臺南二中 112 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (4)(5)。圓心 $(-5,1)$，半徑 $\sqrt{13}$。

(1) 錯誤。 $(-2+5{)}^2+(-1-1{)}^2=9+4=13$，等於半徑平方，點在圓上，不在外部。

(2) 錯誤。 圓心到直線的距離 $\frac{|3(-5)-4(1)+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{14}{5}$，而 ${\left(\frac{14}{5}\right)}^2=\frac{196}{25}<13$，距離小於半徑，直線與圓交於兩點，不是切線。

(3) 錯誤。 圓心 $(-5,1)$ 到切點 $(-3,4)$ 的半徑斜率是 $\frac{4-1}{-3+5}=\frac{3}{2}$，切線與這條半徑垂直，斜率是 $-\frac{2}{3}$，不是 $\frac{3}{2}$。

(4) 正確。 原點到圓心的距離 $\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$，圓上一點到原點的最長距離是 $\sqrt{26}+\sqrt{13}$。因為 $\sqrt{26}>5$、$\sqrt{13}>3$，所以和大於 $8$。

(5) 正確。 $C^{\prime }$ 的半徑也是 $\sqrt{13}$，兩圓面積都是 $13\pi$。

答案 (1)(3)(5)。

(1) 正確。 兩邊乘 $10$ 得 $x^2+y^2=10$，是圓心 $(0,0)$、半徑 $\sqrt{10}$ 的圓。

(2) 錯誤。 配方得 $(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=4+9-100=-87$，左邊不可能是負數，沒有圖形。

(3) 正確。 左邊是點 $(x,y)$ 到 $(-1,3)$ 的距離，距離等於 $1$，就是圓心 $(-1,3)$、半徑 $1$ 的圓（兩邊平方得 $(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=1$）。

(4) 錯誤。 $(x+y{)}^2=1$ 即 $x+y=1$ 或 $x+y=-1$，是兩條平行直線。

(5) 正確。 展開 $(x+y{)}^2+(x-y{)}^2=2x^2+2y^2=10$，即 $x^2+y^2=5$，是半徑 $\sqrt{5}$ 的圓。

答案 (1)(2)(3)(5)。

(1) 正確。 $k\ne 0$，改寫成 $y=-\frac{1}{k}x+\frac{2-k}{k}$，斜率 $-\frac{1}{k}$。

(2) 正確。 代入 $(2,-1)$：左邊 $2-k$，右邊 $2-k$，對任何 $k$ 都成立。也可以把方程式整理成 $(x-2)+k(y+1)=0$ 來看。

(3) 正確。 $x$ 截距是 $2-k$，$y$ 截距是 $\frac{2-k}{k}$。三角形在第二象限需要 $x$ 截距為負、$y$ 截距為正。$x$ 截距 $2-k<0$ 表示 $k>2$，這時 $k>0$ 而 $2-k<0$，$y$ 截距 $\frac{2-k}{k}<0$，不是正的。所以三角形不可能在第二象限。

(4) 錯誤。 $k\ne 0$，直線不是鉛直線。取同一個 $y$，直線上那一點的 $x$ 是 $2-k-ky$，點在直線右側就是 $x>2-k-ky$，即 $x+ky-(2-k)>0$。代入原點得 $k-2$，只有 $k>2$ 時原點在右側；例如 $k=1$ 時直線 $x+y=1$，原點在它的左側。

(5) 正確。 $(3,-1)$ 代入左邊得 $3-k$，而 $3-k>2-k$ 對任何 $k$ 都成立。$(x_0,y_0)$ 與 $(3,-1)$ 代入 $x+ky-(2-k)$ 都是正數，所以在直線的同一側。

點 $(3,-7)$ 在兩條直線上。代入第一條：$3a-7=-1$，$a=2$。

兩直線垂直：第一條斜率 $-a=-2$，所以第二條斜率是 $\frac{1}{2}$。第二條 $x+by=c$ 的斜率是 $-\frac{1}{b}$（$b=0$ 時是鉛直線，與斜率 $-2$ 的直線不垂直），$-\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$，$b=-2$。

代入 $(3,-7)$：$c=3+(-2)(-7)=17$。所以 $(a,b,c)=(2,-2,17)$。

直線 $OA$ 與 $OB$ 都過原點，以 $y$ 軸互相對稱：把直線 $OA$：$y=\frac{3}{2}x$ 上的點 $(x,y)$ 換成 $(-x,y)$，得 $y=-\frac{3}{2}x$，所以 $s=-\frac{3}{2}$。

$\angle A=90^{\circ }$ 表示 $AB\perp OA$，兩斜率相乘為 $-1$：$\frac{3}{2}\cdot t=-1$，$t=-\frac{2}{3}$。所以 $(s,t)=\left(-\frac{3}{2},-\frac{2}{3}\right)$。

