段考詳解範圍：高一、高二內容複習（三角比與廣義角、正弦定理與餘弦定理、正弦函數的圖形、指數與對數、指數函數與對數函數）

興大附中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 17 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 17 題，照原卷順序

這次段考高三人社班群的數學有兩份卷，本頁是卷頭印「高三人社班群數學試題（數 B）」的那一份。單選題 3 題（每題 4 分，共 12 分）、多選題 4 題（每題 7 分，共 28 分）、選填題 10 題（每題 6 分，共 60 分），合計 100 分。原卷選填題編號為 A～J，本頁第 8～17 題依序為原卷的 A～J 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，17 題全部一致。

一、單選題：（每題 4 分，共 12 分。請選出最適合的選項，全對才給分。）

3 sin 6 0^{\circ} - 2 cos 24 0^{\circ} + tan 31 5^{\circ}

之值為何？

(1) $1$
(2) $\frac{3}{2}$
(3) $2$
(4) $- \frac{1}{2}$
(5) $- 1$

已知某人運動之後，她的呼吸循環過程中，呼吸空氣出入肺部的速率

y

（公升/秒）可以用下列函數來近似表示：

y = \frac{7}{4} \cdot sin \frac{π x}{2}

，其中

x

為時間（秒），

y

為正數表示吸入空氣，

y

為負數表示吐出空氣。下列選項何者正確？

(1) 當 $x = π$ 秒，此時正值吸入空氣的過程
(2) 一個完整呼吸循環所需的時間為 $4 π$ 秒
(3) 每分鐘呼吸的次數為 $15$ 次
(4) 經過數分鐘的運動之後，每次呼吸空氣出入肺部的速率最大值為 $\frac{4}{7}$ （公升/秒）
(5) 以上選項皆正確

已知

lo g 7 \approx 0.8451

。將

(\frac{1}{7})^{300}

的近似值表示成科學記號

a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

，

n \in Z

，則

n

之值為何？

(1) $- 254$
(2) $- 255$
(3) $- 169$
(4) $- 170$
(5) $- 85$

二、多選題：1. 每題 7 分，共 28 分，每題至少有一個選項是正確的。2. 所有選項均答對者得 7 分；錯一個選項得 4.2 分；錯二個選項得 1.4 分；所有選項均未作答或答錯多於 2 個選項者，該題以 0 分計算。

請選出正確的選項。

(1) $- 46 0^{\circ}$ 是第二象限角
(2) 若 $θ$ 是第二象限角，則 $sin (18 0^{\circ} + θ) > 0$
(3) $sin 23 0^{\circ} < cos 23 0^{\circ}$
(4) 若 $θ$ 是第四象限角，則點 $(sin θ, cos θ)$ 在第四象限上
(5) 將平面上一點 $P (2 sin 2 0^{\circ}, 2 cos 2 0^{\circ})$ 以原點為中心，逆時針旋轉 $9 0^{\circ}$ ，可得點 $Q (2 cos 16 0^{\circ}, 2 sin 16 0^{\circ})$

設

△ A B C

中，

a

、

b

、

c

分別表示

\overline{B C}

、

\overline{A C}

、

\overline{A B}

之長，請選出正確的選項。

(1) $\overline{A B}$ 邊上的高可以 $b sin A$ 表示
(2) $\overline{A C}$ 在 $\overline{A B}$ 邊上的垂直投影長度可以 $∣ b cos A ∣$ 表示
(3) 若 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4$ ，則 $a : b : c = 2 : 3 : 4$
(4) 若 $sin^{2} A + sin^{2} B > sin^{2} C$ ，則 $△ A B C$ 為銳角三角形
(5) 若 $(a + b + c) (b + c - a) = b c$ ，則 $cos A = - \frac{1}{2}$

在某個假日，洛伊德．佛傑為了執行間諜任務，帶著他的超能力女兒安妮亞前往東國遊樂園搭乘摩天輪。經洛伊德．佛傑的調查後，此摩天輪的直徑為

80

公尺，設立在

30

公尺的基座上，即摩天輪垂直於地面且最低點離地面是

30

公尺。若摩天輪每隔

80

分鐘轉一圈，安妮亞從最低點坐上摩天輪的車廂，並且開始計時與轉動，安妮亞的車廂所在的高度為

y

公尺。每隔

20

分鐘，測量車廂的高度，得到下表：

轉動時間 x （分鐘） 車廂高度為 y （公尺） 03020704011060708030

現在以函數

y = a sin (b x + h) + k

（其中

a > 0

、

b > 0

、

k > 0

、

- π < h < π

）來描述車廂所在的高度。請選出正確的選項。

(1) 此函數的週期為 $80$ （分鐘）
(2) $a = 80$
(3) $b = 40$
(4) $h = - \frac{π}{6}$
(5) $k = 70$

載入中...

