段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與對數函數的圖形、對數律與換底公式、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）

臺南二中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 30 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 30 題，照原卷順序

是非題每小題 1 分、多選題與填充題每題 5 分；混合題第 15 題 4 分（只答對 1 個答案給 2 分），第 16～18 題各小題依序 3 分、4 分，合計 100 分。本頁第 1～10 題為原卷第 1 題的 (1)～(10)，第 11～24 題為原卷第 2～15 題，第 25～30 題為原卷第 16～18 題的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對。

1. 是非題，正確請填「○」，錯誤請填「×」。

π^{3} < π^{5}

2^{- 0.1} > (\frac{1}{3})^{- 0.1}

π^{0.1} + π^{- 0.1} < 2

(lo g 0.9)^{2} = lo g 0.9

lo g_{2} (lo g_{3} 5) + lo g_{2} (lo g_{5} 3) = 0

2^{l o g 3} < 3^{l o g 2}

(lo g 2) (lo g 81) = (lo g 3) (lo g 16)

直線

y = 2023

與

y = - lo g x

的圖形沒有交點

若點

(a, b)

在

y = 1 0^{x}

圖形上，則點

(\frac{b}{10}, a - 1)

在

y = lo g x

圖形上

若

a, b, c

均為正數　且

a, b, c

成等比數列，則

lo g a, lo g b, lo g c

成等差數列

2~3. 多選題(10%)：每題 5 分，若只錯 1 選項可得 3 分，只錯 2 選項可得 1 分，其餘情況則不給分。

指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = 3^{x}

的圖形如下圖所示，其中

y = b^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形對稱於

y

軸。選出所有正確的選項。

(A) $b = \frac{1}{3}$
(B) $1 < a < 3$
(C) $(lo g_{a} b, b)$ 在 $y = a^{x}$ 圖形上
(D) 若 $(h, \frac{1}{a})$ 為函數 $y = a^{x}$ 圖形上一點，則 $h = \frac{1}{2}$
(E) 若 $(100, k)$ 為函數 $y = b^{x}$ 圖形上一點，則 $k < 1$

載入中...

函數

y = a lo g x

，

y = b lo g x

，

y = 2 lo g x

的圖形如下所示，其中

y = b lo g x

與

y = 2 lo g x

的圖形對稱於

x

軸。選出所有正確的選項。

(A) $P$ 點坐標為 $(2, 0)$
(B) $b = - 2$
(C) $0 < a < 2$
(D) $(10 0^{a}, 4 a)$ 為函數 $y = 2 lo g x$ 圖形上一點
(E) 若 $(h, 100)$ 為 $y = b lo g x$ 圖形上一點，則 $h < 1$

載入中...

4~14. 填充題(55%)：每題 5 分

若函數

y = a x^{2} + x

的圖形如下，則函數

y = a^{x}

的圖形可能為下列何者？(單選題)（本站補註：五個選項的圖見下圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

已知

x

為任意實數，則

8^{(x^{2} + 2 x - 1)}

的最小值為 ____。

不等式

\frac{1}{100} \leq (10)^{x} \leq 1000

其解為 ____。

設

a = \frac{1}{- 1 + lo g _{2} 6}

，則

9^{a} + 2 7^{- a} =

____。

若

a = lo g_{8} 9

，則

lo g_{3} 2 =

？(單選題) (A)

\frac{2}{3 a}

　(B)

\frac{3 a}{2}

　(C)

\frac{6}{a}

　(D)

\frac{a}{6}

　(E)

\frac{2 a}{3}

　(F)

\frac{3}{2 a}

　(G)

6 a

　(H)

\frac{1}{6 a}

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則將

8^{x} = 15

之解以

a

、

b

表示得

x =

____。

不等式

1 + lo g (x + 3) \leq lo g (8 - x)

其解為 ____。

某科學家在研究兩個變數

s

與

t

（

s

、

t

皆為正數）的關係時發現：若

x = lo g s

，

y = lo g t

，可得圖形為

x + 2 y = 3

的直線，則兩變數

s

與

t

的關係式為 ____。(答案不可含有 log 符號)

下圖為對數函數

f (x) = lo g x

的圖形，則以

p

、

q

表示得

f (\frac{2}{5}) =

____。

載入中...

