段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角、倍角與半角公式、正餘弦的疊合）

興大附中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 興大附中 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 興大附中 110 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題：左邊先在一個週期內去絕對值再疊合，畫出在負 1 與 1 之間來回的圖形，直線左右兩側要分開數，右邊 2 個、左邊 3 個，共 5 個。多選第 9 題：第三象限角包含加一圈以後的角，半角可能落到第四象限；根號只代表不小於零的那個值。選填 F（本頁第 15 題）：用正弦圖形的點對稱把面積換成半個長方形，不必用還沒學的方法。選填 H（本頁第 17 題）：令正弦加餘弦為新變數後要記得它的範圍，最大值在端點。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 5 題（40 分）、選填題 8 題（40 分），合計 100 分。本頁第 10～17 題依序為原卷選填 A～H 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題（占20分）說明：第1題至第4題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

將一繩長為

100

公分的繩子一端固定在

A

點上，將此繩子逆時針纏繞在如圖的圓形輪上，輪子的半徑是

5

公分，且繩子的另一端點為

B

，則

B

點在什麼位置？

(1) 第 1 象限
(2) 第 2 象限
(3) 第 3 象限
(4) 第 4 象限
(5) X 軸或 Y 軸。

載入中...

下列五個圖形中，有一個是

y = - x (sin x)

的部分圖形，請判斷是哪一個選項？

(1) 圖 (1)
(2) 圖 (2)
(3) 圖 (3)
(4) 圖 (4)
(5) 圖 (5)

載入中...

令

a = cos 2 π

，試問下列哪一個選項是對的？

(1) $a = - 1$
(2) $- 1 < a \leq - \frac{1}{2}$
(3) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(4) $0 < a \leq \frac{1}{2}$
(5) $\frac{1}{2} < a \leq 1$

試問方程式

∣ sin x ∣ - ∣ cos x ∣ = \frac{x}{4}

的實數解個數有多少個？

(1) 交點的個數：是「偶數」且「大於或等於 $6$ 」
(2) 交點的個數：是「偶數」且「小於 $6$ 」
(3) 交點的個數：是「奇數」且「大於 $6$ 」
(4) 交點的個數：是「奇數」且「小於 $6$ 」
(5) 交點的個數：無窮多個。

二、多選題（占40分）說明：第5題至第9題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

關於函數

f (x) = 3 sin (x + \frac{π}{6}) - 2 sin x

，下列選項哪些正確？

(1) $f (x) = sin (x - \frac{π}{3})$
(2) $f (x)$ 是一個週期函數，其週期為 $π$
(3) $f (x)$ 的最小值為 $- 7$
(4) 在 $0 \leq x < \frac{π}{2}$ 時， $y = f (x)$ 的圖形為遞減
(5) 把 $y = cos x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{6}$ 後，可得 $y = f (x)$ 的圖形。

圖是三角函數

y = f (x) = a \times cos (k x) + d

的部分圖形，其中

k > 0

，則下列哪些選項正確？

(1) 週期為 $\frac{2 π}{3}$
(2) $k = \frac{3}{2}$
(3) $a = 3$
(4) $d = 4$
(5) 點 $(\frac{π}{2}, \frac{5}{2})$ 在圖形上。

載入中...

設

π < θ < \frac{3 π}{2}

且

cos 2 θ = \frac{7}{25}

，則下列選項哪些是正確的？

(1) $tan 2 θ = - \frac{24}{7}$
(2) $cos θ = - \frac{4}{5}$
(3) $sin θ = - \frac{3}{5}$
(4) $sin \frac{θ}{2} = \frac{5}{5}$
(5) $cos \frac{θ}{2} = - \frac{10}{10}$

下列各方程式中，哪些選項會有實數解？

(1) $sin x + cos x = \frac{1}{2021}$
(2) $\frac{sin x}{cos x} = 2021$
(3) $3 sin x - 4 cos x = 5$
(4) $sin x - \frac{1}{sin x} = 1$
(5) $∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣ = 2$