設

f (x) = 2^{x}

，

g (x) = lo g_{2} x

，請選出正確的選項。

(1) $f (x)$ 的圖形與 $g (x)$ 的圖形對稱於直線 $x + y = 0$
(2) 若在 $g (x)$ 的圖形上任取相異兩點 $A$ 、 $B$ ，則直線 $A B$ 的斜率一定是正的
(3) 若數列 $⟨ a_{n} ⟩$ 為等差數列，則數列 $⟨ g (a_{n})⟩$ 亦為等差數列
(4) $f (x)$ 的圖形可以經由水平伸縮得到 $y = 1 0^{x}$ 的圖形
(5) 若點 $(a, b + 1)$ 在 $f (x)$ 的圖形上，則點 $(b + 1, - a)$ 亦在 $g (x)$ 的圖形上

三、選填題：1. 第 A 至 J 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8－29）。2. 每題完全答對給 6 分，共 60 分。答錯不倒扣，未完全答對不給分。

若

x

、

y

為兩正實數，且滿足

x^{- \frac{1}{4}} y^{3} = 1

與

3 lo g_{2} y = 1

，則

x - y^{3} =

____。

已知

θ

為第三象限角，若

\frac{3}{2} cos θ = 3 sin θ - 1

，則

sin θ =

____。（化為最簡分數）

△ A B C

的重心為

G

，若

\overline{G A} = 7

、

\overline{GB} = 5

、

\overline{GC} = 6

，則邊長

\overline{B C}

之值為 ____。

若在坐標平面上有一個三角形面積為

8

，且其三頂點坐標分別為

(4, 0)

、

(- 4, 0)

、

(4 cos θ, 4 sin θ)

，則滿足條件的三角形有 ____ 個。

如圖（示意圖），已知

△ A B C

三邊長分別為

\overline{A B} = 5

、

\overline{B C} = 61

、

\overline{A C} = 4

，以

\overline{A B}

為一邊向外做正三角形

A B E

，再以

\overline{A C}

為一邊向外做正三角形

A C D

，連

\overline{D E}

，則三角形

A D E

的面積為 ____。（化為最簡根式）

載入中...

約兒．佛傑為了弟弟尤利將來的結婚基金，她從辛苦賺到的薪水中，存了

20

萬元到銀行裡。若年利率為

3%

，以複利計算，則 ____ 年後，本利和可達到

40

萬元。（四捨五入取到整數年，已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 1.03 \approx 0.0128

）

在常用對數函數

f (x) = lo g x

的圖形上有兩點

A (a, r)

、

B (b, s)

，若直線

A B

的斜率為

\frac{1}{5}

，且

b - a = 10

，則

a =

____。（化為最簡分數）

聲音的大小取決於聲波通過介質時，所產生的壓力變化（簡稱為聲壓，單位為

N / m^{2}

）。聲音大小的單位以分貝表示，已知聲壓

x

（

N / m^{2}

）與聲音大小

y

（分貝）的關係式為

y = 10 lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2}

，某牌子的吹風機所發出的聲響大約介於

80 \sim 100

分貝，則此吹風機的聲壓大約介於

0.

____

N / m^{2} \sim

____

N / m^{2}

。

安妮亞不小心將爸爸洛伊德．佛傑間諜公事包裡的放射性武器的按鈕開關按下，造成東國某地毀滅性的破壞。若此武器內的放射性物質每

10

年會衰變為原來量的

80%

，而被破壞的所在地要能正常生活的條件為此武器內的放射性物質的含量必須在目前含量的

\frac{1}{10}

以下，則至少要經過 ____ 年，當地才可以正常生活。（計算至整數位數，已知

lo g 2 \approx 0.3010

）

兩函數

y = sin x

與

y = sin 2 x

的圖形，在

0 \leq x \leq 2 π

的範圍內有 ____ 個交點。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(2)

第 2 題(3)

第 3 題(1)

第 4 題(3)(5)

第 5 題(1)(2)(3)(5)

第 6 題(1)(5)

第 7 題(2)(4)

