興大附中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

$\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{x}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{x}\right|\sin \theta$，是 $\overrightarrow{a}$ 與 $\overrightarrow{x}$ 所張平行四邊形的面積。五個選項都以 $\overrightarrow{a}$ 為底，底長相同，所以比的是另一個向量的終點到 $\overrightarrow{a}$ 所在直線的距離（平行四邊形的高）。

(1) $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$，大小是 $0$。

圖中 $\overrightarrow{a}$ 是水平的，高就是各向量終點離水平線的高度：$\overrightarrow{d}$ 的終點最高，$\overrightarrow{c}$ 次之，$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{e}$ 都很低。所以 $\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{d}\right|$ 最大，選 (4)。

答案 (1)(3)(4)(5)。先算 $\overrightarrow{AB}=(-2,3,0)$，$\overrightarrow{AC}=(-4,-6,4)$，$\overrightarrow{BC}=(-2,-9,4)$，

$$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(3\cdot 4-0\cdot (-6),0\cdot (-4)-(-2)\cdot 4,(-2)(-6)-3\cdot (-4))=(12,8,24)$$

其長度為 $\sqrt{144+64+576}=\sqrt{784}=28$。

正確。 (1) $△ABC$ 的面積 $=\frac{1}{2}\cdot 28=14$。

錯誤。 (2) 四面體 $OABC$ 的體積是 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ 所成三階行列式絕對值的 $\frac{1}{6}$：

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 3& 0\\ 0& 6& 0\\ -2& -3& 4\end{array}\right|=2\cdot (24-0)-3\cdot (0-0)+0=48$$

體積 $=\frac{48}{6}=8$，不是 $16$。

正確。 (3) 以 $\overline{BC}$ 為底，高就是 A 到直線 BC 的距離：$\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{4+81+16}=\sqrt{101}$，距離 $=\frac{2\times 14}{\sqrt{101}}=\frac{28\sqrt{101}}{101}$。

正確。 (4) 平面 ABC 的法向量取 $(12,8,24)$ 的 $\frac{1}{4}$，即 $(3,2,6)$；平面過 $A(2,3,0)$，方程式為 $3x+2y+6z=12$。O 到平面的距離 $=\frac{\left|0-12\right|}{\sqrt{9+4+36}}=\frac{12}{7}$。

正確。 (5) 原檔沒有印出是哪兩個向量。$\overrightarrow{AC}=-2(2,3,-2)$，而 $\left(\frac{10}{17},\frac{15}{17},\frac{-10}{17}\right)=\frac{5}{17}(2,3,-2)$ 與 $\overrightarrow{AC}$ 平行。$\overrightarrow{AB}$ 在 $\overrightarrow{AC}$ 上的正射影為

$$\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{{\left|\overrightarrow{AC}\right|}^2}\overrightarrow{AC}=\frac{8-18+0}{68}(-4,-6,4)=\left(\frac{10}{17},\frac{15}{17},\frac{-10}{17}\right)$$

與選項相符；學校答案也選了 (5)。

四面體 ABCD 的體積是 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$ 所張平行六面體體積的 $\frac{1}{6}$，而平行六面體體積 $=\left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}\right|$，所以

$$\left|\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}\right|=6\times 10=60$$

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ 在 $\overrightarrow{AD}$ 上的正射影為 $\frac{\left(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right)\cdot \overrightarrow{AD}}{{\left|\overrightarrow{AD}\right|}^2}\overrightarrow{AD}$，所以 $k=\frac{\pm 60}{16}$。又 $k>0$，故 $k=\frac{60}{16}=\frac{15}{4}$。

答案 (1)(2)(3)(4)。設 $(p,q,r)=a(1,1,1)+b(1,2,3)=(a+b,a+2b,a+3b)$。由前兩個分量解出 $b=q-p$，$a=2p-q$，再看第三個分量是否等於 $a+3b=2q-p$，也就是要 $p+r=2q$。

正確。 (1) $(0,0,0)$：$a=b=0$。

正確。 (2) $(3,4,5)$：$3+5=2\cdot 4$，$a=2$，$b=1$。

正確。 (3) $(-3,-6,-9)$：$-3-9=2\cdot (-6)$，$a=0$，$b=-3$。

正確。 (4) $(997,998,999)$：$997+999=2\cdot 998$，$a=996$，$b=1$。

錯誤。 (5) $(5,4,9)$：$5+9=14\ne 8$；前兩個分量給出 $a=6$，$b=-1$，第三分量會是 $6-3=3$，不是 $9$。

把 $\overrightarrow{CD}$ 寫成 $\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$：