若 $b=0$，$L_2:ax-2=0$ 是鉛直線，不會與 $L_1$ 平行，所以 $b\ne 0$。

$L_1//L_2$：兩直線 $x$、$y$ 係數成比例，$\frac{a}{2}=\frac{b}{-3}$。$L_2//L_3$：$\frac{a}{4}=\frac{b}{b}=1$，所以 $a=4$，代回得 $b=-6$。

這時 $L_3:4x-6y+c=0$ 與 $L_1:2x-3y+5=0$（即 $4x-6y+10=0$）平行或重合。方程組有解表示兩直線有交點，平行而不重合時沒有交點，所以兩直線重合，$c=10$。$(a,b,c)=(4,-6,10)$。

圓心 $(5,-13)$，半徑平方為 $k$。

$(2,-3)$ 在圓外：$(2-5{)}^2+(-3+13{)}^2=9+100=109>k$。

$(10,-5)$ 在圓內：$(10-5{)}^2+(-5+13{)}^2=25+64=89<k$。

所以 $89<k<109$。半徑 $\sqrt{k}$ 是整數，$k$ 是完全平方數，這個範圍內只有 $100=10^2$。$k=100$。

圓心 $(4,0)$，先確認 $A(1,-5)$ 在圓上：$(1-4{)}^2+(-5{)}^2=9+25=34$。

半徑 $\overline{CA}$ 的斜率 $\frac{-5-0}{1-4}=\frac{5}{3}$，切線與半徑垂直，斜率 $-\frac{3}{5}$。切線為 $y+5=-\frac{3}{5}(x-1)$，兩邊乘 $5$：$5y+25=-3x+3$，即 $3x+5y+22=0$。

圓與 $x$ 軸相切於 $(3,0)$，圓心在過 $(3,0)$ 的鉛直線上，設圓心 $(3,r)$，半徑 $r$（圓心在第一象限，$r>0$）。

圓心到 $y$ 軸的距離是 $3$，被 $y$ 軸截出的弦長 $8$，半弦長 $4$。由弦心距、半弦長、半徑的直角三角形：$r^2=3^2+4^2=25$，$r=5$。

所以圓方程式是 $(x-3{)}^2+(y-5{)}^2=25$。

$A$、$B$ 代入 $x-5y+3$：$1-30+3=-26$，$3-20+3=-14$，同號，兩點在 $L$ 的同一側。

取 $A$ 對 $L$ 的對稱點 $A^{\prime }$，則 $\overline{PA}=\overline{P{A}^{\prime }}$，$\overline{PA}+\overline{PB}=\overline{P{A}^{\prime }}+\overline{PB}\ge \overline{A^{\prime }B}$，$P$ 在 $\overline{A^{\prime }B}$ 與 $L$ 的交點時等號成立。

求 $A^{\prime }$：$L$ 的斜率 $\frac{1}{5}$，$A{A}^{\prime }$ 垂直 $L$，斜率是 $-5$，所以可設 $A^{\prime }=(1+t,6-5t)$；$\overline{A{A}^{\prime }}$ 的中點 $\left(1+\frac{t}{2},6-\frac{5t}{2}\right)$ 在 $L$ 上：$1+\frac{t}{2}-30+\frac{25t}{2}+3=0$，$13t=26$，$t=2$。$A^{\prime }=(3,-4)$。

$\overline{A^{\prime }B}=\sqrt{(3-3{)}^2+(4+4{)}^2}=8$。最小值為 $8$。

圓 $C$ 配方：$(x+1{)}^2+(y-3{)}^2=8$。$y=|2x+1|$ 分兩段。

① $x\ge -\frac{1}{2}$ 時 $y=2x+1$。代入圓：$x^2+(2x+1{)}^2+2x-6(2x+1)+2=0$，整理得 $5x^2-6x-3=0$，$x=\frac{3\pm 2\sqrt{6}}{5}$。$2\sqrt{6}\approx 4.90$，兩根約 $1.58$ 與 $-0.38$，都 $\ge -\frac{1}{2}$，兩個交點都算。$x\approx -0.38$ 那點的 $y=2x+1\approx 0.24>0$，在第二象限；另一點在第一象限。

② $x<-\frac{1}{2}$ 時 $y=-2x-1$。代入圓：$x^2+(2x+1{)}^2+2x+6(2x+1)+2=0$，整理得 $5x^2+18x+9=0$，$(5x+3)(x+3)=0$，$x=-\frac{3}{5}$ 或 $-3$，都小於 $-\frac{1}{2}$。對應 $y=\frac{1}{5}$、$5$，兩點都在第二象限。

共 $4$ 個交點，其中 $3$ 個在第二象限。$(m,n)=(4,3)$。

$P(0,-3)$ 在圓上：$0+9-0-3b-15=0$，$b=-2$。圓 $C$：$x^2+y^2-6x-2y-15=0$，配方 $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=25$，圓心 $(3,1)$。

