段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、填充題 12 題共 15 格（每格 5 分，共 75 分）、計算題 1 題 4 小題（共 15 分，答案卷印的配分依序是 4、4、3、4 分），合計 100 分。原卷三大題各自編號，本頁全卷連續編號：第 1～2 題是多選 1～2，第 3～17 題是填充 1～12（其中填充 7、8、9 各有兩格），第 18～21 題是計算題 (1)～(4)。答案已與學校公布的答案逐題核對，21 題（格）全部相同。

一、多選題：每題 5 分，共 10 分【所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。】

下列敘述中，請選出正確的選項。

(1) $sin 1 < sin 2$
(2) $sin π^{\circ} < sin π$
(3) $sin π < sin π^{2}$
(4) $cos 2 < cos 3$
(5) $sin 4 < cos 4$

運輸船進港卸貨時間會受到水深的影響，水深夠深時，才能進港卸貨。某人測量某海港某日

24

小時之時間

t

（單位：時）與水深

h

（單位：公尺）的關係，下表為其當日凌晨 0:00 到中午 12:00 的部分數據。

時間（ t ） 水深（ h ） 0 : 00 12.5 3 : 00 15.2 6 : 00 12.5 9 : 00 9.8 12 : 00 12.5

例如：凌晨 0:00 測量水深為

12.5

公尺。根據上表，當日此海港的水深與測量時間符合正弦函數

h (t) = a sin (b t) + 12.5

，其中

a > 0

，

b > 0

。依此正弦函數模型，試選出正確的選項。

(1) 當日的 18:00 與 24:00 的水深相同
(2) 若運輸船可在下午某時間進港卸貨，則最好的時間點約為 15:00
(3) 水深大約每 $6$ 小時循環一次
(4) 此正弦函數的振幅 $a > 5$
(5) $b = \frac{π}{6}$

二、填充題：每格 5 分，共 75 分

sin \frac{4 π}{3} \times cos \frac{11 π}{6} - tan \frac{123 π}{4} =

____

若點

P (cos (π + θ), tan (θ - 3 π))

在第四象限，則

θ

是第 ____ 象限角

若

θ

為第二象限角，且

sin θ = \frac{3}{5}

，則

sin (\frac{3 π}{2} - θ) + tan (π + θ) =

____

若

\frac{π}{2} < α < π

，

π < β < \frac{3}{2} π

，且

∣ sin α ∣ = ∣ sin β ∣

，則

α + β =

____ 弳

設

π \leq θ \leq \frac{3 π}{2}

，若

6 θ

與

θ

互為同界角，則

θ =

____ 弳

有一輪子，半徑

200

公分，讓它在地上滾動

200

公分的長度，則輪子繞軸轉動 ____ 弳

填充第 7 題（第 9～10 題）（第 9～10 題）　如下圖，半圓的圓心為

O

，半徑

2

單位；再分別以

A

、

B

為圓心，

2

為半徑畫圓，交半圓於

C

、

D

，則

(1) 鋪色區域的周長為 ____ 單位

載入中...

(2) 鋪色區域面積為 ____ 平方單位

填充第 8 題（第 11～12 題）（第 11～12 題）　面積為

9

平方單位的扇形中，求

(1) 最短的扇形周長為 ____ 單位

(2) 此時扇形的半徑為

r

單位，圓心角為

θ

弳，則數對

(r, θ) =

____

填充第 9 題（第 13～14 題）（第 13～14 題）　如下圖，圓半徑為

1

單位，

O

為圓心，五角星

A B C D E

的

5

個頂點將圓周均分成

5

等分，沿

\overline{O A}

、

\overline{O D}

將圓剪成

2

個扇形，留下較大的扇形，則

(1) 優弧

A D ⌢

的弧長為 ____ 單位

載入中...

(2) 將此扇形圍成一個直圓錐，則直圓錐的體積為 ____ 立方單位【錐體體積＝

\frac{1}{3} \times

底面積

\times

高】

設

- π \leq θ \leq π

且

sin θ \leq - \frac{3}{2}

，則

θ

的範圍為 ____ （請以弧度量作答）

將

y = sin x

的圖形水平伸縮

2

倍，再向右平移

3

單位後，所得圖形為

y = sin (a x + b)

，則數對

(a, b) =

____

下圖為函數

y = a sin (x + b) + c

之部分圖形且

a > 0

，

- π \leq b < π

，求數對

(a, b, c) =

____

載入中...

三、計算題：15 分，請於答案卷上作答

計算題（第 18～21 題）（第 18～21 題）　設

- 2 π \leq θ \leq 2 π

，（卷面印

θ

，小題用

x

，即

- 2 π \leq x \leq 2 π

）

(1) 畫出

y = ∣ sin x ∣

的圖形。（4 分）

載入中...

(2) 畫出

y = sin x + ∣ sin x ∣

的圖形。（4 分）

載入中...

(3) 方程式

sin x + ∣ sin x ∣ = 1

有幾個實根？（答案卷這一小題另印「請敘述理由」）（3 分）

(4) 若

sin x + ∣ sin x ∣ = 1

，求

x =

？（請以弧度量作答）（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(5)

第 2 題(1)(2)(5)

第 3 題

\frac{1}{4}

第 4 題二

第 5 題

\frac{1}{20}

第 6 題

2 π

第 7 題

\frac{6}{5} π

第 8 題

1

第 9 題

2 π

第 10 題

23 - \frac{2}{3} π

第 11 題

12

第 12 題

(3, 2)

第 13 題

\frac{6}{5} π

第 14 題

\frac{12}{125} π

第 15 題

- \frac{2}{3} π \leq θ \leq - \frac{π}{3}

第 16 題

(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

第 17 題

(2, - \frac{π}{2}, 1)

