段考詳解範圍：三角函數（弧度量、扇形、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

興大附中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

單選題（第 1～3 題）、多選題（第 4～6 題，錯一個選項得一半題分，錯兩個選項以上得 0 分）、填充題（第 7～17 題），共 17 題。原卷未印各題配分，印的是答對題數與得分的對照表：答對 1～17 題依序得 7、14、21、28、34、40、46、52、58、64、70、75、80、85、90、95、100 分。本頁題號與卷面相同。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題全部相同。

一、單選題

如下圖為

y = a + b^{x}

的部分圖形，其中

a

，

b

為常數，則下列何者正確？

(A) $a > 0$ ， $b > 1$
(B) $a < 0$ ， $b > 1$
(C) $a > 0$ ， $b < 0$
(D) $a < 0$ ， $0 < b < 1$
(E) $a > 1$ ， $0 < b < 1$

載入中...

在密閉容器裡有某種細菌

1000

隻，以每小時增加

6%

的速率開始繁殖。如果繁殖速率不變，則

100

個小時後細菌數量為

90

個小時後細菌數量的多少倍？

(A) $6% \times 10$ 倍
(B) $(1 + 6%)^{10}$
(C) $\frac{1}{6% \times 10}$ 倍
(D) $\frac{1}{( 1 + 6% ) ^{10}}$ 倍
(E) $(1 + 6%)^{\frac{100}{90}}$ 倍

設計師小馨想要建造一圓心角為

12 0^{\circ}

的扇形舞臺，她先用

12

公尺長的繩子圍出此扇形區域，則扇形的半徑最接近下列哪一個選項？

(A) $2$ 公尺
(B) $2.5$ 公尺
(C) $3$ 公尺
(D) $3.5$ 公尺
(E) $4$ 公尺

二、多選題（錯一個選項得一半題分，錯兩個選項以上得 0 分）

下列選項哪些是正確的？

(A) $sin 1 > 0.5$
(B) $sin 2 > sin 1$
(C) $sin 1 > cos 1$
(D) $sin 1 > tan 1$
(E) $\frac{- 1}{2} < cos 2 < 0$

下列各函數圖形中，何者週期為

2 π

？

(A) $y = 2 sin x$
(B) $y = ∣ sin x ∣ + 2$
(C) $y = sin (x + 2)$
(D) $y = sin 2 x$
(E) $y = sin x + ∣ sin x ∣$

設

a > 0

且

a \neq = 1

，又

x

為實數，則對於

y = a^{x}

的圖形，下列敘述何者正確？

(A) $y = a^{x}$ 之圖形由左至右上升
(B) $y = a^{x}$ 之圖形恆過點 $(0, 1)$
(C) 對任意相異實數 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，恆有 $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{(x_{1} + x_{2}) /2}$
(D) $y = a^{x}$ 之圖形與 $y = - a^{x}$ 之圖形對稱於 $y$ 軸
(E) $y = a^{x}$ 之圖形與直線 $y = 2$ 恰有一交點

三、填充題

如圖，若

θ

角所對應的弧長為半徑的

2

倍，則

θ =

____ 弳。

載入中...

若鋼琴鍵盤上某個調音標準音的聲波函數為

f (x) = sin (880 π x)

，

x

的單位為秒，則此函數的週期為 ____ 秒／次。

如圖，兩同心圓半徑分別為

5

及

8

，若

B C ⌢

弧長為

2 π

，則陰影部分的面積為 ____。

載入中...

方程式

x^{2} = (\frac{1}{2})^{∣ x ∣}

有 ____ 個實根。

已知

(0.125)^{x} < (0.5)^{x^{2}}

，求

x

的範圍為 ____。

方程式

π sin x + x = π

共有 ____ 個實數解。

有一函數

f (x) = 2^{- x^{2} + 4 x}

，且

0 \leq x \leq 3

，若

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，求數對

(M, m) =

____。

已知

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

，函數

f (x) = sin (x + \frac{π}{2})

的最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

甲乙兩個人各執繩子的一端，甲上下擺動繩子形成繩波。往另一端移動，可視為一個正弦函數

y = a sin (b x + c) + d

（

a

，

b

都是正數，

0 < c < 2 π

），其部分圖形如下圖所示，試求

a + b + c + d =

____。

載入中...

若小馨早上

7

點整起床後，慢慢享用美味早餐，則小馨在

7

點 ____ 分（四捨五入取到整數位）可看到時針與分針重合。

半導體行業按照摩爾定律已發展了半個多世紀，對二十世紀後半葉的世界經濟增長做出了貢獻，並帶來科技創新、社會改革、提高了生產效率。個人電腦、網際網路、智慧型手機等技術改善和創新都離不開摩爾定律的延續。摩爾定律由 Intel 創始人之一戈登．摩爾所提出：積體電路上可容納的電晶體數目，約每隔

2

年會增加

1

倍。而 Intel 執行長大衛．豪斯則提出：每

18

個月晶片的效能會提高

1

倍（即電晶體數目加倍）。若依照摩爾的數據預估，現在積體電路上可容納的電晶體數目，約是

30

年前的

2^{m}

倍；依照豪斯的數據預估，現在積體電路上可容納的電晶體數目，約是

30

年前的

2^{n}

倍，則

(m, n) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(A)(B)(C)(E)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(B)(C)(E)

