興大附中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

① 先算加密用的矩陣： $$B+2C=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 1& -3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 7& 5\end{array}\right]$$

② 它的行列式為 $3\times 5-2\times 7=1$，所以反方陣為 $$(B+2C{)}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}5& -2\\ -7& 3\end{array}\right]$$

③ 收到的矩陣是 $(B+2C)A$，左乘反方陣就得到 $A$： $$A=\left[\begin{array}{cc}5& -2\\ -7& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}8& 13& 14\\ 20& 32& 35\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 4& 5& 7\end{array}\right]$$

④ 每一行上下兩數合起來是字母的序號：$04$、$15$、$07$，依序是第 $4$、$15$、$7$ 個字母 d、o、g。

答案 (3) dog。

答案 (2)(3)(5)。

① 第二式減第一式、第三式減第一式，消去 $x$： $$\{\begin{array}{l}(b-1)y+(2-a)z=1\\ 2y+(4-a)z=2\end{array}$$

② 這兩式的係數行列式為 $\Delta =(b-1)(4-a)-2(2-a)$。$\Delta \ne 0$ 時恰有一組解；$\Delta =0$ 時不是無解就是無限多解。

③ 兩式成比例（無限多解）時，比值只能是 $\frac{1}{2}$（看等號右邊 $1:2$），所以 $b-1=1$、$2-a=\frac{4-a}{2}$，得 $b=2$、$a=0$。其餘使 $\Delta =0$ 的 $(a,b)$ 都無解。

錯誤。 (1) $a=0$ 時 $\Delta =4(b-1)-4=4b-8$，只要 $b\ne 2$ 就恰有一組解，不一定是無限多解。

正確。 (2) $b=2$ 時 $\Delta =(4-a)-2(2-a)=a$：$a\ne 0$ 恰有一組解，$a=0$ 是無限多解，都有解。

正確。 (3) $a=4$ 時兩式成為 $(b-1)y-2z=1$ 與 $2y=2$，得 $y=1$、$z=\frac{b-2}{2}$，不論 $b$ 為何都恰有一組解。

錯誤。 (4) $\Delta =0$ 而且 $(a,b)\ne (0,2)$ 就無解，例如 $a=2$、$b=1$ 時 $\Delta =0\times 2-2\times 0=0$，而 ① 的第一式成為 $0=1$，方程組無解，不必是 $a=8$、$b=4$。

正確。 (5) 由 ③，無限多組解只有 $a=0$、$b=2$，所以 $a+b=2$。

答案 (1)(2)(3)。

① $b_{n+1}=3b_n$ 且 $b_0=1$，所以 $b_n=3^n$。

② 逐項算：$a_1=2\times 1+1=3$，$a_2=2\times 3+3=9$，$a_3=2\times 9+9=27$。

③ 看出規律：若 $a_n=b_n$，則 $a_{n+1}=2a_n+b_n=3b_n=b_{n+1}$。又 $a_0=b_0$，所以每一項都有 $a_n=b_n=3^n$。

正確。 (1) $a_1=3$。

正確。 (2) $a_2=9$。

正確。 (3) $b_3=3^3=27$。

錯誤。 (4) $a_{10}=b_{10}$，不是大於。

錯誤。 (5) $a_{10}=3^{10}=59049$，小於 $100000$。

① 設 $P(x,y)$。極坐標 $[6,43^{\circ }]$ 表示 $\overline{OP}=6$，所以 $x^2+y^2=36$。

② $Q=AP$，$R=AQ=A^{2}P$，其中 $$A^2=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\end{array}\right]$$

③ 所以 $Q(x-y,x+y)$，$R(-2y,2x)$，得 $$\overrightarrow{PQ}=(-y,x),\overrightarrow{PR}=(-x-2y,2x-y)$$

④ 三角形面積是兩向量行列式絕對值的一半： $$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}-y& x\\ -x-2y& 2x-y\end{array}\right|=\frac{1}{2}\left|(-y)(2x-y)-x(-x-2y)\right|=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$$

⑤ 代入 $x^2+y^2=36$。

答案 $18$。

答案 (3)(4)(5)。

① 由圖，$O$ 是原點，$A$、$B$、$C$ 分別在 $x$、$y$、$z$ 軸上：$A(2,0,0)$、$B(0,2,0)$、$C(0,0,2)$、$D(2,2,0)$、$E(2,2,2)$、$F(0,2,2)$。

