段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

臺南二中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、多重選擇題 4 題共 24 分（每題 6 分）；二、填充題 12 格共 63 分（依答對格數給分）；三、混合題共 13 分（四小題依序 2、4、4、3 分）。原卷三個大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編為第 1～20 題：填充題 1～12 是本頁第 5～16 題，混合題 1①、1②、2①、2② 是本頁第 17～20 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，20 題中 19 題相同、1 題不同（第 7 題：學校公布的答案代回題目不成立，本頁寫依卷面條件計算的答案並註明學校印的）；另外第 11 題的答案與學校相同，但滿足題目兩式的三角形其實不存在，見詳解。

一、多重選擇題：共 24 分　說明：每題均有 5 個選項，其中至少有 1 個選項是正確的。所有選項均答對者得 6 分，只錯 1 個選項者得 4 分，只錯 2 個選項者得 2 分，其餘不給分。

已知

tan θ = \frac{3}{4}

且

π < θ < \frac{3}{2} π

，則下列何者正確？

(A) $sin θ = - \frac{3}{5}$
(B) $cos (\frac{π}{2} - θ) = \frac{4}{5}$
(C) $cos 2 θ = \frac{7}{25}$
(D) $sin 3 θ = \frac{44}{125}$
(E) $cos \frac{θ}{2} = \frac{10}{10}$

下列各函數中，何者是週期函數且週期為

π

？

(A) $y = sin \frac{x}{2}$
(B) $y = cos (- 2 x)$
(C) $y = 2 tan x$
(D) $y = ∣ sin x ∣$
(E) $y = 1 - 3 cos^{2} x$

右圖為函數

y = a sin (b x + c)

的圖形，其中

a

，

b > 0

，

0 \leq c < 2 π

，下列敘述何者正確？

(A) $a = 2$
(B) $b = \frac{1}{2}$
(C) $c = \frac{π}{3}$
(D) 將函數 $y = 2 sin 2 x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{6}$ 單位所得圖形與右圖形重合
(E) 右圖亦為函數 $y = 2 cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的圖形

載入中...

有關函數

f (x) = cos x + sin x

的敘述，下列何者正確？

(A) $f (x)$ 的週期是 $2 π$
(B) $f (x)$ 的振幅是 $2$
(C) 直線 $x = \frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 的對稱軸
(D) 函數 $f (x) = - 1$ 沒有實數解
(E) 函數 $f (x)$ 的圖形對稱於點 $(- \frac{π}{4}, 0)$

二、填充題：共 63 分（答對格數與得分：1 格 7 分、2 格 14 分、3 格 20 分、4 格 26 分、5 格 32 分、6 格 38 分、7 格 43 分、8 格 48 分、9 格 52 分、10 格 56 分、11 格 60 分、12 格 63 分）

sin \frac{5 π}{6} \cdot sin (- \frac{7 π}{6}) + cos \frac{11 π}{3} \cdot tan \frac{3 π}{4} + cos π =

____。

如右圖，扇形

O

A B C

中，

C

是

A B

的中點（本站說明：依圖，指弧

A B

的中點），弓形

A B C

的內切圓的圓心為

P

。已知

\overline{O A} = \overline{O B} = 12

，弧長

A B = 8 π

，則鋪色面積為 ____。

載入中...

設

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

且

- 3 \leq tan x \leq \frac{3}{3}

，求

x

的範圍 ____。

方程式

x - 5 sin 2 x = 0

有 ____ 個實數解。

設

\frac{π}{2} < α < π

，

π < β < \frac{3 π}{2}

且

cos α = - \frac{3}{5}

，

tan β = \frac{12}{5}

。試求

cos (α - β) =

____。

一座斜張橋如圖。已知

\overline{O C} = 80

公尺，

\overline{A C} = 60

公尺，

\overline{B C} = 24

公尺，則

tan α =

____。

載入中...