如下圖，設直線

x = k

與

y = lo g x

、

y = lo g (x - 5)

分別交於

P

、

Q

兩點，若

\overline{P Q} = 1

，則

k =

____。

載入中...

將

(\frac{1}{7})^{100}

寫成科學記號

(\frac{1}{7})^{100} = a \times 1 0^{n}

，其中

1 \leq a < 10

，且

n

為整數。若

a

的整數部分為

m

，則數對

(m, n) =

____。（本站補註：卷首參考資料

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

15~18. 混合題(25%)：除單選題可直接填答，其餘需詳列演算過程才計分。

解方程式

3^{x} \cdot lo g x - 9 \cdot lo g x + 3^{x + 1} = 27

原卷第 16 題（第 25～26 題）　在奇幻大陸的魔法世界中，存在著一種神奇的魔法藥劑，這種魔法藥劑的初始溫度為

100

Krisdor。為了發揮其真正的魔法力量，它需要在特定實驗室的環境溫度

19

Krisdor 下冷卻。透過以下超自然的公式可以描述這個神奇的冷卻過程：

f (t) = A + (f (0) - A) \cdot e^{- k t}

f (t)

是時間

t

小時後魔法藥劑的溫度，以克里斯多溫度（Krisdor）為單位。

f (0)

是魔法藥劑的初始溫度，以克里斯多溫度（Krisdor）為單位。

A

代表實驗室的環境溫度，以克里斯多溫度（Krisdor）為單位。

k

是一個與魔法藥劑特性相關的神秘常數，反映了魔法影響的程度。請注意：克里斯多溫度（Krisdor）是一種魔法世界中的溫度單位。

(1) 假設魔法藥劑在

1

小時內從

100

Krisdor 冷卻到

73

Krisdor，則

e^{- k} =

？

(2) 再經

3

個小時，此魔法藥劑的溫度為多少 Krisdor？

原卷第 17 題（第 27～28 題）　聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W/m^{2})

來衡量，當測得的聲音的強度

w (W/m^{2})

時，所產生的音量

D

分貝：

D = 10 \times lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

已知安靜的圖書館之聲音為

40

分貝，球場上啦啦隊

1

支汽笛獨鳴聲音為

70

分貝。

(1) 試問

70

分貝的聲音強度是

40

分貝的聲音強度的幾倍？(單選題) (A)

\frac{7}{4}

　(B)

1 0^{\frac{7}{4}}

　(C)

1 0^{30}

　(D)

3 0^{10}

　(E)

1 0^{3}

　(F)

3^{10}

(2) 設

100

支汽笛合鳴的聲音強度為

1

支汽笛獨鳴的

100

倍，試問

100

支汽笛合鳴的噪音為多少分貝？

原卷第 18 題（第 29～30 題）　懷海德教授曾在《美國物理期刊》中提到：「一張骨牌能推倒另一張比它大的骨牌。」若第

1

張骨牌的重量為

3

公克，之後每一張骨牌的重量皆為前一張骨牌重量的

2

倍。試回答以下問題：

(1) 從第幾張骨牌開始，這張骨牌的重量會超過

100

公克？(單選題) (A)

4

　(B)

5

　(C)

6

　(D)

7

　(E)

8

　(F)

9

(2) 骨牌效應是指一件事的發生會引發一連串的連鎖反應，得名於按一定間距排列的骨牌相繼倒下。因此，在理想狀況下，從哪一張骨牌開始，這張骨牌的重量會超過台北

101

大樓的總重量（台北

101

大樓的總重量約為

7 \times 1 0^{11}

公克）？（本站補註：卷首參考資料

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2×

3×

4×

5○

6×

7○

8×

9○

10○

第 11 題(A)(C)(E)

第 12 題(B)(D)(E)

第 13 題(B)

第 14 題

\frac{1}{64}

第 15 題

- 4 \leq x \leq 6

第 16 題

\frac{33}{8}

第 17 題(A)

第 18 題

\frac{1 + b - a}{3 a}

第 19 題

- 3 < x \leq - 2

第 20 題

s t^{2} = 1000

第 21 題

2 p - q - 1

第 22 題

\frac{50}{9}

第 23 題

(3, - 85)

第 24 題

x = 2

或

x = \frac{1}{1000}

第 25 題

\frac{2}{3}

第 26 題

35

Krisdor

第 27 題(E)

