段考詳解範圍：指數與對數函數（指數律、對數律、指對數方程式與不等式、常用對數的應用）、平面向量

臺南二中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 23 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 3 題要回頭檢查原方程式的真數條件，只有保留 x 大於 3 這個限制的選項才同解；第 2 題各選項要畫出兩個圖形數交點；第 7 題 k 等於 0 時 A 與 C 重合，兩向量反向仍算平行；第 23 題要由對數函數的圖形看出 b 介於 0 與 1，才能判斷 b 除以 a 小於 1、指數函數遞減。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 23 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 23 題，照原卷順序

一、多選題 6 題（每題 5 分，共 30 分）；二、填充題 11 題（每格 5 分，須完全正確才給分，共 55 分）；三、混合題 2 題（第 18 題 (1)(2)(3) 依序 2、5、2 分，第 19 題 (1)(2)(3) 依序 1、1、4 分，共 15 分），合計 100 分。卷頭附參考數值 log 2 ≈ 0.3010、log 3 ≈ 0.4771、log 7 ≈ 0.8451。原卷第 18 題的 (1)(2)(3) 本頁編為第 18～20 題，第 19 題的 (1)(2)(3) 編為第 21～23 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多選題　說明：每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

下列各敘述當中，請選出正確的選項。

(A) $π^{3} > π^{2}$
(B) $2^{\frac{1}{3}} > 3^{\frac{1}{2}}$
(C) $lo g_{0.3} \frac{1}{2} > lo g_{0.3} \frac{1}{3}$
(D) $lo g_{2} (3^{2}) > (lo g_{2} 3)^{2}$
(E) 若正數 $a, b$ 滿足 $lo g_{a} 2 < lo g_{b} 2$ ，則 $a > b$

請選出在下列方程式中，實數解

x

恰有一個的選項。

(A) $(2^{x})^{2} = 4$
(B) $lo g_{2} x^{2} = 2$
(C) $2^{- ∣ x ∣} + x = 0$
(D) $lo g_{2} \frac{1}{x} = ∣ x ∣$
(E) $2^{x} = lo g_{2} x$

請選出與方程式

lo g x + lo g (x - 3) = 1

具有完全相同的實數解的方程式選項。

(A) $lo g x (x - 3) = 1$
(B) $x (x - 3) = 10$
(C) $(1 0^{x})^{x - 3} = 1 0^{10}$
(D) $1 0^{x} \cdot 1 0^{x - 3} = 1 0^{10}$
(E) $lo g_{2} (x - 3) = lo g_{2} (\frac{10}{x})$

在坐標平面上，設

P

點是拋物線

y = - x^{2} + x + 2

圖形上的一點，若

P

點的位置落在第一象限，請選出可能為

P

點的

x

坐標之值的選項。

(A) $(0.36)^{- 0.5}$
(B) $3^{l o g_{3} π}$
(C) $lo g \frac{1}{10}$
(D) $lo g 5$
(E) $lo g_{3} 10$

已知正實數

x

滿足

lo g_{3} (lo g_{3} x) = 3

，設

x

的整數部分為

m

位數，且

x

的最高位數字是

α

，

x

的個位數字是

β

，請選出正確的選項。

(A) $x = ((3)^{3})^{3}$
(B) $m = 5$
(C) $α = 7$
(D) $β = 7$
(E) $α < β$

已知座標平面上

O, A, B

三點，其中

O

為原點，且

O A = (1, - 2)

，

O B = (2, 6)

，請選出正確的選項。

(A) $O A = 5$
(B) $O A + O B = 5$
(C) 存在實數 $t$ 使得 $t O A + O B = 4$
(D) 滿足 $v ∥ O A$ 且 $v = 1$ 的平面向量 $v$ 只有一個
(E) 若 $O P = t O A + O B$ 且 $P$ 點在 $∠ A O B$ 的角平分線上，則 $t = 22$

二、填充題

已知座標平面上

A, B, C

三點，設

O

為原點，且

O A = (k, k + 3)

，

O B = (k - 1, 2 k)

，

O C = (3 k, k + 3)

