興大附中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (4)。$f^{\prime }(x)=-4x^3+12x^2-12x+8$，

$$f^{\prime \prime }(x)=-12x^2+24x-12=-12(x-1{)}^2$$

除了 $x=1$ 一點等於 $0$ 以外，$f^{\prime \prime }(x)<0$，所以 $f(x)$ 的圖形在所有實數都凹向下。$f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=1$ 的左右兩側都是負的，沒有變號，所以 $x=1$ 不是反曲點。選 (4)。

答案 (3)。先確認 $P$ 在圖形上：$f(1)=(1-5+3{)}^{10}=(-1{)}^{10}=1$。由連鎖律，

$$f^{\prime }(x)=10{\left(x^2-5x+3\right)}^9(2x-5)$$

$f^{\prime }(1)=10\cdot (-1{)}^9\cdot (-3)=30$，切線為 $y-1=30(x-1)$，即 $30x-y=29$。

答案 (4)。$f^{\prime }(x)=3x^2+2kx+(k+6)$ 是開口向上的二次函數。$f(x)$ 恆為嚴格遞增，要 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 對所有實數 $x$ 成立，且只在個別點等於 $0$，所以判別式不大於 $0$：

$$(2k{)}^2-4\cdot 3\cdot (k+6)\le 0\Rightarrow k^2-3k-18\le 0\Rightarrow (k-6)(k+3)\le 0$$

得 $-3\le k\le 6$，整數 $k$ 有 $-3,-2,\dots ,6$ 共 $10$ 個。

答案 (2)。定積分 ${\int }_{-2}^{0}f(t)dt$ 是一個常數，令它為 $k$，則 $f(x)=4x^3+kx+5$。代回：

$$k={\int }_{-2}^0\left(4t^3+kt+5\right)dt=[t^4+\frac{k}{2}{t}^2+5t{]}_{-2}^0=0-(16+2k-10)=-6-2k$$

所以 $3k=-6$，$k=-2$，$f(x)=4x^3-2x+5$，$f(-1)=-4+2+5=3$。

答案 (4)。把方程式寫成 $x^3+3x^2-24x=-t$，令 $g(x)=x^3+3x^2-24x$，題目就是看水平線 $y=-t$ 與 $y=g(x)$ 的交點。

$g^{\prime }(x)=3x^2+6x-24=3(x+4)(x-2)$，$g$ 在 $(-\infty ,-4]$ 遞增、在 $[-4,2]$ 遞減、在 $[2,\infty )$ 遞增；極大值 $g(-4)=-64+48+96=80$，極小值 $g(2)=8+12-48=-28$，又 $g(0)=0$。

負根：在 $x<0$ 這一段，$g$ 從 $-\infty$ 升到 $80$ 再降到 $0$，所以水平線要與它交兩次，須 $0<-t<80$。此時在 $x>0$ 這一段，$g$ 從 $0$ 降到 $-28$ 再升到無限大，與 $y=-t$ 恰交一次，就是一正根。

所以 $0<-t<80$，即 $-80<t<0$。

答案 (2)(3)(5)。由圖：圖形左上、右下，$y$ 軸截距在 $x$ 軸下方；有一個極小值點在 $y$ 軸左側、一個極大值點在 $y$ 軸右側，且極大值點離 $y$ 軸較遠。

錯誤。 (1) $x\to \infty$ 時 $f(x)\to -\infty$，三次項係數 $a<0$。

設兩個極值點為 $x_1<0<x_2$，它們是 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c=0$ 的兩根，且 $x_1+x_2>0$。

正確。 (2) $x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}>0$，配合 $a<0$，得 $b>0$。

正確。 (3) $x_1{x}_2=\frac{c}{3a}<0$，配合 $a<0$，得 $c>0$。

錯誤。 (4) $d=f(0)$ 是 $y$ 軸截距，在 $x$ 軸下方，$d<0$。

正確。 (5) 圖形有極大值與極小值，$f^{\prime }(x)=0$ 有兩相異實根，判別式 $4b^2-12ac>0$，即 $b^2-3ac>0$。

答案 (1)(3)(5)。$f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)$。在 $[-1,3]$ 上：

$$\begin{array}{ccccc}x& [-1,0)& (0,1)& (1,2)& (2,3]\\ f^{\prime }(x)& -& +& -& +\\ f(x)& \searrow & \nearrow & \searrow & \nearrow \end{array}$$

