段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

臺南二中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 2 題（每題 6 分，共 12 分）、填充題 16 題共 17 格（依答對格數給分，17 格全對得 88 分），合計 100 分。卷面的填充題另從 1 編號，本頁接續編為第 3～19 題（卷面填充第 3 題的兩格是本頁第 5、6 題，填充第 4～16 題是本頁第 7～19 題）。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多重選擇題（每題 6%，共 12%）說明：每題均有五個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將答案填在答案卷上。所有選項均答對者得 6%，答錯一選項者得 4%，答錯兩個選項者得 2%，其餘作答情形以及未作答者均不給分。

在上完段考範圍後，老師請同學各自獨立發表所學到的內容並複習，請你選出錯誤的說法：

(A) 甲：「在 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 時，若 $sin x = \frac{π}{6}$ ，則 $x = \frac{1}{2}$ 」
(B) 乙：「 $y = sin x$ 的圖形和 $y = cos x$ 的圖形形狀相同，位置不同，且都是由半圓弧所組成」
(C) 丙：「因為 $π = 18 0^{\circ}$ ，所以 $sin π^{2} = 0$ 」
(D) 丁：「若 $y = sin (a x + b)$ 之圖形往右平移 $T$ 後之新圖形可與原圖形重合，則 $T$ 即為週期」
(E) 戊：「由平方差公式可得 $cos (x + y) cos (x - y) = cos^{2} x - cos^{2} y$ 」

關於

f (x) = 5 sin (2 x + \frac{π}{3})

之圖形的敘述，請你選出正確的說法：

(A) 將 $y = 5 sin 2 x$ 往左水平移動 $\frac{π}{3}$ 單位即可得到 $f (x)$ 之圖形。
(B) 以 $y$ 軸為基準，將 $y = 5 sin (x + \frac{π}{3})$ 水平伸縮 $\frac{1}{2}$ 倍即可得到 $f (x)$ 之圖形。
(C) 在直角座標系上， $f (x)$ 的圖形和 $y = 5 cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的圖形一模一樣。
(D) 點 $(\frac{1}{2}, f (\frac{1}{2}))$ 在第四象限。
(E) $f (x)$ 與 $y = cos^{2} x$ 的週期相同。

二、填充題　說明：每格須完全答對才給該格分數（除了數對有半對外），其餘情況均不給分；所有答案均須算出數值並化為最簡分數，請將答案填在答案卷上。答對格數與得分：1 格 8 分、2 格 16 分、3 格 24 分、4 格 32 分、5 格 38 分、6 格 44 分、7 格 50 分、8 格 56 分、9 格 62 分、10 格 66 分、11 格 70 分、12 格 74 分、13 格 78 分、14 格 82 分、15 格 84 分、16 格 86 分、17 格 88 分。

sin \frac{2 π}{3} cos (- \frac{13 π}{6}) + cos \frac{3 π}{2} sin \frac{17 π}{6} + tan \frac{5 π}{4} sin \frac{7 π}{6} =

____。

cos 29 8^{\circ} cos 37 7^{\circ} - cos 15 2^{\circ} sin 16 3^{\circ} =

____。

填充第 3 題（本頁第 5～6 題）（第 5～6 題）　設

0 < α < \frac{π}{2}

，

0 < β < \frac{π}{2}

，且

sin α = \frac{13}{14}

，

sin β = \frac{11}{14}

，則：

(1)

sin (α + β) =

____。

(2)

α + β =

____。(以弳作答)

\frac{3}{cos 29 0 ^{\circ}} + \frac{1}{sin 25 0 ^{\circ}} =

____。

設

0 < θ < 2 π

，且

P (4, - 3)

是

θ

終邊上之一點，則

sin 2 θ + cos 2 θ + tan \frac{θ}{2} =

____。

設

a = sin 1

，

b = sin 2

，

c = sin 3

，

d = cos 4

，

e = cos 5

，則這五個數的中位數為 ____。(以

a

、

b

、

c

、

d

、

e

代號擇一填入即可)

如右圖，

\overline{A B}

是半圓之直徑，且

\overline{A B} = 25

，又

\overline{A C} = 20

，

\overline{A D} = 7

，則

cos ∠ D A C =

____。

載入中...