已知

△ A B C

滿足

4 sin A + sin B = 3

且

4 cos A - cos B = 1

，則

cos C =

____。

設

0 \leq x \leq π

，則

y = 4 sin x - 3 cos x + 5

的最小值為 ____。

已知

18 0^{\circ} < x < 27 0^{\circ}

且

3 cos x + sin x = 2 sin 202 2^{\circ}

，則

x =

____。

已知

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

，

y = 2 sin^{2} x + 2 cos x - 3

，若

y

的最大值為

α

且最小值為

β

，求實數對

(α, β) =

____。

在

△ A B C

中，

∠ B = 2∠ C

，

\overline{A B} = 4

，

\overline{B C} = 5

，求

\overline{A C} =

____。

有一個圓形水池，圓心在

(0, 0)

，半徑為

5

，夏荷和秋菊同時從點

(5, 0)

出發，夏荷逆時針繞水池散步，秋菊順時針繞水池跑步且速率是夏荷的

2

倍。若當夏荷初到點

(4, - 3)

時，則秋菊跑到點

(a, b)

，求點

(a, b) =

____。

三、混合題：共 13 分；請在試題卷上作答

混合題第 1 題（本頁第 17～18 題）（第 17～18 題）　遊樂區中有一圓形摩天輪，逆時針方向運轉一圈需時

18

分鐘。當摩天輪開始運轉時，甲車廂恰在離地最近的位置上，若

x

分鐘後，甲車廂離地的高度

y

（公尺）可表為

y = 30 sin (b x - \frac{π}{2}) + 32

，其中

b

是正數。

①

b =

____。（2 分）

載入中...

② 一位同學坐在甲車廂且只坐一圈，要在離地

47

公尺以上的高空錄影，則她需要開始運轉後

a

分鐘到

b

分鐘之間拍攝，試問區間

[a, b]

的最大範圍 ____（用區間表示）。（4 分）

混合題第 2 題（本頁第 19～20 題）（第 19～20 題）　設

f (x) = 23 sin (x + \frac{π}{6}) - 4 sin x

。

① 將函數表示成

f (x) = r sin (x + θ)

的形式，其中

r > 0

。（4 分）

② 若

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，則

x =

____ 時，

f (x)

有最大值為 ____。（3 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)

第 2 題(B)(C)(D)(E)

第 3 題(A)(C)(D)(E)

第 4 題(A)(E)

第 5 題

- \frac{5}{4}

第 6 題

39 π - 363

第 7 題

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{6}

（本站依卷面條件計算；學校公布的答案印

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}

，上界代

x = \frac{π}{3}

不合題目，見詳解）

第 8 題

7

第 9 題

- \frac{33}{65}

第 10 題

\frac{18}{49}

第 11 題

- \frac{7}{8}

（與學校公布的答案相同；但滿足題目兩式的三角形其實不存在，見詳解）

第 12 題

2

第 13 題

25 8^{\circ}

第 14 題

(- \frac{1}{2}, - 1)

第 15 題

6

第 16 題

(\frac{7}{5}, \frac{24}{5})

第 17 題

\frac{π}{9}

第 18 題

[6, 12]

第 19 題

f (x) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3})

第 20 題

x = 0

時有最大值

3

（依題目卷的範圍；原卷空白答案卷另印

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

，那個範圍的答案是

x = - \frac{π}{6}

時最大值

2

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～2 題）：由正切值求各種角的值、判斷週期

第 1 題

θ

是第三象限角，正弦、餘弦都是負的。由

tan θ = \frac{3}{4}

畫出兩股

3

、

4

，斜邊

5

的直角三角形，得

sin θ = - \frac{3}{5}

、

cos θ = - \frac{4}{5}

。(A) 正確。(B)

cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ = - \frac{3}{5}

，不是

\frac{4}{5}

，錯。(C)

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

，正確。(D) 先算

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{24}{25}

，再用和角公式：

sin 3 θ = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = \frac{24}{25} \times (- \frac{4}{5}) + \frac{7}{25} \times (- \frac{3}{5}) = - \frac{117}{125}