下列哪些選項恆成立？

(1) 在 $△ A B C$ 中 $cos (A + B) = - cos C$ 恆成立
(2) 若 $θ$ 為第三象限角，則半角公式 $sin \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2}$
(3) 若 $27 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}$ ，則 $1 - sin θ$ 之值為 $\pm (sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2})$
(4) $f (x) = ∣ tan x ∣$ 的週期是 $\frac{π}{2}$
(5) $g (x) = sin 2 x - 3 sin x$ 的週期是 $2 π$

三、選填題（占40分）說明：1.第A至H題：將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（10–25）。每題全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。3.若答案為分數，必須化為最簡分數，並注意分子、分母的列號順序。若答案為根式，則為最簡根式。

右圖是一個邊長為

1

的正方形，各以頂點為圓心，邊長

1

為半徑在正方形內畫弧。求斜線區域的兩對角

A

、

B

之間的距離

=

____。（最簡根式；卷面答案格的形式為

◯ - ◯

）

載入中...

有一個無障礙坡道，坡道與地面形成的角度為

θ

，如右圖所示，且知

tan θ = \frac{3}{4}

。現欲將角度減半，求

tan \frac{θ}{2} =

____。（最簡分數）

載入中...

如右圖，以

\overline{A B}

為直徑畫圓，圓周上取兩點

C

、

D

在

\overline{A B}

異側，已知

\overline{A B} = 25

，

\overline{A C} = 15

，

\overline{A D} = 7

，則

\overline{C D} =

____。

載入中...

已知

tan (α - β) = 3

且

tan (β - γ) = \frac{1}{2}

，求

tan (γ - α)

的值

=

____。

設

18 0^{\circ} < A < 27 0^{\circ}

，且

sin A + 3 cos A = 2 cos 202 1^{\circ}

，若

A = m^{\circ}

，則

m =

____。

函數

y = 3 sin 2 x

在

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{5 π}{4}

內，與直線

y = 3

圍成一個封閉的圖形，則此圖形的面積為 ____

π

。

將函數

y = cos x

的圖形先沿垂直方向伸長為

2

倍，水平方向壓縮為

\frac{1}{3}

倍，再向左平移

\frac{π}{3}

單位，向上平移

4

單位可得

y = a cos (b x + c) + d

的圖形，且

0 < c < 2 π

。求值

a + 2 b + 3 c + 4 d =

____

+

____

π

。

設

x

為實數，若

f (x) = (sin x + cos x) + 2 sin x cos x - 3

，則

f (x)

的最大值

=

____。（最簡根式；卷面答案格的形式為

◯ - ◯

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)

第 2 題(5)

第 3 題(3)

第 4 題(4)

第 5 題(4)(5)

第 6 題(3)(5)

第 7 題(2)(3)(5)

第 8 題(1)(2)(3)(4)

第 9 題(1)(5)

第 10 題

3 - 1

第 11 題

\frac{1}{3}

第 12 題

20

第 13 題

7

第 14 題

251

第 15 題

3 π

第 16 題

24 + 3 π

（取

b > 0

，見詳解）

第 17 題

2 - 2

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～4：弧長與弧度、由奇偶性判斷圖形、估計餘弦值、數實數解個數

第 1 題答案 (1)。繩子貼著輪緣繞，繞過的弧長就是繩長

100

，半徑是

5

，所以從

A

逆時針轉過的圓心角是

\frac{100}{5} = 20

弧度。一圈是

2 π \approx 6.283

弧度，

20 = 3 \times 2 π + (20 - 6 π)

，其中

20 - 6 π \approx 20 - 18.850 = 1.150

。圖中

A

在

x

軸正向上，所以

B

的位置相當於從

x

軸正向逆時針轉

1.150

弧度；

0 < 1.150 < \frac{π}{2} \approx 1.571

，

B

在第 1 象限。

弧長

=

半徑

\times

圓心角（弧度）。

1.150

弧度大約是

6 6^{\circ}

。

第 2 題答案 (5)。令

f (x) = - x sin x

。

f (- x) = - (- x) sin (- x) = - x sin x = f (x)