，若

A B ∥ B C

，求實數

k

之值。

請化簡

lo g_{5} 0.125 \times lo g_{2} (0.2)^{\frac{1}{3}}

之值。

已知

lo g_{10} a = b

，

lo g_{a} 10 = c

，且

(10)^{b + \frac{1}{c}} = 1010

，則序組

(a, b, c) =

____。

試解方程式：

9^{x} - 10 \cdot 3^{x + 1} + 81 = 0

試解不等式：

(\frac{1}{4})^{2 x^{2} - 2 x} < 0.125

試解不等式：

lo g_{3} (lo g_{2} (x - 1)) \leq 1

試解方程式：

lo g_{2} (9 - x) - lo g_{4} (x - 1) = 1

已知函數

f (x) = 9^{x} - 3^{x + 1}

，且

- 1 \leq x \leq 2

，若

f (x)

最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

已知可將

(\frac{3}{5})^{100}

表示成科學記號為

b \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq b < 10

，

n

為整數。若

b

的整數部分為

a

，且

(\frac{3}{5})^{100}

在小數點後第

k

位數字開始不為

0

，則數對

(a, k) =

____。

設正實數

a, b

滿足

(lo g a) (lo g b) + lo g a + lo g b = 2

，且

lo g_{a} b = 2

，則

a

之值為 ____。

藥物的“半衰期”是指藥物經由體內吸收之後，分布到血液中，達到最高濃度後，經由代謝之後，血液中濃度下降至一半所需時間。已知某種藥物經由人體吸收後，達到的最大濃度為

500

(

μg

/ L)，設此藥物達到最大濃度後的

x

小時，殘留在血液中藥物濃度為

f (x)

，其關係圖如下。則此藥物的半衰期約為幾小時？(計算到小數點後第一位，以下四捨五入)。

載入中...

三、混合題

(1) 如圖，下面哪一選項中的向量與另兩個向量

P O

、

QO

之和等於零向量？(單選)

(A) $A O$
(B) $B O$
(C) $C O$
(D) $D O$
(E) $E O$

載入中...

(2) 如圖，坐標平面另有一點

F

，若今有一質點在

O

點沿

A O

方向前進

\overline{A O}

距離後停在

R

，再沿

B R

方向前進

2 \overline{B R}

距離後停在

S

。假設此質點繼續沿

F S

方向前進

3 \overline{F S}

距離後回到原點

O

，試求點

F

座標。(計算，請列出過程)

載入中...

(3) 承題(2)，若在平面上有一圓心在原點，半徑為

4

的圓，則質點從起點

O

移動到終點

O

的過程中，和此圓有幾個相異交點？(簡答，不須列出過程)

第 19 題（本頁第 21～23 題）（第 21～23 題）　下圖為

y = lo g_{a} x + b

的部分圖形，其中

a

，

b

均為常數，請回答下列問題。

(1) 請判斷

a

值範圍。(單選)

(A) $a > 1$
(B) $0 < a < 1$

載入中...

(2) 請判斷

b

值範圍。(單選)

(A) $b > 0$
(B) $b = 0$
(C) $b < 0$

(3) 請判斷二次函數

y = a x^{2} + b x

與指數函數

y = (\frac{b}{a})^{x}

之圖形，可能是哪一選項？(單選)

(A) 見圖 (A)
(B) 見圖 (B)
(C) 見圖 (C)
(D) 見圖 (D)
(E) 見圖 (E)

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(D)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(E)

第 4 題(A)(D)

第 5 題(C)(D)

第 6 題(B)(E)

第 7 題

0

或

3

第 8 題

\frac{1}{2}

第 9 題

(10, \frac{1}{2}, 1)

第 10 題

1

或

3

第 11 題

x > \frac{3}{2}

或

x < - \frac{1}{2}

第 12 題

2 < x \leq 9

第 13 題

5

第 14 題

(54, - \frac{9}{4})

第 15 題

(6, 23)

第 16 題

10

或

\frac{1}{100}

第 17 題

1.6

第 18 題(E)

第 19 題

F (\frac{16}{3}, \frac{20}{3})