第 18 題如詳解的附圖：把

y = sin x

在

x

軸下方的部分對

x

軸翻上去。圖形在

x = 0

、

\pm π

、

\pm 2 π

碰到

x

軸，在

x = \pm \frac{π}{2}

、

\pm \frac{3 π}{2}

到最高點（高度

1

）

第 19 題如詳解的附圖：

- 2 π \leq x \leq - π

與

0 \leq x \leq π

時是

y = 2 sin x

（最高點在

x = - \frac{3 π}{2}

、

\frac{π}{2}

，高度

2

）；

- π \leq x \leq 0

與

π \leq x \leq 2 π

時是

y = 0

（貼在

x

軸上）

第 20 題

4

個

第 21 題

x = - \frac{11 π}{6}

、

- \frac{7 π}{6}

、

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～2 題）：弧度角比大小、港口水深的正弦模型

第 1 題沒有寫度的記號的角都是弧度。先記

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

。 (1)

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

。

1

與

1.14

都在

0

與

\frac{π}{2}

之間，正弦在這一段遞增，所以

sin 1 < sin 1.14 = sin 2

，正確。 (2)

π^{\circ}

是大約

3.1 4^{\circ}

的小銳角，

sin π^{\circ} > 0

；

sin π = 0

。

sin π^{\circ} < sin π

不成立，不對。 (3)

sin π^{2}

是

π^{2}

弳的正弦，不是

(sin π)^{2}

。

π^{2} \approx 9.87

，減去一圈

2 π \approx 6.28

得

3.59

，介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角，

sin π^{2} < 0 = sin π

，不對。 (4)

2

與

3

都在

\frac{π}{2}

與

π

之間（第二象限）。角由

\frac{π}{2}

增加到

π

時，單位圓上的點的

x

坐標由

0

一路減少到

- 1

，所以

cos 2 > cos 3

，不對。 (5)

4

在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間（第三象限），參考角是

4 - π \approx 0.86

，比

\frac{π}{4} \approx 0.79

大。大於

\frac{π}{4}

的銳角正弦比餘弦大，所以

sin 0.86 > cos 0.86

；第三象限兩個值都要加負號，

sin 4 = - sin 0.86 < - cos 0.86 = cos 4

，正確。選 (1)(5)。

數值：

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

、

sin π^{\circ} \approx 0.055

、

sin π^{2} \approx - 0.430

、

cos 2 \approx - 0.416

、

cos 3 \approx - 0.990

、

sin 4 \approx - 0.757

、

cos 4 \approx - 0.654

。

第 2 題

h (t) = a sin (b t) + 12.5

的最大值是

a + 12.5

、最小值是

- a + 12.5

。表中最深

15.2

、最淺

9.8

，所以

a = 15.2 - 12.5 = 2.7

。水深從 0:00 的

12.5

升到 3:00 的最深、6:00 回到

12.5

、9:00 到最淺、12:00 再回到

12.5

，正好一個週期，週期是

12

小時：

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。所以

h (t) = 2.7 sin \frac{π}{6} t + 12.5

。 (1) 週期

12

小時，18:00 的水深與 6:00 相同，24:00 的水深與 12:00 相同，都是

12.5

公尺，正確。 (2) 上午在

t = 3

時最深，再過一個週期，下午在

t = 3 + 12 = 15

時最深，就是 15:00，正確。 (3) 每

12

小時循環一次，不是

6

小時，不對。 (4)

a = 2.7

，不大於

5

，不對。 (5)

b = \frac{π}{6}

，正確。選 (1)(2)(5)。

代回檢查：

h (3) = 2.7 sin \frac{π}{2} + 12.5 = 15.2

、

h (9) = 2.7 sin \frac{3 π}{2} + 12.5 = 9.8

，與表相符。只看表上這五個時刻，

b = \frac{5 π}{6}

這種「兩次測量之間多漲落幾回」的函數也對得上；題意是照表中一漲一落的規律來讀，取週期

12

小時，學校的答案也是這樣。

弧度角比大小先換成「大約幾個

π

」找象限與參考角；週期現象的

y = a sin (b t) + d

，最大最小值定

a

，走完一輪的時間定

b

。

02填充第 1～4 題（第 3～6 題）：特殊角、象限與正負、角的換算

第 3 題

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

（第三象限，參考角

\frac{π}{3}

）；

cos \frac{11 π}{6} = \frac{3}{2}

（第四象限，參考角

\frac{π}{6}

）。

\frac{123 π}{4} = 30 π + \frac{3 π}{4}

，

30 π

是

15

圈，所以

tan \frac{123 π}{4} = tan \frac{3 π}{4} = - 1

。原式＝

(- \frac{3}{2}) \times \frac{3}{2} - (- 1) = - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}

。

第 4 題

cos (π + θ) = - cos θ

。

θ - 3 π

與

θ + π

是同界角（相差

4 π

），所以

tan (θ - 3 π) = tan (π + θ) = tan θ

。點

P

就是

(- cos θ, tan θ)

。

P

在第四象限：

x

坐標為正、

y

坐標為負，即

- cos θ > 0

且

tan θ < 0

，也就是

cos θ < 0

且

tan θ < 0

。餘弦為負是第二、三象限，正切為負是第二、四象限，兩個都成立的是第二象限。

θ

是第二象限角。

第 5 題

θ

是第二象限角，餘弦是負的：

cos θ = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

，

tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ} = - \frac{3}{4}

。

\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)

，所以

sin (\frac{3 π}{2} - θ) = - sin (\frac{π}{2} - θ) = - cos θ = \frac{4}{5}

。

tan (π + θ) = tan θ = - \frac{3}{4}

。所求＝

\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 15}{20} = \frac{1}{20}

。

第 6 題

α

是第二象限角，

sin α > 0

；

β

是第三象限角，

sin β < 0

。所以

∣ sin α ∣ = ∣ sin β ∣

就是

sin α = - sin β

。把兩邊都換成銳角：

sin α = sin (π - α)