第 7 題

2

第 8 題

\frac{1}{440}

第 9 題

\frac{39 π}{8}

第 10 題

2

第 11 題

0 < x < 3

第 12 題

3

第 13 題

(16, 1)

第 14 題

(\frac{1}{2}, - 1)

第 15 題

\frac{π}{2} + \frac{7}{2}

第 16 題

38

第 17 題

(15, 20)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：指數函數的圖形、指數成長、扇形的周長

第 1 題答案 (D)。圖形由左至右下降。

y = a + b^{x}

是把

y = b^{x}

的圖形上下平移

a

，升降方向不變，所以

y = b^{x}

是遞減的，底數

0 < b < 1

。再看右邊：

0 < b < 1

時，

x

越大

b^{x}

越接近

0

，所以

y

越來越接近

a

；圖上曲線往右越來越貼近

x

軸下方的一條水平線，所以

a < 0

。

也可以看

y

軸上的交點：

x = 0

時

y = a + 1

，圖上這一點在

0

與

1

之間，所以

- 1 < a < 0

。(B) 的

b > 1

圖形會上升；(C) 的

b < 0

不能當指數函數的底數；(E) 的

a > 1

整個圖形會在

y = 1

的上方。

第 2 題答案 (B)。每小時增加

6%

，就是每過

1

小時數量乘以

1 + 6%

。

t

小時後的數量是

1000 \times (1 + 6%)^{t}

。所以

100

小時後與

90

小時後的數量比是

\frac{1000 \times ( 1 + 6% ) ^{100}}{1000 \times ( 1 + 6% ) ^{90}} = (1 + 6%)^{100 - 90} = (1 + 6%)^{10}

。

從第

90

小時到第

100

小時又過了

10

小時，連乘

10

次

1.06

，與一開始有幾隻無關。(A) 是把每小時增加的量當成固定的，那是等差的想法；(E) 把指數相除了，指數律是同底數相除、指數相減。卷面選項 (B) 後面沒有印「倍」字。

第 3 題答案 (C)。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弧度。設半徑為

r

公尺，弧長是

r \times \frac{2 π}{3}

。繩子圍出整個扇形，繩長是扇形的周長，也就是兩條半徑加弧長：

2 r + \frac{2 π}{3} r = 12

。所以

r = \frac{12}{2 + \frac{2 π}{3}} = \frac{18}{3 + π} \approx \frac{18}{6.14} \approx 2.93

，最接近

3

公尺。

如果只算弧長（

\frac{2 π}{3} r = 12

）會得到

r \approx 5.7

，沒有這個選項；周長要包含兩條半徑。

y = a + b^{x}

的圖形往一邊貼近水平線

y = a

；扇形的周長

= 2 r + r θ

（

θ

用弧度）。

02多選第 4～6 題：弧度角的三角函數值、週期、指數函數圖形的性質

第 4 題答案 (A)(B)(C)(E)。先估計：

\frac{π}{6} \approx 0.52

，

\frac{π}{4} \approx 0.79

，

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，

π \approx 3.14

。(A) 對：

1

在

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{2}

之間，正弦函數在

0

到

\frac{π}{2}

遞增，所以

sin 1 > sin \frac{π}{6} = 0.5

。(B) 對：

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

；

1

與

1.14

都在

0

與

\frac{π}{2}

之間，所以

sin 1 < sin 1.14 = sin 2

。(C) 對：

1

弧度在

\frac{π}{4}

與

\frac{π}{2}

之間（約

5 7^{\circ}

），超過

4 5^{\circ}

的銳角正弦值比餘弦值大。(D) 錯：

tan 1 = \frac{sin 1}{cos 1}

，而

0 < cos 1 < 1

，正數

sin 1

除以一個小於

1

的正數會變大，所以

tan 1 > sin 1

。(E) 對：

2

在

\frac{π}{2}

與

\frac{2 π}{3}

之間，餘弦函數在

0

到

π

遞減，所以

cos \frac{π}{2} > cos 2 > cos \frac{2 π}{3}

，即

0 > cos 2 > - \frac{1}{2}

。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

，

cos 1 \approx 0.54

，

tan 1 \approx 1.56

，

sin 2 \approx 0.91

，

cos 2 \approx - 0.42

。沒有寫

^{\circ}

的角都是弧度。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：乘以

2

只改變振幅，週期仍是

2 π

。(B) 錯：

y = ∣ sin x ∣

是把

y = sin x

在

x

軸下方的部分翻到上方，每隔

π

圖形就重複，週期是

π

；再加

2

只是上移，週期還是

π

。(C) 對：

x + 2

是把圖形向左平移

2

，週期仍是

2 π

。(D) 錯：

x

的係數是

2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(E) 對：

sin x \geq 0

時

y = 2 sin x

，

sin x < 0

時

y = 0

。在

0

到

2 π

之間，前一半是一個拱形、後一半貼在

x

軸上，之後每隔

2 π

重複一次；拱形與平的一段交替出現，沒有更短的重複間隔，所以週期是

2 π

。

(B) 與 (E) 都有絕對值，但結果不同：(B) 把下方的波翻上來，波變密；(E) 把下方的波壓平，重複的間隔不變。

第 6 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯：只有

a > 1

時才由左至右上升；

0 < a < 1

時由左至右下降，題目兩種都有可能。(B) 對：

a^{0} = 1

，不論

a

是多少都通過

(0, 1)

