段考詳解範圍：數與式（實數與根式、絕對值、算幾不等式、指數、常用對數）

臺南二中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 111 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 111 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填空第 13 題要先由小數部分是 2 減根號 2 設出整數部分，平方後比較係數求出 k 是 38，再做一次有理數與無理數的比較；填空第 10 題先證明所求線段的平方等於兩段的乘積，再化簡雙重根號；填空第 15 題不必用對數律，把兩次地震的能量各自寫成 10 的次方再相除；多選第 4 題的 (A) 沒有解、(E) 的解是一整段，都要用距離或分段看清楚。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多選 4 題 20 分、填空 15 格 75 分、混合題 2 題 5 分。卷頭作答說明：答案務必化到最簡。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題（每題 5 分，共 20 分）【說明】每題至少有一個選項是正確的，每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未作答者不給分。只錯 1 個選項者得 3 分，錯兩個選項者得 1 分，錯 3 個或 3 個以上者不給分。

選出正確的選項。

(A) $3^{- \frac{1}{2}} = - \frac{1}{9}$
(B) $(5)^{\frac{1}{2}} = 45$
(C) $(2)^{2} = 2^{2}$
(D) $\frac{5 ^{- 2}}{5 ^{- 3}} = \frac{1}{5}$
(E) $1 0^{l o g 5} = lo g 1 0^{5}$

下列哪些選項中的數為有理數？

(A) $\frac{5}{17}$
(B) $1. \overline{68}$
(C) $7 + 43 - 7 - 43$
(D) $10 0^{l o g 10}$
(E) $(10)^{l o g 100}$

選出正確的選項。

(A) $7 > 2.6$
(B) $\frac{1}{6 + 5} > 11$
(C) $2^{0.3} + 2^{0.7} > 22$
(D) $1 0^{(\frac{1}{2} l o g 5)} < 2$
(E) $11 + 9 < 12 + 8$

下列哪些選項中的方程式，其解必為正數？

(A) $∣ x - 2∣ + ∣ x + 3∣ = 4$
(B) $∣ x - 2∣ + ∣ x + 3∣ = 5$
(C) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣ = 0$
(D) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣ = - 4$
(E) $∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣ = - 5$

二、填空題（每格 5 分，共 75 分）【說明】所有答案均需算出數值，並化為最簡分數或有理化。（本頁第 5～19 題為卷面填空題第 1～15 題）

將有理數

\frac{6}{13}

化為小數後，小數點後第

2022

位數字為 ____。

設

a > 0

，則

a + \frac{25}{a} - 7

的最小值為 ____。

化簡

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} \times (\frac{25}{16})^{0.5} \times (0.25)^{- 2} =

____。

計算

lo g 1000 + lo g 1 - lo g \frac{1}{100} + lo g 410000 =

____。

解方程式

∣2 x - 3∣ = - x + 6

。

設

x > 0

且

x - x^{- 1} = 6

，求

x + x^{2} + x^{- 1} - x^{- 2} =

____。

已知

a = lo g 3

，求

10 0^{- a} \times lo g (10 1 0^{7}) + 1 0^{2 a} \times lo g (0.0 1^{\frac{1}{4}}) =

____。

若

x^{2} - 4 x + 1 = 0

，則

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

之值

=

____。

已知

2 \approx 1 0^{0.3010}

，

7 \approx 1 0^{0.8451}

，問：

1 4^{300}

是 ____ 位數

如圖，平面上有共線三相異點

A

、

B

、

C

，其中

B

介於

A

、

C

之間，已知

\overline{A B} = 1. \overline{6}

，

\overline{B C} = 18 - 180

。以

\overline{A C}

為直徑作一半圓，過

B

作

\overline{A C}

垂直線交半圓於

D

，求

\overline{B D}

的長度為 ____。

載入中...