，不是

\frac{44}{125}

，錯。(E) 由

π < θ < \frac{3}{2} π

得

\frac{π}{2} < \frac{θ}{2} < \frac{3 π}{4}

，是第二象限角，餘弦為負；

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{1}{10}

，所以

cos \frac{θ}{2} = - \frac{10}{10}

，正負號不對，錯。選 (A)(C)。

(D) 的

\frac{44}{125}

是

cos 3 θ

的值：

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = - \frac{28}{125} + \frac{72}{125} = \frac{44}{125}

。

第 2 題(A)

y = sin \frac{x}{2}

的週期是

\frac{2 π}{1/2} = 4 π

，錯。(B)

cos (- 2 x) = cos 2 x

，週期

\frac{2 π}{2} = π

，正確。(C) 正切函數的週期是

π

，乘上

2

只是上下伸縮，週期仍是

π

，正確。(D)

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，把

y = sin x

在

x

軸下方的部分往上翻，每隔

π

就重複一次；圖形只在

x = k π

碰到

x

軸，相鄰兩個相距

π

，所以不會有更短的週期，週期是

π

，正確。(E) 用倍角公式降次：

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，

y = 1 - \frac{3}{2} (1 + cos 2 x) = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} cos 2 x

，週期

π

，正確。選 (B)(C)(D)(E)。

已知一個三角函數值，先看象限定正負號再算其他的；

sin^{2} x

、

cos^{2} x

降次之後變成

2 x

的餘弦，週期減半。

02多重選擇題（第 3～4 題）：由圖形讀函數、疊合後看對稱

第 3 題圖形最高

2

、最低

- 2

，

a > 0

，所以

a = 2

，(A) 正確。最高點在

x = \frac{π}{12}

，下一個最低點在

x = \frac{7 π}{12}

，相距半個週期：半週期

= \frac{7 π}{12} - \frac{π}{12} = \frac{π}{2}

，週期

π = \frac{2 π}{b}

，

b = 2

，(B) 錯。

x = \frac{π}{12}

是最高點：

2 \times \frac{π}{12} + c = \frac{π}{2} + 2 k π

，在

0 \leq c < 2 π

內

c = \frac{π}{3}

，(C) 正確。所以圖形是

y = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})

。(D) 把

y = 2 sin 2 x

向左平移

\frac{π}{6}

，就是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

：

y = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})

，與右圖相同，正確。(E) 因為

cos t = sin (t + \frac{π}{2})

，

2 cos (2 x - \frac{π}{6}) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6} + \frac{π}{2}) = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})

，正確。選 (A)(C)(D)(E)。

檢查：

x = \frac{7 π}{12}

時

2 sin (\frac{7 π}{6} + \frac{π}{3}) = 2 sin \frac{3 π}{2} = - 2

，與圖相符。

第 4 題疊合：

f (x) = sin x + cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{4} + cos x sin \frac{π}{4}) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。(A) 週期

2 π

，正確。(B) 振幅是

2

，不是

2

，錯。(C) 若

x = \frac{π}{2}

是對稱軸，左右等距的兩點函數值要相等；但

f (0) = 1

、

f (π) = - 1

，不相等，錯。（對稱軸要通過最高點或最低點，是

x = \frac{π}{4} + k π

。）(D)

f (π) = cos π + sin π = - 1

，

x = π

就是一個解，錯。(E)

f (- \frac{π}{4}) = 2 sin 0 = 0

；而且

f (- \frac{π}{4} + t) = 2 sin t

、

f (- \frac{π}{4} - t) = - 2 sin t

，兩者相加恆為

0

，所以圖形對稱於點

(- \frac{π}{4}, 0)

，正確。選 (A)(E)。

由圖形讀

y = a sin (b x + c)

：最高最低決定

a

，相鄰最高點與最低點相距半個週期決定

b

，最後代最高點求

c

。正弦型函數的對稱軸通過最高或最低點，對稱中心是圖形與中心線的交點。

03填充題 1～3（第 5～7 題）：特殊角、弓形面積、正切不等式

第 5 題逐項算：

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

；

sin (- \frac{7 π}{6}) = - sin \frac{7 π}{6} = - (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