第 20 題

2

第 21 題(A)

第 22 題(A)

第 23 題(C)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～2 題）：單調性比大小、用圖形數實數解

第 1 題

(A) 正確。 底數 $π > 1$ ， $y = π^{x}$ 遞增； $3 > 2$ ，所以 $π^{3} > π^{2}$ 。

(B) 錯誤。 兩邊都是正數，同時取 $6$ 次方比較： $(2^{\frac{1}{3}})^{6} = 2^{2} = 4$ ， $(3^{\frac{1}{2}})^{6} = 3^{3} = 27$ 。

$4 < 27$ ，所以 $2^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ，所以 $lo g_{0.3} \frac{1}{2} < lo g_{0.3} \frac{1}{3}$ 。

(D) 正確。 設 $t = lo g_{2} 3$ ，左邊 $lo g_{2} (3^{2}) = 2 t$ ，右邊是 $t^{2}$ 。

$2 t - t^{2} = t (2 - t)$ 。因為 $2 < 3 < 4$ ，所以 $1 < t < 2$ ， $t (2 - t) > 0$ ，左邊較大。

(E) 錯誤。 舉反例： $a = \frac{1}{2}$ ， $b = 2$ 。

$lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1 < lo g_{2} 2 = 1$ 滿足條件，但 $a < b$ 。

答案 (A)(D)。

載入中...

第 2 題

(A) 正確。 $(2^{x})^{2} = 2^{2 x} = 4 = 2^{2}$ ， $2 x = 2$ ，只有 $x = 1$ 。

(B) 錯誤。 真數 $x^{2} > 0$ ，即 $x \neq = 0$ 。 $x^{2} = 2^{2} = 4$ ， $x = 2$ 或 $- 2$ ，兩個解。

$x \geq 0$ 時左邊 $2^{- ∣ x ∣} > 0$ ，右邊 $- x \leq 0$ ，不會相等。

$x < 0$ 時方程式是 $2^{x} = - x$ ： $y = 2^{x}$ 遞增、 $y = - x$ 遞減，最多一個交點。

$x = - 1$ 時 $2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1$ ， $x = 0$ 時 $2^{0} = 1 > 0$ ，高低互換，所以恰有一個交點，在 $- 1$ 與 $0$ 之間。

(D) 正確。 真數 $\frac{1}{x} > 0$ ，所以 $x > 0$ ，方程式變成 $- lo g_{2} x = x$ （下圖 (D)）。

$y = - lo g_{2} x$ 遞減、 $y = x$ 遞增，最多一個交點。

$x = \frac{1}{2}$ 時左邊 $1 > \frac{1}{2}$ ， $x = 1$ 時左邊 $0 < 1$ ，高低互換，恰有一個交點。

(E) 錯誤。 $y = 2^{x}$ 的圖形整個在直線 $y = x$ 上方， $y = lo g_{2} x$ 是它對 $y = x$ 的對稱圖形，整個在 $y = x$ 下方（下圖 (E)）。

兩個圖形被直線 $y = x$ 隔開，沒有交點，方程式無實數解。

答案 (A)(C)(D)。

載入中...

x \approx - 0.64

，(D) 的交點約在

x \approx 0.64

；本題只要個數，不必算出來。

比大小先看底數是大於

1

還是小於

1

；數實數解就把方程式拆成兩個會畫的圖形，一個遞增一個遞減最多交一次。

02多選題（第 3～5 題）：同解方程式、拋物線上的點、位數與首位數字

第 3 題

① 先解原方程式：真數 $x > 0$ 且 $x - 3 > 0$ ，所以 $x > 3$ 。

② $lo g x + lo g (x - 3) = lo g x (x - 3) = 1$ ， $x (x - 3) = 10$ ， $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ， $(x - 5) (x + 2) = 0$ 。

