段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

單選題 3 題（每題 5 分，共 15 分）、多選題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、填充題 10 題共 11 格（共 61 分，依答對格數對照表給分：答對 1 格 7 分、2 格 14 分、3 格 21 分、4 格 27 分、5 格 33 分、6 格 39 分、7 格 44 分、8 格 49 分、9 格 53 分、10 格 57 分、11 格 61 分）。答案已與學校公布的答案逐題核對，18 題（格）全部相同。

一、單選題　每題 5 分，共 15 分

令

a = sin (3 π^{2})

，試問下列哪一個選項是對的？

(A) $- 1 < a \leq - \frac{3}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$
(C) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(D) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(E) $\frac{3}{2} < a \leq 1$

A (cos 4, sin 4)

落在

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 坐標軸上

5 7^{\circ}

等於多少弳？

(A) $1$
(B) $π$
(C) $\frac{1}{180} π$
(D) $\frac{180}{π}$
(E) $\frac{57}{180} π$

二、多選題　每題 6 分，共 24 分（每題至少一個選項正確，全對得 6 分，錯一個選項得 4 分，錯兩個選項得 2 分，錯三個選項以上或沒作答得 0 分）（原卷題號 1～4，本頁編為第 4～7 題）

關於廣義角

θ = - 10

，則下列哪些選項是正確的？

(A) $θ$ 的最小正同界角為 $4 π - 10$
(B) $sin θ < 0$
(C) $tan (- θ) > 0$
(D) $sin (π - θ) < 0$
(E) $cos (π + θ) > 0$

下列選項，何者是正確的？

(A) $sin π > sin π^{\circ}$
(B) $cos π > cos π^{\circ}$
(C) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(D) $tan π > tan π^{\circ}$
(E) $sin 1 > sin 2$

設

sin θ = - \frac{3}{5}

，且

θ

為第四象限角，試選出正確的選項。

(A) $cos θ = \frac{- 4}{5}$
(B) $tan θ = - \frac{4}{3}$
(C) $sin (π + θ) = \frac{3}{5}$
(D) $cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}$
(E) $tan (θ - π) = \frac{3}{4}$

有一圓形摩天輪，中心軸高

20

公尺，直徑

36

公尺，逆時針方向運轉一圈，需

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，阿正恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，阿正離地面高度為

y = a sin (b x + c) + d

，

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，下列哪些選項正確？

(A) $a + d = 36$
(B) $a = 18$
(C) $b = \frac{2 π}{15}$
(D) $c = \frac{2 π}{3}$
(E) $d = 18$

三、填充題　共 61 分　請將答案約分到最簡分數才給分（原卷題號 1～10 共 11 格，本頁編為第 8～18 題）

填充第 1 題（第 8～9 題）（第 8～9 題）　將下列各度化為弳：

(1)

- 10 5^{\circ} =

____ 弳。

(2)

34 5^{\circ} =

____ 弳。

試求

sin \frac{5 π}{3} \cdot cos (- \frac{5 π}{6}) - sin \frac{π}{2} + sin \frac{3 π}{4} \cdot cos \frac{7 π}{4} =

____ 。

如右圖，一個直圓錐底圓直徑

\overline{B C} = 4

，斜高

\overline{A B} = 12

，將此直圓錐展開後得一扇形

A B D

，則此扇形

A B D

的面積為 ____ 。

載入中...

設

0 \leq x < 2 π

，則滿足不等式

sin x \leq \frac{3}{2}

之

x

的範圍是 ____ （弧度表示）。

將

y = sin x

的圖形先沿水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，再往左平移

\frac{π}{6}

後，得到的圖形為

y = sin (a x + b)

，則數對

(a, b) =

____ 。

時鐘在

5

點

40

分時，時針與分針所夾的較小的夾角為 ____ （弳）。

周長恆為定值

6

的一切扇形中，此扇形的最大面積為 ____ 。

右圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____ 。

載入中...

已知

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

，函數

f (x) = sin (x + \frac{π}{2})

的最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 23

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點，

\overline{P Q} = \overline{P T} = 2

。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的灰色區域

QR T S Q

即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為

aπ + b

，其中

π

為圓周率，

a

為有理數，

b

為整數，則數對

(a, b) =

____

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題(C)

第 6 題(C)(D)

第 7 題(B)(C)

第 8 題

- \frac{7}{12} π

第 9 題

\frac{23}{12} π

第 10 題

\frac{1}{4}

第 11 題

24 π

第 12 題

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3} \leq x < 2 π

第 13 題

(2, \frac{π}{3})