設

a

、

b

為實數，若不等式

∣2 x + a ∣ \leq b

的解為

- 8 \leq x \leq 2

，求數對

(a, b) =

____。

已知

2 \approx 1 0^{0.3010}

，若

n

為自然數，且

2^{n}

為

31

位數，符合上述條件的

n

值有三個，則這三個

n

值的總和

=

____。

設

k

為正整數，

x

、

y

為有理數，且滿足

x + y k - 288 = x 3 + 8 + 12

，其中

k - 288

的小數部分為

2 - 2

，則數對

(k, x, y) =

____。

某種病毒肆虐全臺，此病毒經過

t

周後全台受到感染的比率為

f (t) = \frac{1}{4 + a \times 6 ^{b t}} \times 100%

，已知一開始時（即

t = 0

）有

1%

的人受到感染，經過了兩周之後，共有

5%

的人受到感染，則數對

(a, b) =

____。

地震學家金森博雄教授在 1977 年制定了「地震矩規模（

M_{w}

）」，是一種用於記錄地震強度的標度（常用在規模較大的地震時），計算公式為

M_{w} = \frac{2}{3} lo g M_{0} - 10.73

，其中

M_{0}

稱為「地震矩」，表示地震所釋放的能量。已知某隕石撞擊地球時引發的地表毀滅級地震的地震矩規模約

10

級，而 1960 年發生在智利的超級強烈地震的地震矩規模為

9.5

級。試問：隕石撞擊所釋放的地震能量，是智利大地震釋放能量的 ____ 倍。

三、混合題（共 5 分）（本頁第 20、21 題為卷面混合題第 1、2 題；第 1 題為單選題 2 分，第 2 題為填空題 3 分）

設

x

、

y

為正整數且滿足

4^{x} \times 8^{y} = 4096

，則

x y

的最大值為（單選題，2 分）

(A) $12$
(B) $6$
(C) $212$
(D) $36$
(E) $64$

承上題，

x y

有最大值時，數對

(x, y) =

____。（填空題，3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(E)

第 2 題(A)(B)(D)(E)

第 3 題(A)(C)

第 4 題(D)(E)

第 5 題

8

第 6 題

3

第 7 題

45

第 8 題

6

第 9 題

x = 3

或

x = - 3

第 10 題

1410

第 11 題

- 4

第 12 題

52

第 13 題

344

第 14 題

5 - 5

第 15 題

(6, 10)

第 16 題

303

第 17 題

(38, - 2, 2)

第 18 題

(96, - \frac{1}{2})

第 19 題

1 0^{\frac{3}{4}}

第 20 題(B)

第 21 題

(3, 2)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題 1～2：指數律與 log 的意義、有理數與無理數

第 1 題答案 (B)(E)。(A) 錯：

3^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{3 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

，是正數，不會是

- \frac{1}{9}

。(B) 對：

5 = 5^{\frac{1}{2}}

，所以

(5)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{4}} = 45

。(C) 錯：左邊

(2)^{2} = 2 = 2^{1}

；右邊的指數

2 > 1

，所以

2^{2} > 2

，兩邊不相等。(D) 錯：同底相除指數相減，

\frac{5 ^{- 2}}{5 ^{- 3}} = 5^{- 2 - (- 3)} = 5^{1} = 5

。(E) 對：

lo g 5

是「

10

的幾次方等於

5

」的那個數，所以

1 0^{l o g 5} = 5

；

lo g 1 0^{5}

是「

10

的幾次方等於

1 0^{5}

」，也是

5

。

負指數是取倒數，不會讓數變成負的；

10

的任何次方都是正數。

第 2 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) 是：

\frac{5}{17}

是兩個整數的比。(B) 是：循環小數都是有理數，

1. \overline{68} = 1 + \frac{68}{99} = \frac{167}{99}

。(C) 不是：

7 \pm 43 = 7 \pm 212

，找兩數和

7

、積

12

：

4

和

3

，所以

7 + 43 = 2 + 3

，

7 - 43 = 2 - 3

，相減得

23

，是無理數。(D) 是：

10 = 1 0^{\frac{1}{2}}

，所以

lo g 10 = \frac{1}{2}

，

10 0^{\frac{1}{2}} = 10

。(E) 是：

lo g 100 = 2

，

(10)^{2} = 10

。

2

相減消掉，留下的是

23

。

02多選題 3～4：比大小、絕對值方程式

第 3 題答案 (A)(C)。(A) 對：兩邊都是正數，比平方：

7 > 2. 6^{2} = 6.76

。(B) 錯：有理化，

\frac{1}{6 + 5} = \frac{6 - 5}{6 - 5} = 6 - 5

，它比

1

小（約

0.21

），而

11 > 3

。(C) 對：

2^{0.3}

、

2^{0.7}

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 ^{0.3} + 2 ^{0.7}}{2} \geq 2^{0.3} \times 2^{0.7} = 2^{1} = 2