。(C) 對：令

p = a^{\frac{x _{1}}{2}}

，

q = a^{\frac{x _{2}}{2}}

，兩個都是正數，則

a^{x_{1}} = p^{2}

，

a^{x_{2}} = q^{2}

，

a^{(x_{1} + x_{2}) /2} = pq

。因為

a \neq = 1

且

x_{1} \neq = x_{2}

，所以

p \neq = q

，

(p - q)^{2} > 0

，展開得

p^{2} + q^{2} > 2 pq

，也就是

\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{(x_{1} + x_{2}) /2}

。(D) 錯：把

y

換成

- y

，是上下翻轉，兩個圖形對稱於

x

軸；對稱於

y

軸的是

y = a^{- x}

。(E) 對：指數函數的值可以是任何正數，而且一路上升或一路下降，所以高度

2

恰好經過一次。

a > 1

與

0 < a < 1

都成立。

比較弧度角的三角函數值，先用

π \approx 3.14

找出角落在哪兩個特殊角之間；指數函數的性質要分

a > 1

與

0 < a < 1

兩種情形檢查。

03填充第 7～9 題：弧度的定義、週期、扇形面積

第 7 題弧度的定義是弧長除以半徑：

θ = \frac{弧長}{半徑} = \frac{2 r}{r} = 2

（弳）。

2

弧度大約是

114. 6^{\circ}

。本頁的圖是示意圖，角的大小沒有照實際畫。

第 8 題

y = sin (b x)

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

。這裡

b = 880 π

，所以週期

= \frac{2 π}{880 π} = \frac{1}{440}

秒。

週期

\frac{1}{440}

秒，表示每秒振動

440

次，就是調音用的標準音

440

赫茲。

第 9 題

B

、

C

在半徑

8

的大圓上，弧

B C

的長

= 8 θ = 2 π

，所以

θ = \frac{π}{4}

。陰影部分是大扇形

O B C

減去小扇形

O A D

：

\frac{1}{2} \times 8^{2} \times \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \times 5^{2} \times \frac{π}{4} = 8 π - \frac{25 π}{8} = \frac{39 π}{8}

。

扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，

θ

用弧度。弧

B C

在大圓上，求

θ

時半徑要用

8

，不是

5

。

弧長

= r θ

、扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，兩個公式的

θ

都用弧度。

04填充第 10～12 題：用圖形數實根、指數不等式、正弦曲線與直線

第 10 題實根的個數就是

y = x^{2}

與

y = (\frac{1}{2})^{∣ x ∣}

兩個圖形的交點個數。先看

x \geq 0

：這時

(\frac{1}{2})^{∣ x ∣} = (\frac{1}{2})^{x}

，從

x = 0

的

1

開始一路下降；

x^{2}

從

0

開始一路上升。

x = 0

時

x^{2} = 0 < 1

，

x = 1

時

x^{2} = 1 > \frac{1}{2}

，一個上升、一個下降，所以在

0

與

1

之間恰好交一次，之後不會再相交。把

x

換成

- x

，兩個式子都不變，兩個圖形都對稱於

y

軸，所以

x < 0

也恰有一個交點。共

2

個實根。

x = 0

不是根（左邊

0

、右邊

1

）。兩個根互為相反數。

第 11 題

0.125 = \frac{1}{8} = (0.5)^{3}

，所以左邊

= (0.5)^{3 x}

，不等式是

(0.5)^{3 x} < (0.5)^{x^{2}}

。底數

0.5

小於

1

，指數函數遞減，函數值小的那一邊指數反而大：

3 x > x^{2}

，即

x^{2} - 3 x < 0

，

x (x - 3) < 0

，所以

0 < x < 3

。

底數在

0

與

1

之間時，比較指數要把不等號反過來。檢查：

x = 1

時左邊

0.125

、右邊

0.5

，成立；

x = 4

時左邊

(0.5)^{12}

、右邊

(0.5)^{16}

，左邊較大，不成立。

第 12 題兩邊同除以

π

並移項：

sin x = 1 - \frac{x}{π}

。實數解的個數就是

y = sin x

與直線

y = 1 - \frac{x}{π}

的交點個數。這條直線通過

(0, 1)

、

(π, 0)

、

(2 π, - 1)

，由左至右下降。

x < 0

時直線的高度超過

1

，

x > 2 π

時低於

- 1

，都不可能與正弦曲線相交，只要看

0 \leq x \leq 2 π

。第一，

x = π

時兩邊都是

0

，是一個交點。第二，在

0

到

\frac{π}{2}

之間，正弦曲線從

0

升到

1

，直線從

1

降到

\frac{1}{2}

，恰好交一次。第三，在

\frac{π}{2}

到

π

之間：

x = \frac{π}{2}

時曲線高度

1

、直線高度

\frac{1}{2}

；正弦曲線在這一段是向上鼓起的弧，在兩端點

(\frac{π}{2}, 1)

、

(π, 0)