第 14 題

\frac{7}{18} π

第 15 題

\frac{9}{4}

第 16 題

50 π - 100

第 17 題

(\frac{1}{2}, - 1)

第 18 題

(\frac{1}{6}, 3)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：估計弧度角的位置、象限、度化為弳

第 1 題把

3 π^{2}

看成

3 π \times π

。

π \approx 3.1416

，

3 π \approx 9.42

，所以

3 π^{2} \approx 9.42 π = 8 π + 1.42 π

。減去

8 π

（四圈）不改變正弦值，

a = sin (3 π^{2}) = sin (1.42 π)

（近似）。

\frac{4 π}{3} \approx 1.33 π

、

\frac{3 π}{2} = 1.5 π

，所以這個角落在

\frac{4 π}{3}

與

\frac{3 π}{2}

之間。由

y = sin x

的圖形，角由

\frac{4 π}{3}

增加到

\frac{3 π}{2}

時，正弦值由

- \frac{3}{2}

一路下降到

- 1

，所以

- 1 < a < - \frac{3}{2}

。選 (A)。

數值

a \approx - 0.972

。只估「第三象限、所以是負的」不夠，(A)(B)(C) 都是負的，要再和

\frac{7 π}{6}

、

\frac{4 π}{3}

、

\frac{3 π}{2}

這幾個特殊角比位置。

第 2 題

4

沒有度的記號，是

4

弳。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弳是第三象限角，

cos 4 < 0

、

sin 4 < 0

。

A

的

x

坐標、

y

坐標都是負的，落在第三象限。選 (C)。

第 3 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，

5 7^{\circ} = \frac{57}{180} π

弳。選 (E)。

1

弳約等於

57. 3^{\circ}

，

5 7^{\circ}

只是很接近

1

弳，並不相等，(A) 不對。(D) 的

\frac{180}{π}

是「

1

弳等於幾度」的那個數。

弧度角要判斷位置時，先用

π \approx 3.14

把角換成「幾個

π

」，減掉

2 π

的整數倍，再和特殊角比大小。

02多選題（第 4～7 題）：同界角與正負、度與弧度、角的換算、摩天輪

第 4 題

θ = - 10

是

- 10

弳。同界角是

- 10 + 2 k π

（

k

為整數），

2 π \approx 6.28

：

- 10 + 2 π \approx - 3.72

還是負的，

- 10 + 4 π \approx 2.57

是正的，所以最小正同界角是

4 π - 10

，(A) 正確。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.57 < π \approx 3.14

，

θ

是第二象限角，

sin θ > 0

、

cos θ < 0

、

tan θ < 0

。(B)

sin θ > 0

，不對。(C)

tan (- θ) = - tan θ > 0

，正確。(D)

sin (π - θ) = sin θ > 0

，不對。(E)

cos (π + θ) = - cos θ > 0

，正確。選 (A)(C)(E)。

第 5 題

π

是

π

弳（

18 0^{\circ}

），

π^{\circ}

是大約

3.1 4^{\circ}

的小銳角，兩者不同。

sin π = 0

、

cos π = - 1

、

tan π = 0

；

π^{\circ}

是銳角，

sin π^{\circ}

、

cos π^{\circ}

、

tan π^{\circ}

都是正的。(A)

0 > sin π^{\circ}

不成立，不對。(B)

- 1 > cos π^{\circ}

不成立，不對。(C)

π^{\circ} < 4 5^{\circ}

，小於

4 5^{\circ}

的銳角餘弦比正弦大，

cos π^{\circ} > sin π^{\circ}

，正確。(D)

0 > tan π^{\circ}

不成立，不對。(E)

1

、

2

都是弳。

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

，

0 < 1 < 1.14 < \frac{π}{2}

；正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

sin 1 < sin (π - 2) = sin 2

，不對。選 (C)。

數值：

sin π^{\circ} \approx 0.055

、

cos π^{\circ} \approx 0.998

、

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

。

第 6 題

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

，第四象限角的餘弦是正的，所以

cos θ = \frac{4}{5}

，

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = - \frac{3}{4}

。(A) 應是

\frac{4}{5}

，不對。(B) 應是

- \frac{3}{4}

，不對。(C)

sin (π + θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

，正確。(D)