$A(7,-2)$ 代入：$16+9=25$，$A$ 在圓上。$\angle APB=90^{\circ }$ 是圓周角，所對的弦 $\overline{AB}$ 是直徑，圓心是 $\overline{AB}$ 的中點：$B=(2\cdot 3-7,2\cdot 1-(-2))=(-1,4)$。

圓 $C$：$(x-2{)}^2+y^2=8$，圓心 $(2,0)$，半徑 $2\sqrt{2}$。圓心到 $A$、$B$ 的距離都是半徑，三角形是等腰三角形，直角只能在圓心，所以是等腰直角三角形，弦 $\overline{AB}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$，圓心到 $L$ 的距離（斜邊上的高）是 $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2$。

圓心到 $L$ 的距離：$\frac{|2k+0+2k+6|}{\sqrt{k^2+9}}=2$，$|4k+6|=2\sqrt{k^2+9}$。兩邊平方：$16k^2+48k+36=4k^2+36$，$12k^2+48k=0$，$k=0$ 或 $k=-4$。

從圖讀出：$A(1,3)$、$B(3,2)$、$C(-1,4)$、$D(-1,2)$（圓形），$E(1,-2)$、$F(-2,-1)$、$G(-3,2)$（三角形）。

$L^{\prime }$ 與 $L$ 平行，點 $(x,y)$ 在 $L^{\prime }$ 的哪一側，看 $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}$ 比 $k$ 大或小。逐點計算 $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=\frac{3x+4y}{12}$：

圓形：$A$ 為 $\frac{15}{12}$，$B$ 為 $\frac{17}{12}$，$C$ 為 $\frac{13}{12}$，$D$ 為 $\frac{5}{12}$。

三角形：$E$ 為 $-\frac{5}{12}$，$F$ 為 $-\frac{10}{12}$，$G$ 為 $-\frac{1}{12}$。

要把兩類分在兩側且點不在線上，$k$ 必須大於三角形的最大值 $-\frac{1}{12}$、小於圓形的最小值 $\frac{5}{12}$（圓形的值都比三角形大，所以不能反過來）。所以 $-\frac{1}{12}<k<\frac{5}{12}$。

三條邊界直線：$x-2y+4=0$（即 $y=\frac{x}{2}+2$）、$x+y-5=0$（即 $y=5-x$）、$x=6$。

$x-2y+4\ge 0$ 即 $y\le \frac{x}{2}+2$，在直線 $y=\frac{x}{2}+2$ 的下方（含線上）；$x+y-5\ge 0$ 即 $y\ge 5-x$，在直線 $y=5-x$ 的上方；$x\le 6$ 在直線 $x=6$ 的左方。

交點：$y=\frac{x}{2}+2$ 與 $y=5-x$ 聯立，$\frac{x}{2}+2=5-x$，$x=2$，$y=3$，得 $(2,3)$；$x=6$ 代入兩線得 $(6,5)$ 與 $(6,-1)$。

區域是以 $(2,3)$、$(6,5)$、$(6,-1)$ 為頂點的三角形，含三邊（如下圖鋪色的部分）。

$L:y=mx-3$ 不論 $m$ 為何都通過定點 $(0,-3)$，$m$ 是它的斜率。

$(0,-3)$ 在三角形外部（$x+y-5=-8<0$，不滿足第二式），三角形的頂點都在 $(0,-3)$ 的右方，$L$ 繞著 $(0,-3)$ 旋轉時，碰到三角形的斜率範圍由三個頂點決定：

到 $(2,3)$ 的斜率 $\frac{3+3}{2-0}=3$；到 $(6,5)$ 的斜率 $\frac{5+3}{6}=\frac{4}{3}$；到 $(6,-1)$ 的斜率 $\frac{-1+3}{6}=\frac{1}{3}$。

最小 $\frac{1}{3}$、最大 $3$，所以 $\frac{1}{3}\le m\le 3$。

以圓柱塔中心為原點、東方為 $x$ 軸正向、北方為 $y$ 軸正向。塔的截面是圓 $x^2+y^2=2$；旗竿在 $(2,0)$，阿南在 $P(2,4)$；橋樑是直線 $y=-3$。

子彈沿直線前進，從 $P$ 射向橋上一點時，若這條路線穿過圓，就會被塔擋住。被擋住的範圍由過 $P$ 的兩條切線決定。

設過 $P$ 的切線 $y-4=m(x-2)$，即 $mx-y+4-2m=0$。圓心到切線的距離等於半徑：$\frac{|4-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{2}$，平方得 $16-16m+4m^2=2m^2+2$，$m^2-8m+7=0$，$m=1$ 或 $m=7$。

兩切線為 $y=x+2$ 與 $y=7x-10$。令 $y=-3$：第一條 $x=-5$，第二條 $x=1$。

從 $P$ 往橋上 $-5<x<1$ 的點射擊時，路線會穿過塔，所以安全範圍是 $(-5,-3)$ 到 $(1,-3)$ 這一段，長 $1-(-5)=6$ 公尺。