③ $x = - 2$ 不合 $x > 3$ ，原方程式的解只有 $x = 5$ 。

(A) 錯誤。 只要求 $x (x - 3) > 0$ ， $x (x - 3) = 10$ 的兩根 $5$ 、 $- 2$ 都合，多了 $- 2$ 。

(B) 錯誤。 解是 $5$ 與 $- 2$ ，多了 $- 2$ 。

(D) 錯誤。 $1 0^{x} \cdot 1 0^{x - 3} = 1 0^{2 x - 3} = 1 0^{10}$ ， $2 x - 3 = 10$ ， $x = \frac{13}{2}$ 。

(E) 正確。 真數條件 $x - 3 > 0$ 且 $\frac{10}{x} > 0$ ，即 $x > 3$ 。

$x - 3 = \frac{10}{x}$ ， $x^{2} - 3 x - 10 = 0$ ， $x = 5$ 或 $- 2$ ，只有 $x = 5$ 合，與原方程式相同。

答案 (E)。

第 4 題

① $P$ 在第一象限： $x > 0$ 且 $y = - x^{2} + x + 2 > 0$ 。

② $- x^{2} + x + 2 > 0$ ， $x^{2} - x - 2 < 0$ ， $(x - 2) (x + 1) < 0$ ， $- 1 < x < 2$ ；與 $x > 0$ 合起來是 $0 < x < 2$ （下圖中加粗的那一段）。

(A) 正確。 $(0.36)^{- 0.5} = \frac{1}{0.36} = \frac{1}{0.6} = \frac{5}{3}$ ，在 $0$ 與 $2$ 之間。

(B) 錯誤。 $3^{l o g_{3} π} = π > 2$ 。

(D) 正確。 $lo g 5 = 1 - lo g 2 \approx 0.699$ ，在 $0$ 與 $2$ 之間。

(E) 錯誤。 $3^{2} = 9 < 10$ ，所以 $lo g_{3} 10 > lo g_{3} 9 = 2$ 。

答案 (A)(D)。

載入中...

第 5 題

① $lo g_{3} (lo g_{3} x) = 3$ ，所以 $lo g_{3} x = 3^{3} = 27$ ， $x = 3^{27}$ 。

(A) 錯誤。 $((3)^{3})^{3} = 3^{9}$ ，不是 $3^{27}$ 。

② 取常用對數： $lo g x = 27 lo g 3 \approx 27 \times 0.4771 = 12.8817$ 。

(B) 錯誤。 首數是 $12$ ， $x$ 的整數部分是 $13$ 位數， $m = 13$ 。

(D) 正確。 $3$ 的次方的個位數字依序是 $3, 9, 7, 1$ ，每 $4$ 個一循環。

$27 = 4 \times 6 + 3$ ，所以 $3^{27}$ 的個位數字和 $3^{3}$ 一樣是 $7$ ， $β = 7$ 。

(E) 錯誤。 $α = β = 7$ 。

答案 (C)(D)。

實際上

3^{27} = 7625597484987

，正是

13

位數、最高位

7

、個位

7

。

對數方程式改寫後一定回頭檢查原式的真數條件；判斷位數看首數，判斷最高位數字看尾數落在哪兩個常用對數之間。

03多選題（第 6 題）：向量的長度、平行與角平分線

第 6 題

(A) 錯誤。 $O A = 1^{2} + (- 2)^{2} = 5$ 。

(B) 正確。 $O A + O B = (3, 4)$ ，長度 $9 + 16 = 5$ 。

$t O A + O B^{2} = (t + 2)^{2} + (6 - 2 t)^{2} = 5 t^{2} - 20 t + 40 = 5 (t - 2)^{2} + 20$

最小值是 $20$ （ $t = 2$ 時），所以長度至少 $20 = 25 > 4$ ，不可能等於 $4$ 。

從圖看：所有 $t O A + O B$ 的終點排成一條過 $B$ 、平行 $O A$ 的直線，它離 $O$ 最近的點是 $H (4, 2)$ （ $t = 2$ ），距離 $\overline{O H} = 25$ ，半徑 $4$ 的圓碰不到它（下圖）。

(D) 錯誤。 與 $O A$ 平行的單位向量有兩個： $\frac{1}{5} (1, - 2)$ 與 $- \frac{1}{5} (1, - 2)$ 。

(E) 正確。 設 $O A^{'} = t O A$ ， $O P$ 是以 $O A^{'}$ 與 $O B$ 為兩邊的平行四邊形 $O A^{'} P B$ 的對角線。

當兩邊等長時，平行四邊形是菱形，對角線 $\overline{O P}$ 平分 $∠ A O B$ （下圖的菱形 $O A^{'} P B$ ； $P$ 也在剛才那條直線上）。

$t 5 = 210$ （ $O B = 4 + 36 = 210$ ）， $t = 22$ 。

答案 (B)(E)。

載入中...

