段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 111 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 111 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 4 題（本頁第 9 題）要從最高點、高度一半的點與最低點讀出四分之一週期是 7 天，再用最高點定出 c，選項裡的週期與 b 都是錯的；填充第 7 題（第 17 題）要畫出正弦曲線與一條斜直線數交點，原點算一個、左右各三個；填充第 6 題（第 16 題）的陰影區域要拆成兩個扇形與兩個等腰直角三角形；多選第 2 題（第 7 題）的對稱軸寫成 x 加二分之三 π 等於 0，要先看出那是 x 等於負二分之三 π。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

單選題 5 題（每題 5 分，共 25 分）、多選題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 7 題共 8 格（共 45 分，依答對格數對照表給分：答對 1 格 8 分、2 格 16 分、3 格 24 分、4 格 32 分、5 格 36 分、6 格 39 分、7 格 42 分、8 格 45 分）、混合題 1 題組 3 小題（共 10 分：作圖 2 分、多選 4 分、非選 4 分）。原卷四大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 1～5 題是單選 1～5，第 6～9 題是多選 1～4，第 10～17 題依序是填充 1(1)、1(2)、2、3、4、5、6、7，第 18～20 題是混合題的 (1)、(2)、(3)。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題（格）全部相同。

一、單選題：(25%)　第 1 題至第 5 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或作答多於一個選項者，該題以零分計算。

點

P (cos (- 4), tan 4)

落在第幾象限？

(A) 一
(B) 二
(C) 三
(D) 四
(E) 剛好在坐標軸上

若

a = sin (2.4 π)

，則下列選項何者正確？

(A) $\frac{3}{2} < a < 1$
(B) $\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}$
(C) $- \frac{2}{2} < a < - \frac{1}{2}$
(D) $- \frac{3}{2} < a < - \frac{2}{2}$
(E) $- 1 < a < - \frac{3}{2}$

下列哪一個三角比之數值最大？

(A) $sin 1$
(B) $sin 2$
(C) $sin 3$
(D) $sin 4$
(E) $sin 5$

右圖可能為下列哪一函數的圖形？

(A) $y = sin x$
(B) $y = 3 sin x$
(C) $y = 3 sin 2 x$
(D) $y = - 3 sin 2 x$
(E) $y = - 3 sin x$

載入中...

設

0 \leq x \leq 2 π

，若直線

y = \frac{1}{3}

和

y = sin x

的圖形相交於

A (x_{1}, y_{1})

、

B (x_{2}, y_{2})

兩點，則

x_{1} + x_{2}

之值為何？

(A) $\frac{π}{4}$
(B) $\frac{π}{2}$
(C) $π$
(D) $\frac{3 π}{2}$
(E) $2 π$

二、多選題：(20%)　第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設

sin θ = - \frac{5}{13}

，且

θ

為第三象限角，試選出下列正確的選項。

(A) $cos (- θ) = - \frac{12}{13}$
(B) $sin (π - θ) = \frac{5}{13}$
(C) $sin (\frac{3 π}{2} + θ) = \frac{5}{13}$
(D) $cos (\frac{π}{2} - θ) = - \frac{12}{13}$
(E) $tan (π + θ) = \frac{5}{12}$

關於函數

y = sin x

的敘述，下列選項哪些正確？

(A) 將 $y = sin x$ 的圖形以點 $(π, 0)$ 為中心，旋轉 $18 0^{\circ}$ 後，可得到相同圖形。
(B) 將 $y = sin x$ 的圖形水平伸縮為 $\frac{1}{2}$ 倍，可得函數 $y = sin \frac{1}{2} x$ 的圖形。
(C) $y = 2 sin x$ 與 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 兩函數圖形有相同的週期。
(D) 將 $y = sin x$ 的圖形向上平移 $\frac{π}{3}$ 單位，可得 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的圖形。
(E) $y = sin x$ 的圖形對稱於直線 $x + \frac{3 π}{2} = 0$ 。

關於函數

y = f (x) = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1

的敘述，下列選項哪些正確？

(A) 週期為 $4 π$
(B) 振幅為 $3$
(C) 在 $x = \frac{7 π}{8}$ 時有最小值
(D) $y = f (x)$ 的圖形與直線 $y = 3$ 有無限多個交點
(E) 將 $y = 3 sin 2 x - 1$ 的圖形向右平移 $\frac{π}{4}$ 可得 $y = 3 sin (2 x - \frac{π}{4}) - 1$ 的圖形。