如右圖，圖形由四個正方形所構成，則

tan θ =

____。

載入中...

設兩直線

L_{1}

與

L_{2}

之斜率分別為

m_{1}

與

m_{2}

且滿足

3 m_{1} m_{2} - m_{1} + m_{2} = - 3

，若兩直線之夾角為

θ

，則

θ =

____。(全對才給分)

設

x

為實數，若方程式

3 sin x - 4 cos x = k

沒有實根，則實數

k

的範圍為 ____。(全對才給分)

設

x

為實數，則方程式

x - 10 cos x = 0

之解有 ____ 個。

設

0 \leq x \leq π

，且

y = 4 sin x - 23 sin (x - \frac{π}{6})

之最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。(只錯一個可得半格分數)

如右圖，有三個同心圓，其半徑分別為

3

、

2

、

1

，且兩直線交於圓心，已知圖中陰影區域的面積是非陰影區域面積的

\frac{8}{13}

，則兩直線的銳夾角為 ____。(請以弳作答)

載入中...

設

- 2 π \leq x \leq 2 π

，則

∣ cos x ∣ > sin ∣ x ∣

之解為 ____。(請留意有無等號，並以弳作答，全對才給分)

一位地主在鄉下有一塊平行四邊形土地

A B C D

，已知

\overline{A B} = 80

，

\overline{A D} = 100

，

sin ∠ B A D = \frac{9}{10}

，如示意圖。地主為了在土地內蓋一間平房，作出四個角的內角平分線，所圍成的矩形區域即為蓋房子的地方，則此矩形區域面積為 ____。

載入中...

已知

0 < A < \frac{π}{2}

，

0 < B < \frac{π}{2}

，且

A

、

B

滿足

3 sin^{2} A + 2 sin^{2} B = 1

及

3 sin 2 A - 2 sin 2 B = 0

，則

A + 2 B =

____。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(D)(E)

第 2 題(B)(C)(E)

第 3 題

\frac{1}{4}

第 4 題

\frac{2}{2}

第 5 題

\frac{3}{2}

第 6 題

\frac{2 π}{3}

第 7 題

4

第 8 題

- \frac{76}{75}

第 9 題

e

第 10 題

\frac{4}{5}

第 11 題

- \frac{7}{11}

第 12 題

6 0^{\circ}

或

12 0^{\circ}

（即

\frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3}

）

第 13 題

k > 5

或

k < - 5

第 14 題

7

第 15 題

(2, - 3)

第 16 題

\frac{π}{7}

第 17 題

- 2 π \leq x < - \frac{3 π}{4}

或

- \frac{π}{4} < x < \frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4} < x \leq 2 π

第 18 題

180

第 19 題

9 0^{\circ}

（即

\frac{π}{2}

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～2 題）：觀念辨正、正弦函數圖形的變換

第 1 題題目要選錯誤的說法。(A)

\frac{π}{6} \approx 0.524 > \frac{1}{2} = sin \frac{π}{6}

，而

y = sin x

在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

是遞增的，所以由

sin x = \frac{π}{6} > sin \frac{π}{6}

得

x > \frac{π}{6} > \frac{1}{2}

，

x

不會是

\frac{1}{2}

。甲把「

sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

」的角與函數值弄反了，說法錯誤。 (B)

y = cos x = sin (x + \frac{π}{2})

，把

y = sin x

的圖形向左平移

\frac{π}{2}

就是

y = cos x

的圖形，「形狀相同、位置不同」是對的；但圖形不是半圓弧：

y = sin x

在

0 \leq x \leq π

這一拱寬

π

、高

1

，若是半圓弧，寬

π

的半圓高度應是

\frac{π}{2} \approx 1.57

。乙的說法錯誤。 (C)