(E) 也可以這樣看：角平分線的方向是兩個單位向量的和

\frac{O A}{5} + \frac{O B}{2 10}

，把

t O A + O B

寫成

t 5 \cdot \frac{O A}{5} + 210 \cdot \frac{O B}{2 10}

，兩個係數要相等。

t O A + O B

的長度配方求最小值；角平分線看「兩邊等長的平行四邊形是菱形」。

04填充題（第 7～10 題）：向量平行、對數運算、指數方程式

第 7 題

① $A B = O B - O A = (- 1, k - 3)$ ， $B C = O C - O B = (2 k + 1, 3 - k)$ 。

② 兩向量 $(a_{1}, a_{2})$ 、 $(b_{1}, b_{2})$ 平行的條件是 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ ：

$(- 1) (3 - k) - (k - 3) (2 k + 1) = (k - 3) - (k - 3) (2 k + 1) = - 2 k (k - 3) = 0$

③ $k = 0$ 或 $k = 3$ 。

④ 檢查： $k = 3$ 時 $A B = (- 1, 0)$ 、 $B C = (7, 0)$ ； $k = 0$ 時 $A B = (- 1, - 3)$ 、 $B C = (1, 3)$ ，都不是零向量，確實平行（下圖）。

答案 $k = 0$ 或 $3$ 。

載入中...

k = 0

時

A

與

C

都是

(0, 3)

，兩點重合，

A B

與

B C

方向相反；仍然平行，所以

k = 0

也要寫。

第 8 題

① $0.125 = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ ，所以 $0.125 = 2^{- \frac{3}{2}}$ ； $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{- 1}$ ，所以 $(0.2)^{\frac{1}{3}} = 5^{- \frac{1}{3}}$ 。

② $lo g_{5} 0.125 = - \frac{3}{2} lo g_{5} 2$ ， $lo g_{2} (0.2)^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{3} lo g_{2} 5$ 。

③ 換底公式 $lo g_{5} 2 \times lo g_{2} 5 = 1$ ，所以乘積 $= (- \frac{3}{2}) \times (- \frac{1}{3}) \times 1 = \frac{1}{2}$ 。

答案 $\frac{1}{2}$ 。

第 9 題

① 由 $lo g_{10} a = b$ ，換底： $c = lo g_{a} 10 = \frac{lo g 10}{lo g a} = \frac{\frac{1}{2}}{b} = \frac{1}{2 b}$ ，所以 $\frac{1}{c} = 2 b$ 。

② $1 0^{b + \frac{1}{c}} = 1010 = 1 0^{\frac{3}{2}}$ ，所以 $b + \frac{1}{c} = \frac{3}{2}$ 。

③ $b + 2 b = \frac{3}{2}$ ， $b = \frac{1}{2}$ 。

④ $a = 1 0^{b} = 10$ ， $c = \frac{1}{2 b} = 1$ 。

答案 $(a, b, c) = (10, \frac{1}{2}, 1)$ 。

第 10 題

① $9^{x} = (3^{x})^{2}$ ， $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ 。令 $t = 3^{x} > 0$ 。

② 方程式變成 $t^{2} - 30 t + 81 = 0$ ， $(t - 3) (t - 27) = 0$ 。

③ $t = 3$ 或 $27$ ，都是正數。 $3^{x} = 3$ 得 $x = 1$ ； $3^{x} = 27$ 得 $x = 3$ 。

答案 $x = 1$ 或 $3$ 。

根式、小數先寫成質數的次方；指數方程式出現

9^{x}

與

3^{x}

就令

t = 3^{x}

，記得

t > 0

。

05填充題（第 11～14 題）：指對數不等式、對數方程式、換元求最值

第 11 題

① 化成以 $2$ 為底： $(\frac{1}{4})^{2 x^{2} - 2 x} = 2^{- 2 (2 x^{2} - 2 x)} = 2^{- 4 x^{2} + 4 x}$ ， $0.125 = \frac{1}{8} = 2^{- 3}$ 。