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$$

由 ${\left|\overrightarrow{BD}\right|}^2={\left|\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right|}^2={\left|\overrightarrow{AD}\right|}^2-2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}+{\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2$，得 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=\frac{9+49-36}{2}=11$。

同理 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{9+16-25}{2}=0$。所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=11-0=11$，算式裡沒有用到 $\overline{CD}$ 的長。

令 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{v}$。由 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ 得

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$$

設 ${\left|\overrightarrow{u}\right|}^2=p$，${\left|\overrightarrow{v}\right|}^2=q$，$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=r$。

互相垂直：$(2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot (\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u})=-2p+r+q=0$。

等長：$4p+4r+q=p-2r+q$，即 $3p=-6r$，$r=-\frac{p}{2}$。代回得 $q=2p-r=\frac{5p}{2}$。

$$\cos \angle BAD=\frac{r}{\sqrt{pq}}=\frac{-\frac{p}{2}}{p\sqrt{\frac{5}{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{10}}$$

所以 ${\sin }^2\angle BAD=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$。

$L$ 的方向向量 $\overrightarrow{\ell }=(2,2,1)$。$M$ 的方向向量取 $\overrightarrow{AB}=(2,-1,-2)$，$\overrightarrow{\ell }\cdot \overrightarrow{AB}=4-2-2=0$，兩直線確實垂直。

把 $C(-1,0,2)$ 代入 $L$：$\frac{-1+5}{2}=\frac{0+4}{2}=\frac{2}{1}=2$，所以 $C$ 在 $L$ 上，$M$ 與 $L$ 交於 $C$。

對 $M$ 上任一點 $X$，$\overrightarrow{CX}$ 與 $L$ 垂直，所以 $X$ 到 $L$ 的距離就是 $\overline{CX}$：

$\overline{CA}=\left|(-4,2,4)\right|=6$，$\overline{CB}=\left|(-2,1,2)\right|=3$，$\overline{CC}=0$，$\overline{CD}=\left|(4,-2,-4)\right|=6$，$\overline{CE}=\left|(6,-3,-6)\right|=9$。

最遠的是 $E$，選 (5)。

$\overline{PA}$ 垂直矩形所在平面，所以 $\overline{PA}$ 垂直 $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、$\overline{AD}$，由畢氏定理：

$${\overline{PB}}^2={\overline{PA}}^2+{\overline{AB}}^2,{\overline{PD}}^2={\overline{PA}}^2+{\overline{AD}}^2,{\overline{PC}}^2={\overline{PA}}^2+{\overline{AC}}^2$$

矩形中 ${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2$，所以 ${\overline{PB}}^2+{\overline{PD}}^2={\overline{PC}}^2+{\overline{PA}}^2$：

$$40+45=49+{\overline{PA}}^2,{\overline{PA}}^2=36,\overline{PA}=6$$

液面是水平面，$A$ 在地面上，所以水位的高就是 $A$ 到平面 $PQR$ 的距離。

以 $G$ 為原點，沿 $\overrightarrow{GC}$、$\overrightarrow{GH}$、$\overrightarrow{GF}$ 三稜的方向建立坐標（三稜兩兩垂直）。則 $P(4,0,0)$，$R(0,2,0)$，$Q(0,0,2)$，與 $G$ 相對的頂點 $A$ 為 $(8,8,8)$。

平面 $PQR$ 的截距式為 $\frac{x}{4}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1$，即 $x+2y+2z=4$。

$A$ 到此平面的距離為

$$\frac{\left|8+16+16-4\right|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{36}{3}=12$$

所以液體水位的高為 $12$。

$T$ 是正立方體中心 $(2,2,2)$，$\overrightarrow{ST}=(-3,4,2)$。子彈路徑的參數式為

$$(x,y,z)=(5-3t,-2+4t,2t)$$

牆面 $ABFE$ 是 $y=0$ 的平面：$t=\frac{1}{2}$，$P\left(\frac{7}{2},0,1\right)$。牆面 $CDHG$ 是 $y=4$ 的平面：$t=\frac{3}{2}$，$Q\left(\frac{1}{2},4,3\right)$。兩點的 $x$、$z$ 坐標都在 $0$ 到 $4$ 之間，確實落在牆面上。