，其中

0 < π - α < \frac{π}{2}

；

- sin β = sin (β - π)

，其中

0 < β - π < \frac{π}{2}

。兩個銳角的正弦值相等，角就相等：

π - α = β - π

，所以

α + β = 2 π

。

也可以說：兩個角的參考角相同。

α

的參考角是

π - α

，

β

的參考角是

β - π

。

遇到

π \pm θ

、

\frac{3 π}{2} - θ

這類角，先換回

θ

的三角函數值，再由象限決定正負。

03填充第 5～6 題（第 7～8 題）：同界角、輪子滾動

第 7 題同界角相差

2 π

的整數倍：

6 θ - θ = 2 k π

（

k

為整數），

θ = \frac{2 k π}{5}

。代入範圍

π \leq \frac{2 k π}{5} \leq \frac{3 π}{2}

，得

2.5 \leq k \leq 3.75

，整數

k

只有

3

。所以

θ = \frac{6}{5} π

。

檢查：

6 θ = \frac{36 π}{5}

，減去

θ = \frac{6 π}{5}

得

6 π

，正好三圈。

第 8 題輪子在地上滾動而不打滑時，滾過的距離等於輪緣轉過的弧長。弧長

s = r θ

：

200 = 200 \times θ

，

θ = 1

。輪子轉動

1

弳。

弧長等於半徑時，圓心角就是

1

弳，這正是弧度的定義。

同界角的條件寫成「兩角相減等於

2 k π

」，再用範圍挑出整數

k

。

04填充第 7 題（第 9～10 題）：半圓裡三段圓弧圍成的區域

第 9 題

\overline{O A} = \overline{O C} = 2

（半圓的半徑），

\overline{A C} = 2

（以

A

為圓心的圓的半徑），三角形

O A C

是正三角形，

∠ A O C = ∠ O A C = \frac{π}{3}

。同理三角形

O B D

是正三角形，

∠ B O D = ∠ O B D = \frac{π}{3}

。所以

∠ C O D = π - \frac{π}{3} - \frac{π}{3} = \frac{π}{3}

。鋪色區域的邊界是三段圓弧，半徑都是

2

、圓心角都是

\frac{π}{3}

：弧

C D

（圓心

O

）、弧

O C

（圓心

A

）、弧

O D

（圓心

B

）。每段弧長

2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。周長＝

3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

。

第 10 題扇形

O C D

（圓心

O

、半徑

2

、圓心角

\frac{π}{3}

）的面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。弧

O C

向扇形

O C D

的內側鼓出，它與弦

\overline{O C}

之間是一個弓形，這個弓形在扇形

O C D

裡面但不屬於鋪色區域；弧

O D

那一側也一樣。一個弓形＝扇形

A O C

減去正三角形

A O C

＝

\frac{2 π}{3} - \frac{3}{4} \times 2^{2} = \frac{2 π}{3} - 3

。鋪色面積＝扇形

O C D

減去兩個弓形：

\frac{2 π}{3} - 2 (\frac{2 π}{3} - 3) = 23 - \frac{2 π}{3}

數值約

1.37

，比扇形

O C D

的

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

小，合理。

半徑相同的圓互相通過圓心時，連出來的是正三角形，圓心角都是

\frac{π}{3}

；面積拆成扇形與弓形加減。

05填充第 8 題（第 11～12 題）：面積固定的扇形，周長最短

第 11 題設半徑為

r

、弧長為

s

。面積

\frac{1}{2} r s = 9

，所以

r s = 18

。周長是

2 r + s

。

2 r

與

s

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 r + s}{2} \geq 2 r \times s = 36 = 6

，所以

2 r + s \geq 12

。等號在

2 r = s

時成立（見下一格），最短周長是

12

。

不用算幾不等式也可以：

s = \frac{18}{r}

，周長

2 r + \frac{18}{r} = 12 + \frac{2 ( r - 3 ) ^{2}}{r} \geq 12

，

r = 3

時等於

12

。

第 12 題等號成立時

2 r = s

，代入

r s = 18

：

2 r^{2} = 18

，

r = 3

，

s = 6

。圓心角

θ = \frac{s}{r} = \frac{6}{3} = 2

弳。所以

(r, θ) = (3, 2)

。

2

弳小於

2 π

，這個扇形存在。檢查面積：

\frac{1}{2} \times 3^{2} \times 2 = 9

。

扇形的面積或周長固定時，極值都出現在「弧長等於兩倍半徑」，也就是圓心角

2

弳的時候。

06填充第 9 題（第 13～14 題）：圓周五等分、扇形圍成直圓錐

第 13 題五個頂點把圓周五等分，相鄰兩點所夾的圓心角是

\frac{2 π}{5}

。圓上的順序是

A

、

B

、

C

、

D

、

E

。從

A

到

D

有兩條路：經過

E

的那一段佔

2

等分（劣弧），經過

B

、

C

的那一段佔

3

等分（優弧）。優弧

A D

的圓心角是

3 \times \frac{2 π}{5} = \frac{6 π}{5}

，半徑

1

，弧長＝

1 \times \frac{6 π}{5} = \frac{6}{5} π

。

第 14 題留下的較大扇形半徑

1

、弧長

\frac{6 π}{5}

。圍成直圓錐後，扇形的半徑變成圓錐的斜高，扇形的弧變成底圓的圓周。設底圓半徑為

R

：

2 π R = \frac{6 π}{5}

，

R = \frac{3}{5}

。圓錐的高

h = 1^{2} - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}

。體積＝

\frac{1}{3} \times π \times (\frac{3}{5})^{2} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{9 π}{25} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{125} π