② 底數 $2 > 1$ ， $y = 2^{x}$ 遞增，指數照原方向比： $- 4 x^{2} + 4 x < - 3$ 。

③ $4 x^{2} - 4 x - 3 > 0$ ， $(2 x - 3) (2 x + 1) > 0$ 。

④ $x > \frac{3}{2}$ 或 $x < - \frac{1}{2}$ （下圖數線上的兩段，端點不含）。

答案 $x > \frac{3}{2}$ 或 $x < - \frac{1}{2}$ 。

載入中...

第 12 題

① 外層 $lo g_{3}$ 的真數要正： $lo g_{2} (x - 1) > 0$ ，所以 $x - 1 > 1$ 。

② 外層： $lo g_{3} (lo g_{2} (x - 1)) \leq 1 = lo g_{3} 3$ ，底數 $3 > 1$ ，所以 $lo g_{2} (x - 1) \leq 3$ 。

③ 內層： $lo g_{2} (x - 1) \leq 3 = lo g_{2} 8$ ，底數 $2 > 1$ ，所以 $x - 1 \leq 8$ 。

④ 合起來 $1 < x - 1 \leq 8$ ，即 $2 < x \leq 9$ （下圖， $2$ 不含、 $9$ 含）。

答案 $2 < x \leq 9$ 。

載入中...

第 13 題

① 真數條件： $9 - x > 0$ 且 $x - 1 > 0$ ，所以 $1 < x < 9$ 。

② 換底： $lo g_{4} (x - 1) = \frac{lo g _{2} ( x - 1 )}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2} lo g_{2} (x - 1)$ 。

③ 兩邊乘 $2$ ： $2 lo g_{2} (9 - x) - lo g_{2} (x - 1) = 2$ ，即 $lo g_{2} \frac{( 9 - x ) ^{2}}{x - 1} = 2$ 。

④ $(9 - x)^{2} = 4 (x - 1)$ ， $x^{2} - 22 x + 85 = 0$ ， $(x - 5) (x - 17) = 0$ 。

⑤ $x = 17$ 不合 $1 < x < 9$ ，所以 $x = 5$ 。

答案 $x = 5$ 。

代回檢查：

lo g_{2} 4 - lo g_{4} 4 = 2 - 1 = 1

。

第 14 題

① 令 $t = 3^{x}$ 。 $y = 3^{x}$ 遞增， $- 1 \leq x \leq 2$ 時 $\frac{1}{3} \leq t \leq 9$ 。

② $f (x) = (3^{x})^{2} - 3 \cdot 3^{x} = t^{2} - 3 t = (t - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4}$ 。

③ 這是開口向上的拋物線，頂點 $t = \frac{3}{2}$ 在範圍內，最小值 $m = - \frac{9}{4}$ （下圖）。

④ 兩端點： $t = \frac{1}{3}$ 時 $\frac{1}{9} - 1 = - \frac{8}{9}$ ， $t = 9$ 時 $81 - 27 = 54$ ；離頂點較遠的 $t = 9$ 較大，最大值 $M = 54$ 。

答案 $(M, m) = (54, - \frac{9}{4})$ 。

載入中...