，所以圖形對稱於

y

軸：圖 (1)、(2) 是對稱於原點的圖形，不合；圖 (3) 有鉛直線與它交三個點，不是函數圖形，不合。再看原點右邊：

0 < x < π

時

x > 0

且

sin x > 0

，所以

f (x) < 0

，圖形在

x

軸下方，而

f (0) = 0

。圖 (4) 在原點兩側是在

x

軸上方，不合；圖 (5) 過原點、兩側先往下，符合。

圖 (4) 的樣子是

y = x sin x

。先看對稱性，再看原點附近的正負，不必描點。

第 3 題答案 (3)。

(\frac{4}{3})^{2} = \frac{16}{9} < 2 < \frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^{2}

，所以

\frac{4}{3} < 2 < \frac{3}{2}

，即

\frac{4 π}{3} < 2 π < \frac{3 π}{2}

。餘弦函數在

π

到

2 π

之間隨角度變大而變大，

cos \frac{4 π}{3} = - \frac{1}{2}

，

cos \frac{3 π}{2} = 0

，所以

- \frac{1}{2} < a < 0

，選 (3)。

2 π \approx 1.414 \times 18 0^{\circ} \approx 254. 6^{\circ}

，

a \approx - 0.27

。題目的角是

2 π

弧度，不是

2

度。

第 4 題答案 (4)。令

g (x) = ∣ sin x ∣ - ∣ cos x ∣

。

g (x + π) = g (x)

，週期是

π

；

g (- x) = g (x)

，圖形對稱於

y

軸。在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，

g (x) = sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})

，由

- 1

上升到

1

；在

\frac{π}{2} \leq x \leq π

，

g (x) = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，由

1

下降到

- 1

。所以

y = g (x)

的圖形在

- 1

與

1

之間來回，

x = k π

是最低點、

x = \frac{π}{2} + k π

是最高點（

k

是整數）。直線

y = \frac{x}{4}

只有在

- 4 \leq x \leq 4

時高度在

- 1

與

1

之間，逐段比較兩端的高低。每一段至多交一次：

g

下降的段，直線卻在上升；

g

上升的段是正弦曲線中間最陡的部分，圖形上任兩點連線的斜率至少是

1

，而直線的斜率只有

\frac{1}{4}

。

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

：左端

g = - 1

比直線的

0

低，右端

g = 1

比直線的約

0.39

高，交

1

次。

\frac{π}{2} \leq x \leq π

：右端

g = - 1

比直線的約

0.79

低，交

1

次。

π \leq x \leq 4

：

g

由

- 1

上升到

g (4) \approx 0.757 - 0.654 = 0.10

，直線的高度都在

0.79

以上，沒有交點。

- \frac{π}{2} \leq x \leq 0

：左端

g = 1

比直線的約

- 0.39

高，右端

g = - 1

比直線的

0

低，交

1

次。

- π \leq x \leq - \frac{π}{2}

：左端

g = - 1

比直線的約

- 0.79

低，交

1

次。

- 4 \leq x \leq - π

：左端

g (- 4) \approx 0.10

比直線的

- 1

高，右端比直線低，交

1

次。一共

2 + 3 = 5

個實數解，是奇數而且小於

6

。

左右兩側不一樣多：直線在右邊是正的，要碰到

g

的山頂附近才有交點；在左邊是負的，

- 4 \leq x \leq - π

那一段還多交一次。題幹問的是實數解個數，選項寫「交點的個數」，指的是

y = g (x)

與

y = \frac{x}{4}

兩個圖形的交點個數，兩者相同。

弧長除以半徑就是弧度；判斷圖形先看對稱性與正負；有絕對值的正餘弦相減，先在一個週期內去絕對值再疊合。

02多選 5～9：疊合成單一餘弦、由圖形決定函數、倍角與半角、方程式有沒有解、恆成立的判斷

第 5 題答案 (4)(5)。用和角公式展開：

3 sin (x + \frac{π}{6}) = 3 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = \frac{3}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x