南二中天文社成員欲觀測月球亮度的比例，遂在某月的每天夜晚同一時間拍攝月球影像，並計算月球亮面的比例。最後根據所得的資料，繪製圖形如右，並發現可用正弦函數

y = a sin (b x - c) + d

（其中

a, b, d

為正數，

0 \leq c \leq \frac{π}{2}

）來描述所觀察的資料。試選出下列正確的選項。

(A) 週期 $30$ 天
(B) $b = \frac{π}{7}$
(C) $c = \frac{3 π}{14}$
(D) $c = 3 b$
(E) $a = d$

載入中...

三、填充題：(45%)　第 1 題至 7 題，依答對格數計分（答對 1～8 格依序得 8、16、24、32、36、39、42、45 分），答錯不倒扣，未完全答對不給分。

填充第 1 題（第 10～11 題）（第 10～11 題）　完成下列各題的弳度與度的換算：

(1)

12 4^{\circ} =

____ 弳。

(2)

- \frac{7 π}{10}

弳

=

____ 度。

若

θ

與

20

弳為同界角，且

0 \leq θ < 2 π

，則

θ =

____ 弳。

若有一扇形的半徑為

6

，弧長為

12

，則此扇形的面積為 ____ 。

試求

sin \frac{5 π}{3} cos (- \frac{5 π}{6}) - sin \frac{π}{2} cos π + sin \frac{7 π}{6} tan \frac{11 π}{4}

之值。 ____

有一鐘樓的時針長度為

6

公寸，假設時針針尖每分鐘所移動的弧長都相等，試求時針針尖每分鐘所移動的弧長為 ____ 公寸。

如右圖，已知圓

O

的圓心為

O

；半徑為

2

，直線

O A

分別與直線

O B

及直線

A C

垂直，且

\overline{O A} = 2

，則陰影區域面積為 ____ 。

載入中...

方程式

sin x = \frac{x}{10}

有 ____ 個實數解。

四、混合題：10%　本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。非選擇題作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

(1) 簡單繪出

y = sin x

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

範圍內的圖形（直接繪出圖形即可）。（2 分）

載入中...

(2) 已知

- 2 π \leq x \leq 2 π

，則下列何者為方程式

sin x = \frac{3}{2}

的解？（多選題）（4 分）（完全正確得 4 分，只錯一個選項得 2 分，其他情況得 0 分）

(A) $- \frac{5 π}{6}$
(B) $- \frac{5 π}{3}$
(C) $- \frac{4 π}{3}$
(D) $- \frac{π}{3}$
(E) $\frac{2 π}{3}$

(3) 已知

- 2 π \leq x \leq 2 π

，求不等式

sin x \geq \frac{3}{2}

的解。（寫出計算過程或理由）（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)

第 2 題(A)

第 3 題(B)

第 4 題(D)

第 5 題(C)

第 6 題(A)(E)

第 7 題(A)(C)(E)

第 8 題(B)(C)

第 9 題(C)(D)(E)

第 10 題

\frac{31 π}{45}

第 11 題

- 126

第 12 題

20 - 6 π

第 13 題

36

第 14 題

\frac{9}{4}

第 15 題

\frac{π}{60}

第 16 題

π + 2

第 17 題

7

第 18 題如詳解的附圖：圖形通過

(0, 0)

、

(\pm π, 0)

、

(\pm 2 π, 0)

，在

x = - \frac{3 π}{2}

、

\frac{π}{2}

到最高點（高度

1

），在

x = - \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

到最低點（高度

- 1

）

第 19 題(B)(C)(E)

第 20 題

- \frac{5 π}{3} \leq x \leq - \frac{4 π}{3}

或

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1～3 題：弧度角的象限、估計正弦值、比大小

第 1 題

4

與

- 4

都沒有度的記號，是弳。

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

，所以

π < 4 < \frac{3 π}{2}

，

4

弳是第三象限角：

cos 4 < 0

、

tan 4 > 0

。又

cos (- 4) = cos 4 < 0

。

P

的

x

坐標是負的、

y

坐標是正的，落在第二象限。選 (B)。

數值：

cos (- 4) \approx - 0.654

、

tan 4 \approx 1.158

。兩個坐標都不是

0

，不在坐標軸上。

第 2 題

2.4 π = 2 π + 0.4 π

，減去一圈不改變正弦值，

a = sin (0.4 π)