；

cos \frac{11 π}{3} = cos (4 π - \frac{π}{3}) = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

；

tan \frac{3 π}{4} = - 1

；

cos π = - 1

。原式

= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times (- 1) + (- 1) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = - \frac{5}{4}

。

第 6 題扇形的圓心角

= \frac{弧長}{半徑} = \frac{8 π}{12} = \frac{2 π}{3}

。弓形面積

=

扇形

O A B

減三角形

O A B

= \frac{1}{2} \times 1 2^{2} \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 1 2^{2} \times sin \frac{2 π}{3} = 48 π - 363

。

C

是弧的中點，

\overline{O C}

垂直平分弦

\overline{A B}

於

Q

，

\overline{O Q} = 12 cos \frac{π}{3} = 6

，所以

\overline{QC} = 12 - 6 = 6

。弓形的內切圓與弦相切於

Q

、與弧相切於

C

，

\overline{QC}

是它的直徑，半徑

3

，面積

9 π

。鋪色面積

= (48 π - 363) - 9 π = 39 π - 363

。

數值約

60.2

。

第 7 題

x = \pm \frac{π}{2}

時正切沒有定義，所以只看

- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2}

；在這一段

y = tan x

一路上升。

tan (- \frac{π}{3}) = - 3

，

tan \frac{π}{6} = \frac{3}{3}

，所以

- 3 \leq tan x \leq \frac{3}{3}

的解是

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{6}

。

學校公布的答案是

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}

。但

x = \frac{π}{3}

時

tan x = 3

，比

\frac{3}{3}

大，不滿足卷面印的條件；學校的答案對應的是上界為

3

（也就是

- 3 \leq tan x \leq 3

）的情形。本頁答案欄寫依卷面條件計算的結果。

弓形面積等於扇形減三角形，圓心角一定用弧度；解正切不等式先找出等號成立的角，再利用正切在一個週期內遞增。

04填充題 4～6（第 8～10 題）：交點個數、差角公式、斜張橋

第 8 題方程式就是

sin 2 x = \frac{x}{5}

，實數解的個數是

y = sin 2 x

與直線

y = \frac{x}{5}

的交點個數。兩個圖形都對稱於原點，

x = 0

是一個解，正的解與負的解一樣多，所以只數

x > 0

。因為

- 1 \leq sin 2 x \leq 1

，只需看

0 < x \leq 5

；

y = sin 2 x

的週期是

π

。在

0 < x \leq \frac{π}{2}

：曲線是一個向上的拱，

x = \frac{π}{4}

時曲線高

1

、直線高約

0.16

，曲線在上；

x = \frac{π}{2}

時曲線高

0

、直線高約

0.31

，曲線在下，有

1

個交點。在

\frac{π}{2} < x < π

：曲線在

x

軸下方、直線在上方，沒有交點。在

π \leq x \leq \frac{3 π}{2}

：又是一個向上的拱，左端

x = π

曲線高

0

、直線高約

0.63

；拱頂

x = \frac{5 π}{4}

曲線高

1

、直線高約

0.79

；右端

x = \frac{3 π}{2}

曲線高

0

、直線高約

0.94

。曲線先在下、再在上、又在下，有

2

個交點。在

\frac{3 π}{2} < x \leq 5

：因為

5 < 2 π

，曲線在

x

軸下方，沒有交點。所以正的解有

3

個，負的解也有

3

個，連同

x = 0

共

7

個。

七個解約為

0

、

\pm 1.43

、

\pm 3.53

、

\pm 4.21

。

第 9 題

α

在第二象限，

sin α = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}

。

β

在第三象限，正弦、餘弦都是負的；由

tan β = \frac{12}{5}

畫兩股

12

、

5

，斜邊

13

的直角三角形，得

sin β = - \frac{12}{13}

、

cos β = - \frac{5}{13}

。

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = (- \frac{3}{5}) (- \frac{5}{13}) + \frac{4}{5} \times (- \frac{12}{13}) = \frac{15 - 48}{65} = - \frac{33}{65}