的連線上方，而這條連線在

\frac{π}{2}

到

π

之間都不低於直線

y = 1 - \frac{x}{π}

，所以曲線到

x = π

才與直線相碰，中間沒有別的交點。第四，正弦曲線與這條直線都對稱於點

(π, 0)

，所以

π

的右邊與左邊一樣，也恰有一個交點。合計

3

個實數解。

第三點可以取值檢查：

x = \frac{3 π}{4}

時

sin x \approx 0.71

，直線的高度是

0.25

。畫圖時把直線的三個點

(0, 1)

、

(π, 0)

、

(2 π, - 1)

標準確，交點個數就看得出來。

方程式兩邊是不同類型的函數時，把它看成兩個圖形的交點，先用函數值的範圍縮小要看的區間。

05填充第 13～15 題：指數是二次式、正弦函數的極值、由圖形定係數

第 13 題底數

2

大於

1

，指數越大函數值越大，所以先求指數

g (x) = - x^{2} + 4 x

在

0 \leq x \leq 3

的最大值與最小值。配方：

g (x) = - (x - 2)^{2} + 4

，頂點

x = 2

在範圍內，最大值是

4

。兩個端點：

g (0) = 0

，

g (3) = 3

，最小值是

0

。所以

M = 2^{4} = 16

，

m = 2^{0} = 1

，

(M, m) = (16, 1)

。

最小值要比較兩個端點，離頂點較遠的

x = 0

才是最小的地方，不是

x = 3

。

第 14 題令

u = x + \frac{π}{2}

。

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

時，

\frac{5 π}{6} \leq u \leq \frac{11 π}{6}

。看

y = sin u

在這一段的圖形：從

u = \frac{5 π}{6}

（高度

\frac{1}{2}

）開始下降，到

u = \frac{3 π}{2}

降到最低點

- 1

，再上升到

u = \frac{11 π}{6}

（高度

- \frac{1}{2}

）。所以最大值在左端點，

M = sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

；最小值

m = - 1

。

(M, m) = (\frac{1}{2}, - 1)

。

最高點

u = \frac{π}{2}

不在範圍內，最大值不是

1

。先把括號裡整個角的範圍寫出來，再看圖形。

第 15 題由圖，

(1, \frac{7}{2})

是最高點，

(4, - \frac{5}{2})

是它右邊相鄰的最低點。因為

a > 0

，最大值

a + d = \frac{7}{2}

，最小值

- a + d = - \frac{5}{2}

，兩式相加得

d = \frac{1}{2}

，相減得

a = 3

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期：半個週期

= 4 - 1 = 3

，週期

= 6

，由

\frac{2 π}{b} = 6

得

b = \frac{π}{3}

。最高點發生在

sin

的值等於

1

的地方：

x = 1

時

\frac{π}{3} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{6} + 2 k π

；在

0 < c < 2 π

的範圍內只有

c = \frac{π}{6}

。所以

a + b + c + d = 3 + \frac{π}{3} + \frac{π}{6} + \frac{1}{2} = \frac{π}{2} + \frac{7}{2}

。

檢查：函數是

y = 3 sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}

。

x = 4

時角是

\frac{3 π}{2}

，

y = - 3 + \frac{1}{2} = - \frac{5}{2}

，與圖相符；

x = 0

時

y = 3 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2

，就是圖上的

A

點，在

y

軸的正向。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

，

b > 0

）：最大值

a + d

、最小值

- a + d

、週期

\frac{2 π}{b}

，相鄰的最高點與最低點相隔半個週期。

06填充第 16、17 題：時針與分針、摩爾定律

第 16 題分針

60

分鐘轉一圈，每分鐘轉

6^{\circ}

；時針

12

小時轉一圈，每分鐘轉

0. 5^{\circ}

。

7

點整時，分針指著

12

，時針指著

7

，時針在分針前面

7 \times 3 0^{\circ} = 21 0^{\circ}

。設

7

點

t

分時兩針重合，分針要追上這

21 0^{\circ}

：

6 t = 210 + 0.5 t

，

5.5 t = 210

，

t = \frac{420}{11} \approx 38.18

，四捨五入到整數位是

38

分。

分針每分鐘比時針多轉

5. 5^{\circ}

。如果忘了時針也在走，會算成

210 \div 6 = 35

分。

第 17 題「增加

1

倍」就是變成原來的

2

倍。依摩爾的說法，每

2

年變成

2

倍，

30

年共加倍

30 \div 2 = 15

次，數目是

30

年前的

2^{15}

倍，

m = 15

。依豪斯的說法，每

18

個月變成

2

倍，

30

年是

360

個月，共加倍

360 \div 18 = 20

次，數目是

30

年前的

2^{20}

倍，

n = 20

。所以

(m, n) = (15, 20)

。

單位要一致：

18

個月是

1.5

年，

30 \div 1.5 = 20

。

2^{20}

是

2^{15}

的

2^{5} = 32

倍，加倍的間隔只差半年，

30

年後差到

32

倍。

每隔固定時間變成

2

倍，經過

n

個間隔就是原來的

2^{n}

倍；先算經過幾個間隔。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 111 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題：繩長是扇形的周長，要算兩條半徑加弧長，不是只有弧長。第 6 題選項 (C)：兩個函數值的平均比中點的函數值大，用完全平方大於零來說明。第 12 題：把方程式看成正弦曲線與一條斜直線的交點，直線剛好通過曲線的對稱中心，共三個交點。第 15 題：最高點與最低點的橫坐標差是半個週期，不是一個週期。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 111 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、扇形、正弦函數的圖形與週期）、指數函數

興大附中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

一、單選題

如下圖為

y = a + b^{x}

的部分圖形，其中

a

，

b

為常數，則下列何者正確？

(A) $a > 0$ ， $b > 1$
(B) $a < 0$ ， $b > 1$
(C) $a > 0$ ， $b < 0$
(D) $a < 0$ ， $0 < b < 1$
(E) $a > 1$ ， $0 < b < 1$

載入中...