，等號只在兩數相等時成立；

2^{0.3} \neq = 2^{0.7}

，所以

2^{0.3} + 2^{0.7} > 22

。(D) 錯：

1 0^{\frac{1}{2} l o g 5} = (1 0^{l o g 5})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} = 5 \approx 2.236 > 2

。(E) 錯：兩邊都是正數，比平方：左邊

11 + 9 + 299 = 20 + 299

，右邊

12 + 8 + 296 = 20 + 296

，

99 > 96

，所以左邊比較大。

2^{0.3}

、

2^{0.7}

的近似值，關鍵是兩個指數相加等於

1

。

第 4 題答案 (D)(E)。

∣ x - 2∣

是數線上

x

到

2

的距離，

∣ x + 3∣

是

x

到

- 3

的距離，

2

與

- 3

相距

5

。(A) 不選：到兩點的距離和最小是

5

（

x

在兩點之間時），不可能等於

4

，方程式沒有解。(B) 不選：距離和等於

5

的

x

是

- 3 \leq x \leq 2

的每一個數，裡面有負數和

0

。(C) 不選：到兩點等距離，

x

是中點

\frac{2 + ( - 3 )}{2} = - \frac{1}{2}

，是負數。(D)、(E) 分三段看

∣ x - 2∣ - ∣ x + 3∣

：

x \geq 2

時是

(x - 2) - (x + 3) = - 5

；

x \leq - 3

時是

(2 - x) + (x + 3) = 5

；

- 3 < x < 2

時是

(2 - x) - (x + 3) = - 1 - 2 x

，值介於

- 5

與

5

之間。(D) 選：只有中間那段可能等於

- 4

，

- 1 - 2 x = - 4

得

x = \frac{3}{2}

，是正數。(E) 選：等於

- 5

的

x

是

x \geq 2

的每一個數，全部是正數。

(A) 沒有解，也就沒有「解為正數」可說，學校公布的答案不含 (A)。(E) 的解不只一個，是一整段

x \geq 2

。

∣ x - a ∣

看成

x

到

a

的距離：到兩點的距離和至少是兩點的間距，距離差介於正負間距之間。

03填空 1～4（第 5～8 題）：循環小數、算幾不等式、指數律、log 的意義

第 5 題直式除法：

6 \div 13 = 0.461538 461538 \dots

，餘數依序是

8

、

2

、

7

、

5

、

11

、

6

，第六次餘數回到

6

，所以循環節是

461538

，共

6

位。

2022 = 6 \times 337

，剛好整除，第

2022

位是循環節的最後一位，也就是

8

。

整除時對應的是循環節的最後一位，不是第一位。

第 6 題

a > 0

，所以

a

和

\frac{25}{a}

都是正數。由算幾不等式

\frac{a + \frac{25}{a}}{2} \geq a \times \frac{25}{a} = 5

，即

a + \frac{25}{a} \geq 10

，所以

a + \frac{25}{a} - 7 \geq 3

。等號在

a = \frac{25}{a}

，即

a = 5

時成立，最小值是

3

。

兩項相乘剛好是定值

25

，才能直接用算幾不等式；最後記得減

7

。

第 7 題逐項化簡。

\frac{27}{8} = (\frac{3}{2})^{3}

，所以

(\frac{27}{8})^{\frac{2}{3}} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}