。

第 10 題由圖，

\overline{O C}

與橋面垂直，

B

在

\overline{A C}

上，

α = ∠ A O B = ∠ A O C - ∠ B O C

。直角三角形

A O C

中

tan ∠ A O C = \frac{A C}{O C} = \frac{60}{80} = \frac{3}{4}

；直角三角形

B O C

中

tan ∠ B O C = \frac{24}{80} = \frac{3}{10}

。用正切的差角公式：

tan α = \frac{\frac{3}{4} - \frac{3}{10}}{1 + \frac{3}{4} \times \frac{3}{10}} = \frac{\frac{9}{20}}{\frac{49}{40}} = \frac{18}{49}

。

數實數解的個數就畫兩個圖形，先用值域把範圍框住，再一個拱一個拱比高低；圖上要求的角常是兩個好算的角相減，用正切的差角公式。

05填充題 7～9（第 11～13 題）：平方相加、疊合的極值與方程式

第 11 題兩式分別平方：

16 sin^{2} A + 8 sin A sin B + sin^{2} B = 9

，

16 cos^{2} A - 8 cos A cos B + cos^{2} B = 1

。相加，利用

sin^{2} + cos^{2} = 1

：

16 + 1 - 8 (cos A cos B - sin A sin B) = 10

，即

17 - 8 cos (A + B) = 10

，

cos (A + B) = \frac{7}{8}

。三角形中

C = π - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - \frac{7}{8}

。

這是題目預期的算法，也與學校公布的答案相同。不過若再往下檢查：

cos (A + B) = \frac{7}{8}

表示

A + B

大約只有

2 9^{\circ}

，這時

sin A

、

sin B

都小於

sin 2 9^{\circ} < \frac{1}{2}

，

4 sin A + sin B < 2.5

，達不到第一式的

3

。也就是說，同時滿足題目兩個式子的三角形其實不存在。作答時照上面的算法寫

- \frac{7}{8}

即可。

第 12 題疊合：

4 sin x - 3 cos x = 5 (\frac{4}{5} sin x - \frac{3}{5} cos x) = 5 sin (x - φ)

，其中

cos φ = \frac{4}{5}

、

sin φ = \frac{3}{5}

，

φ

是銳角。所以

y = 5 sin (x - φ) + 5

。

0 \leq x \leq π

時

- φ \leq x - φ \leq π - φ

；在這一段，正弦從

sin (- φ) = - \frac{3}{5}

升到

1

，再降到

sin (π - φ) = \frac{3}{5}

，最小是

- \frac{3}{5}

（在

x = 0

）。最小值

= 5 \times (- \frac{3}{5}) + 5 = 2

。

直接代

x = 0

：

y = 0 - 3 + 5 = 2

。若不看範圍而用

sin (x - φ) \geq - 1

會得到

0

，那個位置不在

0 \leq x \leq π

內。

第 13 題左邊疊合：

3 cos x + sin x = 2 (sin x cos 6 0^{\circ} + cos x sin 6 0^{\circ}) = 2 sin (x + 6 0^{\circ})