π

弧度等於

18 0^{\circ}

，但

π^{2}

是

π^{2}

弧度（約

9.87

），不是

18 0^{\circ}

的整數倍：

3 π \approx 9.42 < π^{2} < \frac{7 π}{2} \approx 11.0

，

π^{2}

是第三象限角，

sin π^{2} < 0

，不是

0

。丙的說法錯誤。 (D) 平移

T

後與原圖形重合，只能知道

T

是週期的正整數倍，不一定是週期本身。例如

y = sin x

往右平移

4 π

也與原圖形重合，但週期是

2 π

。丁的說法錯誤。 (E) 用和差角公式：

cos (x + y) cos (x - y) = (cos x cos y)^{2} - (sin x sin y)^{2} = cos^{2} x (1 - sin^{2} y) - (1 - cos^{2} x) sin^{2} y = cos^{2} x - sin^{2} y

，不是

cos^{2} x - cos^{2} y

。例如

x = y = 0

時左邊是

1

，戊寫的右邊是

0

。戊的說法錯誤。五個說法都錯，選 (A)(B)(C)(D)(E)。

學校答案卷這一格印的是「全」，也就是五個選項都要選。

第 2 題(A) 把

y = 5 sin 2 x

往左移

\frac{π}{3}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，得到

y = 5 sin (2 x + \frac{2 π}{3})

，不是

f (x)

；例如

x = \frac{π}{6}

時它的值是

5 sin π = 0

，而

f (\frac{π}{6}) = 5 sin \frac{2 π}{3} = \frac{5 3}{2}

。因為

f (x) = 5 sin 2 (x + \frac{π}{6})

，正確的平移量是

\frac{π}{6}

。錯。 (B) 以

y

軸為基準水平伸縮

\frac{1}{2}

倍，是把

x

換成

2 x

：

y = 5 sin (2 x + \frac{π}{3}) = f (x)

。正確。 (C)

cos t = sin (t + \frac{π}{2})

，所以

5 cos (2 x - \frac{π}{6}) = 5 sin (2 x - \frac{π}{6} + \frac{π}{2}) = 5 sin (2 x + \frac{π}{3}) = f (x)

。兩個是同一個函數，圖形相同。正確。 (D)

f (\frac{1}{2}) = 5 sin (1 + \frac{π}{3})

。

1 + \frac{π}{3} \approx 2.05

，介於

\frac{π}{2} \approx 1.57

與

π \approx 3.14

之間，是第二象限角，正弦為正，所以點

(\frac{1}{2}, f (\frac{1}{2}))

的兩個座標都是正的，在第一象限。錯。 (E)

f (x)

的週期是

\frac{2 π}{2} = π

。

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，週期也是

\frac{2 π}{2} = π

。正確。選 (B)(C)(E)。

圖形的左右平移是把

x

換成

x \pm h

，要先把

x

的係數提出來再看平移量；看到

sin^{2} x

、

cos^{2} x

先降次再談週期。

02填充題（第 3～6 題，卷面填充第 1～3 題）：廣義角的三角函數值、和角公式

第 3 題逐個化成特殊角：

sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

；

cos (- \frac{13 π}{6}) = cos \frac{13 π}{6} = cos (2 π + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

；

cos \frac{3 π}{2} = 0

；

tan \frac{5 π}{4} = tan (π + \frac{π}{4}) = 1

；

sin \frac{7 π}{6} = - sin \frac{π}{6} = - \frac{1}{2}

。所以原式

= \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} + 0 + 1 \times (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

中間那一項因為

cos \frac{3 π}{2} = 0

，不必算

sin \frac{17 π}{6}

。

第 4 題先化成銳角：

cos 29 8^{\circ} = cos (36 0^{\circ} - 6 2^{\circ}) = cos 6 2^{\circ} = sin 2 8^{\circ}