。

(\frac{25}{16})^{0.5} = \frac{25}{16} = \frac{5}{4}

。

0.25 = \frac{1}{4}

，

(0.25)^{- 2} = 4^{2} = 16

。相乘：

\frac{9}{4} \times \frac{5}{4} \times 16 = 45

。

0.5

次方就是開平方；負指數先把底數取倒數。

第 8 題

lo g A

是「

10

的幾次方等於

A

」。

1000 = 1 0^{3}

，

lo g 1000 = 3

；

1 = 1 0^{0}

，

lo g 1 = 0

；

\frac{1}{100} = 1 0^{- 2}

，

lo g \frac{1}{100} = - 2

；

410000 = (1 0^{4})^{\frac{1}{4}} = 10

，

lo g 410000 = 1

。所求

= 3 + 0 - (- 2) + 1 = 6

。

第三項前面是減號，減去

- 2

等於加

2

。

04填空 5～8（第 9～12 題）：絕對值方程式、乘法公式、log 與指數律

第 9 題分兩段去絕對值。①

x \geq \frac{3}{2}

：

2 x - 3 = - x + 6

，

3 x = 9

，

x = 3

，在這一段內，合。②

x < \frac{3}{2}

：

- (2 x - 3) = - x + 6

，

- 2 x + 3 = - x + 6

，

x = - 3

，在這一段內，合。所以

x = 3

或

x = - 3

。

檢查：

x = 3

時兩邊都是

3

；

x = - 3

時兩邊都是

9

。右邊

- x + 6

要不是負的，兩個解都符合。

第 10 題把所求分成兩組：

x + x^{2} + x^{- 1} - x^{- 2} = (x + x^{- 1}) + (x^{2} - x^{- 2})

。設

s = x + x^{- 1}

，因為

x > 0

，所以

s > 0

。

s^{2} = x^{2} + 2 + x^{- 2} = (x - x^{- 1})^{2} + 4 = 36 + 4 = 40

，

s = 40 = 210

。再由平方差

x^{2} - x^{- 2} = (x + x^{- 1}) (x - x^{- 1}) = 6 s

。所求

= s + 6 s = 7 s = 1410

。

(x + x^{- 1})^{2}

與

(x - x^{- 1})^{2}

相差

4

，因為

x \cdot x^{- 1} = 1

。最後一項是減號，要用平方差，不是平方和。

第 11 題

a = lo g 3

表示

1 0^{a} = 3

。

10 0^{- a} = (1 0^{a})^{- 2} = 3^{- 2} = \frac{1}{9}

；

1 0^{2 a} = (1 0^{a})^{2} = 9

。

10 1 0^{7} = 1 0^{1} \times 1 0^{\frac{7}{2}} = 1 0^{\frac{9}{2}}

，所以

lo g (10 1 0^{7}) = \frac{9}{2}

。

0.0 1^{\frac{1}{4}} = (1 0^{- 2})^{\frac{1}{4}} = 1 0^{- \frac{1}{2}}

，所以

lo g (0.0 1^{\frac{1}{4}}) = - \frac{1}{2}

。所求

= \frac{1}{9} \times \frac{9}{2} + 9 \times (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} = - 4

。

看到

a = lo g 3

先翻成

1 0^{a} = 3

，再把

10 0^{- a}

、

1 0^{2 a}

都改寫成

1 0^{a}

的次方。

第 12 題

x = 0

代入

x^{2} - 4 x + 1 = 0

得

1 = 0

，不成立，所以

x \neq = 0

。等式兩邊同除以

x

：

x - 4 + \frac{1}{x} = 0

，即

x + \frac{1}{x} = 4

。

(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})

，所以

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 4^{3} - 3 \times 4 = 64 - 12 = 52

。

不必解出

x

；和的立方展開後，中間兩項合起來是

3 (x + \frac{1}{x})