第 28 題

90

分貝

第 29 題(D)

第 30 題第

39

張

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01是非題（原卷第 1 題 (1)～(10)）：指數與對數的大小、對數律、圖形

第 1 題○答 ○。底數

π > 1

，

y = π^{x}

是遞增函數；

3 < 5

，所以

π^{3} < π^{5}

。

第 2 題×答 ×。

(\frac{1}{3})^{- 0.1} = 3^{0.1}

。

3^{0.1} > 3^{0} = 1

，而

2^{- 0.1} < 2^{0} = 1

，所以

2^{- 0.1} < 1 < (\frac{1}{3})^{- 0.1}

，原式的不等號方向不對。

第 3 題×答 ×。

π^{0.1}

與

π^{- 0.1}

都是正數，且乘積為

1

。由算幾不等式

π^{0.1} + π^{- 0.1} \geq 2 π^{0.1} \cdot π^{- 0.1} = 2

，等號只在

π^{0.1} = π^{- 0.1}

時成立；但

π^{0.1} > 1 > π^{- 0.1}

，所以

π^{0.1} + π^{- 0.1} > 2

，不會小於

2

。

第 4 題×答 ×。

(lo g 0.9)^{2} = ∣ lo g 0.9 ∣

。

0.9 < 1

，所以

lo g 0.9 < 0

，

∣ lo g 0.9 ∣ = - lo g 0.9 > 0

，與

lo g 0.9

不相等。

第 5 題○

答 ○。由換底公式 $lo g_{3} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 3}$ ， $lo g_{5} 3 = \frac{lo g 3}{lo g 5}$ ，兩者乘積為 $1$ ，而且都是正數。所以

$lo g_{2} (lo g_{3} 5) + lo g_{2} (lo g_{5} 3) = lo g_{2} (lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 3) = lo g_{2} 1 = 0$

第 6 題×答 ×。兩數都是正數，取常用對數：

lo g (2^{l o g 3}) = lo g 3 \cdot lo g 2

，

lo g (3^{l o g 2}) = lo g 2 \cdot lo g 3

，兩者相等，所以

2^{l o g 3} = 3^{l o g 2}

，「小於」不成立。

第 7 題○答 ○。

lo g 81 = lo g 3^{4} = 4 lo g 3

，

lo g 16 = lo g 2^{4} = 4 lo g 2

。左邊

= 4 lo g 2 lo g 3

，右邊

= 4 lo g 3 lo g 2

，兩邊相等。

第 8 題×答 ×。令

- lo g x = 2023

，得

x = 1 0^{- 2023} > 0

，是一個交點。

y = - lo g x

的值域是全體實數，任何水平線都和它恰交於一點。

第 9 題○答 ○。

(a, b)

在

y = 1 0^{x}

上，所以

b = 1 0^{a}

。代入

y = lo g x

：

lo g \frac{b}{10} = lo g b - 1 = lo g 1 0^{a} - 1 = a - 1

，正好等於點的縱坐標，所以

(\frac{b}{10}, a - 1)

在

y = lo g x

上。

第 10 題○答 ○。

a, b, c

為正數且成等比數列，所以

b^{2} = a c

。兩邊取對數：

2 lo g b = lo g a + lo g c

，即

lo g b - lo g a = lo g c - lo g b

，所以

lo g a, lo g b, lo g c

成等差數列。

比較指數或對數的大小，先看底數比

1

大還是小；兩邊都是正數時，取對數是最快的比較方法。

02多選題（原卷第 2～3 題）：由圖形判斷底數與係數

第 11 題

$P$ 是三條圖形的共同點 $(0, 1)$ 。

(A) 正確。 $y = b^{x}$ 與 $y = 3^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，表示 $b^{x} = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ 對所有 $x$ 成立，所以 $b = \frac{1}{3}$ 。

(B) 錯誤。 $y = a^{x}$ 遞增，所以 $a > 1$ ；圖中在 $y$ 軸右側， $y = a^{x}$ 的圖形在 $y = 3^{x}$ 的上方，例如 $x = 1$ 時 $a^{1} > 3^{1}$ ，所以 $a > 3$ ，不在 $1$ 與 $3$ 之間。