。

扇形圍成圓錐：扇形半徑是斜高，扇形弧長是底圓周長，再用畢氏定理求高。

07填充第 10～12 題（第 15～17 題）：正弦不等式、圖形的伸縮平移、由圖形求係數

第 15 題在

- π \leq θ \leq π

內，

sin θ = - \frac{3}{2}

的角是

- \frac{π}{3}

與

- \frac{2 π}{3}

。看

y = sin θ

的圖形：

θ

由

- \frac{2 π}{3}

到

- \frac{π}{3}

這一段，圖形先降到

θ = - \frac{π}{2}

的

- 1

再升回來，都不高於

- \frac{3}{2}

；其餘的地方都比

- \frac{3}{2}

高。所以

- \frac{2}{3} π \leq θ \leq - \frac{π}{3}

。

不等式有等號，兩個端點都要包含。題目的範圍是

- π

到

π

，所以答案用負角寫，不寫成

\frac{4 π}{3}

到

\frac{5 π}{3}

。

第 16 題水平伸縮

2

倍，是把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

（週期由

2 π

變成

4 π

）。再向右平移

3

單位，是把

x

換成

x - 3

：

y = sin \frac{x - 3}{2} = sin (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})

。所以

(a, b) = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

。

平移是對

x

本身做的，要先減

3

再除以

2

；寫成

sin (\frac{1}{2} x - 3)

就錯了。

b

再加

2 π

的整數倍圖形相同，這裡取最直接的

- \frac{3}{2}

，與學校答案相同。

第 17 題由圖形讀出最大值

3

、最小值

- 1

。

a > 0

時最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

：

a + c = 3

、

- a + c = - 1

，解得

a = 2

、

c = 1

。圖形在

x = π

到最高點，所以

sin (π + b) = 1

，

π + b = \frac{π}{2} + 2 k π

，

b = - \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數）。在

- π \leq b < π

內只有

b = - \frac{π}{2}

。

(a, b, c) = (2, - \frac{π}{2}, 1)

。

檢查：

x = 0

時

y = 2 sin (- \frac{π}{2}) + 1 = - 1

，是最低點，與圖相符；

x + b

的係數是

1

，週期

2 π

，也與圖上兩個最低點

x = 0

、

x = 2 π

相符。

y = a sin (x + b) + c

：最大值與最小值定

a

、

c

，最高點（或最低點）的位置定

b

。

08計算題（第 18～21 題）：含絕對值的正弦函數圖形與方程式

第 18 題

sin x \geq 0

時

∣ sin x ∣ = sin x

，圖形不變；

sin x < 0

時

∣ sin x ∣ = - sin x

，等於把

y = sin x

在

x

軸下方的部分對

x

軸翻到上方。在

- 2 π \leq x \leq 2 π

：圖形在

x = - 2 π

、

- π

、

0

、

π

、

2 π

碰到

x

軸，在

x = - \frac{3 π}{2}

、

- \frac{π}{2}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

到最高點，高度都是

1

，共四個一樣的拱形。

載入中...

這個函數的週期是

π

。碰到

x

軸的地方是尖的，不是圓滑的轉彎。

第 19 題分兩種情形。

sin x \geq 0

時，

y = sin x + sin x = 2 sin x

；

sin x < 0

時，

y = sin x - sin x = 0

。在

- 2 π \leq x \leq 2 π

：

sin x \geq 0

的範圍是

- 2 π \leq x \leq - π

與

0 \leq x \leq π

，這兩段畫

y = 2 sin x

，各是一個高度

2

的拱形，最高點在

x = - \frac{3 π}{2}

與

x = \frac{π}{2}

；

- π < x < 0

與

π < x < 2 π

這兩段

y = 0

，圖形貼在

x

軸上。

載入中...

也可以用圖形相加來想：把

y = sin x

與上一小題的

y = ∣ sin x ∣

在同一個

x

的高度相加，兩者同為正的地方變兩倍，一正一負的地方互相抵消。

第 20 題實根的個數就是

y = sin x + ∣ sin x ∣

的圖形與水平線

y = 1

的交點個數。由上一小題的圖：貼在

x

軸上的兩段高度是

0

，碰不到

y = 1

；兩個拱形的高度都由

0

升到

2

再降回

0

，每個拱形與

y = 1

各有

2

個交點。共

2 + 2 = 4

個交點，所以方程式有

4

個實根。

載入中...

第 21 題

sin x < 0

時左邊等於

0

，不可能等於

1

，所以只要看

sin x \geq 0

：此時方程式是

2 sin x = 1

，

sin x = \frac{1}{2}

。在

0 \leq x \leq π

：

x = \frac{π}{6}

或

x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

。在

- 2 π \leq x \leq - π

：把上面兩個角各減

2 π

，

x = \frac{π}{6} - 2 π = - \frac{11 π}{6}

或

x = \frac{5 π}{6} - 2 π = - \frac{7 π}{6}

。所以

x = - \frac{11 π}{6}

、

- \frac{7 π}{6}

、

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

，共

4

個，與上一小題的個數相符。

sin x = \frac{1}{2}

的四個解都滿足

sin x \geq 0

，不必再刪。若誤把

sin x = - \frac{1}{2}

的角也算進來，代回去左邊是

0

，不合。

含絕對值的函數先依裡面的正負分段，每一段各自是熟悉的圖形；方程式的實根個數就是圖形與水平線的交點個數。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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上傳考卷

常見問題

臺南二中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題的角都是弧度，π 的平方要先減掉一圈再看落在第幾象限；填充第 7 題（本頁第 9、10 題）鋪色區域要看成一個扇形減掉兩個弓形；填充第 11 題（第 16 題）水平伸縮 2 倍是把 x 換成二分之 x，再向右平移時要整個 x 一起換；計算題（第 18 到 21 題）正弦值是負的那幾段，函數值是 0，方程式在那裡沒有解。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺南二中 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：三角函數（弧度量、弧度角的三角函數值、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期）