；

cos 37 7^{\circ} = cos 1 7^{\circ}

；

cos 15 2^{\circ} = - cos 2 8^{\circ}

；

sin 16 3^{\circ} = sin 1 7^{\circ}

。原式

= sin 2 8^{\circ} cos 1 7^{\circ} + cos 2 8^{\circ} sin 1 7^{\circ} = sin (2 8^{\circ} + 1 7^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

第 5 題

α

、

β

都是銳角，餘弦為正：

cos α = 1 - \frac{169}{196} = \frac{27}{14} = \frac{3 3}{14}

，

cos β = 1 - \frac{121}{196} = \frac{75}{14} = \frac{5 3}{14}

。

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β = \frac{13}{14} \times \frac{5 3}{14} + \frac{3 3}{14} \times \frac{11}{14} = \frac{98 3}{196}

約分得

\frac{3}{2}

，就是所求的值。

第 6 題

0 < α + β < π

，在這個範圍內正弦等於

\frac{3}{2}

的角有

\frac{π}{3}

與

\frac{2 π}{3}

兩個，要再看餘弦的正負：

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β = \frac{3 3}{14} \times \frac{5 3}{14} - \frac{13}{14} \times \frac{11}{14} = \frac{45 - 143}{196} = - \frac{1}{2}

餘弦是負的，所以

α + β

是鈍角，

α + β = \frac{2 π}{3}

。

也可以這樣看：

sin α = \frac{13}{14} > \frac{3}{2}

，所以

α > \frac{π}{3}

，

α + β

不可能是

\frac{π}{3}

。

只知道正弦值時角有兩種可能，要再算餘弦（或比較大小）才能決定是哪一個。

03填充題（第 7～9 題，卷面填充第 4～6 題）：疊合、倍角與半角、弧度估值

第 7 題

cos 29 0^{\circ} = cos (36 0^{\circ} - 7 0^{\circ}) = cos 7 0^{\circ}

，

sin 25 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} + 7 0^{\circ}) = - sin 7 0^{\circ}

。通分：

\frac{3}{cos 7 0 ^{\circ}} - \frac{1}{sin 7 0 ^{\circ}} = \frac{3 sin 7 0 ^{\circ} - cos 7 0 ^{\circ}}{sin 7 0 ^{\circ} cos 7 0 ^{\circ}}

分子疊合：

3 sin 7 0^{\circ} - cos 7 0^{\circ} = 2 (sin 7 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} - cos 7 0^{\circ} sin 3 0^{\circ}) = 2 sin 4 0^{\circ}

。分母用倍角公式：

sin 7 0^{\circ} cos 7 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 14 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{2 sin 4 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 4 0 ^{\circ}} = 4

。

第 8 題

\overline{O P} = 4^{2} + (- 3)^{2} = 5

，所以

sin θ = - \frac{3}{5}

，

cos θ = \frac{4}{5}

，

θ

是第四象限角；又

0 < θ < 2 π

，所以

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

。倍角：

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25}

，

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}

。半角：

tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{1 + cos θ} = \frac{1/5}{9/5} = \frac{1}{9}

。因為

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

是第二象限角，正切為負，

tan \frac{θ}{2} = - \frac{1}{3}

。所求

= - \frac{24}{25} + \frac{7}{25} - \frac{1}{3} = - \frac{17}{25} - \frac{1}{3} = - \frac{76}{75}

。

題目給

0 < θ < 2 π

就是為了定出

\frac{θ}{2}

的象限；若把

tan \frac{θ}{2}

取成

\frac{1}{3}

會得到

- \frac{26}{75}

。

第 9 題五個角都是弧度，用

π \approx 3.14

判斷位置。

a = sin 1

：

\frac{π}{4} \approx 0.79 < 1 < \frac{π}{3} \approx 1.05

，所以

\frac{2}{2} < a < \frac{3}{2}

。

b = sin 2

：

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 2 < \frac{2 π}{3} \approx 2.09