第 8 題

14

第 9 題

- \frac{1}{3}

第 10 題

73

第 11 題

4

第 12 題

53

第 13 題

24

第 14 題

\frac{10}{99}

第 15 題

0.2 N / m^{2} \sim 2 N / m^{2}

第 16 題

104

第 17 題

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選 1～3：三角比求值、呼吸的週期、科學記號

第 1 題

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

。

24 0^{\circ}

在第三象限，參考角

6 0^{\circ}

，

cos 24 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。

31 5^{\circ}

在第四象限，參考角

4 5^{\circ}

，

tan 31 5^{\circ} = - tan 4 5^{\circ} = - 1

。所以原式

= 3 \cdot \frac{3}{2} - 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + (- 1) = \frac{3}{2} + 1 - 1 = \frac{3}{2}

，選 (2)。

第 2 題

y = \frac{7}{4} sin \frac{π x}{2}

的週期是

\frac{2 π}{\frac{π}{2}} = 4

秒，最大值是

\frac{7}{4}

。一個週期內，

0 < x < 2

時

y > 0

（吸氣），

2 < x < 4

時

y < 0

（吐氣）。(1)

x = π \approx 3.14

落在

2 < x < 4

，這時

y < 0

，是吐氣，錯。(2) 一個完整循環是

4

秒，不是

4 π

秒，錯。(3) 每分鐘

\frac{60}{4} = 15

次，正確。(4) 最大值是

\frac{7}{4}

，不是

\frac{4}{7}

，錯。(5) 前面有錯的選項，錯。選 (3)。

sin (b x)

的週期是

\frac{2 π}{b}

；這裡

b = \frac{π}{2}

，

π

剛好約掉，週期是整數

4

。

第 3 題取常用對數：

lo g (\frac{1}{7})^{300} = - 300 lo g 7 \approx - 300 \times 0.8451 = - 253.53

。把它寫成「整數＋介於

0

與

1

之間的數」：

- 253.53 = - 254 + 0.47

。所以

(\frac{1}{7})^{300} = 1 0^{0.47} \times 1 0^{- 254}

，其中

1 \leq 1 0^{0.47} < 10

，因此

n = - 254

，選 (1)。

不可以直接取

- 253

：

- 253.53 = - 253 - 0.53

，而

1 0^{- 0.53}

小於

1

，不合

1 \leq a < 10

。

對數值是負的時候，要拆成一個整數加上 0 到 1 之間的小數，那個整數才是科學記號的指數。

02多選 4～5：廣義角與三角形的邊角關係

第 4 題(1)

- 46 0^{\circ} + 72 0^{\circ} = 26 0^{\circ}

，在第三象限，錯。(2)

sin (18 0^{\circ} + θ) = - sin θ

；

θ

在第二象限時

sin θ > 0

，所以

sin (18 0^{\circ} + θ) < 0

，錯。(3)

sin 23 0^{\circ} = - sin 5 0^{\circ}

，

cos 23 0^{\circ} = - cos 5 0^{\circ}

。因為

sin 5 0^{\circ} > cos 5 0^{\circ}

（

cos 5 0^{\circ} = sin 4 0^{\circ}

），兩邊同乘

- 1

得

- sin 5 0^{\circ} < - cos 5 0^{\circ}

，即

sin 23 0^{\circ} < cos 23 0^{\circ}

，正確。(4)

θ

在第四象限時

sin θ < 0

、

cos θ > 0

，點

(sin θ, cos θ)

的

x

坐標為負、

y

坐標為正，在第二象限，錯。(5)

sin 2 0^{\circ} = cos 7 0^{\circ}

，

cos 2 0^{\circ} = sin 7 0^{\circ}

，所以

P = (2 cos 7 0^{\circ}, 2 sin 7 0^{\circ})

，就是離原點

2

、方向角

7 0^{\circ}

的點。逆時針旋轉

9 0^{\circ}

後方向角變成

16 0^{\circ}

，得

Q (2 cos 16 0^{\circ}, 2 sin 16 0^{\circ})

，正確。選 (3)(5)。

(5) 的

P

把

sin

寫在

x

坐標，方向角不是

2 0^{\circ}

，要先換成

(r cos α, r sin α)

的形式再看角度。

第 5 題(1) 從

C

向直線

A B

作高，高

= \overline{A C} sin A = b sin A

（

∠ A

是鈍角時，

sin A = sin (18 0^{\circ} - A)