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

，正確。(E) 正切的週期是

π

，

tan (θ - π) = tan θ = - \frac{3}{4}

，不是

\frac{3}{4}

，不對。選 (C)(D)。

第 7 題半徑是

36 \div 2 = 18

公尺，中心軸高

20

公尺，所以最高

20 + 18 = 38

公尺、最低

20 - 18 = 2

公尺。

a > 0

時

y

的最大值是

a + d

、最小值是

- a + d

：

a + d = 38

、

- a + d = 2

，解得

a = 18

、

d = 20

。轉一圈

15

分鐘，週期

\frac{2 π}{b} = 15

，

b = \frac{2 π}{15}

。

x = 0

時在最低點，

y = 2

：

18 sin c + 20 = 2

，

sin c = - 1

，在

0 < c < 2 π

內

c = \frac{3 π}{2}

。所以

y = 18 sin (\frac{2 π}{15} x + \frac{3 π}{2}) + 20

。(A)

a + d = 38

，不對。(B) 正確。(C) 正確。(D)

c = \frac{3 π}{2}

，不對。(E)

d = 20

，不對。選 (B)(C)。

(D) 若

c = \frac{2 π}{3}

，

x = 0

時

y = 18 \times \frac{3}{2} + 20 \approx 35.6

，不是最低點的

2

。高度只和轉了多少角度有關，順時針或逆時針不影響這一題的答案。

週期運動寫成

y = a sin (b x + c) + d

：最大值與最小值定

a

、

d

，轉一圈的時間定

b

，出發時的位置定

c

。

03填充第 1～2 題（第 8～10 題）：度化為弳、特殊角

第 8 題

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

- 10 5^{\circ} = - \frac{105}{180} π = - \frac{7}{12} π

弳（分子分母同除以

15

）。

第 9 題

34 5^{\circ} = \frac{345}{180} π = \frac{23}{12} π

弳（分子分母同除以

15

）。

第 10 題

sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}

（第四象限，參考角

\frac{π}{3}

）；

cos (- \frac{5 π}{6}) = cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

；

sin \frac{π}{2} = 1

；

sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}

；

cos \frac{7 π}{4} = \frac{2}{2}

（第四象限，參考角

\frac{π}{4}

）。原式＝

(- \frac{3}{2}) (- \frac{3}{2}) - 1 + \frac{2}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{3}{4} - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

度化為弳乘

\frac{π}{180}

，記得約到最簡分數。特殊角先找參考角，再依象限決定正負。

04填充第 3～5 題（第 11～13 題）：圓錐展開圖、正弦不等式、圖形的伸縮與平移

第 11 題展開後扇形的半徑是斜高

12

，扇形的弧長等於底圓的周長。底圓半徑是

4 \div 2 = 2

，周長

2 π \times 2 = 4 π

。扇形面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長＝

\frac{1}{2} \times 12 \times 4 π = 24 π

。

這個扇形的圓心角是

\frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

。本頁附圖的扇形張角是示意，沒有照實際角度畫。

第 12 題在

0 \leq x < 2 π

內，

sin x = \frac{3}{2}

的角是

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

。由

y = sin x

的圖形，只有在

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

之間圖形高於

\frac{3}{2}

，其餘的地方都不超過

\frac{3}{2}

。所以解是

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3} \leq x < 2 π

。

不等式有等號，

\frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

兩個端點要包含；題目的範圍不含

2 π

，所以右端寫

x < 2 π

。

第 13 題沿水平方向伸縮為

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

（週期由

2 π

變成

π

）。再往左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

：

y = sin 2 (x + \frac{π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。所以

(a, b) = (2, \frac{π}{3})

。

平移是對

x

本身做的，要先加

\frac{π}{6}

再乘

2

，寫成

sin (2 x + \frac{π}{6})

就錯了。

b

再加

2 π

的整數倍圖形相同，這裡取最簡單的

\frac{π}{3}

，與學校答案相同。

圖形的水平變化都是對

x

動手：水平伸縮為

\frac{1}{k}

倍把

x

換成

k x

，往左平移

h

把

x

換成

x + h

，順序不能換。

05填充第 6～8 題（第 14～16 題）：時鐘、扇形的最大面積、半圓與扇形

第 14 題從

12

的位置順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

40

分時在

24 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

5

點

40

分時在

5 \times 3 0^{\circ} + 40 \times 0. 5^{\circ} = 17 0^{\circ}

。兩針相差

24 0^{\circ} - 17 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的夾角。

7 0^{\circ} = \frac{70}{180} π = \frac{7}{18} π

弳。

第 15 題設半徑為

r

、弧長為

s

。周長

2 r + s = 6

，

s = 6 - 2 r

，且

s > 0

，所以

0 < r < 3

。面積＝

\frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (6 - 2 r) = 3 r - r^{2} = - (r - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{4}