在密閉容器裡有某種細菌

1000

隻，以每小時增加

6%

的速率開始繁殖。如果繁殖速率不變，則

100

個小時後細菌數量為

90

個小時後細菌數量的多少倍？

(A) $6% \times 10$ 倍
(B) $(1 + 6%)^{10}$
(C) $\frac{1}{6% \times 10}$ 倍
(D) $\frac{1}{( 1 + 6% ) ^{10}}$ 倍
(E) $(1 + 6%)^{\frac{100}{90}}$ 倍

設計師小馨想要建造一圓心角為

12 0^{\circ}

的扇形舞臺，她先用

12

公尺長的繩子圍出此扇形區域，則扇形的半徑最接近下列哪一個選項？

(A) $2$ 公尺
(B) $2.5$ 公尺
(C) $3$ 公尺
(D) $3.5$ 公尺
(E) $4$ 公尺

二、多選題（錯一個選項得一半題分，錯兩個選項以上得 0 分）

下列選項哪些是正確的？

(A) $sin 1 > 0.5$
(B) $sin 2 > sin 1$
(C) $sin 1 > cos 1$
(D) $sin 1 > tan 1$
(E) $\frac{- 1}{2} < cos 2 < 0$

下列各函數圖形中，何者週期為

2 π

？

(A) $y = 2 sin x$
(B) $y = ∣ sin x ∣ + 2$
(C) $y = sin (x + 2)$
(D) $y = sin 2 x$
(E) $y = sin x + ∣ sin x ∣$

設

a > 0

且

a \neq = 1

，又

x

為實數，則對於

y = a^{x}

的圖形，下列敘述何者正確？

(A) $y = a^{x}$ 之圖形由左至右上升
(B) $y = a^{x}$ 之圖形恆過點 $(0, 1)$
(C) 對任意相異實數 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，恆有 $\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{(x_{1} + x_{2}) /2}$
(D) $y = a^{x}$ 之圖形與 $y = - a^{x}$ 之圖形對稱於 $y$ 軸
(E) $y = a^{x}$ 之圖形與直線 $y = 2$ 恰有一交點

三、填充題

如圖，若

θ

角所對應的弧長為半徑的

2

倍，則

θ =

____ 弳。

載入中...

若鋼琴鍵盤上某個調音標準音的聲波函數為

f (x) = sin (880 π x)

，

x

的單位為秒，則此函數的週期為 ____ 秒／次。

如圖，兩同心圓半徑分別為

5

及

8

，若

B C ⌢

弧長為

2 π

，則陰影部分的面積為 ____。

載入中...

方程式

x^{2} = (\frac{1}{2})^{∣ x ∣}

有 ____ 個實根。

已知

(0.125)^{x} < (0.5)^{x^{2}}

，求

x

的範圍為 ____。

方程式

π sin x + x = π

共有 ____ 個實數解。

有一函數

f (x) = 2^{- x^{2} + 4 x}

，且

0 \leq x \leq 3

，若

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，求數對

(M, m) =

____。

已知

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

，函數

f (x) = sin (x + \frac{π}{2})

的最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

甲乙兩個人各執繩子的一端，甲上下擺動繩子形成繩波。往另一端移動，可視為一個正弦函數

y = a sin (b x + c) + d

（

a

，

b

都是正數，

0 < c < 2 π

），其部分圖形如下圖所示，試求

a + b + c + d =

____。

載入中...

若小馨早上

7

點整起床後，慢慢享用美味早餐，則小馨在

7

點 ____ 分（四捨五入取到整數位）可看到時針與分針重合。

2

年會增加

1

倍。而 Intel 執行長大衛．豪斯則提出：每

18

個月晶片的效能會提高

1

倍（即電晶體數目加倍）。若依照摩爾的數據預估，現在積體電路上可容納的電晶體數目，約是

30

年前的

2^{m}

倍；依照豪斯的數據預估，現在積體電路上可容納的電晶體數目，約是

30

年前的

2^{n}

倍，則

(m, n) =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)

第 3 題(C)

第 4 題(A)(B)(C)(E)

第 5 題(A)(C)(E)

第 6 題(B)(C)(E)

第 7 題

2

第 8 題

\frac{1}{440}

第 9 題

\frac{39 π}{8}

第 10 題

2

第 11 題

0 < x < 3

第 12 題

3

第 13 題

(16, 1)

第 14 題

(\frac{1}{2}, - 1)

