (3) $x^3+2x+1000=0$ 即 $f(x)=-996$。$f(x)$ 是遞增函數，$f(-10)=-1016<-996$，$f(0)=4>-996$，圖形是連續的，所以水平線 $y=-996$ 與圖形恰交一點，方程式恰有一個實數解。

正確。 (4) $(a,b)$ 在圖形上，$b=a^3+2a+4$。把 $x=-a$ 代入：$f(-a)=-a^3-2a+4=-(a^3+2a+4)+8=-b+8$，所以 $(-a,-b+8)$ 也在圖形上。（圖形對稱於點 $(0,4)$。）

錯誤。 (5) 在 $[0,1]$ 上 $f(x)\ge f(0)=4>0$，面積為

$${\int }_0^1\left(x^3+2x+4\right)dx=\frac{1}{4}+1+4=\frac{21}{4}$$

$\frac{21}{4}<6$，不大於 $6$。

位移是速度在時間區間上的定積分：

$${\int }_1^4\left(x^2+x-2\right)dx=[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x{]}_1^4=\left(\frac{64}{3}+8-8\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right)=\frac{64}{3}+\frac{7}{6}=\frac{45}{2}$$

所以位移為 $\frac{45}{2}$ 公尺。

由圖，$R_1$、$R_3$ 在 $x$ 軸上方，$R_2$、$R_4$ 在 $x$ 軸下方。定積分把 $x$ 軸上方的面積算正、下方的算負：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=4-8+6-5=-3$$

加了絕對值後，下方的部分翻到上方，四塊面積全部算正：

$${\int }_a^b|f(x)|dx=4+8+6+5=23$$

所求 $=-3+23=20$。

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx$，$f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$。

反曲點的 $x$ 坐標為 $-1$：$f^{\prime \prime }(-1)=-6a+2b=0$，得 $b=3a$。

切線斜率：$f^{\prime }(-1)=3a-2b=3$，把 $b=3a$ 代入得 $3a-6a=3$，$a=-1$，$b=-3$。

反曲點 $(-1,1)$ 在圖形上：$f(-1)=-a+b+c=1-3+c=1$，$c=3$。

所以 $(a,b,c)=(-1,-3,3)$。

設 $P\left(x,x^2-x\right)$，則

$${\overline{PA}}^2=x^2+{\left(x^2-x-1\right)}^2=x^4-2x^3+2x+1$$

令 $g(x)=x^4-2x^3+2x+1$，$g^{\prime }(x)=4x^3-6x^2+2=2\left(2x^3-3x^2+1\right)=2(x-1{)}^2(2x+1)$。

$x<-\frac{1}{2}$ 時 $g^{\prime }(x)<0$，$x>-\frac{1}{2}$ 時 $g^{\prime }(x)\ge 0$（只有 $x=1$ 一點等於 $0$），所以 $g(x)$ 在 $x=-\frac{1}{2}$ 有最小值

$$g\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}-1+1=\frac{5}{16}$$

$\overline{PA}$ 的最小值為 $\sqrt{\frac{5}{16}}=\frac{\sqrt{5}}{4}$，此時 $P\left(-\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right)$。

以球心為原點、鉛直向上為 $y$ 軸。球的截面是圓 $x^2+y^2=4$。西瓜浮出水面 $1$ 公吋，球頂在 $y=2$，所以水面在 $y=1$；水面下的部分是 $-2\le y\le 1$。

在高度 $y$ 處的水平截面是半徑 $\sqrt{4-y^2}$ 的圓，面積 $\pi \left(4-y^2\right)$。體積為

$${\int }_{-2}^1\pi \left(4-y^2\right)dy=\pi [4y-\frac{y^3}{3}{]}_{-2}^1=\pi \left(\frac{11}{3}+\frac{16}{3}\right)=9\pi$$

所以空格填 $9$。

把式子寫成黎曼和：

$$\frac{1^5+2^5+\cdots +n^5}{n^6}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^5$$

這是 $y=x^5$ 在 $[0,1]$ 上 $n$ 等分、取右端點的黎曼和，$n\to \infty$ 時趨近

$${\int }_0^1{x}^{5}dx=[\frac{x^6}{6}{]}_0^1=\frac{1}{6}$$

令 $F(x)={\int }_1^{x}f(t)dt$，則 $F(1)=0$，由微積分基本定理 $F^{\prime }(x)=f(x)$。所求的極限就是導數的定義：

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=F^{\prime }(1)=f(1)$$

$f(1)=\underset{110\text{ 個}}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}-111=110-111=-1$。

兩邊對 $x$ 微分。左邊由微積分基本定理得 $f(x)$；右邊用連鎖律：

$$f(x)=\frac{3}{2}\cdot 3{\left(x^2+2x+2\right)}^2(2x+2)=9(x+1){\left(x^2+2x+2\right)}^2$$

$f(x)$ 是 $5$ 次式，最高次項係數為 $9$，所以 $a=9$。

再令 $x=b$：左邊 ${\int }_b^{b}f(t)dt=0$，所以 $\frac{3}{2}{\left(b^2+2b+2\right)}^3-\frac{3}{2}=0$，${\left(b^2+2b+2\right)}^3=1$。$b$ 是實數，$b^2+2b+2=1$，即 $(b+1{)}^2=0$，$b=-1$。

所以 $(a,b)=(9,-1)$。

三條曲線是 $y=x+6$、$y=x^3$、$y=-x$。兩兩求交點：

$x^3=x+6$：$x^3-x-6=(x-2)\left(x^2+2x+3\right)=0$，$x^2+2x+3=0$ 無實根，交點 $(2,8)$。

$x^3=-x$：$x\left(x^2+1\right)=0$，交點 $(0,0)$。

$x+6=-x$：$x=-3$，交點 $(-3,3)$。

封閉區域的三個頂點為 $(-3,3)$、$(0,0)$、$(2,8)$。上界是直線 $y=x+6$；下界在 $-3\le x\le 0$ 是 $y=-x$，在 $0\le x\le 2$ 是 $y=x^3$：

$${\int }_{-3}^0[(x+6)-(-x)]dx+{\int }_0^2[(x+6)-x^3]dx=[x^2+6x{]}_{-3}^0+[\frac{x^2}{2}+6x-\frac{x^4}{4}{]}_0^2=9+10=19$$

交點：$x^2=\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{4}$，$x^2=1$，$x=\pm 1$。在 $-1<x<1$ 時 $\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{4}-x^2=\frac{1}{4}\left(1-x^2\right)>0$，所以 $y=\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{4}$ 在上、$y=x^2$ 在下，兩者都不小於 $0$。

區域繞 $x$ 軸旋轉，截面是外半徑 $\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{4}$、內半徑 $x^2$ 的圓環：

$$V=\pi {\int }_{-1}^1\left[{\left(\frac{3}{4}{x}^2+\frac{1}{4}\right)}^2-x^4\right]dx=\pi {\int }_{-1}^1\left(-\frac{7}{16}{x}^4+\frac{3}{8}{x}^2+\frac{1}{16}\right)dx$$

被積函數是偶函數：

$$V=2\pi [-\frac{7}{80}{x}^5+\frac{1}{8}{x}^3+\frac{1}{16}x{]}_0^1=2\pi \cdot \frac{-7+10+5}{80}=\frac{1}{5}\pi$$

所以空格填 $\frac{1}{5}$。