，所以

f (x) = \frac{3}{2} cos x - \frac{1}{2} sin x = cos x cos \frac{π}{6} - sin x sin \frac{π}{6} = cos (x + \frac{π}{6})

(1)

x = 0

時

f (0) = \frac{3}{2}

，而

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

，錯。(2) 週期是

2 π

，錯。(3) 最小值是

- 1

，錯。(4)

0 \leq x < \frac{π}{2}

時

\frac{π}{6} \leq x + \frac{π}{6} < \frac{2 π}{3}

，這一段在

0

與

π

之間，餘弦值隨角度變大而變小，對。(5)

y = cos x

向左平移

\frac{π}{6}

得

y = cos (x + \frac{π}{6})

，對。

(1) 其實差一個負號：

cos (x + \frac{π}{6}) = sin (\frac{π}{3} - x) = - sin (x - \frac{π}{3})

。(3) 的

- 7

是把

3

與

2

直接拿去算

3 + 4

的結果，兩項的角不同，不能這樣疊合。

第 6 題答案 (3)(5)。

x = 0

時

cos (k x) = 1

，是餘弦的最高點，圖上

A (0, 4)

正是最高點，所以

a > 0

且

a + d = 4

；

B (\frac{3 π}{2}, - 2)

是緊接著的最低點，所以

- a + d = - 2

。解得

a = 3

，

d = 1

。相鄰的最高點與最低點相差半個週期，所以週期是

2 \times \frac{3 π}{2} = 3 π

，

k = \frac{2 π}{3 π} = \frac{2}{3}

。

f (x) = 3 cos \frac{2 x}{3} + 1

。(1) 週期是

3 π

，錯。(2)

k = \frac{2}{3}

，錯。(3) 對。(4)

d = 1

，錯。(5)

f (\frac{π}{2}) = 3 cos \frac{π}{3} + 1 = \frac{5}{2}

，對。

(1)(2) 是把

k

與週期弄反：週期

= \frac{2 π}{k}

。(4) 的

4

是最高點的高度，不是上下平移量；

d

是最高與最低的平均

\frac{4 + ( - 2 )}{2} = 1

。原卷的圖把

π

、

2 π

標在圖形與

x

軸的交點旁；照

A

、

B

兩點算出的函數，交點在大約

0.91 π

與

2.09 π

，本頁的圖把

π

、

2 π

畫成

x

軸上的刻度，五個選項的判斷不受影響。

第 7 題答案 (2)(3)(5)。由倍角公式

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{7}{25}

，得

cos^{2} θ = \frac{16}{25}

；

θ

在第三象限，所以

cos θ = - \frac{4}{5}

，

sin θ = - \frac{3}{5}

，(2)(3) 對。(1)

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{24}{25}

，

tan 2 θ = \frac{24}{25} \div \frac{7}{25} = \frac{24}{7}

，是正的，錯。(4)(5)

\frac{π}{2} < \frac{θ}{2} < \frac{3 π}{4}

，在第二象限，正弦為正、餘弦為負。

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{2} = \frac{9}{10}, cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{10}

所以

sin \frac{θ}{2} = \frac{3 10}{10}

，(4) 錯；

cos \frac{θ}{2} = - \frac{10}{10}

，(5) 對。

2 θ

在

2 π

與

3 π

之間，正弦為正，再配上餘弦為正，所以正切是正的。半角公式開根號前，先用

\frac{θ}{2}

的範圍決定正負號。

第 8 題答案 (1)(2)(3)(4)。(1)

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，範圍是

- 2

到

2

，

\frac{1}{2021}

在範圍內，有解。(2) 即

tan x = 2021

，正切可以取到任何實數，有解。(3)