，式子相同），正確。(2) 垂足到

A

的距離是

b cos A

（

∠ A

是銳角）或

b cos (18 0^{\circ} - A) = - b cos A

（

∠ A

是鈍角），

∠ A

是直角時為

0

，都可以寫成

∣ b cos A ∣

，正確。(3) 正弦定理

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

，所以

a : b : c = sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4

，正確。(4) 把

sin A = \frac{a}{2 R}

等代入，條件就是

a^{2} + b^{2} > c^{2}

，由餘弦定理只能得到

cos C > 0

，也就是

∠ C

是銳角，其他的角不一定。例如

a = 4

、

b = 2

、

c = 3

：

a^{2} + b^{2} = 20 > 9

，但

cos A = \frac{4 + 9 - 16}{2 \cdot 2 \cdot 3} = - \frac{1}{4} < 0

，

∠ A

是鈍角，錯。(5)

(a + b + c) (b + c - a) = (b + c)^{2} - a^{2} = b c

，展開得

b^{2} + c^{2} - a^{2} = - b c

，所以

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{- b c}{2 b c} = - \frac{1}{2}

，正確。選 (1)(2)(3)(5)。

看到正弦的比或正弦的平方，先用正弦定理換成邊，再用餘弦定理判斷角。

03多選 6、選填 J（本頁第 17 題）：正弦函數的圖形

第 6 題摩天輪每

80

分鐘轉一圈，高度每

80

分鐘重複一次，週期是

80

，(1) 正確。最高

110

、最低

30

，因為

a > 0

：

a = \frac{110 - 30}{2} = 40

，

k = \frac{110 + 30}{2} = 70

，所以 (2) 錯（

80

是直徑，振幅是半徑

40

）、(5) 正確。

b > 0

時週期

= \frac{2 π}{b} = 80

，

b = \frac{π}{40}

，(3) 錯。

x = 0

時

y = 30

：

40 sin h + 70 = 30

，

sin h = - 1

，在

- π < h < π

內只有

h = - \frac{π}{2}

，(4) 錯。選 (1)(5)。

驗算：

y = 40 sin (\frac{π}{40} x - \frac{π}{2}) + 70

，

x = 20

時

sin 0 = 0

，

y = 70

；

x = 40

時

sin \frac{π}{2} = 1

，

y = 110

，與表相符。

第 17 題交點的

x

坐標滿足

sin x = sin 2 x

。兩個角的正弦值相等，只有兩種情形：兩角是同界角，或兩角相加是

π

的同界角。（一）

2 x = x + 2 k π

（

k

為整數），得

x = 2 k π

，在

0 \leq x \leq 2 π

內是

x = 0, 2 π

。（二）

2 x = π - x + 2 k π

，得

3 x = π + 2 k π

，

x = \frac{π}{3} + \frac{2 k π}{3}

，在範圍內是

x = \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}

。五個

x

都不相同，共

5

個交點。

也可以畫圖數：

y = sin 2 x

是把

y = sin x

的圖形水平壓成一半，在

0 \leq x \leq 2 π

有兩個完整的波，和

y = sin x

在兩端與

x = π

各交一點，另外在

0 < x < π

與

π < x < 2 π

各再交一點。端點

x = 0

與

x = 2 π

都在範圍內，要算進去。

振幅是最高減最低的一半，上下平移是最高加最低的一半，週期由轉一圈的時間決定。

04多選 7、選填 A、G（本頁第 8、14 題）：指數與對數

第 7 題(1)

y = 2^{x}

與

y = lo g_{2} x

互為反函數，圖形對稱於直線

x - y = 0

（即

y = x

），不是

x + y = 0

。例如

(0, 1)

在

f

的圖形上，它對

x + y = 0

的對稱點是

(- 1, 0)

，而

g (x)

在

x = - 1

沒有定義，錯。(2) 底數

2 > 1

，

g (x) = lo g_{2} x

是遞增函數：

x_{1} < x_{2}

時

g (x_{1}) < g (x_{2})

，所以斜率

\frac{g ( x _{2} ) - g ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}} > 0

，正確。(3) 取

a_{n} = n

（等差）：

g (a_{1}) = 0

，

g (a_{2}) = 1

，

g (a_{3}) = lo g_{2} 3

，

1 - 0 \neq = lo g_{2} 3 - 1

（因為

lo g_{2} 3 \neq = 2

），不是等差，錯。(4)