。右邊

202 2^{\circ} = 5 \times 36 0^{\circ} + 22 2^{\circ}

，所以

sin 202 2^{\circ} = sin 22 2^{\circ}

。方程式成為

sin (x + 6 0^{\circ}) = sin 22 2^{\circ}

。由

18 0^{\circ} < x < 27 0^{\circ}

得

24 0^{\circ} < x + 6 0^{\circ} < 33 0^{\circ}

。正弦值與

22 2^{\circ}

相同的角是

22 2^{\circ}

與

18 0^{\circ} - 22 2^{\circ} = - 4 2^{\circ}

（同界角

31 8^{\circ}

），再各加

36 0^{\circ}

的整數倍；落在

24 0^{\circ}

到

33 0^{\circ}

之間的只有

31 8^{\circ}

。所以

x + 6 0^{\circ} = 31 8^{\circ}

，

x = 25 8^{\circ}

。

兩個式子分別含

sin

與

cos

時，平方相加可以湊出和角或差角的餘弦；疊合之後一定要把角的範圍跟著換算，再看正弦在那一段的變化。

06填充題 10～12（第 14～16 題）：二次函數求極值、倍角配邊長、圓周上的點

第 14 題把

sin^{2} x

換成

1 - cos^{2} x

：

y = 2 (1 - cos^{2} x) + 2 cos x - 3 = - 2 cos^{2} x + 2 cos x - 1

。令

t = cos x

，

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

時

0 \leq t \leq 1

。

y = - 2 t^{2} + 2 t - 1 = - 2 (t - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{2}

，開口向下，頂點

t = \frac{1}{2}

在範圍內，最大值

α = - \frac{1}{2}

（此時

x = \pm \frac{π}{3}

）。最小值在離頂點最遠的端點：

t = 0

與

t = 1

離頂點一樣遠，都得

y = - 1

，所以

β = - 1

。

(α, β) = (- \frac{1}{2}, - 1)

。

第 15 題設

∠ C = θ

，則

∠ B = 2 θ

；對邊

\overline{A C} = b

、

\overline{A B} = 4

。正弦定理：

\frac{b}{sin 2 θ} = \frac{4}{sin θ}

，用倍角公式

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

，得

b = 8 cos θ

，即

cos θ = \frac{b}{8}

。另一方面，對

∠ C

用餘弦定理：

cos θ = \frac{5 ^{2} + b ^{2} - 4 ^{2}}{2 \times 5 \times b} = \frac{b ^{2} + 9}{10 b}

。兩式相等：

\frac{b}{8} = \frac{b ^{2} + 9}{10 b}

，

10 b^{2} = 8 b^{2} + 72

，

b^{2} = 36

，

b = 6

。

檢查：

cos C = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

，

cos B = \frac{4 ^{2} + 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \times 4 \times 5} = \frac{1}{8}

，而

cos 2 C = 2 \times \frac{9}{16} - 1 = \frac{1}{8}

，確實

∠ B = 2∠ C

。

第 16 題設夏荷初到

(4, - 3)

時逆時針轉了

θ

（

0 < θ < 2 π

），則

(5 cos θ, 5 sin θ) = (4, - 3)

，

cos θ = \frac{4}{5}

、

sin θ = - \frac{3}{5}

。同一段時間裡秋菊走的弧長是夏荷的

2

倍，同一個圓上轉過的角也是

2

倍，而且是順時針，所以秋菊在標準位置角

- 2 θ

的終邊上：

(a, b) = (5 cos (- 2 θ), 5 sin (- 2 θ)) = (5 cos 2 θ, - 5 sin 2 θ)

。倍角公式：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25}

，

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = 2 \times (- \frac{3}{5}) \times \frac{4}{5} = - \frac{24}{25}

。所以

(a, b) = (5 \times \frac{7}{25}, - 5 \times (- \frac{24}{25})) = (\frac{7}{5}, \frac{24}{5})