。

r = \frac{3}{2}

在範圍內，此時面積最大，最大面積是

\frac{9}{4}

。

此時弧長

s = 3

，圓心角

\frac{s}{r} = 2

弳，小於

2 π

，這個扇形存在。

第 16 題設

\overline{A B}

的中點為

O

，半圓的半徑是

10

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{O C} = \overline{O B} = 10

，三角形

O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = \frac{π}{4}

。扇形

B A D

的半徑是

20

、圓心角是

\frac{π}{4}

，面積＝

\frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times \frac{π}{4} = 50 π

。灰色部分有兩塊。左上那一塊＝扇形

B A D

減去半圓在

\overline{B C}

左下方的部分；這個部分是四分之一圓

O A C

加上三角形

O B C

，面積

\frac{1}{4} \times π \times 1 0^{2} + \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 25 π + 50

，所以左上那一塊＝

50 π - (25 π + 50) = 25 π - 50

。右邊那一塊是弦

\overline{B C}

與弧

B C

圍成的弓形＝四分之一圓

O C B

減去三角形

O B C

＝

25 π - 50

。灰色部分面積＝

(25 π - 50) + (25 π - 50) = 50 π - 100

。

數值約

57.08

。

\overline{B C} = 102 \approx 14.14 < 20

，所以

D

在

C

的外側，與圖相符。

由圓弧圍成的區域，先找出每段弧的圓心與圓心角，再拆成扇形、三角形與弓形來加減。

06填充第 9～10 題（第 17～18 題）：限定範圍的極值、月形面積

第 17 題令

u = x + \frac{π}{2}

。

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

時，

\frac{5 π}{6} \leq u \leq \frac{11 π}{6}

。看

y = sin u

在這一段的圖形：

u

由

\frac{5 π}{6}

增加到

\frac{3 π}{2}

時，值由

\frac{1}{2}

下降到

- 1

；再增加到

\frac{11 π}{6}

時，值由

- 1

上升到

- \frac{1}{2}

。所以最大值

M = \frac{1}{2}

（

u = \frac{5 π}{6}

，即

x = \frac{π}{3}

），最小值

m = - 1

（

u = \frac{3 π}{2}

，即

x = π

）。

(M, m) = (\frac{1}{2}, - 1)

。

這一段不包含

u = \frac{π}{2}

，所以最大值不是

1

；兩個端點的值是

\frac{1}{2}

與

- \frac{1}{2}

，最小值也不在端點。

第 18 題

O

是

\overline{QT}

的中點，

\overline{O Q} = \overline{O T} = 3

。

\overline{P Q} = \overline{P T}

，所以

P

在

\overline{QT}

的中垂線上，

\overline{P O} ⊥ \overline{QT}

。直角三角形

P O Q

中，

\overline{P O} = 2^{2} - (3)^{2} = 1

，

sin ∠ QP O = \frac{3}{2}

，

∠ QP O = \frac{π}{3}

，所以

∠ QP T = \frac{2 π}{3}

。半圓

QR T

的面積＝

\frac{1}{2} \times π \times (3)^{2} = \frac{3 π}{2}

。弧

QS T

與弦

\overline{QT}

圍成的弓形＝扇形

P QT

減去三角形

P QT

＝

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = \frac{4 π}{3} - 3

。灰色區域＝半圓減去這個弓形＝

\frac{3 π}{2} - (\frac{4 π}{3} - 3) = \frac{π}{6} + 3

。所以

a = \frac{1}{6}

、

b = 3

，

(a, b) = (\frac{1}{6}, 3)

。

數值約

2.26

，比半圓的面積

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

小，合理。

限定範圍的極值先把整個角連範圍一起換成新變數；月形面積＝半圓減去弓形。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

臺南二中 112 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 18 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 112 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題要先把 3 乘 π 的平方看成 π 的 9.42 倍左右，減掉 8π 之後再判斷落在哪兩個特殊角之間；多選第 4 題（本頁第 7 題）摩天輪從最低點出發，正弦值要從負 1 開始，c 不是選項寫的那個值；填充第 8 題（第 16 題）灰色部分有兩塊，要拆成扇形、四分之一圓與等腰直角三角形來加減；填充第 10 題（第 18 題）要先求出大圓弧的圓心角，再用半圓減掉弓形。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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這份段考卷可以下載列印嗎？

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題目取自臺南二中 112 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 112 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 18 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 18 題，照原卷順序

一、單選題　每題 5 分，共 15 分

令

a = sin (3 π^{2})

，試問下列哪一個選項是對的？

(A) $- 1 < a \leq - \frac{3}{2}$
(B) $- \frac{3}{2} < a \leq - \frac{1}{2}$
(C) $- \frac{1}{2} < a \leq 0$
(D) $\frac{1}{2} < a \leq \frac{3}{2}$
(E) $\frac{3}{2} < a \leq 1$