，所以

b > sin \frac{2 π}{3} = \frac{3}{2}

，

b > a

。

c = sin 3 = sin (π - 3)

，

π - 3 \approx 0.14

。

d = cos 4

：

π < 4 < \frac{3 π}{2} \approx 4.71

，第三象限角，

d < 0

。

e = cos 5 = sin (5 - \frac{3 π}{2})

，

5 - \frac{3 π}{2} \approx 0.29

。

0.14

、

0.29

、

1

都在

0

到

\frac{π}{2}

之間，正弦在這一段遞增，所以

0 < c < e < a

。由小到大：

d < c < e < a < b

，排在正中間的是

e

。

數值約為

d \approx - 0.654

、

c \approx 0.141

、

e \approx 0.284

、

a \approx 0.841

、

b \approx 0.909

。

比較不同角的正餘弦大小，先全部換成

0

到

\frac{π}{2}

之間的正弦（或看出正負），再用遞增來比。

04填充題（第 10～12 題，卷面填充第 7～9 題）：差角公式與兩直線的夾角

第 10 題

\overline{A B}

是直徑，半圓上的圓周角是直角：

∠ A C B = ∠ A D B = 9 0^{\circ}

。直角三角形

A C B

：

\overline{B C} = 2 5^{2} - 2 0^{2} = 15

，所以

cos ∠ C A B = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}

，

sin ∠ C A B = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}

。直角三角形

A D B

：

\overline{B D} = 2 5^{2} - 7^{2} = 24

，所以

cos ∠ D A B = \frac{7}{25}

，

sin ∠ D A B = \frac{24}{25}

。由圖，

\overline{A C}

在

∠ D A B

的內部，

∠ D A C = ∠ D A B - ∠ C A B

。用餘弦的差角公式：

cos ∠ D A C = \frac{7}{25} \times \frac{4}{5} + \frac{24}{25} \times \frac{3}{5} = \frac{28 + 72}{125} = \frac{4}{5}

題目的圖是示意圖，

C

、

D

的位置沒有照實際長度畫。

第 11 題設每個正方形邊長為

1

，左下角為原點。由圖，一條斜線連

(0, 1)

與

(4, 0)

，另一條連

(0, 0)

與

(3, 1)

；

θ

是兩線交點處朝下張開的那個角。設交點為

P

，看三角形

P

、

(0, 0)

、

(4, 0)

：在

(0, 0)

的內角

α

是斜線

(0, 0)

–

(3, 1)

與底邊的夾角，

tan α = \frac{1}{3}

；在

(4, 0)

的內角

β

是斜線

(4, 0)

–

(0, 1)

與底邊的夾角，

tan β = \frac{1}{4}

。

tan (α + β) = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}} = \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} = \frac{7}{11}

三角形內角和是

18 0^{\circ}

，

θ = 18 0^{\circ} - (α + β)

，所以

tan θ = - tan (α + β) = - \frac{7}{11}

。

θ

是鈍角，正切是負的；若答

\frac{7}{11}

，算到的是兩斜線所夾的銳角。

第 12 題把條件移項：

m_{1} - m_{2} = 3 m_{1} m_{2} + 3 = 3 (1 + m_{1} m_{2})