臺南二中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

下列敘述中，請選出正確的選項。

(1) $sin 1 < sin 2$
(2) $sin π^{\circ} < sin π$
(3) $sin π < sin π^{2}$
(4) $cos 2 < cos 3$
(5) $sin 4 < cos 4$

運輸船進港卸貨時間會受到水深的影響，水深夠深時，才能進港卸貨。某人測量某海港某日

24

小時之時間

t

（單位：時）與水深

h

（單位：公尺）的關係，下表為其當日凌晨 0:00 到中午 12:00 的部分數據。

時間（ t ） 水深（ h ） 0 : 00 12.5 3 : 00 15.2 6 : 00 12.5 9 : 00 9.8 12 : 00 12.5

例如：凌晨 0:00 測量水深為

12.5

公尺。根據上表，當日此海港的水深與測量時間符合正弦函數

h (t) = a sin (b t) + 12.5

，其中

a > 0

，

b > 0

。依此正弦函數模型，試選出正確的選項。

(1) 當日的 18:00 與 24:00 的水深相同
(2) 若運輸船可在下午某時間進港卸貨，則最好的時間點約為 15:00
(3) 水深大約每 $6$ 小時循環一次
(4) 此正弦函數的振幅 $a > 5$
(5) $b = \frac{π}{6}$

二、填充題：每格 5 分，共 75 分

sin \frac{4 π}{3} \times cos \frac{11 π}{6} - tan \frac{123 π}{4} =

____

若點

P (cos (π + θ), tan (θ - 3 π))

在第四象限，則

θ

是第 ____ 象限角

若

θ

為第二象限角，且

sin θ = \frac{3}{5}

，則

sin (\frac{3 π}{2} - θ) + tan (π + θ) =

____

若

\frac{π}{2} < α < π

，

π < β < \frac{3}{2} π

，且

∣ sin α ∣ = ∣ sin β ∣

，則

α + β =

____ 弳

設

π \leq θ \leq \frac{3 π}{2}

，若

6 θ

與

θ

互為同界角，則

θ =

____ 弳

有一輪子，半徑

200

公分，讓它在地上滾動

200

公分的長度，則輪子繞軸轉動 ____ 弳

填充第 7 題（第 9～10 題）（第 9～10 題）　如下圖，半圓的圓心為

O

，半徑

2

單位；再分別以

A

、

B

為圓心，

2

為半徑畫圓，交半圓於

C

、

D

，則

(1) 鋪色區域的周長為 ____ 單位

載入中...

(2) 鋪色區域面積為 ____ 平方單位

填充第 8 題（第 11～12 題）（第 11～12 題）　面積為

9

平方單位的扇形中，求

(1) 最短的扇形周長為 ____ 單位

(2) 此時扇形的半徑為

r

單位，圓心角為

θ

弳，則數對

(r, θ) =

____

填充第 9 題（第 13～14 題）（第 13～14 題）　如下圖，圓半徑為

1

單位，

O

為圓心，五角星

A B C D E

的

5

個頂點將圓周均分成

5

等分，沿

\overline{O A}

、

\overline{O D}

將圓剪成

2

個扇形，留下較大的扇形，則

(1) 優弧

A D ⌢

的弧長為 ____ 單位

載入中...

(2) 將此扇形圍成一個直圓錐，則直圓錐的體積為 ____ 立方單位【錐體體積＝

\frac{1}{3} \times

底面積

\times

高】

設

- π \leq θ \leq π

且

sin θ \leq - \frac{3}{2}

，則

θ

的範圍為 ____ （請以弧度量作答）

將

y = sin x

的圖形水平伸縮

2

倍，再向右平移

3

單位後，所得圖形為

y = sin (a x + b)

，則數對

(a, b) =

____

下圖為函數

y = a sin (x + b) + c

之部分圖形且

a > 0

，

- π \leq b < π

，求數對

(a, b, c) =

____

載入中...

三、計算題：15 分，請於答案卷上作答

計算題（第 18～21 題）（第 18～21 題）　設

- 2 π \leq θ \leq 2 π

，（卷面印

θ

，小題用

x

，即

- 2 π \leq x \leq 2 π

）

(1) 畫出

y = ∣ sin x ∣

的圖形。（4 分）

載入中...

(2) 畫出

y = sin x + ∣ sin x ∣

的圖形。（4 分）

載入中...

(3) 方程式

sin x + ∣ sin x ∣ = 1

有幾個實根？（答案卷這一小題另印「請敘述理由」）（3 分）

(4) 若

sin x + ∣ sin x ∣ = 1

，求

x =

？（請以弧度量作答）（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(1)(5)

第 2 題(1)(2)(5)

第 3 題

\frac{1}{4}

第 4 題二

第 5 題

\frac{1}{20}

第 6 題

2 π

第 7 題

\frac{6}{5} π

第 8 題

1

第 9 題

2 π

第 10 題

23 - \frac{2}{3} π

第 11 題

12

第 12 題

(3, 2)

第 13 題

\frac{6}{5} π

第 14 題

\frac{12}{125} π

第 15 題

- \frac{2}{3} π \leq θ \leq - \frac{π}{3}

第 16 題

(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

第 17 題

(2, - \frac{π}{2}, 1)

第 18 題如詳解的附圖：把

y = sin x

在

x

軸下方的部分對

x

軸翻上去。圖形在

x = 0

、

\pm π

、

\pm 2 π

碰到

x

軸，在

x = \pm \frac{π}{2}

、

\pm \frac{3 π}{2}

到最高點（高度

1

）

第 19 題如詳解的附圖：

- 2 π \leq x \leq - π

與

0 \leq x \leq π

時是

y = 2 sin x

（最高點在

x = - \frac{3 π}{2}

、

\frac{π}{2}

，高度

2

）；

- π \leq x \leq 0

與

π \leq x \leq 2 π

時是

y = 0

（貼在

x

軸上）

第 20 題

4

個

第 21 題

x = - \frac{11 π}{6}

、

- \frac{7 π}{6}

、

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～2 題）：弧度角比大小、港口水深的正弦模型

第 1 題沒有寫度的記號的角都是弧度。先記

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

。 (1)

sin 2 = sin (π - 2)