3 sin x - 4 cos x

疊合後的範圍是

- 5

到

5

，取得到

5

，有解。(4) 令

s = sin x

（

s \neq = 0

），

s - \frac{1}{s} = 1

即

s^{2} - s - 1 = 0

，

s = \frac{1 \pm 5}{2}

；其中

\frac{1 - 5}{2} \approx - 0.618

在

- 1

與

1

之間，有解。(5)

(∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣)^{2} = 1 + 2∣ sin x cos x ∣ = 1 + ∣ sin 2 x ∣ \leq 2

，所以

∣ sin x ∣ + ∣ cos x ∣ \leq 2 < 2

，無解。

(4) 的另一個根

\frac{1 + 5}{2} \approx 1.618

超過

1

，要捨去，但只要有一個根落在正弦的範圍內，方程式就有解。

第 9 題答案 (1)(5)。(1)

A + B = 18 0^{\circ} - C

，

cos (A + B) = cos (18 0^{\circ} - C) = - cos C

，對。(2) 第三象限角不只

18 0^{\circ}

到

27 0^{\circ}

之間的角，例如

θ = 57 0^{\circ}

也是第三象限角，這時

\frac{θ}{2} = 28 5^{\circ}

，

sin \frac{θ}{2} < 0

，而右邊的根號不會是負的，錯。(3)

1 - sin θ = (sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2})^{2}

，所以

1 - sin θ = sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2}

；

13 5^{\circ} < \frac{θ}{2} < 18 0^{\circ}

時正弦為正、餘弦為負，絕對值裡面是正的，值就是

sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2}

這一個，不會是它的相反數，錯。(4)

∣ tan x ∣

的週期是

π

：例如

x = \frac{π}{6}

時值為

\frac{3}{3}

，

x = \frac{π}{6} + \frac{π}{2}

時值為

3

，不相等，錯。(5)

g (x + 2 π) = g (x)

。再看有沒有更小的：

g (x) = sin x (2 cos x - 3)

，而

2 cos x - 3 \neq = 0

，所以

g (x) = 0

只發生在

x = k π

，週期一定是

π

的整數倍；但

g (\frac{π}{2}) = - 3

、

g (\frac{3 π}{2}) = 3

不相等，

π

不是週期，所以週期是

2 π

，對。

(2) 若限定

18 0^{\circ} < θ < 27 0^{\circ}

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，等式會成立；題目只說第三象限角，同界角加一圈之後半角就換到第四象限。(3) 根號代表的是不小於零的那一個值，不能寫正負。

先把函數化成單一的正弦或餘弦，週期、極值、增減、平移都能直接讀；半角公式的正負號由半角所在的象限決定。

03選填 10～13（原卷 A～D）：圓弧的交點、半角的正切、圓內接四邊形的對角線、正切和角

第 10 題把正方形放在坐標平面上，四個頂點為

(0, 0)

、

(1, 0)

、

(1, 1)

、

(0, 1)

。斜線區域上方的尖角

A

是以下面兩個頂點

(0, 0)

、

(1, 0)