10 = 2^{l o g_{2} 10}

，所以

1 0^{x} = 2^{(l o g_{2} 10) x} = f ((lo g_{2} 10) x)

，把

f (x)

的圖形以

y

軸為準，水平方向伸縮為

\frac{1}{lo g _{2} 10}

倍（即

lo g 2

倍）就得到

y = 1 0^{x}

，正確。(5)

(a, b + 1)

在

f

的圖形上，即

b + 1 = 2^{a}

，所以

lo g_{2} (b + 1) = a

，在

g

的圖形上的是

(b + 1, a)

。

(b + 1, - a)

要在圖形上必須

- a = a

，只有

a = 0

才行。例如

(1, 2)

在

f

上，但

g (2) = 1 \neq = - 1

，錯。選 (2)(4)。

(3) 若改成「

⟨ a_{n} ⟩

是各項為正的等比數列」，取對數後才會是等差數列。

第 8 題由

3 lo g_{2} y = 1

得

lo g_{2} y^{3} = 1

，所以

y^{3} = 2

。代入第一式：

x^{- \frac{1}{4}} \cdot 2 = 1

，

x^{- \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

，

x^{\frac{1}{4}} = 2

，

x = 2^{4} = 16

。所以

x - y^{3} = 16 - 2 = 14

。

代回驗算：

x = 16

時

x^{- \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}

，

\frac{1}{2} \cdot y^{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

，符合第一式。

第 14 題

A

、

B

在

y = lo g x

的圖形上，所以

r = lo g a

、

s = lo g b

。斜率

= \frac{s - r}{b - a} = \frac{lo g b - lo g a}{10} = \frac{1}{5}

，得

lo g b - lo g a = 2

，

lo g \frac{b}{a} = 2

，

\frac{b}{a} = 100

，

b = 100 a

。代入

b - a = 10

：

99 a = 10

，

a = \frac{10}{99}

。

驗算：

b = \frac{1000}{99}

，

b - a = \frac{990}{99} = 10

，且

a > 0

，真數合理。

點在函數圖形上，就把坐標代進函數式；對數相減等於真數相除的對數。

05選填 B～E（本頁第 9～12 題）：三角比與三角形

第 9 題由條件得

cos θ = \frac{2}{3} (3 sin θ - 1)

。代入

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

：

sin^{2} θ + \frac{2}{9} (3 sin θ - 1)^{2} = 1

。兩邊乘以

9

：

9 sin^{2} θ + 2 (9 sin^{2} θ - 6 sin θ + 1) = 9

，整理得

27 sin^{2} θ - 12 sin θ - 7 = 0

，

(9 sin θ - 7) (3 sin θ + 1) = 0

，所以

sin θ = \frac{7}{9}

或

- \frac{1}{3}

。

θ

是第三象限角，

sin θ < 0

，取

sin θ = - \frac{1}{3}

。

檢查：

sin θ = - \frac{1}{3}

時

cos θ = \frac{2}{3} \cdot (- 2) = - \frac{2 2}{3} < 0

，確實在第三象限。

第 10 題設

M

是

\overline{B C}

的中點。重心

G

在中線

\overline{A M}

上，且

\overline{A G} : \overline{GM} = 2 : 1

，所以

\overline{GM} = \frac{7}{2}

。設

\overline{B M} = \overline{M C} = m

，

∠ GM B = ϕ

，則

∠ GM C = 18 0^{\circ} - ϕ

，

cos (18 0^{\circ} - ϕ) = - cos ϕ

。在

△ GM B

與

△ GM C

分別用餘弦定理：

5^{2} = (\frac{7}{2})^{2} + m^{2} - 7 m cos ϕ

，

6^{2} = (\frac{7}{2})^{2} + m^{2} + 7 m cos ϕ

。兩式相加：

61 = \frac{49}{2} + 2 m^{2}

，

m^{2} = \frac{73}{4}

，

m = \frac{73}{2}

。所以

\overline{B C} = 2 m = 73

。

兩式相加把

cos ϕ

消掉，這就是中線定理：

\overline{GB}^{2} + \overline{GC}^{2} = 2 (\overline{GM}^{2} + \overline{B M}^{2})

。

第 11 題

(4, 0)

與

(- 4, 0)

在

x

軸上，相距

8

，把它當底。第三個頂點

(4 cos θ, 4 sin θ)

在以原點為圓心、半徑

4

的圓上，它到

x

軸的距離是

∣4 sin θ ∣

，就是高。面積

= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot ∣4 sin θ ∣ = 16∣ sin θ ∣ = 8