。先確認

1 + m_{1} m_{2} \neq = 0

：若

1 + m_{1} m_{2} = 0

，則

m_{1} - m_{2} = 0

，

m_{1} = m_{2}

，代回得

1 + m_{1}^{2} = 0

，不可能。所以

\frac{m _{1} - m _{2}}{1 + m _{1} m _{2}} = 3

。設

L_{1}

、

L_{2}

的斜角為

θ_{1}

、

θ_{2}

，則

m_{1} = tan θ_{1}

、

m_{2} = tan θ_{2}

，上式就是正切的差角公式：

tan (θ_{1} - θ_{2}) = 3

。兩直線相交成兩組角，其中一個的正切是

3

，即

6 0^{\circ}

；另一個是它的補角

12 0^{\circ}

。所以

θ = 6 0^{\circ}

或

12 0^{\circ}

（

\frac{π}{3}

或

\frac{2 π}{3}

）。

題目只說「夾角」，沒說銳角，所以兩個都要寫，卷面也註明「全對才給分」。

圖上的角拆成兩個「正切好算」的角相加或相減；看到

m_{1} - m_{2}

與

1 + m_{1} m_{2}

同時出現，就是正切的差角公式。

05填充題（第 13～15 題，卷面填充第 10～12 題）：疊合與圖形的交點

第 13 題疊合：

3 sin x - 4 cos x = 5 (\frac{3}{5} sin x - \frac{4}{5} cos x) = 5 sin (x - φ)

，其中

φ

是滿足

cos φ = \frac{3}{5}

、

sin φ = \frac{4}{5}

的銳角。

x

是任意實數時

sin (x - φ)

取遍

- 1

到

1

，所以

3 sin x - 4 cos x

的值恰好是

- 5

到

5

的所有實數。方程式沒有實根，就是

k

不在這個範圍內：

k > 5

或

k < - 5

。

第 14 題方程式就是

cos x = \frac{x}{10}

，解的個數是

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{10}

的交點個數。因為

- 1 \leq cos x \leq 1

，交點只可能在

- 10 \leq x \leq 10

。用

π \approx 3.14

：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

\frac{5 π}{2} \approx 7.85

、

3 π \approx 9.42

、

\frac{7 π}{2} \approx 11.0

。

x > 0

：直線在

x

軸上方，只會和餘弦圖形在

x

軸上方的部分相交。在

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

，餘弦由

1

降到

0

、直線由

0

升到約

0.16

，交

1

次。在

\frac{3 π}{2} \leq x \leq \frac{5 π}{2}

這一拱，兩端餘弦是

0

、直線為正，拱頂

x = 2 π

處餘弦是

1

、直線約

0.63

，所以上升段、下降段各交

1

次，共

2

次。下一拱從

\frac{7 π}{2} \approx 11.0

開始，已超過

10

。正的解共

3

個。

x < 0

：直線在

x

軸下方，只會和餘弦圖形在

x

軸下方的部分相交。在

- \frac{3 π}{2} \leq x \leq - \frac{π}{2}

這一凹，兩端餘弦是

0

、直線為負，谷底

x = - π

處餘弦是

- 1

、直線約

- 0.31

，交

2

次。在

- \frac{7 π}{2} \leq x \leq - \frac{5 π}{2}

這一凹，只看

x \geq - 10

的部分：

x = - 10

時餘弦

cos 10 \approx - 0.84

高於直線的

- 1

，谷底

x = - 3 π

處餘弦

- 1

低於直線的約

- 0.94

，

x = - \frac{5 π}{2}

處餘弦

0

高於直線的約

- 0.79

，所以也交

2

次。負的解共

4

個。

x = 0

不是解。合計

3 + 4 = 7

個。

最容易漏的是最左邊那一凹：谷底

x = - 3 π \approx - 9.42

還在

- 10

的右邊，而且那裡直線的高度約

- 0.94

，比

- 1

高，所以還交得到兩次。七個解約為

- 9.68

、

- 8.97

、

- 4.27

、

- 1.75

、

1.43

、

5.27

、

7.07

。

第 15 題用差角公式展開：

sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x

，所以

y = 4 sin x - 23 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 4 sin x - 3 sin x + 3 cos x = sin x + 3 cos x

疊合：

y = 2 (\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{3})

。

0 \leq x \leq π

時

\frac{π}{3} \leq x + \frac{π}{3} \leq \frac{4 π}{3}

。在這一段，正弦的最大值是

1

（

x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{6}

），最小值在右端點

sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

（

x = π

）。所以

M = 2

，

m = 2 \times (- \frac{3}{2}) = - 3

，

(M, m) = (2, - 3)