。

夏荷轉了將近一圈（

θ

是第四象限角），秋菊順時針轉了將近兩圈，停在第一象限。

同時出現

sin^{2} x

與

cos x

的一次式，換成

cos x

的二次函數並注意

cos x

的範圍；三角形裡有二倍角關係，用正弦定理配倍角公式把邊長連起來。

07混合題第 1 題（第 17～18 題）：摩天輪的正弦模型

第 17 題摩天輪轉一圈

18

分鐘，高度每

18

分鐘重複一次，所以函數的週期是

18

：

\frac{2 π}{b} = 18

，

b = \frac{π}{9}

。

檢查：

x = 0

時

y = 30 sin (- \frac{π}{2}) + 32 = 2

，是最低點，與「開始時在離地最近的位置」相符。

第 18 題只坐一圈，所以

0 \leq x \leq 18

。要

y \geq 47

：

30 sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) + 32 \geq 47

，即

sin (\frac{π}{9} x - \frac{π}{2}) \geq \frac{1}{2}

。

0 \leq x \leq 18

時

- \frac{π}{2} \leq \frac{π}{9} x - \frac{π}{2} \leq \frac{3 π}{2}

；在這一段，正弦值不小於

\frac{1}{2}

的角是

\frac{π}{6}

到

\frac{5 π}{6}

。由

\frac{π}{6} \leq \frac{π}{9} x - \frac{π}{2} \leq \frac{5 π}{6}

，各加

\frac{π}{2}

：

\frac{2 π}{3} \leq \frac{π}{9} x \leq \frac{4 π}{3}

，所以

6 \leq x \leq 12

。區間是

[6, 12]

。

這一小題的

b

是拍攝結束的時間，與前一小題函數裡的

b

不是同一個數，卷面用了同一個字母。

週期現象的模型

y = a sin (b x + c) + d

：轉一圈的時間就是週期

\frac{2 π}{b}

；解不等式時先把角的範圍算出來，再從正弦圖形讀出哪一段符合。

08混合題第 2 題（第 19～20 題）：和角公式展開後疊合

第 19 題先用和角公式展開：

sin (x + \frac{π}{6}) = sin x cos \frac{π}{6} + cos x sin \frac{π}{6} = \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x

。所以

f (x) = 23 (\frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) - 4 sin x = 3 sin x + 3 cos x - 4 sin x = - sin x + 3 cos x

。疊合：

(- 1)^{2} + (3)^{2} = 2

，

f (x) = 2 (- \frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 (sin x cos \frac{2 π}{3} + cos x sin \frac{2 π}{3}) = 2 sin (x + \frac{2 π}{3})

。

學校答案的給分：化簡到

- sin x + 3 cos x

得 2 分，疊合成

2 sin (x + \frac{2 π}{3})

再得 2 分。

第 20 題

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

時

\frac{2 π}{3} \leq x + \frac{2 π}{3} \leq \frac{7 π}{6}

。在這一段正弦一路下降，從

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

降到

sin \frac{7 π}{6} = - \frac{1}{2}

，所以

- \frac{1}{2} \leq sin (x + \frac{2 π}{3}) \leq \frac{3}{2}

。最大值在

x + \frac{2 π}{3} = \frac{2 π}{3}

，即

x = 0

時，

f (0) = 2 \times \frac{3}{2} = 3

。

不可以直接寫最大值是

2

：那要

x + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2}

，即

x = - \frac{π}{6}

，不在範圍內。另外，原卷所附空白答案卷上這一小題的範圍印成

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{2 π}{3}

，與題目卷和學校答案的

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

不同；本頁照題目卷。若用那個範圍，

x = - \frac{π}{6}

時有最大值

2

。

係數裡混著別的角時，先用和角公式全部展開成

a sin x + b cos x

再疊合；限定範圍的最大值不一定是振幅，要看角落在正弦圖形的哪一段。

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第 8 題要畫出正弦圖形與直線，先用值域把範圍框在負 5 到 5，再一個拱一個拱數交點，別漏了原點與負的那一半；第 12 題與第 20 題疊合之後要把角的範圍跟著換算，最小值與最大值都出現在端點而不是振幅；第 13 題要先把 2022 度化成同界角，再從限定範圍裡挑出唯一的解；第 1 題選項 (E) 的半角在第二象限，餘弦是負的。詳解逐題寫在本頁。

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臺南二中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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03填充題 1～3（第 5～7 題）：特殊角、弓形面積、正切不等式

04填充題 4～6（第 8～10 題）：交點個數、差角公式、斜張橋

05填充題 7～9（第 11～13 題）：平方相加、疊合的極值與方程式

06填充題 10～12（第 14～16 題）：二次函數求極值、倍角配邊長、圓周上的點

07混合題第 1 題（第 17～18 題）：摩天輪的正弦模型

08混合題第 2 題（第 19～20 題）：和角公式展開後疊合

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高二第一次段考
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