。

0.4 π

弳就是

0.4 \times 18 0^{\circ} = 7 2^{\circ}

，介於

6 0^{\circ}

與

9 0^{\circ}

之間。正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，所以

sin 6 0^{\circ} < a < sin 9 0^{\circ}

，即

\frac{3}{2} < a < 1

。選 (A)。

數值

a \approx 0.951

，

\frac{3}{2} \approx 0.866

。

第 3 題五個角都是弳。

π \approx 3.14

、

2 π \approx 6.28

：

1

、

2

、

3

在

0

與

π

之間，正弦是正的；

4

、

5

在

π

與

2 π

之間，正弦是負的，先排除 (D)(E)。用

sin (π - x) = sin x

把角換到

0

與

\frac{π}{2}

之間：

sin 2 = sin (π - 2) \approx sin 1.14

，

sin 3 = sin (π - 3) \approx sin 0.14

。正弦在

0

到

\frac{π}{2}

之間遞增，而

0.14 < 1 < 1.14 < \frac{π}{2}

，所以

sin 3 < sin 1 < sin 2

，

sin 2

最大。選 (B)。

數值：

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

、

sin 3 \approx 0.141

、

sin 4 \approx - 0.757

、

sin 5 \approx - 0.959

。

弧度角要判斷位置時，先用

π \approx 3.14

看它落在哪兩個象限角之間；比正弦值的大小，先換成

0

到

\frac{π}{2}

之間的角再比。

02單選第 4～5 題：由圖形判斷函數、交點的對稱

第 4 題圖形最高到

3

、最低到

- 3

，振幅是

3

，先排除 (A)。圖形通過原點，下一次與

x

軸相交在

\frac{π}{2}

，再下一次在

π

；相鄰兩個交點相隔半個週期，所以週期是

π

，

x

的係數是

\frac{2 π}{π} = 2

，剩下 (C)(D)。圖形過原點之後往下走（在

0

與

\frac{π}{2}

之間是負的），

y = 3 sin 2 x

在這一段是正的，

y = - 3 sin 2 x

才是負的。選 (D)。

檢查：

y = - 3 sin 2 x

在

x = \frac{π}{4}

的值是

- 3

，在

x = \frac{3 π}{4}

的值是

3

，與圖相符。

第 5 題在

π \leq x \leq 2 π

這一段

sin x \leq 0

，不會等於

\frac{1}{3}

，所以兩個交點都在

0

與

π

之間。

y = sin x

在

0

到

π

這一段的圖形對稱於直線

x = \frac{π}{2}

（因為

sin (π - x) = sin x

），水平線

y = \frac{1}{3}

與它的兩個交點左右對稱，兩個

x

坐標的平均是

\frac{π}{2}

。所以

x_{1} + x_{2} = 2 \times \frac{π}{2} = π

。選 (C)。

不必求出

x_{1}

、

x_{2}

各是多少：若

x_{1}

是其中一個，另一個就是

π - x_{1}

。

看正弦型函數的圖：最高最低定振幅，相鄰兩個零點相隔半個週期，過零點之後往上或往下定正負號。

03多選第 1～2 題（第 6～7 題）：角的換算、圖形的對稱與變換

第 6 題

cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}

，第三象限角的餘弦是負的，所以

cos θ = - \frac{12}{13}

，

tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{5}{12}

。(A)

cos (- θ) = cos θ = - \frac{12}{13}

，正確。(B)

sin (π - θ) = sin θ = - \frac{5}{13}

，不是

\frac{5}{13}

，不對。(C)

sin (\frac{3 π}{2} + θ) = - cos θ = \frac{12}{13}

，不是

\frac{5}{13}

，不對。(D)

cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ = - \frac{5}{13}

，不是

- \frac{12}{13}

，不對。(E) 正切的週期是

π

，

tan (π + θ) = tan θ = \frac{5}{12}

，正確。選 (A)(E)。

第 7 題(A)

y = sin x

的圖形在

(π, 0)