A (cos 4, sin 4)

落在

(A) 第一象限
(B) 第二象限
(C) 第三象限
(D) 第四象限
(E) 坐標軸上

5 7^{\circ}

等於多少弳？

(A) $1$
(B) $π$
(C) $\frac{1}{180} π$
(D) $\frac{180}{π}$
(E) $\frac{57}{180} π$

關於廣義角

θ = - 10

，則下列哪些選項是正確的？

(A) $θ$ 的最小正同界角為 $4 π - 10$
(B) $sin θ < 0$
(C) $tan (- θ) > 0$
(D) $sin (π - θ) < 0$
(E) $cos (π + θ) > 0$

下列選項，何者是正確的？

(A) $sin π > sin π^{\circ}$
(B) $cos π > cos π^{\circ}$
(C) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(D) $tan π > tan π^{\circ}$
(E) $sin 1 > sin 2$

設

sin θ = - \frac{3}{5}

，且

θ

為第四象限角，試選出正確的選項。

(A) $cos θ = \frac{- 4}{5}$
(B) $tan θ = - \frac{4}{3}$
(C) $sin (π + θ) = \frac{3}{5}$
(D) $cos (\frac{π}{2} + θ) = \frac{3}{5}$
(E) $tan (θ - π) = \frac{3}{4}$

有一圓形摩天輪，中心軸高

20

公尺，直徑

36

公尺，逆時針方向運轉一圈，需

15

分鐘。當摩天輪開始運轉時，阿正恰坐在離地面最近的位置上，

x

分鐘後，阿正離地面高度為

y = a sin (b x + c) + d

，

a > 0

，

b > 0

，

0 < c < 2 π

，下列哪些選項正確？

(A) $a + d = 36$
(B) $a = 18$
(C) $b = \frac{2 π}{15}$
(D) $c = \frac{2 π}{3}$
(E) $d = 18$

三、填充題　共 61 分　請將答案約分到最簡分數才給分（原卷題號 1～10 共 11 格，本頁編為第 8～18 題）

填充第 1 題（第 8～9 題）（第 8～9 題）　將下列各度化為弳：

(1)

- 10 5^{\circ} =

____ 弳。

(2)

34 5^{\circ} =

____ 弳。

試求

sin \frac{5 π}{3} \cdot cos (- \frac{5 π}{6}) - sin \frac{π}{2} + sin \frac{3 π}{4} \cdot cos \frac{7 π}{4} =

____ 。

如右圖，一個直圓錐底圓直徑

\overline{B C} = 4

，斜高

\overline{A B} = 12

，將此直圓錐展開後得一扇形

A B D

，則此扇形

A B D

的面積為 ____ 。

載入中...

設

0 \leq x < 2 π

，則滿足不等式

sin x \leq \frac{3}{2}

之

x

的範圍是 ____ （弧度表示）。

將

y = sin x

的圖形先沿水平方向伸縮為原來的

\frac{1}{2}

倍，再往左平移

\frac{π}{6}

後，得到的圖形為

y = sin (a x + b)

，則數對

(a, b) =

____ 。

時鐘在

5

點

40

分時，時針與分針所夾的較小的夾角為 ____ （弳）。

周長恆為定值

6

的一切扇形中，此扇形的最大面積為 ____ 。

右圖中，

\overline{A B} = 20

，以

\overline{A B}

為直徑的半圓，

C

為

A B ⌢

中點，今以

B

為圓心，

\overline{A B}

為半徑作一圓弧與直線

B C

交於

D

點，則灰色部分面積為 ____ 。

載入中...

已知

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

，函數

f (x) = sin (x + \frac{π}{2})

的最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____

設計師為天文館設計以不銹鋼片製成的月亮形狀，其中有一款設計圖如右圖所示：圖中，圓弧

QR T

是一個以

O

點為圓心、

\overline{QT}

為直徑的半圓，

\overline{QT} = 23

。圓弧

QS T

的圓心在

P

點，

\overline{P Q} = \overline{P T} = 2

。圓弧

QR T

與圓弧

QS T

所圍出的灰色區域

QR T S Q

即為某一天所見的月亮形狀。設此灰色區域的面積為

aπ + b

，其中

π

為圓周率，

a

為有理數，

b

為整數，則數對

(a, b) =

____

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(C)

第 3 題(E)

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題(C)

第 6 題(C)(D)

第 7 題(B)(C)

第 8 題

- \frac{7}{12} π

第 9 題

\frac{23}{12} π

第 10 題

\frac{1}{4}

第 11 題

24 π

第 12 題

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3} \leq x < 2 π

第 13 題

(2, \frac{π}{3})