② 中點 $M(0,1,2)$，$N(2,2,1)$。

錯誤。 (1) $\overrightarrow{AF}=(-2,2,2)$，$\overrightarrow{CD}=(2,2,-2)$，內積 $=-4+4-4=-4\ne 0$，不垂直。

錯誤。 (2) $\overrightarrow{AC}=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{CB}=(0,2,-2)$，內積 $=-4$，長度都是 $2\sqrt{2}$，$\cos \theta =\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$，夾角為 $120^{\circ }$。

正確。 (3) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=(2,2,1)=\overrightarrow{ON}$。

正確。 (4) $\overrightarrow{OM}=(0,1,2)$，$\overrightarrow{ON}=(2,2,1)$，內積 $=4$，$\left|\overrightarrow{OM}\right|=\sqrt{5}$，$\left|\overrightarrow{ON}\right|=3$： $$\cos \angle MON=\frac{4}{3\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{15}$$

正確。 (5) 面積公式： $$\frac{1}{2}\sqrt{{\left|\overrightarrow{OM}\right|}^2{\left|\overrightarrow{ON}\right|}^2-{\left(\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}\right)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{45-16}=\frac{\sqrt{29}}{2}$$

答案 (3)(5)。

① $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{16}=4$，$\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{4+1+4}=3$，且 $2a+b+2c=\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=12\cos \theta$（$\theta$ 為夾角）。

② 和 $\overrightarrow{v}$ 平行、長度為 $4$ 的向量只有 $\pm \frac{4}{3}(2,1,2)$，它們都滿足 $a=2b$，被題目排除。

錯誤。 (1) 由 ②，$\overrightarrow{u}$ 不可能平行 $\overrightarrow{v}$。

錯誤。 (2) $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\le 12$，等號要 $\theta =0^{\circ }$（同方向平行），由 ② 做不到，所以 $12$ 取不到，不是最大可能值。

正確。 (3) 例如取 $\overrightarrow{u}=\left(\frac{5+\sqrt{5}}{2},1,\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)$。

檢查：$a^2+c^2=\frac{30+30}{4}=15$，加上 $b^2=1$ 得 $16$；$2a+b+2c=2\times 5+1=11$；$a\ne 2=2b$。

錯誤。 (4) $\left|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right|=0$ 表示兩向量平行，由 ② 不可能。

正確。 (5) $\left|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\right|=2\times 3=6$，所以 $$\left|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{u}\right|}^2{\left|\overrightarrow{v}\right|}^2-{\left(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\right)}^2}=\sqrt{144-36}=6\sqrt{3}$$

① 三點兩兩的距離平方： $$(1,2,3)\text{ 與 }(3,0,5)\text{：}4+4+4=12$$ $$(1,2,3)\text{ 與 }(5,4,1)\text{：}16+4+4=24$$ $$(3,0,5)\text{ 與 }(5,4,1)\text{：}4+16+16=36$$

② 正立方體上兩頂點的距離只有三種：稜長 $s$、面對角線 $\sqrt{2}s$、體對角線 $\sqrt{3}s$，平方比為 $1:2:3$。

③ $12:24:36=1:2:3$ 正好吻合，所以稜長的平方是 $12$，稜長 $s=2\sqrt{3}$。

④ 體積 $=(2\sqrt{3}{)}^3=24\sqrt{3}$。

答案 $24\sqrt{3}$。

① 所求是比值，稜長設為 $2$ 即可。以 $B$ 為原點，$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BF}$ 的方向為 $x$、$y$、$z$ 軸。

② 則 $P(0,0,1)$，$H(2,2,2)$，$Q(t,0,0)$，其中 $0\le t\le 2$。

③ $\overrightarrow{PH}=(2,2,1)$，$\overrightarrow{PQ}=(t,0,-1)$。

④ $\angle HPQ=90^{\circ }$，內積為 $0$：$2t-1=0$，$t=\frac{1}{2}$。

⑤ $\overline{BQ}=\frac{1}{2}$，$\overline{CQ}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，$k=\frac{\overline{BQ}}{\overline{CQ}}=\frac{1}{3}$。

答案 $\frac{1}{3}$。

答案 (1)(2)（學校答案）。

正確。 (1) $x=1$ 與 $z=1$ 是兩個不平行的平面，交成一條直線（與 $y$ 軸平行，見圖左）。

正確。 (2) 空間中 $x+y=1$ 是平面，法向量 $(1,1,0)$ 與 $z$ 軸方向 $(0,0,1)$ 垂直，而原點不在平面上，所以平面與 $z$ 軸平行。