最小值發生在

3^{x} = \frac{3}{2}

，

x = lo g_{3} \frac{3}{2}

；最大值發生在

x = 2

。

指對數不等式：先化同底，再看底數大於

1

（方向不變）或小於

1

（方向相反），最後不要漏掉真數條件。

06填充題（第 15～17 題）：首數與尾數、對數的二次方程式、半衰期

第 15 題

① $lo g 5 = lo g \frac{10}{2} = 1 - lo g 2 \approx 0.6990$ 。

② $lo g (\frac{3}{5})^{100} = 100 (lo g 3 - lo g 5) \approx 100 \times (0.4771 - 0.6990) = - 22.19$ 。

③ 寫成首數加尾數： $- 22.19 = - 23 + 0.81$ ，所以 $(\frac{3}{5})^{100} = 1 0^{0.81} \times 1 0^{- 23}$ ， $b = 1 0^{0.81}$ ， $n = - 23$ 。

④ $lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 \approx 0.7781$ ， $lo g 7 \approx 0.8451$ ， $0.7781 < 0.81 < 0.8451$ ，所以 $6 < b < 7$ ， $a = 6$ 。

⑤ $b \times 1 0^{- 23}$ 的第一個不為 $0$ 的數字在小數點後第 $23$ 位， $k = 23$ 。

答案 $(a, k) = (6, 23)$ 。

第 16 題

① $lo g_{a} b = 2$ ，所以 $b = a^{2}$ ， $lo g b = 2 lo g a$ 。

② 令 $u = lo g a$ ，代入： $u \cdot 2 u + u + 2 u = 2$ ， $2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$ ， $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ 。

③ $u = \frac{1}{2}$ 時 $a = 1 0^{\frac{1}{2}} = 10$ ； $u = - 2$ 時 $a = 1 0^{- 2} = \frac{1}{100}$ 。

④ 兩者都是不等於 $1$ 的正數，可以當底數，都合。

答案 $a = 10$ 或 $\frac{1}{100}$ 。

第 17 題

① 每過 $1$ 小時濃度乘上同一個比 $r$ ，設 $f (x) = 500 \cdot r^{x}$ 。

② 由圖上的點 $(0.5, 400)$ ： $500 \cdot r^{\frac{1}{2}} = 400$ ， $r^{\frac{1}{2}} = \frac{4}{5}$ ， $r = \frac{16}{25}$ 。

③ 半衰期 $T$ 滿足 $f (T) = 250$ ： $(\frac{16}{25})^{T} = \frac{1}{2}$ ，也就是 $(\frac{4}{5})^{2 T} = \frac{1}{2}$ 。

④ 兩邊取常用對數： $2 T lo g \frac{4}{5} = - lo g 2$ 。

⑤ $lo g \frac{4}{5} = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx - 0.0970$ ，所以 $2 T \approx \frac{0.3010}{0.0970} \approx 3.103$ ， $T \approx 1.55$ 。

⑥ 四捨五入到小數點後第一位，約 $1.6$ 小時（下圖中濃度降到 $250$ 的位置）。

載入中...

T = \frac{0.3010}{0.1940} \approx 1.5515

，第二位是

5

，進位得

1.6

；用更精確的對數值算也是

1.55 \dots

。

lo g

值是負數時先改寫成「負整數＋介於

0

與

1

的尾數」；半衰期的題目先由一個點求出衰減的比，再解指數方程式。

07混合題（第 18～20 題，原卷第 18 題）：向量之和、依向量走出的路徑

第 18 題

① 由圖讀出 $P (- 3, - 4)$ 、 $Q (5, 1)$ ，所以 $P O = (3, 4)$ ， $QO = (- 5, - 1)$ 。

② $P O + QO = (- 2, 3)$ ，要找的向量是它的反向量 $(2, - 3)$ 。

③ $X O = O - X = (2, - 3)$ ，所以 $X = (- 2, 3)$ ，就是 $E$ 點。

④ 三個向量首尾相接，剛好圍成一個三角形回到出發點（下圖）。

答案 (E)。

載入中...