，而

π - 2 \approx 1.14

。

1

與

1.14

都在

0

與

\frac{π}{2}

之間，正弦在這一段遞增，所以

sin 1 < sin 1.14 = sin 2

，正確。 (2)

π^{\circ}

是大約

3.1 4^{\circ}

的小銳角，

sin π^{\circ} > 0

；

sin π = 0

。

sin π^{\circ} < sin π

不成立，不對。 (3)

sin π^{2}

是

π^{2}

弳的正弦，不是

(sin π)^{2}

。

π^{2} \approx 9.87

，減去一圈

2 π \approx 6.28

得

3.59

，介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角，

sin π^{2} < 0 = sin π

，不對。 (4)

2

與

3

都在

\frac{π}{2}

與

π

之間（第二象限）。角由

\frac{π}{2}

增加到

π

時，單位圓上的點的

x

坐標由

0

一路減少到

- 1

，所以

cos 2 > cos 3

，不對。 (5)

4

在

π

與

\frac{3 π}{2}

之間（第三象限），參考角是

4 - π \approx 0.86

，比

\frac{π}{4} \approx 0.79

大。大於

\frac{π}{4}

的銳角正弦比餘弦大，所以

sin 0.86 > cos 0.86

；第三象限兩個值都要加負號，

sin 4 = - sin 0.86 < - cos 0.86 = cos 4

，正確。選 (1)(5)。

數值：

sin 1 \approx 0.841

、

sin 2 \approx 0.909

、

sin π^{\circ} \approx 0.055

、

sin π^{2} \approx - 0.430

、

cos 2 \approx - 0.416

、

cos 3 \approx - 0.990

、

sin 4 \approx - 0.757

、

cos 4 \approx - 0.654

。

第 2 題

h (t) = a sin (b t) + 12.5

的最大值是

a + 12.5

、最小值是

- a + 12.5

。表中最深

15.2

、最淺

9.8

，所以

a = 15.2 - 12.5 = 2.7

。水深從 0:00 的

12.5

升到 3:00 的最深、6:00 回到

12.5

、9:00 到最淺、12:00 再回到

12.5

，正好一個週期，週期是

12

小時：

\frac{2 π}{b} = 12

，

b = \frac{π}{6}

。所以

h (t) = 2.7 sin \frac{π}{6} t + 12.5

。 (1) 週期

12

小時，18:00 的水深與 6:00 相同，24:00 的水深與 12:00 相同，都是

12.5

公尺，正確。 (2) 上午在

t = 3

時最深，再過一個週期，下午在

t = 3 + 12 = 15

時最深，就是 15:00，正確。 (3) 每

12

小時循環一次，不是

6

小時，不對。 (4)

a = 2.7

，不大於

5

，不對。 (5)

b = \frac{π}{6}

，正確。選 (1)(2)(5)。

代回檢查：

h (3) = 2.7 sin \frac{π}{2} + 12.5 = 15.2

、

h (9) = 2.7 sin \frac{3 π}{2} + 12.5 = 9.8

，與表相符。只看表上這五個時刻，

b = \frac{5 π}{6}

這種「兩次測量之間多漲落幾回」的函數也對得上；題意是照表中一漲一落的規律來讀，取週期

12

小時，學校的答案也是這樣。

弧度角比大小先換成「大約幾個

π

」找象限與參考角；週期現象的

y = a sin (b t) + d

，最大最小值定

a

，走完一輪的時間定

b

。

02填充第 1～4 題（第 3～6 題）：特殊角、象限與正負、角的換算

第 3 題

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

（第三象限，參考角

\frac{π}{3}

）；

cos \frac{11 π}{6} = \frac{3}{2}

（第四象限，參考角

\frac{π}{6}

）。

\frac{123 π}{4} = 30 π + \frac{3 π}{4}

，

30 π

是

15

圈，所以

tan \frac{123 π}{4} = tan \frac{3 π}{4} = - 1

。原式＝

(- \frac{3}{2}) \times \frac{3}{2} - (- 1) = - \frac{3}{4} + 1 = \frac{1}{4}

。

第 4 題

cos (π + θ) = - cos θ

。

θ - 3 π

與

θ + π

是同界角（相差

4 π

），所以

tan (θ - 3 π) = tan (π + θ) = tan θ

。點

P

就是

(- cos θ, tan θ)

。

P

在第四象限：

x

坐標為正、

y

坐標為負，即

- cos θ > 0

且

tan θ < 0

，也就是

cos θ < 0

且

tan θ < 0

。餘弦為負是第二、三象限，正切為負是第二、四象限，兩個都成立的是第二象限。

θ

是第二象限角。

第 5 題

θ

是第二象限角，餘弦是負的：

cos θ = - 1 - \frac{9}{25} = - \frac{4}{5}

，

tan θ = \frac{s i n θ}{c o s θ} = - \frac{3}{4}

。

\frac{3 π}{2} - θ = π + (\frac{π}{2} - θ)

，所以

sin (\frac{3 π}{2} - θ) = - sin (\frac{π}{2} - θ) = - cos θ = \frac{4}{5}

。

tan (π + θ) = tan θ = - \frac{3}{4}

。所求＝

\frac{4}{5} - \frac{3}{4} = \frac{16 - 15}{20} = \frac{1}{20}

。

第 6 題

α

是第二象限角，

sin α > 0

；

β

是第三象限角，

sin β < 0

。所以

∣ sin α ∣ = ∣ sin β ∣

就是

sin α = - sin β

。把兩邊都換成銳角：

sin α = sin (π - α)