穿過

x

軸。以

(π, 0)

為中心旋轉

18 0^{\circ}

，會把點

(x, y)

送到

(2 π - x, - y)

；而

sin (2 π - x) = - sin x

，所以圖形上的點轉過去仍在圖形上，得到相同的圖形，正確。(B) 水平伸縮為

\frac{1}{2}

倍是把

x

換成

2 x

，得到

y = sin 2 x

；

y = sin \frac{1}{2} x

是水平伸縮為

2

倍，不對。(C)

y = 2 sin x

只改變振幅，

y = sin (x + \frac{π}{3})

只是左右平移，兩個的週期都是

2 π

，正確。(D) 向上平移

\frac{π}{3}

得到的是

y = sin x + \frac{π}{3}

；

y = sin (x + \frac{π}{3})

是向左平移

\frac{π}{3}

，不對。(E) 直線

x + \frac{3 π}{2} = 0

就是

x = - \frac{3 π}{2}

。

sin (- \frac{3 π}{2}) = 1

，這條直線通過圖形的一個最高點，

y = sin x

的圖形對稱於通過最高點（或最低點）的鉛直線，正確。選 (A)(C)(E)。

(E) 也可以直接檢查：

sin (- \frac{3 π}{2} + t)

與

sin (- \frac{3 π}{2} - t)

分別加上

2 π

後是

sin (\frac{π}{2} + t)

與

sin (\frac{π}{2} - t)

，兩個都等於

cos t

。

y = sin x

的圖形：對每一個與

x

軸的交點是點對稱，對每一條通過最高點或最低點的鉛直線是線對稱。

04多選第 3～4 題（第 8～9 題）：正弦型函數的性質、由圖形定係數

第 8 題(A) 週期是

\frac{2 π}{2} = π

，不是

4 π

，不對。(B) 振幅是

sin

前面的係數

3

，正確。(C)

x = \frac{7 π}{8}

時，

2 x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，此時

f (x) = 3 \times (- 1) - 1 = - 4

，正是最小值，正確。(D)

- 1 \leq sin (2 x - \frac{π}{4}) \leq 1

，所以

- 4 \leq f (x) \leq 2

，最大值只有

2

，圖形碰不到直線

y = 3

，沒有交點，不對。(E) 向右平移

\frac{π}{4}

是把

x

換成

x - \frac{π}{4}

，得到

y = 3 sin 2 (x - \frac{π}{4}) - 1 = 3 sin (2 x - \frac{π}{2}) - 1

，不是題目的函數，不對。選 (B)(C)。

(E) 因為

2 x - \frac{π}{4} = 2 (x - \frac{π}{8})

，要向右平移

\frac{π}{8}

才對。

第 9 題由圖：最高點是

(10, 1)

，最低點在

x = 24

（高度

0

），

(17, \frac{1}{2})

是下降途中高度剛好一半的點。最大值

1

、最小值

0

，而

a > 0

，所以

a + d = 1

、

- a + d = 0

，解得

a = \frac{1}{2}

、

d = \frac{1}{2}

。最高點到相鄰的最低點是半個週期：

24 - 10 = 14

天，所以週期是

28

天（最高點到

x = 17

是

7

天，正好四分之一週期，與圖一致）。

b > 0

，週期

\frac{2 π}{b} = 28

，

b = \frac{π}{14}

。

x = 10

時到最高點，

sin (10 b - c) = 1

，所以

\frac{10 π}{14} - c = \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數），

c = \frac{3 π}{14} - 2 k π

；在

0 \leq c \leq \frac{π}{2}

的範圍內只有

c = \frac{3 π}{14}

。(A) 週期是

28

天，不對。(B)

b = \frac{π}{14}

，不對。(C) 正確。(D)

3 b = \frac{3 π}{14} = c

，正確。(E)

a = d = \frac{1}{2}

，正確。選 (C)(D)(E)。

檢查：

y = \frac{1}{2} sin (\frac{π}{14} x - \frac{3 π}{14}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sin \frac{π ( x - 3 )}{14} + \frac{1}{2}