第 19 題

① 由圖讀出 $A (2, - 3)$ 、 $B (- 5, 2)$ 。

② 沿 $A O$ 方向前進 $\overline{A O}$ 距離，就是位移 $A O = (- 2, 3)$ ： $O R = A O = (- 2, 3)$ ， $R (- 2, 3)$ 。

③ $B R = (- 2 - (- 5), 3 - 2) = (3, 1)$ ，沿它的方向前進 $2 \overline{B R}$ ，位移是 $2 B R = (6, 2)$ ： $S = (- 2 + 6, 3 + 2) = (4, 5)$ 。

④ 從 $S$ 沿 $F S$ 方向前進 $3 \overline{F S}$ 回到 $O$ ： $S O = 3 F S$ 。

⑤ $S O = (- 4, - 5)$ ，所以 $F S = (- \frac{4}{3}, - \frac{5}{3})$ 。

⑥ 設 $F (x, y)$ ， $F S = (4 - x, 5 - y)$ ，所以 $4 - x = - \frac{4}{3}$ ， $5 - y = - \frac{5}{3}$ 。

答案 $F (\frac{16}{3}, \frac{20}{3})$ （ $F$ 、 $S$ 、 $O$ 共線， $F$ 在 $S$ 的外側，見下圖）。

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第 20 題

① 質點走的路線是 $O \to R \to S \to O$ 三段線段。

② $\overline{O R} = 4 + 9 = 13 < 4$ ：這一段從圓心走到圓內的 $R$ ，整段在圓內，沒有交點。

③ $\overline{O S} = 16 + 25 = 41 > 4$ ： $R$ 在圓內、 $S$ 在圓外，線段 $R S$ 穿出圓恰好一次，交 $1$ 點。

④ 線段 $S O$ 從圓外的 $S$ 走到圓心，穿進圓恰好一次，交 $1$ 點。

⑤ 兩個交點分別在 $R S$ 與 $S O$ 上，兩條線段只在圓外的 $S$ 相交，所以兩點相異（下圖）。

答案 $2$ 個。

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「沿某向量方向前進某倍的長度」就是加上那個向量的同倍數；判斷線段與圓有幾個交點，先看兩端點在圓內還是圓外。

08混合題（第 21～23 題，原卷第 19 題）：由對數函數圖形判斷係數

第 21 題

① $y = lo g_{a} x + b$ 是 $y = lo g_{a} x$ 上下平移 $b$ ，平移不改變遞增或遞減。

② 題目的圖形由左往右上升，是遞增函數。

③ $y = lo g_{a} x$ 在 $a > 1$ 時遞增、在 $0 < a < 1$ 時遞減（下圖），所以 $a > 1$ 。

答案 (A)。

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第 22 題

① 代 $x = 1$ ： $y = lo g_{a} 1 + b = 0 + b = b$ ，所以圖形通過 $(1, b)$ 。

② 由題目的圖， $x = 1$ 時曲線在 $x$ 軸上方、在虛線 $y = 1$ 下方（下圖的點），所以 $0 < b < 1$ 。

答案 (A)。

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第 23 題

① 由前兩小題 $a > 1$ ，又由圖 $0 < b < 1$ 。

② $y = a x^{2} + b x = x (a x + b)$ ： $a > 0$ ，開口向上；與 $x$ 軸交在 $x = 0$ 與 $x = - \frac{b}{a}$ 。

③ $0 < b < 1 < a$ ，所以 $0 < \frac{b}{a} < 1$ ，另一個交點 $- \frac{b}{a}$ 在 $- 1$ 與 $0$ 之間。

④ 指數函數 $y = (\frac{b}{a})^{x}$ 的底數介於 $0$ 與 $1$ ，圖形遞減，通過 $(0, 1)$ （下圖是一個例子）。

⑤ 逐一比對：(A)、(B) 的指數函數遞增，不合；(B)、(E) 的拋物線開口向下，不合；(D) 拋物線另一個交點在 $x$ 軸正向，不合。

⑥ 只有 (C) 開口向上、另一交點在 $- 1$ 與 $0$ 之間、指數函數遞減。

答案 (C)。

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下圖用

a = 3

、

b = \frac{3}{5}

舉例（與題目的對數圖形大致相符：

y = lo g_{3} x + \frac{3}{5}

在

x = 3^{- 0.6} \approx 0.52

穿過

x

軸）：

y = 3 x^{2} + \frac{3}{5} x

交

x

軸於

0

與

- \frac{1}{5}

，

y = (\frac{1}{5})^{x}

遞減。

由圖形判斷係數：先看增減定底數，再代特殊點（對數代

x = 1

）讀出平移量。

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