$\overrightarrow{PQ}=(-3,4,2)$，所以 $\overline{PQ}=\sqrt{9+16+4}=\sqrt{29}$。

答案 (1)(3)(5)。把每個矩陣看成三元一次方程組的增廣矩陣。列運算可以倒回去，不改變方程組的解。目標矩陣代表 $x+2y+3z=7$，$y+z=2$，$z=1$，恰有一組解 $(x,y,z)=(2,1,1)$。

正確。 (1) 第三列加上第二列的 $2$ 倍，得 $(0,0,1,1)$，直接成為目標矩陣。

錯誤。 (2) 最後一行全是 $0$，列運算後最後一行仍全是 $0$，化不出 $7$、$2$、$1$。（$(0,0,0)$ 是這個方程組的解，卻不滿足 $x+2y+3z=7$。）

正確。 (3) 第三列減第一列得 $(0,-3,-3,-6)$，除以 $-3$ 得 $(0,1,1,2)$；第二列減去它的 $2$ 倍得 $(0,0,1,1)$；第一列減去 $(0,1,1,2)$ 得 $(1,2,3,7)$。三列依序排好就是目標矩陣。

錯誤。 (4) 以第二列 $(1,2,4,8)$ 消去：第一列減它的 $2$ 倍得 $(0,-3,-5,-8)$，第三列加它的 $2$ 倍得 $(0,6,10,16)$，恰為前者的 $-2$ 倍，再消去就成為全 $0$ 的列。方程組只剩兩個有效方程式，解有無限多組，而目標矩陣的方程組只有一組解，所以化不成。

正確。 (5) 第三列減第一列得 $(0,-4,-2,-6)$，加上第二列的 $4$ 倍得 $(0,0,2,2)$，除以 $2$ 得 $(0,0,1,1)$；第一列減第二列得 $(1,2,1,5)$，再加上 $(0,0,1,1)$ 的 $2$ 倍得 $(1,2,3,7)$。成為目標矩陣。

二階方陣乘上常數 $k$，兩列都乘 $k$，行列式乘 $k^2$。

$\det (2A)=4\det A=8$，$\det A=2$；$\det (3B)=9\det B=27$，$\det B=3$。

所以 $\det (AB)=\det A\cdot \det B=2\times 3=6$。

取 $L$ 上兩點 $(1,1)$ 與 $(-1,-2)$（代入 $3x-2y$ 都等於 $1$）。經方陣變換：

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -8& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ a-8\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -8& a\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 8-2a\end{array}\right]$$

像所在直線的斜率為

$$\frac{(8-2a)-(a-8)}{-2-1}=\frac{16-3a}{-3}=2$$

所以 $16-3a=-6$，$a=\frac{22}{3}$。

設 B 果園的芒果占全部的 $x$，則 C 果園占 $0.7-x$。有損傷的比例：

$$0.3\times 0.05+0.03x+0.03(0.7-x)=0.015+0.021=0.036$$

其中 B 果園的部分是 $0.03x$，由題意 $\frac{0.03x}{0.036}=\frac{1}{3}$，$0.03x=0.012$，$x=0.4$。B 果園占 $40\%$，選 (5)。

第一天走甲。第二天：甲路線不遲到（機率 $\frac{3}{4}$）就仍走甲；遲到（機率 $\frac{1}{4}$）就換乙。

第三天走甲有兩種情形：

第二天走甲且第二天不遲到：$\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}$；

第二天走乙且第二天遲到（換回甲）：$\frac{1}{4}\times \frac{1}{8}=\frac{1}{32}$。

相加得 $\frac{9}{16}+\frac{1}{32}=\frac{19}{32}$。

甲、乙同色有兩種情形：

同為白：$\frac{3}{5}\times \frac{2}{4}=\frac{3}{10}$，剩下 $1$ 白 $2$ 黑，丙抽白的機率 $\frac{1}{3}$；

同為黑：$\frac{2}{5}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{10}$，剩下 $3$ 白 $0$ 黑，丙抽白的機率 $1$。

$$P(\text{甲乙同色})=\frac{3}{10}+\frac{1}{10}=\frac{2}{5},P(\text{甲乙同色且丙白})=\frac{3}{10}\times \frac{1}{3}+\frac{1}{10}\times 1=\frac{1}{5}$$

所求 $=\frac{1/5}{2/5}=\frac{1}{2}$。