。

x

有範圍，最小值不是

- 2

；要把

x + \frac{π}{3}

的範圍寫出來再看正弦的高低。

a sin x + b cos x

的值域是

- a^{2} + b^{2}

到

a^{2} + b^{2}

；

x

有限制時，先寫出疊合後那個角的範圍。

06填充題（第 16～17 題，卷面填充第 13～14 題）：扇形面積、含絕對值的三角不等式

第 16 題設兩直線的銳夾角為

θ

（弧度）。兩直線把平面分成四塊：左右兩塊的圓心角各是

θ

，上下兩塊各是

π - θ

。半徑

r

、圓心角

θ

的扇形面積是

\frac{1}{2} r^{2} θ

。由圖，陰影有三部分：最內圈（半徑

1

以內）的左右兩塊，面積

2 \times \frac{1}{2} \times 1^{2} \times θ = θ

；中間一環（半徑

1

到

2

）的上下兩塊，面積

2 \times \frac{1}{2} (2^{2} - 1^{2}) (π - θ) = 3 (π - θ)

；最外一環（半徑

2

到

3

）的左右兩塊，面積

2 \times \frac{1}{2} (3^{2} - 2^{2}) θ = 5 θ

。陰影面積

= θ + 3 π - 3 θ + 5 θ = 3 π + 3 θ

。大圓面積是

9 π

，非陰影面積

= 9 π - (3 π + 3 θ) = 6 π - 3 θ

。由

\frac{3 π + 3 θ}{6 π - 3 θ} = \frac{8}{13}

：

13 (π + θ) = 8 (2 π - θ)

，

21 θ = 3 π

，解得

θ = \frac{π}{7}

，這就是兩直線的銳夾角。

\frac{π}{7} < \frac{π}{2}

，確實是銳角，與「左右兩塊是銳角那一組」的設定相符。題目的圖是示意圖，兩直線的夾角沒有照實際大小畫。

第 17 題

∣ cos (- x) ∣ = ∣ cos x ∣

，

sin ∣ - x ∣ = sin ∣ x ∣

，不等式把

x

換成

- x

不變，所以先解

0 \leq x \leq 2 π

，再對稱到負的一邊。此時

sin ∣ x ∣ = sin x

，要解

∣ cos x ∣ > sin x

。

π \leq x \leq 2 π

：

sin x \leq 0

，而

∣ cos x ∣ \geq 0

，兩者相等只可能同時為

0

，但正弦與餘弦不會同時為

0

，所以這一段全部成立（含兩個端點）。

0 \leq x \leq π

：兩邊都不是負的，可以平方：

cos^{2} x > sin^{2} x

，即

cos 2 x > 0

。

0 \leq 2 x \leq 2 π

，

cos 2 x > 0

的範圍是

0 \leq 2 x < \frac{π}{2}

或

\frac{3 π}{2} < 2 x \leq 2 π

，即

0 \leq x < \frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4} < x \leq π

。合起來，

0 \leq x \leq 2 π

的解是

0 \leq x < \frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4} < x \leq 2 π