，

x = 17

時是

\frac{1}{2} sin π + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

，

x = 24

時是

\frac{1}{2} sin \frac{3 π}{2} + \frac{1}{2} = 0

，都與圖相符。

由圖形定

y = a sin (b x - c) + d

：最大值與最小值定

a

、

d

，最高點到最低點是半個週期定

b

，再代一個最高點定

c

。

05填充第 1～3 題（第 10～13 題）：度與弳互換、同界角、扇形面積

第 10 題

18 0^{\circ} = π

弳，

1^{\circ} = \frac{π}{180}

弳，所以

12 4^{\circ} = \frac{124}{180} π = \frac{31 π}{45}

弳（分子分母同除以

4

）。

第 11 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

- \frac{7 π}{10}

弳

= - \frac{7}{10} \times 18 0^{\circ} = - 12 6^{\circ}

，空格填

- 126

。

第 12 題同界角相差

2 π

的整數倍，

θ = 20 - 2 k π

（

k

為整數）。

2 π \approx 6.283

：

3 \times 2 π \approx 18.85 \leq 20

，

4 \times 2 π \approx 25.13 > 20

，所以取

k = 3

，

θ = 20 - 6 π \approx 1.15

，在

0

與

2 π

之間。

20

沒有度的記號，是

20

弳，不可以當成

2 0^{\circ}

。

第 13 題扇形面積

= \frac{1}{2} \times

半徑

\times

弧長

= \frac{1}{2} \times 6 \times 12 = 36

。

這個扇形的圓心角是

\frac{12}{6} = 2

弳，小於

2 π

，扇形存在。

度化弳乘

\frac{π}{180}

，弳化度乘

\frac{180}{π}

；已知半徑

r

與弧長

s

，扇形面積是

\frac{1}{2} r s

。

06填充第 4～5 題（第 14～15 題）：特殊角、時針針尖的弧長

第 14 題逐項求值。

sin \frac{5 π}{3} = - \frac{3}{2}

（第四象限，參考角

\frac{π}{3}

）；

cos (- \frac{5 π}{6}) = cos \frac{5 π}{6} = - \frac{3}{2}

；

sin \frac{π}{2} = 1

；

cos π = - 1

；

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

（第三象限，參考角

\frac{π}{6}

）；

tan \frac{11 π}{4} = tan (\frac{11 π}{4} - 2 π) = tan \frac{3 π}{4} = - 1

。原式

= (- \frac{3}{2}) (- \frac{3}{2}) - 1 \times (- 1) + (- \frac{1}{2}) \times (- 1) = \frac{3}{4} + 1 + \frac{1}{2} = \frac{9}{4}

。

第 15 題時針

12

小時轉一圈，也就是

12 \times 60 = 720

分鐘轉

2 π

弳，每分鐘轉

\frac{2 π}{720} = \frac{π}{360}

弳。針尖走的弧長

=

半徑

\times

圓心角

= 6 \times \frac{π}{360} = \frac{π}{60}

公寸。

題目問的是時針，不是分針；分針是

60

分鐘轉一圈。

特殊角先減掉

2 π

的整數倍、找參考角，再依象限決定正負；弧長公式裡的圓心角要用弳。

07填充第 6～7 題（第 16～17 題）：圓內的面積、數交點

第 16 題直線

O A

與直線

O B

垂直，也與直線

A C

垂直，所以

\overline{B D}

（過圓心，是直徑）與

\overline{C E}

平行，陰影區域是圓內夾在這兩條平行線之間的部分，上下對稱於直線

O A

。先看上半部。直角三角形

O A C

中，

\overline{O C} = 2

（半徑）、

\overline{O A} = 2

，

\overline{A C} = 2^{2} - (2)^{2} = 2

，是等腰直角三角形，

∠ A O C = \frac{π}{4}

，於是

∠ B O C = \frac{π}{2} - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}

。上半部

=

扇形

B O C

+

三角形

O A C

= \frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{4} + \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = \frac{π}{2} + 1