第 14 題

\frac{7}{18} π

第 15 題

\frac{9}{4}

第 16 題

50 π - 100

第 17 題

(\frac{1}{2}, - 1)

第 18 題

(\frac{1}{6}, 3)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：估計弧度角的位置、象限、度化為弳

第 1 題把

3 π^{2}

看成

3 π \times π

。

π \approx 3.1416

，

3 π \approx 9.42

，所以

3 π^{2} \approx 9.42 π = 8 π + 1.42 π

。減去

8 π

（四圈）不改變正弦值，

a = sin (3 π^{2}) = sin (1.42 π)

（近似）。

\frac{4 π}{3} \approx 1.33 π

、

\frac{3 π}{2} = 1.5 π

，所以這個角落在

\frac{4 π}{3}

與

\frac{3 π}{2}

之間。由

y = sin x

的圖形，角由

\frac{4 π}{3}

增加到

\frac{3 π}{2}

時，正弦值由

- \frac{3}{2}

一路下降到

- 1

，所以

- 1 < a < - \frac{3}{2}

。選 (A)。

數值

a \approx - 0.972

。只估「第三象限、所以是負的」不夠，(A)(B)(C) 都是負的，要再和

\frac{7 π}{6}

、

\frac{4 π}{3}

、

\frac{3 π}{2}

這幾個特殊角比位置。

第 2 題

4

沒有度的記號，是

4

弳。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弳是第三象限角，

cos 4 < 0

、

sin 4 < 0

。

A

的

x

坐標、

y

坐標都是負的，落在第三象限。選 (C)。

第 3 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，

5 7^{\circ} = \frac{57}{180} π

弳。選 (E)。

1

弳約等於

57. 3^{\circ}

，

5 7^{\circ}

只是很接近

1

弳，並不相等，(A) 不對。(D) 的

\frac{180}{π}

是「

1

弳等於幾度」的那個數。

弧度角要判斷位置時，先用

π \approx 3.14

把角換成「幾個

π

」，減掉

2 π

的整數倍，再和特殊角比大小。

02多選題（第 4～7 題）：同界角與正負、度與弧度、角的換算、摩天輪

第 4 題

θ = - 10

是

- 10

弳。同界角是

- 10 + 2 k π

（

k

為整數），

2 π \approx 6.28

：

- 10 + 2 π \approx - 3.72

還是負的，

- 10 + 4 π \approx 2.57

是正的，所以最小正同界角是

4 π - 10

，(A) 正確。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2.57 < π \approx 3.14

，

θ

是第二象限角，

sin θ > 0

、

cos θ < 0

、

tan θ < 0

。(B)

sin θ > 0

，不對。(C)

tan (- θ) = - tan θ > 0

，正確。(D)

sin (π - θ) = sin θ > 0

，不對。(E)

cos (π + θ) = - cos θ > 0

，正確。選 (A)(C)(E)。

第 5 題

π

是

π

弳（

18 0^{\circ}

），

π^{\circ}

是大約

3.1 4^{\circ}

的小銳角，兩者不同。

sin π = 0

、

cos π = - 1

、

tan π = 0

；

π^{\circ}

是銳角，

sin π^{\circ}

、

cos π^{\circ}

、

tan π^{\circ}

都是正的。(A)

0 > sin π^{\circ}

不成立，不對。(B)

- 1 > cos π^{\circ}

不成立，不對。(C)

π^{\circ} < 4 5^{\circ}

，小於

4 5^{\circ}

的銳角餘弦比正弦大，

cos π^{\circ} > sin π^{\circ}

，正確。(D)

0 > tan π^{\circ}

不成立，不對。(E)

1

、

2

都是弳。

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

，

0 < 1 < 1.14 < \frac{π}{2}

；正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

sin 1 < sin (π - 2) = sin 2

，不對。選 (C)。

數值：

sin π^{\circ} \approx 0.055

、

cos π^{\circ} \approx 0.998

、

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

。

第 6 題

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

，第四象限角的餘弦是正的，所以

cos θ = \frac{4}{5}

，

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = - \frac{3}{4}

。(A) 應是

\frac{4}{5}

，不對。(B) 應是

- \frac{3}{4}

，不對。(C)

sin (π + θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

，正確。(D)