，所以

sin θ = \frac{1}{2}

或

- \frac{1}{2}

，第三個頂點的

y

坐標是

2

或

- 2

。圓

x^{2} + y^{2} = 16

上

y = 2

的點有

(23, 2)

、

(- 23, 2)

，

y = - 2

的點有

(23, - 2)

、

(- 23, - 2)

，共

4

個點，所以滿足條件的三角形有

4

個。

不同的

θ

（例如

3 0^{\circ}

與

39 0^{\circ}

）給的是同一個點，要數的是三角形，不是

θ

。

第 12 題先求

∠ B A C

。餘弦定理：

cos ∠ B A C = \frac{5 ^{2} + 4 ^{2} - ( 61 ) ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{- 20}{40} = - \frac{1}{2}

，所以

∠ B A C = 12 0^{\circ}

。正三角形的每個內角是

6 0^{\circ}

，所以

∠ B A E = ∠ C A D = 6 0^{\circ}

。繞著

A

點一圈是

36 0^{\circ}

：

∠ D A E = 36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

。又

\overline{A D} = \overline{A C} = 4

，

\overline{A E} = \overline{A B} = 5

，所以

△ A D E

的面積

= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot sin 12 0^{\circ} = 10 \cdot \frac{3}{2} = 53

。

附圖照原卷的示意圖畫，角度與長度都沒有照實際比例，不能用量的。

三角形的面積等於兩邊相乘再乘以夾角的正弦的一半；先把夾角找出來。

06選填 F、H、I（本頁第 13、15、16 題）：指數與對數的應用

第 13 題

n

年後本利和是

20 \times (1.03)^{n}

萬元。令

20 \times (1.03)^{n} = 40

，得

(1.03)^{n} = 2

。取常用對數：

n lo g 1.03 = lo g 2

，

n = \frac{0.3010}{0.0128} \approx 23.5

，四捨五入取到整數是

24

年。

n

必須滿

24

年本利和才會超過

40

萬元（第

23

年還不到），所以不論用四捨五入或「至少要幾年」來想，答案都是

24

。

第 15 題

y = 10 lo g (\frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}})^{2} = 20 lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}}

。

80 \leq y \leq 100

即

4 \leq lo g \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} \leq 5

，所以

1 0^{4} \leq \frac{x}{2 \times 1 0 ^{- 5}} \leq 1 0^{5}

。各乘以

2 \times 1 0^{- 5}

：

2 \times 1 0^{- 1} \leq x \leq 2 \times 1 0^{0}

，即

0.2 \leq x \leq 2

。聲壓大約介於

0.2 N / m^{2}

到

2 N / m^{2}

。

卷面的平方印在括號外面，這裡讀成括號內的量先平方再取對數（聲音強度與聲壓的平方成正比）；這樣算出的

0.2

與

2

剛好是一位數，原卷答案格是

0. □

與

□

各一位數。

第 16 題每

10

年變成原來的

0.8

倍，經過

t

年後是原來的

(0.8)^{\frac{t}{10}}

倍。條件是

(0.8)^{\frac{t}{10}} \leq \frac{1}{10}

。取常用對數：

\frac{t}{10} lo g 0.8 \leq - 1

。

lo g 0.8 = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx 0.9030 - 1 = - 0.0970

。兩邊同除以負數

- 0.0970

，不等號要改方向：

\frac{t}{10} \geq \frac{1}{0.0970} \approx 10.309

，

t \geq 103.09 \dots

。

t

取整數，至少要經過

104

年。

103

年時還沒降到

\frac{1}{10}

以下，所以要無條件進位到

104

，不是四捨五入成

103

。

指數在未知數的位置時取對數；對數值是負的，同除時不等號要改方向。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

興大附中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 17 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

興大附中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 5 題的第 4 個選項：正弦平方的不等式換成邊之後只能說角 C 是銳角，不能說整個三角形是銳角三角形。多選第 7 題的第 5 個選項：指數函數圖形上的點把兩個坐標對調才會落在對數函數的圖形上，多一個負號就不對。選填 C（本頁第 10 題）：重心到頂點的距離要先換成中線的三分之一，再對中點兩側的兩個三角形用餘弦定理。選填 I（本頁第 16 題）：算出 103.09 之後要進位成 104 年。詳解逐題寫在本頁。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自興大附中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

興大附中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解