第 15 題

\frac{π}{2} + \frac{7}{2}

第 16 題

38

第 17 題

(15, 20)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：指數函數的圖形、指數成長、扇形的周長

第 1 題答案 (D)。圖形由左至右下降。

y = a + b^{x}

是把

y = b^{x}

的圖形上下平移

a

，升降方向不變，所以

y = b^{x}

是遞減的，底數

0 < b < 1

。再看右邊：

0 < b < 1

時，

x

越大

b^{x}

越接近

0

，所以

y

越來越接近

a

；圖上曲線往右越來越貼近

x

軸下方的一條水平線，所以

a < 0

。

也可以看

y

軸上的交點：

x = 0

時

y = a + 1

，圖上這一點在

0

與

1

之間，所以

- 1 < a < 0

。(B) 的

b > 1

圖形會上升；(C) 的

b < 0

不能當指數函數的底數；(E) 的

a > 1

整個圖形會在

y = 1

的上方。

第 2 題答案 (B)。每小時增加

6%

，就是每過

1

小時數量乘以

1 + 6%

。

t

小時後的數量是

1000 \times (1 + 6%)^{t}

。所以

100

小時後與

90

小時後的數量比是

\frac{1000 \times ( 1 + 6% ) ^{100}}{1000 \times ( 1 + 6% ) ^{90}} = (1 + 6%)^{100 - 90} = (1 + 6%)^{10}

。

從第

90

小時到第

100

小時又過了

10

小時，連乘

10

次

1.06

第 3 題答案 (C)。

12 0^{\circ} = \frac{2 π}{3}

弧度。設半徑為

r

公尺，弧長是

r \times \frac{2 π}{3}

。繩子圍出整個扇形，繩長是扇形的周長，也就是兩條半徑加弧長：

2 r + \frac{2 π}{3} r = 12

。所以

r = \frac{12}{2 + \frac{2 π}{3}} = \frac{18}{3 + π} \approx \frac{18}{6.14} \approx 2.93

，最接近

3

公尺。

如果只算弧長（

\frac{2 π}{3} r = 12

）會得到

r \approx 5.7

，沒有這個選項；周長要包含兩條半徑。

y = a + b^{x}

的圖形往一邊貼近水平線

y = a

；扇形的周長

= 2 r + r θ

（

θ

用弧度）。

02多選第 4～6 題：弧度角的三角函數值、週期、指數函數圖形的性質

第 4 題答案 (A)(B)(C)(E)。先估計：

\frac{π}{6} \approx 0.52

，

\frac{π}{4} \approx 0.79

，

\frac{π}{2} \approx 1.57

，

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

，

π \approx 3.14

。(A) 對：

1

在

\frac{π}{6}

與

\frac{π}{2}

之間，正弦函數在

0

到

\frac{π}{2}

遞增，所以

sin 1 > sin \frac{π}{6} = 0.5

。(B) 對：

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

；

1

與

1.14

都在

0

與

\frac{π}{2}

之間，所以

sin 1 < sin 1.14 = sin 2

。(C) 對：

1

弧度在

\frac{π}{4}

與

\frac{π}{2}

之間（約

5 7^{\circ}

），超過

4 5^{\circ}

的銳角正弦值比餘弦值大。(D) 錯：

tan 1 = \frac{sin 1}{cos 1}

，而

0 < cos 1 < 1

，正數

sin 1

除以一個小於

1

的正數會變大，所以

tan 1 > sin 1

。(E) 對：

2

在

\frac{π}{2}

與

\frac{2 π}{3}

之間，餘弦函數在

0

到

π

遞減，所以

cos \frac{π}{2} > cos 2 > cos \frac{2 π}{3}

，即

0 > cos 2 > - \frac{1}{2}

。

近似值：

sin 1 \approx 0.84

，

cos 1 \approx 0.54

，

tan 1 \approx 1.56

，

sin 2 \approx 0.91

，

cos 2 \approx - 0.42

。沒有寫

^{\circ}

的角都是弧度。

第 5 題答案 (A)(C)(E)。(A) 對：乘以

2

只改變振幅，週期仍是

2 π

。(B) 錯：

y = ∣ sin x ∣

是把

y = sin x

在

x

軸下方的部分翻到上方，每隔

π

圖形就重複，週期是

π

；再加

2

只是上移，週期還是

π

。(C) 對：

x + 2

是把圖形向左平移

2

，週期仍是

2 π

。(D) 錯：

x

的係數是

2

，週期是

\frac{2 π}{2} = π

。(E) 對：

sin x \geq 0

時

y = 2 sin x

，

sin x < 0

時

y = 0

。在

0

到

2 π

之間，前一半是一個拱形、後一半貼在

x

軸上，之後每隔

2 π

重複一次；拱形與平的一段交替出現，沒有更短的重複間隔，所以週期是

2 π

。

(B) 與 (E) 都有絕對值，但結果不同：(B) 把下方的波翻上來，波變密；(E) 把下方的波壓平，重複的間隔不變。

第 6 題答案 (B)(C)(E)。(A) 錯：只有

a > 1

時才由左至右上升；

0 < a < 1

時由左至右下降，題目兩種都有可能。(B) 對：

a^{0} = 1

，不論

a

是多少都通過

(0, 1)