。

看到

x

與

\frac{1}{x}

成對出現，先求

x + \frac{1}{x}

或

x - \frac{1}{x}

，再用平方、立方公式往上推。

05填空 9～12（第 13～16 題）：位數、半圓上的垂線、絕對值不等式

第 13 題

14 = 2 \times 7 \approx 1 0^{0.3010} \times 1 0^{0.8451} = 1 0^{1.1461}

，所以

1 4^{300} \approx (1 0^{1.1461})^{300} = 1 0^{343.83}

。它介於

1 0^{343}

和

1 0^{344}

之間，而

1 0^{343}

是

344

位數（

1

後面

343

個

0

），所以

1 4^{300}

是

344

位數。

1 0^{n} \leq N < 1 0^{n + 1}

時

N

是

n + 1

位數，指數的整數部分

343

要加

1

。

第 14 題

1. \overline{6} = 1 + \frac{6}{9} = \frac{5}{3}

，

180 = 65

，所以

\overline{A B} = \frac{5}{3}

，

\overline{B C} = 18 - 65

。設半圓的圓心為

M

（

\overline{A C}

的中點）、半徑為

r

，則

\overline{A C} = 2 r

，

\overline{M D} = r

，

\overline{M B}

是

r

與

\overline{A B}

的差。

\overline{B D} ⊥ \overline{A C}

，由畢氏定理

\overline{B D}^{2} = r^{2} - (r - \overline{A B})^{2} = \overline{A B} (2 r - \overline{A B}) = \overline{A B} \times \overline{B C}

。所以

\overline{B D}^{2} = \frac{5}{3} (18 - 65) = 30 - 105 = 30 - 2125

。找兩數和

30

、積

125

：

25

和

5

，所以

\overline{B D} = 25 - 5 = 5 - 5

。

105

要先寫成

2125

才能套雙重根號的化簡。附圖是示意圖，線段不照實際比例。

第 15 題解要是一段區間，

b

必須不是負的。

∣2 x + a ∣ \leq b

即

- b \leq 2 x + a \leq b

，

\frac{- b - a}{2} \leq x \leq \frac{b - a}{2}

。和

- 8 \leq x \leq 2

比較：

\frac{- b - a}{2} = - 8

且

\frac{b - a}{2} = 2

，即

a + b = 16

、

b - a = 4

。兩式相加得

b = 10

，所以

a = 6

，

(a, b) = (6, 10)

。

檢查：

∣2 x + 6∣ \leq 10

即

∣ x + 3∣ \leq 5

，中心

- 3

、半徑

5

，正是

- 8 \leq x \leq 2

。

第 16 題

31

位數表示

1 0^{30} \leq 2^{n} < 1 0^{31}

。

2^{n} \approx (1 0^{0.3010})^{n} = 1 0^{0.3010 n}

，所以

30 \leq 0.3010 n < 31

，

99.67 \leq n < 102.99

（

30 \div 0.3010 \approx 99.67

，

31 \div 0.3010 \approx 102.99

）。自然數

n = 100

、

101

、

102

，總和是

303

。

檢查兩端：

0.3010 \times 99 = 29.799

（

30

位數），

0.3010 \times 103 = 31.003

（

32

位數），都不合。

位數問題：把數寫成

10

的次方，指數的整數部分加

1

就是位數。

06填空 13～15（第 17～19 題）：雙重根號與比較係數、指數模型、地震矩規模

第 17 題先求

k

。設

k - 288

的整數部分是

m

（

m

是不為負的整數），則

k - 288 = m + 2 - 2

。

288 = 122

，兩邊平方：

k - 122 = (m + 2)^{2} + 2 - 2 (m + 2) 2

。

k

、

m

都是整數，比較

2

的係數：

2 (m + 2) = 12

，

m = 4

；比較有理數部分：

k = 6^{2} + 2 = 38

。此時

38 - 122 = 6 - 2 \approx 4.586

，小數部分確實是

2 - 2

。再求

x

、

y

。

3 + 8 = 3 + 22

，找兩數和

3

、積

2

：

2

和

1

，所以

3 + 8 = 2 + 1

。原式變成

x + y (6 - 2) = x (2 + 1) + 12

，整理成

(x + 6 y) - y 2 = (x + 12) + x 2

。

x

、

y

是有理數，比較兩邊：

x + 6 y = x + 12

得

y = 2

；

- y = x

得

x = - 2

。所以

(k, x, y) = (38, - 2, 2)

。

也可以從雙重根號下手：

k - 288 = k - 272

，兩數積

72

的組合裡只有

36

和

2

給出

6 - 2

，小數部分才是

2 - 2

，和

k = 36 + 2 = 38

。

第 18 題

t = 0

時

6^{0} = 1

，

f (0) = \frac{1}{4 + a} \times 100% = 1%

，所以

\frac{1}{4 + a} = \frac{1}{100}

，

a = 96

。

t = 2

時

f (2) = \frac{1}{4 + 96 \times 6 ^{2 b}} \times 100% = 5%

，所以

\frac{1}{4 + 96 \times 6 ^{2 b}} = \frac{1}{20}

，

4 + 96 \times 6^{2 b} = 20

，

6^{2 b} = \frac{16}{96} = \frac{1}{6} = 6^{- 1}

。因此

2 b = - 1

，

b = - \frac{1}{2}

，

(a, b) = (96, - \frac{1}{2})