為圓心的兩條弧的交點：

A

到這兩個頂點的距離都是

1

，與底邊圍成邊長

1

的正三角形，所以

A

在底邊中點的正上方，高度是

\frac{3}{2}

。同理，下方的尖角

B

與上面兩個頂點圍成正三角形，

B

到上邊的距離是

\frac{3}{2}

，高度是

1 - \frac{3}{2}

。

A

、

B

都在

x = \frac{1}{2}

這條直線上，所以

\overline{A B} = \frac{3}{2} - (1 - \frac{3}{2}) = 3 - 1

3 - 1 \approx 0.732

。斜線區域左右兩個尖角之間的距離也是

3 - 1

。這張圖完全由題目的作法決定，本頁照實際形狀畫。

第 11 題

θ

是銳角，

tan θ = \frac{3}{4}

，所以

sin θ = \frac{3}{5}

，

cos θ = \frac{4}{5}

。由半角公式，

tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{1 + cos θ}

，分子是

\frac{1}{5}

、分母是

\frac{9}{5}

，所以

tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1}{9}

。

\frac{θ}{2}

也是銳角，正切為正，

tan \frac{θ}{2} = \frac{1}{3}

。

也可以用正切的倍角公式：令

t = tan \frac{θ}{2}

，

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = \frac{3}{4}

，整理得

3 t^{2} + 8 t - 3 = 0

，

(3 t - 1) (t + 3) = 0

，取正的

t = \frac{1}{3}

。角度減半，正切值不是減半（

\frac{3}{8}

）。

第 12 題

\overline{A B}

是直徑，所以

∠ A C B = ∠ A D B = 9 0^{\circ}

。直角三角形

A B C

中

\overline{B C} = 2 5^{2} - 1 5^{2} = 20

，

cos ∠ C A B = \frac{3}{5}

，

sin ∠ C A B = \frac{4}{5}

。直角三角形

A B D

中

\overline{B D} = 2 5^{2} - 7^{2} = 24

，

cos ∠ B A D = \frac{7}{25}

，

sin ∠ B A D = \frac{24}{25}

。

C

、

D

在

\overline{A B}

異側，所以

∠ C A D = ∠ C A B + ∠ B A D

，由和角公式

cos ∠ C A D = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{25} - \frac{4}{5} \cdot \frac{24}{25} = \frac{21 - 96}{125} = - \frac{3}{5}

在

△ A C D

用餘弦定理：

\overline{C D}^{2} = 1 5^{2} + 7^{2} - 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot (- \frac{3}{5}) = 225 + 49 + 126 = 400

，所以

\overline{C D} = 20

。

∠ C A D

是鈍角，餘弦是負的，餘弦定理最後一項變成加。本頁的圖是示意，

C

、

D

的位置沒有照實際長度畫。

第 13 題

γ - α = - [(α - β) + (β - γ)]

。先算

tan (α - γ)

：

tan (α - γ) = \frac{tan ( α - β ) + tan ( β - γ )}{1 - tan ( α - β ) tan ( β - γ )} = \frac{3 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{3}{2}} = - 7

所以

tan (γ - α) = - tan (α - γ) = 7

。

題目問的是

γ - α

，不是

α - γ

，最後要再變號一次。

兩個角各自的正餘弦或正切已知，合起來的角就用和角公式；直徑所對的圓周角是直角。

04選填 14～17（原卷 E～H）：疊合後解角度、對稱性求面積、伸縮與平移、換元求最大值

第 14 題左邊疊合：

sin A + 3 cos A = 2 (\frac{1}{2} sin A + \frac{3}{2} cos A) = 2 sin (A + 6 0^{\circ})

。右邊：

202 1^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 1^{\circ}

，

cos 202 1^{\circ} = cos 22 1^{\circ} = - cos 4 1^{\circ} = - sin 4 9^{\circ}

。所以

sin (A + 6 0^{\circ}) = - sin 4 9^{\circ}

。

18 0^{\circ} < A < 27 0^{\circ}

時

24 0^{\circ} < A + 6 0^{\circ} < 33 0^{\circ}

；正弦值等於

- sin 4 9^{\circ}

的角在一圈內是

22 9^{\circ}

與

31 1^{\circ}

，落在範圍內的只有

31 1^{\circ}

。所以

A = 31 1^{\circ} - 6 0^{\circ} = 25 1^{\circ}

，

m = 251

。

22 9^{\circ}

不在

24 0^{\circ}

到

33 0^{\circ}

之間，要捨去（它對應

A = 16 9^{\circ}

）。

第 15 題

x = \frac{π}{4}

與

x = \frac{5 π}{4}

時

y = 3 sin 2 x = 3

，中間

x = \frac{3 π}{4}

時

y = - 3

：曲線從直線

y = 3

出發，下降到

- 3

再回到

3

，與直線圍成一塊區域。先看左半

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{3 π}{4}

：長方形

\frac{π}{4} \leq x \leq \frac{3 π}{4}

、

- 3 \leq y \leq 3

的面積是

\frac{π}{2} \times 6 = 3 π

。因為

3 sin 2 (π - x) = - 3 sin 2 x

，這一段曲線對稱於點

(\frac{π}{2}, 0)