錯誤。 (3) 在空間中 $z$ 可以任意取，$x^2+y^2=1$ 是以 $z$ 軸為軸、半徑 $1$ 的圓柱面，不是圓（見圖右）。

依學校答案判為錯誤。 (4) 方向向量 $(1,2,-3)$ 與 $(1,1,1)$ 的內積為 $0$，方向垂直；但把 $L_1$ 的點 $(1+t,2t,-2-3t)$ 代入 $x=y$ 得 $t=1$，此時點為 $(2,2,-5)$ 不在 $L_2$ 上，兩直線不相交，是歪斜線。學校答案不選 (4)。

錯誤。 (5) 反例：$x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸交於原點，但不共平面。

① 直線 $L$ 的方向向量為 $(2,0,3)$，並通過點 $(-a,3,-1)$。

② 平面 $E$ 的法向量為 $(b,1,2)$。直線落在平面上，方向向量要與法向量垂直： $$2b+0+6=0,b=-3$$

③ 直線上的點也要在平面上，代入 $-3x+y+2z=7$： $$3a+3-2=7,a=2$$

答案 $(2,-3)$。

① 直線 $AC$ 通過原點、方向 $(1,2,2)$，與 $y$ 軸（直線 $AB$）只交於原點，所以 $A(0,0,0)$。

② 直線 $BC$ 上的點可寫成 $(2s,6+s,a+bs)$。$B$ 在 $y$ 軸上，$x=0$ 得 $s=0$，此時 $z=a$ 必須為 $0$，所以 $a=0$、$B(0,6,0)$。

③ $C$ 同時在兩條直線上：$(t,2t,2t)=(2s,6+s,bs)$。由前兩個坐標 $t=2s$、$4s=6+s$，得 $s=2$、$t=4$，$C(4,8,8)$。

④ 第三個坐標 $8=2b$，$b=4$。

答案 $(0,4)$。

① 準確率 $90\%$：染病的人每次驗出陽性的機率 $0.9$，未染病的人每次驗出陰性的機率 $0.9$。

② 兩次都陰性才算未染病，其餘（至少一次陽性）判為陽性。染病者被判陽性的機率 $1-0.1^2=0.99$，未染病者被判陽性的機率 $1-0.9^2=0.19$。

③ 被判陽性的比例： $$0.1\times 0.99+0.9\times 0.19=0.099+0.171=0.27$$

④ 其中實際未染病的比例： $$\frac{0.171}{0.27}=\frac{19}{30}\approx 0.633$$

約 $63\%$，選 (3)。

答案 (2)(5)。

① 三人沒中的機率分別為 $\frac{1}{2}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{3}{4}$。各種情形的機率（分母 $24$）： $$\begin{array}{cc}\text{命中的人}& \text{機率}\\ \text{無}& \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{24}\\ \text{只有小堡}& \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{24}\\ \text{只有小憲}& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{24}\\ \text{只有小燕}& \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{24}\\ \text{小堡、小憲}& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{24}\\ \text{小堡、小燕}& \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{24}\\ \text{小憲、小燕}& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{24}\\ \text{三人}& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{24}\end{array}$$

錯誤。 (1) 恰中 $1$ 發 $=\frac{6+3+2}{24}=\frac{11}{24}$。

正確。 (2) 恰中 $2$ 發 $=\frac{3+2+1}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$。

錯誤。 (3) 至少中 $1$ 發 $=1-\frac{6}{24}=\frac{3}{4}$。

錯誤。 (4) 在恰中 $1$ 發的條件下，是小堡命中的機率 $=\frac{6}{11}$。

正確。 (5) 在恰中 $2$ 發的條件下，小堡在其中的機率 $=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$。

① 設 $E$ 為「前 $2$ 次至少出現 $1$ 次 $1$ 點」，$F$ 為「總共出現 $3$ 次 $1$ 點」。

② $P(E)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{11}{36}$。

③ 總共恰 $3$ 次 $1$ 點時，只有一次不是 $1$ 點，前 $2$ 次一定至少有一次 $1$ 點，所以 $F$ 包含在 $E$ 裡： $$P(E\cap F)=P(F)=4\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^3\times \frac{5}{6}=\frac{20}{1296}$$

④ 條件機率： $$P(F\mid E)=\frac{20}{1296}÷\frac{11}{36}=\frac{20}{36\times 11}=\frac{5}{99}$$

答案 $\frac{5}{99}$。