。(C) 對：令

p = a^{\frac{x _{1}}{2}}

，

q = a^{\frac{x _{2}}{2}}

，兩個都是正數，則

a^{x_{1}} = p^{2}

，

a^{x_{2}} = q^{2}

，

a^{(x_{1} + x_{2}) /2} = pq

。因為

a \neq = 1

且

x_{1} \neq = x_{2}

，所以

p \neq = q

，

(p - q)^{2} > 0

，展開得

p^{2} + q^{2} > 2 pq

，也就是

\frac{a ^{x_{1}} + a ^{x_{2}}}{2} > a^{(x_{1} + x_{2}) /2}

。(D) 錯：把

y

換成

- y

，是上下翻轉，兩個圖形對稱於

x

軸；對稱於

y

軸的是

y = a^{- x}

。(E) 對：指數函數的值可以是任何正數，而且一路上升或一路下降，所以高度

2

恰好經過一次。

a > 1

與

0 < a < 1

都成立。

比較弧度角的三角函數值，先用

π \approx 3.14

找出角落在哪兩個特殊角之間；指數函數的性質要分

a > 1

與

0 < a < 1

兩種情形檢查。

03填充第 7～9 題：弧度的定義、週期、扇形面積

第 7 題弧度的定義是弧長除以半徑：

θ = \frac{弧長}{半徑} = \frac{2 r}{r} = 2

（弳）。

2

弧度大約是

114. 6^{\circ}

。本頁的圖是示意圖，角的大小沒有照實際畫。

第 8 題

y = sin (b x)

（

b > 0

）的週期是

\frac{2 π}{b}

。這裡

b = 880 π

，所以週期

= \frac{2 π}{880 π} = \frac{1}{440}

秒。

週期

\frac{1}{440}

秒，表示每秒振動

440

次，就是調音用的標準音

440

赫茲。

第 9 題

B

、

C

在半徑

8

的大圓上，弧

B C

的長

= 8 θ = 2 π

，所以

θ = \frac{π}{4}

。陰影部分是大扇形

O B C

減去小扇形

O A D

：

\frac{1}{2} \times 8^{2} \times \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \times 5^{2} \times \frac{π}{4} = 8 π - \frac{25 π}{8} = \frac{39 π}{8}

。

扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，

θ

用弧度。弧

B C

在大圓上，求

θ

時半徑要用

8

，不是

5

。

弧長

= r θ

、扇形面積

= \frac{1}{2} r^{2} θ

，兩個公式的

θ

都用弧度。

04填充第 10～12 題：用圖形數實根、指數不等式、正弦曲線與直線

第 10 題實根的個數就是

y = x^{2}

與

y = (\frac{1}{2})^{∣ x ∣}

兩個圖形的交點個數。先看

x \geq 0

：這時

(\frac{1}{2})^{∣ x ∣} = (\frac{1}{2})^{x}

，從

x = 0

的

1

開始一路下降；

x^{2}

從

0

開始一路上升。

x = 0

時

x^{2} = 0 < 1

，

x = 1

時

x^{2} = 1 > \frac{1}{2}

，一個上升、一個下降，所以在

0

與

1

之間恰好交一次，之後不會再相交。把

x

換成

- x

，兩個式子都不變，兩個圖形都對稱於

y

軸，所以

x < 0

也恰有一個交點。共

2

個實根。

x = 0

不是根（左邊

0

、右邊

1

）。兩個根互為相反數。

第 11 題

0.125 = \frac{1}{8} = (0.5)^{3}

，所以左邊

= (0.5)^{3 x}

，不等式是

(0.5)^{3 x} < (0.5)^{x^{2}}

。底數

0.5

小於

1

，指數函數遞減，函數值小的那一邊指數反而大：

3 x > x^{2}

，即

x^{2} - 3 x < 0

，

x (x - 3) < 0

，所以

0 < x < 3

。

底數在

0

與

1

之間時，比較指數要把不等號反過來。檢查：

x = 1

時左邊

0.125

、右邊

0.5

，成立；

x = 4

時左邊

(0.5)^{12}

、右邊

(0.5)^{16}

，左邊較大，不成立。

第 12 題兩邊同除以

π

並移項：

sin x = 1 - \frac{x}{π}

。實數解的個數就是

y = sin x

與直線

y = 1 - \frac{x}{π}

的交點個數。這條直線通過

(0, 1)

、

(π, 0)

、

(2 π, - 1)

，由左至右下降。

x < 0

時直線的高度超過

1

，

x > 2 π

時低於

- 1

，都不可能與正弦曲線相交，只要看

0 \leq x \leq 2 π

。第一，

x = π

時兩邊都是

0

，是一個交點。第二，在

0

到

\frac{π}{2}

之間，正弦曲線從

0

升到

1

，直線從

1

降到

\frac{1}{2}

，恰好交一次。第三，在

\frac{π}{2}

到

π

之間：

x = \frac{π}{2}

時曲線高度

1

、直線高度

\frac{1}{2}

；正弦曲線在這一段是向上鼓起的弧，在兩端點

(\frac{π}{2}, 1)

、

(π, 0)

的連線上方，而這條連線在

\frac{π}{2}

到

π

之間都不低於直線

y = 1 - \frac{x}{π}

，所以曲線到

x = π

才與直線相碰，中間沒有別的交點。第四，正弦曲線與這條直線都對稱於點

(π, 0)