正確。 (1) $f$ 在 $[-1,0]$ 遞減，$f(-1)=14$ 比 $-1$ 右側附近（區間內）的函數值都大，在閉區間 $[-1,3]$ 上 $x=-1$ 處有極大值。

錯誤。 (2) $f^{\prime }$ 在 $x=0$ 由負變正，$f(0)=5$ 是極小值。

正確。 (3) $f^{\prime }$ 在 $x=1$ 由正變負，$f(1)=6$ 是極大值。

錯誤。 (4) $f^{\prime }$ 在 $x=2$ 由負變正，$f(2)=5$ 是極小值。

正確。 (5) $f$ 在 $[2,3]$ 遞增，$f(3)=14$ 比 $3$ 左側附近（區間內）的函數值都大，$x=3$ 處有極大值。

答案 (4)。由圖，$y=f^{\prime }(x)$ 在 $-2<x<1$ 與 $x>3$ 時在 $x$ 軸上方，在 $x<-2$ 與 $1<x<3$ 時在 $x$ 軸下方；$B$ 是左邊的高點、$A$ 是右邊的低點，所以 $-2<\beta <1<\alpha <3$。可設 $f^{\prime }(x)=k(x+2)(x-1)(x-3)$，$k>0$。

錯誤。 (1) $x<-2$ 時 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 在那一段遞減，所以 $f(x)$ 在 $x\le \beta$ 不是遞增函數。

錯誤。 (2) $f^{\prime \prime }(x)$ 的正負就是 $f^{\prime }(x)$ 的增減：$f^{\prime }$ 在 $\beta$ 以左遞增，$f(x)$ 在 $x<\beta$ 凹向上。$f^{\prime }(x)=k\left(x^3-2x^2-5x+6\right)$，$f^{\prime \prime }(x)=k\left(3x^2-4x-5\right)$，$\beta =\frac{2-\sqrt{19}}{3}$；因為 $\sqrt{19}<5$，$\beta >-1$。$f^{\prime \prime }(-1)=k(3+4-5)=2k>0$，所以 $[-1,1]$ 裡靠近 $-1$ 的一段凹向上，整段不是凹向下。

錯誤。 (3) $A$、$B$ 是 $y=f^{\prime }(x)$ 圖形上的點。$f(x)$ 的反曲點是 $(\alpha ,f(\alpha ))$ 與 $(\beta ,f(\beta ))$，縱坐標是 $f$ 的值，不是 $f^{\prime }$ 的值。

正確。 (4) $f^{\prime }(x)$ 在 $x=3$ 由負變正，$f(x)$ 在 $x=3$ 有極小值。

錯誤。 (5) $\frac{1}{3}$ 在 $-2$ 與 $1$ 之間，$f^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)>0$；實際上 $f^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=k\cdot \frac{7}{3}\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(-\frac{8}{3}\right)=\frac{112}{27}k>0$，切線斜率為正。

令 $h(x)=2x^2-6x+3$，則 $f(x)\left(x^3+1\right)=h(x)$。兩邊用積的微分：

$$f^{\prime }(x)\left(x^3+1\right)+f(x)\cdot 3x^2=4x-6$$

$f(1)=\frac{2-6+3}{2}=-\frac{1}{2}$，代 $x=1$：$2f^{\prime }(1)-\frac{3}{2}=-2$，$f^{\prime }(1)=-\frac{1}{4}$。

分三塊算，每一塊都是面積。

${\int }_{-4}^4|x-2|dx$：$y=|x-2|$ 在 $[-4,4]$ 下方是兩個三角形，面積 $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=20$。

${\int }_{-4}^4|x+3|dx$：兩個三角形，面積 $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 7=25$。

${\int }_{-4}^4\sqrt{16-x^2}dx$：$y=\sqrt{16-x^2}$ 是半徑 $4$ 的上半圓，面積 $\frac{1}{2}\pi \cdot 4^2=8\pi$。

合計 $20+25+8\pi =45+8\pi$。

$y=x^2+2023$ 在 $[0,2]$ 遞增。每段寬 $\frac{2}{n}$，分點 $x_k=\frac{2k}{n}$；上和取右端點、下和取左端點：

$$U_n-L_n=\frac{2}{n}\sum _{k=1}^n[f(x_k)-f(x_{k-1})]=\frac{2}{n}[f(2)-f(0)]=\frac{2}{n}\cdot 4=\frac{8}{n}$$