(D) 錯誤。 $a^{h} = \frac{1}{a} = a^{- \frac{1}{2}}$ ，又 $a > 1$ ，指數函數是一對一的，所以 $h = - \frac{1}{2}$ ，不是 $\frac{1}{2}$ 。

(E) 正確。 $k = b^{100} = (\frac{1}{3})^{100}$ ，底數介於 $0$ 與 $1$ ，指數為正，所以 $0 < k < 1$ 。

選 (A)(C)(E)。

第 12 題

三條圖形都過 $lo g x = 0$ 的點，也就是 $x = 1$ ，所以 $P = (1, 0)$ 。

(A) 錯誤。 $P$ 點坐標為 $(1, 0)$ ，不是 $(2, 0)$ 。

(B) 正確。 $y = b lo g x$ 與 $y = 2 lo g x$ 對稱於 $x$ 軸，表示 $b lo g x = - 2 lo g x$ 對所有 $x > 0$ 成立，取 $x = 10$ 得 $b = - 2$ 。

(C) 錯誤。 圖中 $y = a lo g x$ 隨 $x$ 增大而下降，所以 $a < 0$ ；它在 $x > 1$ 的部分位於 $y = b lo g x$ 上方、 $x$ 軸下方，所以 $- 2 < a < 0$ ，不在 $0$ 與 $2$ 之間。

(D) 正確。 $x = 10 0^{a}$ 時 $2 lo g x = 2 lo g (1 0^{2 a}) = 2 \times 2 a = 4 a$ ，所以 $(10 0^{a}, 4 a)$ 在 $y = 2 lo g x$ 上。

(E) 正確。 $- 2 lo g h = 100$ ， $lo g h = - 50$ ， $h = 1 0^{- 50} < 1$ 。

選 (B)(D)(E)。

對稱於

y

軸是把

x

換成

- x

，對稱於

x

軸是把

y

換成

- y

；比較同類型圖形的高低，就是在同一個

x

比函數值。

03填充題（原卷第 4～8 題）：圖形判斷、指數不等式、換底

第 13 題

拋物線 $y = a x^{2} + x = x (a x + 1)$ 與 $x$ 軸交於 $x = 0$ 與 $x = - \frac{1}{a}$ 。圖形開口向上，所以 $a > 0$ ；圖中另一個交點在 $- 2$ 與 $- 1$ 之間，即 $- 2 < - \frac{1}{a} < - 1$ ，得 $1 < \frac{1}{a} < 2$ ， $\frac{1}{2} < a < 1$ 。

所以 $y = a^{x}$ 的底數介於 $0$ 與 $1$ ：圖形遞減、恆在 $x$ 軸上方、過 $(0, 1)$ 。

(A) 遞增，不合；(C)(D) 的函數值是負的，指數函數恆正，不合；(E) 過 $(1, 0)$ ，指數函數的值不會是 $0$ ，不合；只有 (B) 符合。答 (B)。

第 14 題

x^{2} + 2 x - 1 = (x + 1)^{2} - 2 \geq - 2

，等號在

x = - 1

時成立。底數

8 > 1

，

8^{u}

隨

u

增大而增大，所以最小值為

8^{- 2} = \frac{1}{64}

。

第 15 題

(10)^{x} = 1 0^{\frac{x}{2}}

，

\frac{1}{100} = 1 0^{- 2}

，

1000 = 1 0^{3}

。不等式變成

1 0^{- 2} \leq 1 0^{\frac{x}{2}} \leq 1 0^{3}

。底數

10 > 1

，指數的大小關係不變：

- 2 \leq \frac{x}{2} \leq 3

，所以

- 4 \leq x \leq 6

。

第 16 題

$- 1 + lo g_{2} 6 = lo g_{2} 6 - lo g_{2} 2 = lo g_{2} 3$ ，所以 $a = \frac{1}{lo g _{2} 3} = lo g_{3} 2$ ，即 $3^{a} = 2$ 。

$9^{a} = (3^{a})^{2} = 4$ ， $2 7^{- a} = (3^{a})^{- 3} = \frac{1}{8}$ 。

所以 $9^{a} + 2 7^{- a} = 4 + \frac{1}{8} = \frac{33}{8}$ 。

第 17 題

換底： $a = lo g_{8} 9 = \frac{lo g 9}{lo g 8} = \frac{2 lo g 3}{3 lo g 2}$ ，所以 $\frac{lo g 3}{lo g 2} = \frac{3 a}{2}$ 。