，其中

0 < π - α < \frac{π}{2}

；

- sin β = sin (β - π)

，其中

0 < β - π < \frac{π}{2}

。兩個銳角的正弦值相等，角就相等：

π - α = β - π

，所以

α + β = 2 π

。

也可以說：兩個角的參考角相同。

α

的參考角是

π - α

，

β

的參考角是

β - π

。

遇到

π \pm θ

、

\frac{3 π}{2} - θ

這類角，先換回

θ

的三角函數值，再由象限決定正負。

03填充第 5～6 題（第 7～8 題）：同界角、輪子滾動

第 7 題同界角相差

2 π

的整數倍：

6 θ - θ = 2 k π

（

k

為整數），

θ = \frac{2 k π}{5}

。代入範圍

π \leq \frac{2 k π}{5} \leq \frac{3 π}{2}

，得

2.5 \leq k \leq 3.75

，整數

k

只有

3

。所以

θ = \frac{6}{5} π

。

檢查：

6 θ = \frac{36 π}{5}

，減去

θ = \frac{6 π}{5}

得

6 π

，正好三圈。

第 8 題輪子在地上滾動而不打滑時，滾過的距離等於輪緣轉過的弧長。弧長

s = r θ

：

200 = 200 \times θ

，

θ = 1

。輪子轉動

1

弳。

弧長等於半徑時，圓心角就是

1

弳，這正是弧度的定義。

同界角的條件寫成「兩角相減等於

2 k π

」，再用範圍挑出整數

k

。

04填充第 7 題（第 9～10 題）：半圓裡三段圓弧圍成的區域

第 9 題

\overline{O A} = \overline{O C} = 2

（半圓的半徑），

\overline{A C} = 2

（以

A

為圓心的圓的半徑），三角形

O A C

是正三角形，

∠ A O C = ∠ O A C = \frac{π}{3}

。同理三角形

O B D

是正三角形，

∠ B O D = ∠ O B D = \frac{π}{3}

。所以

∠ C O D = π - \frac{π}{3} - \frac{π}{3} = \frac{π}{3}

。鋪色區域的邊界是三段圓弧，半徑都是

2

、圓心角都是

\frac{π}{3}

：弧

C D

（圓心

O

）、弧

O C

（圓心

A

）、弧

O D

（圓心

B

）。每段弧長

2 \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。周長＝

3 \times \frac{2 π}{3} = 2 π

。

第 10 題扇形

O C D

（圓心

O

、半徑

2

、圓心角

\frac{π}{3}

）的面積是

\frac{1}{2} \times 2^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。弧

O C

向扇形

O C D

的內側鼓出，它與弦

\overline{O C}

之間是一個弓形，這個弓形在扇形

O C D

裡面但不屬於鋪色區域；弧

O D

那一側也一樣。一個弓形＝扇形

A O C

減去正三角形

A O C

＝

\frac{2 π}{3} - \frac{3}{4} \times 2^{2} = \frac{2 π}{3} - 3

。鋪色面積＝扇形

O C D

減去兩個弓形：

\frac{2 π}{3} - 2 (\frac{2 π}{3} - 3) = 23 - \frac{2 π}{3}

數值約

1.37

，比扇形

O C D

的

\frac{2 π}{3} \approx 2.09

小，合理。

半徑相同的圓互相通過圓心時，連出來的是正三角形，圓心角都是

\frac{π}{3}

；面積拆成扇形與弓形加減。

05填充第 8 題（第 11～12 題）：面積固定的扇形，周長最短

第 11 題設半徑為

r

、弧長為

s

。面積

\frac{1}{2} r s = 9

，所以

r s = 18

。周長是

2 r + s

。

2 r

與

s

都是正數，由算幾不等式

\frac{2 r + s}{2} \geq 2 r \times s = 36 = 6

，所以

2 r + s \geq 12

。等號在

2 r = s

時成立（見下一格），最短周長是

12

。

不用算幾不等式也可以：

s = \frac{18}{r}

，周長

2 r + \frac{18}{r} = 12 + \frac{2 ( r - 3 ) ^{2}}{r} \geq 12

，

r = 3

時等於

12

。

第 12 題等號成立時

2 r = s

，代入

r s = 18

：

2 r^{2} = 18

，

r = 3

，

s = 6

。圓心角

θ = \frac{s}{r} = \frac{6}{3} = 2

弳。所以

(r, θ) = (3, 2)

。

2

弳小於

2 π

，這個扇形存在。檢查面積：

\frac{1}{2} \times 3^{2} \times 2 = 9

。

扇形的面積或周長固定時，極值都出現在「弧長等於兩倍半徑」，也就是圓心角

2

弳的時候。

06填充第 9 題（第 13～14 題）：圓周五等分、扇形圍成直圓錐

第 13 題五個頂點把圓周五等分，相鄰兩點所夾的圓心角是

\frac{2 π}{5}

。圓上的順序是

A

、

B

、

C

、

D

、

E

。從

A

到

D

有兩條路：經過

E

的那一段佔

2

等分（劣弧），經過

B

、

C

的那一段佔

3

等分（優弧）。優弧

A D

的圓心角是

3 \times \frac{2 π}{5} = \frac{6 π}{5}

，半徑

1

，弧長＝

1 \times \frac{6 π}{5} = \frac{6}{5} π

。

第 14 題留下的較大扇形半徑

1

、弧長

\frac{6 π}{5}

。圍成直圓錐後，扇形的半徑變成圓錐的斜高，扇形的弧變成底圓的圓周。設底圓半徑為

R

：

2 π R = \frac{6 π}{5}

，

R = \frac{3}{5}

。圓錐的高

h = 1^{2} - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}

。體積＝

\frac{1}{3} \times π \times (\frac{3}{5})^{2} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{3} \times \frac{9 π}{25} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{125} π