，所以

π

的右邊與左邊一樣，也恰有一個交點。合計

3

個實數解。

第三點可以取值檢查：

x = \frac{3 π}{4}

時

sin x \approx 0.71

，直線的高度是

0.25

。畫圖時把直線的三個點

(0, 1)

、

(π, 0)

、

(2 π, - 1)

標準確，交點個數就看得出來。

方程式兩邊是不同類型的函數時，把它看成兩個圖形的交點，先用函數值的範圍縮小要看的區間。

05填充第 13～15 題：指數是二次式、正弦函數的極值、由圖形定係數

第 13 題底數

2

大於

1

，指數越大函數值越大，所以先求指數

g (x) = - x^{2} + 4 x

在

0 \leq x \leq 3

的最大值與最小值。配方：

g (x) = - (x - 2)^{2} + 4

，頂點

x = 2

在範圍內，最大值是

4

。兩個端點：

g (0) = 0

，

g (3) = 3

，最小值是

0

。所以

M = 2^{4} = 16

，

m = 2^{0} = 1

，

(M, m) = (16, 1)

。

最小值要比較兩個端點，離頂點較遠的

x = 0

才是最小的地方，不是

x = 3

。

第 14 題令

u = x + \frac{π}{2}

。

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

時，

\frac{5 π}{6} \leq u \leq \frac{11 π}{6}

。看

y = sin u

在這一段的圖形：從

u = \frac{5 π}{6}

（高度

\frac{1}{2}

）開始下降，到

u = \frac{3 π}{2}

降到最低點

- 1

，再上升到

u = \frac{11 π}{6}

（高度

- \frac{1}{2}

）。所以最大值在左端點，

M = sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

；最小值

m = - 1

。

(M, m) = (\frac{1}{2}, - 1)

。

最高點

u = \frac{π}{2}

不在範圍內，最大值不是

1

。先把括號裡整個角的範圍寫出來，再看圖形。

第 15 題由圖，

(1, \frac{7}{2})

是最高點，

(4, - \frac{5}{2})

是它右邊相鄰的最低點。因為

a > 0

，最大值

a + d = \frac{7}{2}

，最小值

- a + d = - \frac{5}{2}

，兩式相加得

d = \frac{1}{2}

，相減得

a = 3

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期：半個週期

= 4 - 1 = 3

，週期

= 6

，由

\frac{2 π}{b} = 6

得

b = \frac{π}{3}

。最高點發生在

sin

的值等於

1

的地方：

x = 1

時

\frac{π}{3} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{π}{6} + 2 k π

；在

0 < c < 2 π

的範圍內只有

c = \frac{π}{6}

。所以

a + b + c + d = 3 + \frac{π}{3} + \frac{π}{6} + \frac{1}{2} = \frac{π}{2} + \frac{7}{2}

。

檢查：函數是

y = 3 sin (\frac{π}{3} x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}

。

x = 4

時角是

\frac{3 π}{2}

，

y = - 3 + \frac{1}{2} = - \frac{5}{2}

，與圖相符；

x = 0

時

y = 3 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2

，就是圖上的

A

點，在

y

軸的正向。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

，

b > 0

）：最大值

a + d

、最小值

- a + d

、週期

\frac{2 π}{b}

，相鄰的最高點與最低點相隔半個週期。

06填充第 16、17 題：時針與分針、摩爾定律

第 16 題分針

60

分鐘轉一圈，每分鐘轉

6^{\circ}

；時針

12

小時轉一圈，每分鐘轉

0. 5^{\circ}

。

7

點整時，分針指著

12

，時針指著

7

，時針在分針前面

7 \times 3 0^{\circ} = 21 0^{\circ}

。設

7

點

t

分時兩針重合，分針要追上這

21 0^{\circ}

：

6 t = 210 + 0.5 t

，

5.5 t = 210

，

t = \frac{420}{11} \approx 38.18

，四捨五入到整數位是

38

分。

分針每分鐘比時針多轉

5. 5^{\circ}

。如果忘了時針也在走，會算成

210 \div 6 = 35

分。

第 17 題「增加

1

倍」就是變成原來的

2

倍。依摩爾的說法，每

2

年變成

2

倍，

30

年共加倍

30 \div 2 = 15

次，數目是

30

年前的

2^{15}

倍，

m = 15

。依豪斯的說法，每

18

個月變成

2

倍，

30

年是

360

個月，共加倍

360 \div 18 = 20

次，數目是

30

年前的

2^{20}

倍，

n = 20

。所以

(m, n) = (15, 20)

。

單位要一致：

18

個月是

1.5

年，

30 \div 1.5 = 20

。

2^{20}

是

2^{15}

的

2^{5} = 32

倍，加倍的間隔只差半年，

30

年後差到

32

倍。

每隔固定時間變成

2

倍，經過

n

個間隔就是原來的

2^{n}

倍；先算經過幾個間隔。

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03填充第 7～9 題：弧度的定義、週期、扇形面積

04填充第 10～12 題：用圖形數實根、指數不等式、正弦曲線與直線

05填充第 13～15 題：指數是二次式、正弦函數的極值、由圖形定係數

06填充第 16、17 題：時針與分針、摩爾定律

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