，長方形也對稱於這一點，所以曲線把長方形分成全等的上下兩塊，上面那一塊（曲線與

y = 3

之間）的面積是

\frac{3 π}{2}

。右半

\frac{3 π}{4} \leq x \leq \frac{5 π}{4}

與左半對稱於直線

x = \frac{3 π}{4}

，面積也是

\frac{3 π}{2}

。兩半合計的面積是

3 π

，所以空格要填的數是 3。

這題不必用到還沒學的方法：正弦曲線對波形的中點是點對稱，曲線上方挖掉的一塊剛好可以補到下方。

第 16 題垂直方向伸長為

2

倍：

y = 2 cos x

。水平方向壓縮為

\frac{1}{3}

倍（把

x

換成

3 x

）：

y = 2 cos 3 x

。向左平移

\frac{π}{3}

（把

x

換成

x + \frac{π}{3}

）：

y = 2 cos 3 (x + \frac{π}{3}) = 2 cos (3 x + π)

。向上平移

4

：

y = 2 cos (3 x + π) + 4

。所以

a = 2

，

b = 3

，

c = π

（在

0

與

2 π

之間），

d = 4

，代入得

a + 2 b + 3 c + 4 d = 2 + 6 + 3 π + 16 = 24 + 3 π

，兩個空格依序填 24 與 3。

向左平移時是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，括號裡多出來的是

3 \times \frac{π}{3} = π

，不是

\frac{π}{3}

。題目沒限定

b

的正負；取

b = - 3

、

c = π

時（

2 cos (- 3 x + π) + 4

是同一個圖形）會得

12 + 3 π

，同樣符合答案格的形式；學校公布的答案是

24 + 3 π

，對應

b > 0

。

第 17 題令

t = sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

，

- 2 \leq t \leq 2

。

t^{2} = 1 + 2 sin x cos x

，所以

2 sin x cos x = t^{2} - 1

，

f (x) = t + (t^{2} - 1) - 3 = t^{2} + t - 4 = (t + \frac{1}{2})^{2} - \frac{17}{4}

。這是開口向上的拋物線，頂點在

t = - \frac{1}{2}

；在

- 2 \leq t \leq 2

中離頂點最遠的是

t = 2

，最大值為

2 + 2 - 4 = 2 - 2

。

最大值是負的（約

- 0.586

），此時

x = \frac{π}{4}

。

t

的範圍不能漏：若把

t

當成任意實數，就會以為沒有最大值。最小值在

t = - \frac{1}{2}

，為

- \frac{17}{4}

。

正弦加餘弦與正弦乘餘弦同時出現時，令兩者的和為新變數，化成二次函數，再注意新變數的範圍。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 4 題：左邊先在一個週期內去絕對值再疊合，畫出在負 1 與 1 之間來回的圖形，直線左右兩側要分開數，右邊 2 個、左邊 3 個，共 5 個。多選第 9 題：第三象限角包含加一圈以後的角，半角可能落到第四象限；根號只代表不小於零的那個值。選填 F（本頁第 15 題）：用正弦圖形的點對稱把面積換成半個長方形，不必用還沒學的方法。選填 H（本頁第 17 題）：令正弦加餘弦為新變數後要記得它的範圍，最大值在端點。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 110 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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每一題，錯在哪一步

01單選 1～4：弧長與弧度、由奇偶性判斷圖形、估計餘弦值、數實數解個數

02多選 5～9：疊合成單一餘弦、由圖形決定函數、倍角與半角、方程式有沒有解、恆成立的判斷

03選填 10～13（原卷 A～D）：圓弧的交點、半角的正切、圓內接四邊形的對角線、正切和角

04選填 14～17（原卷 E～H）：疊合後解角度、對稱性求面積、伸縮與平移、換元求最大值

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常見問題

興大附中 110 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

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興大附中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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