。對稱到負的一邊是

- \frac{π}{4} < x \leq 0

或

- 2 π \leq x < - \frac{3 π}{4}

。全部的解：

- 2 π \leq x < - \frac{3 π}{4}

或

- \frac{π}{4} < x < \frac{π}{4}

或

\frac{3 π}{4} < x \leq 2 π

。

等號的檢查：

x = \pm \frac{π}{4}

、

\pm \frac{3 π}{4}

時兩邊都是

\frac{2}{2}

，不成立，不含；

x = \pm 2 π

時

1 > 0

成立，要含。

含絕對值的式子先看對稱，只解一半；兩邊都不是負的才能平方，平方後出現

cos^{2} x - sin^{2} x

就換成

cos 2 x

。

07填充題（第 18～19 題，卷面填充第 15～16 題）：倍角公式的兩個應用

第 18 題設

∠ B A D = φ

，則

∠ A B C = 18 0^{\circ} - φ

。先看

∠ A

的平分線：設它交

\overline{B C}

於

E

。因為

\overline{A D} ∥ \overline{B C}

，內錯角

∠ A E B = ∠ E A D = \frac{φ}{2} = ∠ B A E

，三角形

A B E

是等腰三角形，

\overline{B E} = \overline{A B} = 80

，

\overline{E C} = 100 - 80 = 20

。

∠ C

的平分線與

∠ A

的平分線平行（都與

\overline{B C}

夾

\frac{φ}{2}

），兩平行線的距離等於

C

到直線

A E

的距離

= \overline{E C} sin \frac{φ}{2} = 20 sin \frac{φ}{2}

。同樣地，

∠ B

的平分線交

\overline{A D}

於

F

，

\overline{A F} = \overline{A B} = 80

，

\overline{F D} = 20

，

∠ A F B = \frac{18 0 ^{\circ} - φ}{2} = 9 0^{\circ} - \frac{φ}{2}

。

∠ D

的平分線與它平行，兩線的距離等於

D

到直線

B F

的距離

= 20 sin (9 0^{\circ} - \frac{φ}{2}) = 20 cos \frac{φ}{2}

。矩形的兩邊長就是這兩個距離，面積

20 sin \frac{φ}{2} \times 20 cos \frac{φ}{2} = 200 \times 2 sin \frac{φ}{2} cos \frac{φ}{2} = 200 sin φ = 200 \times \frac{9}{10} = 180

不必求

sin \frac{φ}{2}

與

cos \frac{φ}{2}

各是多少，兩個相乘正好是倍角公式。題目的圖是示意圖，邊長與角度沒有照比例畫。

第 19 題用倍角公式改寫兩個條件。第一式：

3 sin^{2} A = 1 - 2 sin^{2} B = cos 2 B

。第二式：

2 sin 2 B = 3 sin 2 A = 6 sin A cos A

，所以

sin 2 B = 3 sin A cos A

。代入餘弦的和角公式：

cos (A + 2 B) = cos A cos 2 B - sin A sin 2 B = cos A \times 3 sin^{2} A - sin A \times 3 sin A cos A = 0

因為

0 < A < \frac{π}{2}

、

0 < 2 B < π

，所以

0 < A + 2 B < \frac{3 π}{2}

；在這個範圍內餘弦為

0

的角只有

\frac{π}{2}

。故

A + 2 B = \frac{π}{2}

（

9 0^{\circ}

）。

實際的角：由

A = \frac{π}{2} - 2 B

得

sin A = cos 2 B = 3 sin^{2} A

，所以

sin A = \frac{1}{3}

，

sin^{2} B = \frac{1}{3}

，所以這樣的銳角

A

、

B

確實存在。

看到

1 - 2 sin^{2} B

與

sin 2 A

就換成倍角；要求的是角的和，就去算那個和的餘弦或正弦，再用範圍定角。

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第 1 題五個說法都錯，要全選，其中丁說的平移量只能確定是週期的整數倍；第 11 題圖上的角是鈍角，正切是負的；第 14 題數餘弦圖形與直線的交點，最左邊接近負 10 的地方還有兩個交點，容易漏掉；第 17 題要分段討論，還要逐一檢查端點含不含等號。詳解逐題寫在本頁。

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03填充題（第 7～9 題，卷面填充第 4～6 題）：疊合、倍角與半角、弧度估值

04填充題（第 10～12 題，卷面填充第 7～9 題）：差角公式與兩直線的夾角

05填充題（第 13～15 題，卷面填充第 10～12 題）：疊合與圖形的交點

06填充題（第 16～17 題，卷面填充第 13～14 題）：扇形面積、含絕對值的三角不等式

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