$lo g_{3} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 3} = \frac{2}{3 a}$ ，選 (A)。

把題目裡的數都化成同一個底數（

10

、

3

或

2

的次方）再處理，指數與對數的問題多半就變成一次或二次的式子。

04填充題（原卷第 9～14 題）：常用對數的計算與應用

第 18 題

兩邊取常用對數： $x lo g 8 = lo g 15$ ， $x = \frac{lo g 15}{lo g 8}$ 。

$lo g 8 = 3 lo g 2 = 3 a$ ； $lo g 15 = lo g \frac{30}{2} = lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 = b + 1 - a$ 。

所以 $x = \frac{1 + b - a}{3 a}$ 。

第 19 題

真數條件： $x + 3 > 0$ 且 $8 - x > 0$ ，即 $- 3 < x < 8$ 。

左邊 $1 + lo g (x + 3) = lo g 10 + lo g (x + 3) = lo g (10 x + 30)$ 。底數 $10 > 1$ ， $lo g$ 是遞增函數，所以 $10 x + 30 \leq 8 - x$ ， $11 x \leq - 22$ ， $x \leq - 2$ 。

與真數條件取交集： $- 3 < x \leq - 2$ 。

第 20 題把

x = lo g s

、

y = lo g t

代入

x + 2 y = 3

：

lo g s + 2 lo g t = 3

，即

lo g (s t^{2}) = 3

，所以

s t^{2} = 1 0^{3} = 1000

。

第 21 題

由圖， $p = lo g 6 = lo g 2 + lo g 3$ ， $q = lo g 9 = 2 lo g 3$ ，所以 $lo g 3 = \frac{q}{2}$ ， $lo g 2 = p - \frac{q}{2}$ 。

$f (\frac{2}{5}) = lo g 2 - lo g 5 = lo g 2 - (1 - lo g 2) = 2 lo g 2 - 1 = 2 p - q - 1$ 。

第 22 題

$P (k, lo g k)$ 、 $Q (k, lo g (k - 5))$ ，兩個對數都要有意義，所以 $k > 5$ ；此時 $k > k - 5$ ， $P$ 在 $Q$ 的上方。

$\overline{P Q} = lo g k - lo g (k - 5) = lo g \frac{k}{k - 5} = 1$ ，所以 $\frac{k}{k - 5} = 10$ ， $k = 10 k - 50$ ， $k = \frac{50}{9}$ 。

檢查： $\frac{50}{9} > 5$ ，符合。

原卷附圖只是示意：

k = \frac{50}{9} \approx 5.56 < 6

，直線

x = k

在

y = lo g (x - 5)

與

x

軸的交點

B (6, 0)

左側，此時

lo g (k - 5) = lo g \frac{5}{9} < 0

，

Q

其實在

x

軸下方，和附圖畫的位置不同。

第 23 題

$lo g (\frac{1}{7})^{100} = - 100 lo g 7 \approx - 84.51 = - 85 + 0.49$ 。

所以 $(\frac{1}{7})^{100} = 1 0^{0.49} \times 1 0^{- 85}$ ， $a = 1 0^{0.49}$ ， $n = - 85$ 。

$lo g 3 \approx 0.4771 < 0.49 < 0.6020 \approx lo g 4$ ，所以 $3 < a < 4$ ，整數部分 $m = 3$ 。答 $(3, - 85)$ 。

科學記號的次方看對數的整數部分（要把小數部分調成

0

到

1

之間），首位數字看小數部分落在哪兩個

lo g k

之間。

05混合題（原卷第 15～18 題）：指對數方程式與應用

第 24 題

$lo g x$ 要有意義，所以 $x > 0$ 。 $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ ，方程式移項：

$3^{x} lo g x - 9 lo g x + 3 \cdot 3^{x} - 27 = 0$

前兩項提出 $lo g x$ 、後兩項提出 $3$ ： $lo g x (3^{x} - 9) + 3 (3^{x} - 9) = 0$ ，即

$(3^{x} - 9) (lo g x + 3) = 0$

$3^{x} = 9$ 得 $x = 2$ ； $lo g x = - 3$ 得 $x = 1 0^{- 3} = \frac{1}{1000}$ 。兩個都大於 $0$ ，都是解。