。

扇形圍成圓錐：扇形半徑是斜高，扇形弧長是底圓周長，再用畢氏定理求高。

07填充第 10～12 題（第 15～17 題）：正弦不等式、圖形的伸縮平移、由圖形求係數

第 15 題在

- π \leq θ \leq π

內，

sin θ = - \frac{3}{2}

的角是

- \frac{π}{3}

與

- \frac{2 π}{3}

。看

y = sin θ

的圖形：

θ

由

- \frac{2 π}{3}

到

- \frac{π}{3}

這一段，圖形先降到

θ = - \frac{π}{2}

的

- 1

再升回來，都不高於

- \frac{3}{2}

；其餘的地方都比

- \frac{3}{2}

高。所以

- \frac{2}{3} π \leq θ \leq - \frac{π}{3}

。

不等式有等號，兩個端點都要包含。題目的範圍是

- π

到

π

，所以答案用負角寫，不寫成

\frac{4 π}{3}

到

\frac{5 π}{3}

。

第 16 題水平伸縮

2

倍，是把

x

換成

\frac{x}{2}

，得

y = sin \frac{x}{2}

（週期由

2 π

變成

4 π

）。再向右平移

3

單位，是把

x

換成

x - 3

：

y = sin \frac{x - 3}{2} = sin (\frac{1}{2} x - \frac{3}{2})

。所以

(a, b) = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})

。

平移是對

x

本身做的，要先減

3

再除以

2

；寫成

sin (\frac{1}{2} x - 3)

就錯了。

b

再加

2 π

的整數倍圖形相同，這裡取最直接的

- \frac{3}{2}

，與學校答案相同。

第 17 題由圖形讀出最大值

3

、最小值

- 1

。

a > 0

時最大值是

a + c

、最小值是

- a + c

：

a + c = 3

、

- a + c = - 1

，解得

a = 2

、

c = 1

。圖形在

x = π

到最高點，所以

sin (π + b) = 1

，

π + b = \frac{π}{2} + 2 k π

，

b = - \frac{π}{2} + 2 k π

（

k

為整數）。在

- π \leq b < π

內只有

b = - \frac{π}{2}

。

(a, b, c) = (2, - \frac{π}{2}, 1)

。

檢查：

x = 0

時

y = 2 sin (- \frac{π}{2}) + 1 = - 1

，是最低點，與圖相符；

x + b

的係數是

1

，週期

2 π

，也與圖上兩個最低點

x = 0

、

x = 2 π

相符。

y = a sin (x + b) + c

：最大值與最小值定

a

、

c

，最高點（或最低點）的位置定

b

。

08計算題（第 18～21 題）：含絕對值的正弦函數圖形與方程式

第 18 題

sin x \geq 0

時

∣ sin x ∣ = sin x

，圖形不變；

sin x < 0

時

∣ sin x ∣ = - sin x

，等於把

y = sin x

在

x

軸下方的部分對

x

軸翻到上方。在

- 2 π \leq x \leq 2 π

：圖形在

x = - 2 π

、

- π

、

0

、

π

、

2 π

碰到

x

軸，在

x = - \frac{3 π}{2}

、

- \frac{π}{2}

、

\frac{π}{2}

、

\frac{3 π}{2}

到最高點，高度都是

1

，共四個一樣的拱形。

載入中...

這個函數的週期是

π

。碰到

x

軸的地方是尖的，不是圓滑的轉彎。

第 19 題分兩種情形。

sin x \geq 0

時，

y = sin x + sin x = 2 sin x

；

sin x < 0

時，

y = sin x - sin x = 0

。在

- 2 π \leq x \leq 2 π

：

sin x \geq 0

的範圍是

- 2 π \leq x \leq - π

與

0 \leq x \leq π

，這兩段畫

y = 2 sin x

，各是一個高度

2

的拱形，最高點在

x = - \frac{3 π}{2}

與

x = \frac{π}{2}

；

- π < x < 0

與

π < x < 2 π

這兩段

y = 0

，圖形貼在

x

軸上。

載入中...

也可以用圖形相加來想：把

y = sin x

與上一小題的

y = ∣ sin x ∣

在同一個

x

的高度相加，兩者同為正的地方變兩倍，一正一負的地方互相抵消。

第 20 題實根的個數就是

y = sin x + ∣ sin x ∣

的圖形與水平線

y = 1

的交點個數。由上一小題的圖：貼在

x

軸上的兩段高度是

0

，碰不到

y = 1

；兩個拱形的高度都由

0

升到

2

再降回

0

，每個拱形與

y = 1

各有

2

個交點。共

2 + 2 = 4

個交點，所以方程式有

4

個實根。

載入中...

第 21 題

sin x < 0

時左邊等於

0

，不可能等於

1

，所以只要看

sin x \geq 0

：此時方程式是

2 sin x = 1

，

sin x = \frac{1}{2}

。在

0 \leq x \leq π

：

x = \frac{π}{6}

或

x = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

。在

- 2 π \leq x \leq - π

：把上面兩個角各減

2 π

，

x = \frac{π}{6} - 2 π = - \frac{11 π}{6}

或

x = \frac{5 π}{6} - 2 π = - \frac{7 π}{6}

。所以

x = - \frac{11 π}{6}

、

- \frac{7 π}{6}

、

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

，共

4

個，與上一小題的個數相符。

sin x = \frac{1}{2}

的四個解都滿足

sin x \geq 0

，不必再刪。若誤把

sin x = - \frac{1}{2}

的角也算進來，代回去左邊是

0

，不合。

含絕對值的函數先依裡面的正負分段，每一段各自是熟悉的圖形；方程式的實根個數就是圖形與水平線的交點個數。

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