$\frac{8}{n}<0.1$ 得 $n>80$，最小正整數 $n=81$。

交點：$x^3-2x^2-x=-2x^2+3x$，即 $x^3-4x=x(x+2)(x-2)=0$，$x=-2,0,2$。$f(x)-g(x)=x^3-4x$ 在 $[-2,0]$ 不小於 $0$、在 $[0,2]$ 不大於 $0$：

$${\int }_{-2}^0\left(x^3-4x\right)dx+{\int }_0^2\left(4x-x^3\right)dx=[\frac{x^4}{4}-2x^2{]}_{-2}^0+[2x^2-\frac{x^4}{4}{]}_0^2=4+4=8$$

設球心為 $O$。容器傾斜 $30^{\circ }$ 後，容器口所在的平面與水平面成 $30^{\circ }$，水會流到水面恰好通過容器口的最低點為止。取通過球心、沿傾斜方向的鉛直截面：截面是半圓，容器口是這個半圓的直徑，傾斜後直徑與水平線成 $30^{\circ }$。直徑的下端（容器口最低點）離球心 $6$，所以它比球心低 $6\sin 30^{\circ }=3$，水面就在球心下方 $3$ 公分處。容器口平面只在最低點碰到這個水面，水面以下的整塊球缺都還在容器裡。

取通過 $O$ 的鉛直線為 $x$ 軸，原點在 $O$、向下為正。球是半圓 $y=\sqrt{36-x^2}$ 繞 $x$ 軸旋轉而成，留在容器裡的水就是球在水面下方、$3\le x\le 6$ 的那一塊：

$$\pi {\int }_3^6\left(36-x^2\right)dx=\pi [36x-\frac{x^3}{3}{]}_3^6=\pi (144-99)=45\pi$$

半球體積 $\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3=144\pi$，流出 $144\pi -45\pi =99\pi$ 立方公分。

由圖，$y=\sqrt{x+1}$ 與 $y=2x-4$ 交於第一象限：$x+1=(2x-4{)}^2$，$4x^2-17x+15=0$，$(x-3)(4x-5)=0$；要 $2x-4\ge 0$，取 $x=3$，交點 $(3,2)$。直線交 $x$ 軸於 $(2,0)$。

區域 $R$ 在 $0\le x\le 3$：上界是 $y=\sqrt{x+1}$，下界在 $0\le x\le 2$ 是 $x$ 軸、在 $2\le x\le 3$ 是直線 $y=2x-4$。繞 $x$ 軸旋轉，等於整塊 $0\le x\le 3$ 曲線下方轉出的體積，扣掉 $2\le x\le 3$ 直線下方三角形轉出的圓錐：

$$\pi {\int }_0^3(x+1)dx-\pi {\int }_2^3(2x-4{)}^{2}dx=\frac{15}{2}\pi -\frac{4}{3}\pi =\frac{37}{6}\pi$$

所以空格填 $\frac{37}{6}$。

設圓柱底面半徑 $r$、高 $2h$，球心到底面的距離為 $h$，則 $r^2+h^2=15^2=225$，$0<h<15$。體積

$$V(h)=\pi r^2\cdot 2h=2\pi h\left(225-h^2\right)=2\pi \left(225h-h^3\right)$$

$V^{\prime }(h)=2\pi \left(225-3h^2\right)=0$ 得 $h=5\sqrt{3}$。$0<h<5\sqrt{3}$ 時 $V^{\prime }(h)>0$，$5\sqrt{3}<h<15$ 時 $V^{\prime }(h)<0$，所以 $h=5\sqrt{3}$ 時體積最大。此時 $r^2=225-75=150$，$r=5\sqrt{6}$ 公分。

卷面寫「求極限」，求的是 $n\to \infty$ 時的極限。分子、分母都是 $n$ 的 $9$ 次式。分子、分母同除以 $n^9$，分子寫成 $\frac{1^2+\cdots +n^2}{n^3}\cdot \frac{1^5+\cdots +n^5}{n^6}$，分母寫成 $\frac{1^3+\cdots +n^3}{n^4}\cdot \frac{1^4+\cdots +n^4}{n^5}$。每一個因式都是黎曼和：

$$\frac{1^p+2^p+\cdots +n^p}{n^{p+1}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^p\to {\int }_0^1{x}^{p}dx=\frac{1}{p+1}$$

所以極限為 $\frac{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{5}}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}$。