。

1%

是

\frac{1}{100}

、

5%

是

\frac{1}{20}

，先把百分率換成分數再比較分母。

第 19 題把公式改寫成

lo g M_{0} = \frac{3}{2} (M_{w} + 10.73)

。隕石撞擊：

lo g M_{1} = \frac{3}{2} \times (10 + 10.73) = 31.095

，所以

M_{1} = 1 0^{31.095}

。智利大地震：

lo g M_{2} = \frac{3}{2} \times (9.5 + 10.73) = 30.345

，所以

M_{2} = 1 0^{30.345}

。倍數是兩者相除：

\frac{M _{1}}{M _{2}} = 1 0^{31.095 - 30.345} = 1 0^{0.75} = 1 0^{\frac{3}{4}}

。

規模相差

0.5

，

lo g M_{0}

相差

0.5 \times \frac{3}{2} = 0.75

，常數

10.73

在相除時消掉。

1 0^{\frac{3}{4}} = 41000

，約

5.6

倍。

有理數與無理數的比較係數：兩邊整理成「有理數＋有理數乘

2

」，有理數部分與

2

的係數分別相等。

07混合題 1～2（第 20～21 題）：指數律與算幾不等式

第 20 題答案 (B)。化成同底：

4^{x} = 2^{2 x}

，

8^{y} = 2^{3 y}

，

4096 = 2^{12}

，所以

2^{2 x + 3 y} = 2^{12}

，

2 x + 3 y = 12

。

2 x

、

3 y

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 x + 3 y}{2} \geq 2 x \times 3 y

，即

6 \geq 6 x y

，兩邊平方得

36 \geq 6 x y

，

x y \leq 6

。等號在

2 x = 3 y = 6

，即

x = 3

、

y = 2

時成立，它們是正整數，符合條件，所以

x y

的最大值是

6

。

用算幾不等式的兩項是

2 x

和

3 y

，它們的和才是定值

12

。直接找也可以：

3 y = 12 - 2 x

要是

3

的倍數且為正，正整數解只有

x = 3

、

y = 2

。

第 21 題承上題，等號成立的條件是

2 x = 3 y

，再加上

2 x + 3 y = 12

，得

2 x = 3 y = 6

，所以

x = 3

、

y = 2

，

(x, y) = (3, 2)

。檢查：

4^{3} \times 8^{2} = 64 \times 64 = 4096

。

算幾不等式求出極值後，要寫出等號成立時兩個變數各是多少，並確認符合題目的條件（這裡是正整數）。

同一次段考的其他學校

同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 111 上高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？

填空第 13 題要先由小數部分是 2 減根號 2 設出整數部分，平方後比較係數求出 k 是 38，再做一次有理數與無理數的比較；填空第 10 題先證明所求線段的平方等於兩段的乘積，再化簡雙重根號；填空第 15 題不必用對數律，把兩次地震的能量各自寫成 10 的次方再相除；多選第 4 題的 (A) 沒有解、(E) 的解是一整段，都要用距離或分段看清楚。詳解逐題寫在本頁。

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題目取自臺南二中 111 學年度上學期高一第一次段考數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南二中 111 上高一第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選題 1～2：指數律與 log 的意義、有理數與無理數

02多選題 3～4：比大小、絕對值方程式

03填空 1～4（第 5～8 題）：循環小數、算幾不等式、指數律、log 的意義

04填空 5～8（第 9～12 題）：絕對值方程式、乘法公式、log 與指數律

05填空 9～12（第 13～16 題）：位數、半圓上的垂線、絕對值不等式

06填空 13～15（第 17～19 題）：雙重根號與比較係數、指數模型、地震矩規模

07混合題 1～2（第 20～21 題）：指數律與算幾不等式

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臺南二中 111 上
高一第一次段考
數學試題、答案與詳解

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