。下半部相同，所以陰影區域面積

= 2 (\frac{π}{2} + 1) = π + 2

。

數值約

5.14

，比半圓的面積

2 π \approx 6.28

小，合理。圖上的

D

、

E

分別是

B

、

C

對直線

O A

的對稱點。

第 17 題解的個數就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{10}

的交點個數。

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以交點只可能在

- 10 \leq x \leq 10

之間；

3 π \approx 9.42 < 10 < 4 π \approx 12.57

。先看

x > 0

。在

0 < x < π

：直線很平，曲線先在直線上方，到

x = π

時曲線回到

0

、直線在

\frac{π}{10} \approx 0.31

，中間交

1

次。在

π \leq x \leq 2 π

：

sin x \leq 0

，直線是正的，不相交。在

2 π < x < 3 π

：兩端曲線是

0

、直線約是

0.63

與

0.94

，曲線在下方；中間

x = \frac{5 π}{2}

時曲線到

1

、直線約

0.79

，曲線在上方，所以上去交

1

次、下來再交

1

次，共

2

次。在

3 π \leq x \leq 10

：

sin x \leq 0

，不相交。所以

x > 0

有

3

個交點。兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個；再加上

x = 0

這一個，共

3 + 3 + 1 = 7

個實數解。

直線通過

(10, 1)

。因為

10

比

3 π

大、又比

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

大，第二個波峰整個在直線碰到高度

1

之前，才會交到

2

次。別漏了原點。

方程式一邊是正弦、一邊是直線時解不出來，改成畫兩個圖形數交點：先用

- 1 \leq sin x \leq 1

定範圍，再一個波一個波數。

08混合題（第 18～20 題）：畫正弦圖形、解方程式與不等式

第 18 題

y = sin x

的週期是

2 π

，

- 2 π \leq x \leq 2 π

剛好畫兩個完整的波。先描關鍵點：

x = - 2 π

、

- π

、

0

、

π

、

2 π

時

y = 0

；

x = - \frac{3 π}{2}

、

\frac{π}{2}

時

y = 1

（最高點）；

x = - \frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

時

y = - 1

（最低點）。再用平滑的曲線依序連起來，如附圖。

載入中...

圖形只畫到

x = \pm 2 π

為止，最高到

1

、最低到

- 1

，不要畫到方格的

2

與

- 2

。

第 19 題

sin x = \frac{3}{2}

在

0 \leq x < 2 π

內的解是

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

；各減去

2 π

得到

- \frac{5 π}{3}

與

- \frac{4 π}{3}

。所以在

- 2 π \leq x \leq 2 π

內的解共四個：

- \frac{5 π}{3}

、

- \frac{4 π}{3}

、

\frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

。(A)

sin (- \frac{5 π}{6}) = - \frac{1}{2}

，不是解。(B)

- \frac{5 π}{3}

是解。(C)

- \frac{4 π}{3}

是解。(D)

sin (- \frac{π}{3}) = - \frac{3}{2}

，差一個負號，不是解。(E)

\frac{2 π}{3}

是解。選 (B)(C)(E)。

第 20 題在第 (1) 小題的圖上再畫水平線

y = \frac{3}{2}

。由第 (2) 小題，它與

y = sin x

在

- 2 π \leq x \leq 2 π

內交於

x = - \frac{5 π}{3}

、

- \frac{4 π}{3}

、

\frac{π}{3}

、

\frac{2 π}{3}

四處。

sin x \geq \frac{3}{2}

就是曲線在這條水平線上或上方的部分，也就是兩個波峰附近：左邊的波峰（

x = - \frac{3 π}{2}

）夾在

- \frac{5 π}{3}

與

- \frac{4 π}{3}

之間，右邊的波峰（

x = \frac{π}{2}

）夾在

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

之間；其餘的地方曲線都在水平線下方。所以解是

- \frac{5 π}{3} \leq x \leq - \frac{4 π}{3}

或

\frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

。

不等式有等號，四個端點都要包含。

解正弦不等式：先求交點，再看圖形在水平線的上方或下方。

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04多選第 3～4 題（第 8～9 題）：正弦型函數的性質、由圖形定係數

05填充第 1～3 題（第 10～13 題）：度與弳互換、同界角、扇形面積

06填充第 4～5 題（第 14～15 題）：特殊角、時針針尖的弧長

07填充第 6～7 題（第 16～17 題）：圓內的面積、數交點

08混合題（第 18～20 題）：畫正弦圖形、解方程式與不等式

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