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

，正確。(E) 正切的週期是

π

，

tan (θ - π) = tan θ = - \frac{3}{4}

，不是

\frac{3}{4}

，不對。選 (C)(D)。

第 7 題半徑是

36 \div 2 = 18

公尺，中心軸高

20

公尺，所以最高

20 + 18 = 38

公尺、最低

20 - 18 = 2

公尺。

a > 0

時

y

的最大值是

a + d

、最小值是

- a + d

：

a + d = 38

、

- a + d = 2

，解得

a = 18

、

d = 20

。轉一圈

15

分鐘，週期

\frac{2 π}{b} = 15

，

b = \frac{2 π}{15}

。

x = 0

時在最低點，

y = 2

：

18 sin c + 20 = 2

，

sin c = - 1

，在

0 < c < 2 π

內

c = \frac{3 π}{2}

。所以

y = 18 sin (\frac{2 π}{15} x + \frac{3 π}{2}) + 20

。(A)

a + d = 38

，不對。(B) 正確。(C) 正確。(D)

c = \frac{3 π}{2}

，不對。(E)

d = 20

，不對。選 (B)(C)。

(D) 若

c = \frac{2 π}{3}

，

x = 0

時

y = 18 \times \frac{3}{2} + 20 \approx 35.6

，不是最低點的

2

。高度只和轉了多少角度有關，順時針或逆時針不影響這一題的答案。

週期運動寫成

y = a sin (b x + c) + d

：最大值與最小值定

a

、

d

，轉一圈的時間定

b

，出發時的位置定

c

。

03填充第 1～2 題（第 8～10 題）：度化為弳、特殊角

第 8 題

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

- 10 5^{\circ} = - \frac{105}{180} π = - \frac{7}{12} π

弳（分子分母同除以

15

）。

第 9 題

34 5^{\circ} = \frac{345}{180} π = \frac{23}{12} π

弳（分子分母同除以

15

）。

第 10 題

sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}

（第四象限，參考角

\frac{π}{3}

）；

cos (- \frac{5 π}{6}) = cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

；

sin \frac{π}{2} = 1

；

sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}

；

cos \frac{7 π}{4} = \frac{2}{2}

（第四象限，參考角

\frac{π}{4}

）。原式＝

(- \frac{3}{2}) (- \frac{3}{2}) - 1 + \frac{2}{2} \times \frac{2}{2} = \frac{3}{4} - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

度化為弳乘

\frac{π}{180}

，記得約到最簡分數。特殊角先找參考角，再依象限決定正負。

04填充第 3～5 題（第 11～13 題）：圓錐展開圖、正弦不等式、圖形的伸縮與平移

第 11 題展開後扇形的半徑是斜高

12

，扇形的弧長等於底圓的周長。底圓半徑是

4 \div 2 = 2

，周長

2 π \times 2 = 4 π

。扇形面積＝

\frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長＝

\frac{1}{2} \times 12 \times 4 π = 24 π

。

這個扇形的圓心角是

\frac{4 π}{12} = \frac{π}{3}

。本頁附圖的扇形張角是示意，沒有照實際角度畫。

第 12 題在

0 \leq x < 2 π

內，

sin x = \frac{3}{2}

的角是

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

。由

y = sin x

的圖形，只有在

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

之間圖形高於

\frac{3}{2}

，其餘的地方都不超過

\frac{3}{2}

。所以解是

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3} \leq x < 2 π

。

不等式有等號，

\frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

兩個端點要包含；題目的範圍不含

2 π

，所以右端寫

x < 2 π

。

第 13 題沿水平方向伸縮為

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

，得

y = sin 2 x

（週期由

2 π

變成

π

）。再往左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

：

y = sin 2 (x + \frac{π}{6}) = sin (2 x + \frac{π}{3})

。所以

(a, b) = (2, \frac{π}{3})

。

平移是對

x

本身做的，要先加

\frac{π}{6}

再乘

2

，寫成

sin (2 x + \frac{π}{6})

就錯了。

b

再加

2 π

的整數倍圖形相同，這裡取最簡單的

\frac{π}{3}

，與學校答案相同。

圖形的水平變化都是對

x

動手：水平伸縮為

\frac{1}{k}

倍把

x

換成

k x

，往左平移

h

把

x

換成

x + h

，順序不能換。

05填充第 6～8 題（第 14～16 題）：時鐘、扇形的最大面積、半圓與扇形

第 14 題從

12

的位置順時針量。分針每分鐘走

6^{\circ}

，

40

分時在

24 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

5

點

40

分時在

5 \times 3 0^{\circ} + 40 \times 0. 5^{\circ} = 17 0^{\circ}

。兩針相差

24 0^{\circ} - 17 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

，小於

18 0^{\circ}

，就是較小的夾角。

7 0^{\circ} = \frac{70}{180} π = \frac{7}{18} π

弳。

第 15 題設半徑為

r

、弧長為

s

。周長

2 r + s = 6

，

s = 6 - 2 r

，且

s > 0

，所以

0 < r < 3

。面積＝

\frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (6 - 2 r) = 3 r - r^{2} = - (r - \frac{3}{2})^{2} + \frac{9}{4}