學校給分：本題 4 分，只答對 1 個答案給 2 分。

第 25 題

環境溫度 $A = 19$ ，初始溫度 $f (0) = 100$ ，所以 $f (t) = 19 + 81 e^{- k t}$ 。

$f (1) = 73$ ： $19 + 81 e^{- k} = 73$ ， $81 e^{- k} = 54$ ， $e^{- k} = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}$ 。

第 26 題

第 1 小時結束後再經 $3$ 小時，是從開始算起 $t = 4$ 小時。

$e^{- 4 k} = (e^{- k})^{4} = (\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}$ ，所以 $f (4) = 19 + 81 \times \frac{16}{81} = 19 + 16 = 35$ 。

答： $35$ Krisdor。

如果誤算成

t = 3

，會得到

19 + 81 \times \frac{8}{27} = 43

；「再經」是接在第 1 小時之後。

第 27 題

設 $40$ 分貝與 $70$ 分貝的強度分別為 $w_{1}$ 、 $w_{2}$ ：

$40 = 10 lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}}$ ， $70 = 10 lo g \frac{w _{2}}{1 0 ^{- 12}}$ 。

兩式相減： $30 = 10 (lo g w_{2} - lo g w_{1}) = 10 lo g \frac{w _{2}}{w _{1}}$ ，所以 $lo g \frac{w _{2}}{w _{1}} = 3$ ， $\frac{w _{2}}{w _{1}} = 1 0^{3}$ 。選 (E)。

第 28 題

$1$ 支汽笛的強度 $w_{2}$ 滿足 $10 lo g \frac{w _{2}}{1 0 ^{- 12}} = 70$ 。 $100$ 支合鳴的強度為 $100 w_{2}$ ：

$D = 10 lo g \frac{100 w _{2}}{1 0 ^{- 12}} = 10 (lo g 100 + lo g \frac{w _{2}}{1 0 ^{- 12}}) = 10 \times 2 + 70 = 90$

答： $90$ 分貝。

第 29 題

第 $n$ 張骨牌的重量是首項 $3$ 、公比 $2$ 的等比數列： $3 \times 2^{n - 1}$ 公克。

$n = 6$ 時 $3 \times 2^{5} = 96 \leq 100$ ； $n = 7$ 時 $3 \times 2^{6} = 192 > 100$ 。重量逐張增加，所以從第 $7$ 張開始超過 $100$ 公克，選 (D)。

第 30 題

要 $3 \times 2^{n - 1} > 7 \times 1 0^{11}$ 。兩邊取常用對數（ $lo g$ 遞增，不等號方向不變）：

$lo g 3 + (n - 1) lo g 2 > lo g 7 + 11$

$(n - 1) \times 0.3010 > 0.8451 - 0.4771 + 11 = 11.368$ ，

$n - 1 > \frac{11.368}{0.3010} \approx 37.77$ 。

$n - 1$ 是整數，最小取 $38$ ，所以 $n = 39$ ：從第 $39$ 張骨牌開始，重量超過台北 $101$ 大樓的總重量。

檢查：

37 \times 0.3010 = 11.137 < 11.368

，

38 \times 0.3010 = 11.438 > 11.368

，所以第

38

張還不到、第

39

張超過。

應用題先寫出一般式（

f (t)

、

D

、

3 \times 2^{n - 1}

），比例或倍數的問題用「兩式相除」或「相減後取對數」處理。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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臺南二中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

最容易錯的是第 3 題（指數和的算幾不等式，等號不成立所以一定大於 2）、第 6 題（兩個數其實相等，不是小於）、第 11 題選項 B（從圖看出 a 的指數函數比 3 的更陡，所以 a 大於 3）、第 19 題（先寫真數條件再去掉對數）、第 26 題（再經 3 小時是從開始算第 4 小時）和第 30 題（取對數後要用參考資料算到小數）。

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02多選題（原卷第 2～3 題）：由圖形判斷底數與係數

03填充題（原卷第 4～8 題）：圖形判斷、指數不等式、換底

04填充題（原卷第 9～14 題）：常用對數的計算與應用

05混合題（原卷第 15～18 題）：指對數方程式與應用

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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