。

r = \frac{3}{2}

在範圍內，此時面積最大，最大面積是

\frac{9}{4}

。

此時弧長

s = 3

，圓心角

\frac{s}{r} = 2

弳，小於

2 π

，這個扇形存在。

第 16 題設

\overline{A B}

的中點為

O

，半圓的半徑是

10

。

C

是半圓弧的中點，所以

\overline{O C} ⊥ \overline{A B}

，

\overline{O C} = \overline{O B} = 10

，三角形

O B C

是等腰直角三角形，

∠ A B C = \frac{π}{4}

。扇形

B A D

的半徑是

20

、圓心角是

\frac{π}{4}

，面積＝

\frac{1}{2} \times 2 0^{2} \times \frac{π}{4} = 50 π

。灰色部分有兩塊。左上那一塊＝扇形

B A D

減去半圓在

\overline{B C}

左下方的部分；這個部分是四分之一圓

O A C

加上三角形

O B C

，面積

\frac{1}{4} \times π \times 1 0^{2} + \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 25 π + 50

，所以左上那一塊＝

50 π - (25 π + 50) = 25 π - 50

。右邊那一塊是弦

\overline{B C}

與弧

B C

圍成的弓形＝四分之一圓

O C B

減去三角形

O B C

＝

25 π - 50

。灰色部分面積＝

(25 π - 50) + (25 π - 50) = 50 π - 100

。

數值約

57.08

。

\overline{B C} = 102 \approx 14.14 < 20

，所以

D

在

C

的外側，與圖相符。

由圓弧圍成的區域，先找出每段弧的圓心與圓心角，再拆成扇形、三角形與弓形來加減。

06填充第 9～10 題（第 17～18 題）：限定範圍的極值、月形面積

第 17 題令

u = x + \frac{π}{2}

。

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{4 π}{3}

時，

\frac{5 π}{6} \leq u \leq \frac{11 π}{6}

。看

y = sin u

在這一段的圖形：

u

由

\frac{5 π}{6}

增加到

\frac{3 π}{2}

時，值由

\frac{1}{2}

下降到

- 1

；再增加到

\frac{11 π}{6}

時，值由

- 1

上升到

- \frac{1}{2}

。所以最大值

M = \frac{1}{2}

（

u = \frac{5 π}{6}

，即

x = \frac{π}{3}

），最小值

m = - 1

（

u = \frac{3 π}{2}

，即

x = π

）。

(M, m) = (\frac{1}{2}, - 1)

。

這一段不包含

u = \frac{π}{2}

，所以最大值不是

1

；兩個端點的值是

\frac{1}{2}

與

- \frac{1}{2}

，最小值也不在端點。

第 18 題

O

是

\overline{QT}

的中點，

\overline{O Q} = \overline{O T} = 3

。

\overline{P Q} = \overline{P T}

，所以

P

在

\overline{QT}

的中垂線上，

\overline{P O} ⊥ \overline{QT}

。直角三角形

P O Q

中，

\overline{P O} = 2^{2} - (3)^{2} = 1

，

sin ∠ QP O = \frac{3}{2}

，

∠ QP O = \frac{π}{3}

，所以

∠ QP T = \frac{2 π}{3}

。半圓

QR T

的面積＝

\frac{1}{2} \times π \times (3)^{2} = \frac{3 π}{2}

。弧

QS T

與弦

\overline{QT}

圍成的弓形＝扇形

P QT

減去三角形

P QT

＝

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 23 \times 1 = \frac{4 π}{3} - 3

。灰色區域＝半圓減去這個弓形＝

\frac{3 π}{2} - (\frac{4 π}{3} - 3) = \frac{π}{6} + 3

。所以

a = \frac{1}{6}

、

b = 3

，

(a, b) = (\frac{1}{6}, 3)

。

數值約

2.26

，比半圓的面積

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

小，合理。

限定範圍的極值先把整個角連範圍一起換成新變數；月形面積＝半圓減去弓形。

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02多選題（第 4～7 題）：同界角與正負、度與弧度、角的換算、摩天輪

03填充第 1～2 題（第 8～10 題）：度化為弳、特殊角

04填充第 3～5 題（第 11～13 題）：圓錐展開圖、正弦不等式、圖形的伸縮與平移

05填充第 6～8 題（第 14～16 題）：時鐘、扇形的最大面積、半圓與扇形

06填充第 9～10 題（第 17～18 題）：限定範圍的極值、月形面積

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高二第一次段考
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