臺南二中 111 上
高一第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (B)(D)(E)。記 $h(x)=x^5(x-1{)}^3(x+2{)}^4$，則 $f(x)=h(x)+2x^2+3x-2$，而 $2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)$。

(A) 錯誤。 $h(1)=0$，$f(1)=0+2+3-2=3\ne 0$。

(B) 正確。 $h(-2)=0$，$f(-2)=0+8-6-2=0$，由因式定理 $x+2$ 是 $f(x)$ 的因式。

(C) 錯誤。 $h(x)$ 含因式 $(x-1)(x+2)$，所以 $f(x)$ 與 $2x^2+3x-2$ 除以 $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$ 的餘式相同。$2x^2+3x-2=2\left(x^2+x-2\right)+(x+2)$，餘式是 $x+2$，不是 $3x-2$。

(D) 正確。 $h(x)$ 含因式 $x^2(x+2)$（$x^5$ 含 $x^2$），所以餘式就是 $2x^2+3x-2$ 除以 $x^2(x+2)$ 的餘式；$2x^2+3x-2$ 的次數 $2$ 已低於除式的次數 $3$，餘式就是它自己。

(E) 正確。 $3h(x)$ 含因式 $x^2$，$3f(x)$ 除以 $x^2$ 的餘式等於 $3\left(2x^2+3x-2\right)=6x^2+9x-6$ 除以 $x^2$ 的餘式，即 $9x-6$。

答案 (A)(C)(E)。頂點 $(2,k)$ 表示對稱軸是 $x=2$。

(A) 正確。 圖形與 $x$ 軸的兩個交點 $(5,0)$、$(h,0)$ 對稱於 $x=2$：$\frac{5+h}{2}=2$，$h=-1$。（若 $h=5$，則 $(5,0)$ 是頂點，與頂點 $(2,k)$ 不合。）

設 $f(x)=a(x-5)(x+1)$，代入 $(0,-10)$：$-5a=-10$，$a=2$。所以 $f(x)=2(x-5)(x+1)=2x^2-8x-10=2(x-2{)}^2-18$。

(B) 錯誤。 $k=f(2)=-18<0$。

(C) 正確。 $a=2>0$ 開口向上，最小值是頂點的 $y$ 坐標 $-18$。

(D) 錯誤。 $-4$ 到對稱軸 $x=2$ 的距離是 $6$，$6$ 到對稱軸的距離是 $4$；開口向上時離對稱軸越遠函數值越大，所以 $f(-4)>f(6)$。（實際 $f(-4)=54$，$f(6)=14$。）

(E) 正確。 $y=2(x-2{)}^2-18$ 向左移 $2$、向上移 $18$ 就是 $y=2x^2$。

答案 (A)(B)(D)。$f(x)=2(x-1{)}^3+(x-1)$，令 $t=x-1$，則 $f=2t^3+t$。

(A) 正確。 由餘式定理，餘式為 $f(0)=2(-1{)}^3+0-1=-3$。

(B) 正確。 $y=2x^3+x$ 的圖形對稱於原點（把 $x$ 換成 $-x$ 得 $-y$）；$y=f(x)$ 是它向右平移 $1$ 單位，所以對稱中心是 $(1,0)$。

(C) 錯誤。 $f(x)=(x-1)\left[2(x-1{)}^2+1\right]$，而 $2(x-1{)}^2+1\ge 1>0$，所以 $f(x)=0$ 只有 $x=1$ 一個實根，圖形與 $x$ 軸只有一個交點。

(D) 正確。 由 (B)，把 $y=f(x)$ 的圖形向左平移 $1$ 單位，就得到 $y=2x^3+x$。

(E) 錯誤。 在 $x=1$ 附近 $t=x-1$ 很小，$2t^3$ 比 $t$ 小得多，$f(x)\approx t=x-1$，所以近似直線是 $y=x-1$，不是 $y=2(x-1)$。

答案 (B)(C)(E)。移項並提出公因式 $(x+4)(x-6)$：

$$(x+4)(x-6)\left[x^2-(7-6x)\right]>0$$

$x^2+6x-7=(x+7)(x-1)$，所以不等式為 $(x+7)(x+4)(x-1)(x-6)>0$。

四個根由小到大是 $-7,-4,1,6$，首項係數為正，最右邊一段為正，往左每過一個根變號一次：解為 $x<-7$ 或 $-4<x<1$ 或 $x>6$。

(A) 錯誤。 $-2\pi \approx -6.28$，在 $-7$ 與 $-4$ 之間，不是解。

(B) 正確。 $-\pi \approx -3.14$，在 $-4$ 與 $1$ 之間。

(C) 正確。 $0$ 在 $-4$ 與 $1$ 之間。

(D) 錯誤。 $\pi \approx 3.14$，在 $1$ 與 $6$ 之間，不是解。

(E) 正確。 $2\pi \approx 6.28>6$。

答案 (E)。後兩項 $4x^3-4x^2=4x^2(x-1)$，與第一項有公因式 $x(x-1)$：

$$x(x-1{)}^3+4x^2(x-1)=x(x-1)\left[(x-1{)}^2+4x\right]=x(x-1)\left(x^2+2x+1\right)=x(x-1)(x+1{)}^2$$

所以選 (E)。

餘式的次數低於 $2$，設 $f(x)=\left(x^2-2x+3\right)q(x)+px+r$。則

$$(x+1)f(x)=\left(x^2-2x+3\right)(x+1)q(x)+(x+1)(px+r)$$

所以 $(x+1)f(x)$ 的餘式就是 $(x+1)(px+r)=p{x}^2+(p+r)x+r$ 除以 $x^2-2x+3$ 的餘式。把 $x^2$ 換成 $2x-3$（因為 $x^2=(x^2-2x+3)+2x-3$）：

$$p(2x-3)+(p+r)x+r=(3p+r)x+(r-3p)$$

比較 $7x-11$：$3p+r=7$，$r-3p=-11$，相加得 $2r=-4$，$r=-2$，$p=3$。餘式為 $3x-2$。

學校答案卷印 $-32$，並註明本題有誤、送分。

依除法原理，$f(x)=g(x)(x-8)-15$。若照這個式子直接代 $x=7$：$f(7)=g(7)\cdot (-1)-15$，所以 $g(7)=-f(7)-15$。

用綜合除法求 $f(7)$：係數 $15,-107,14,-3,25,-11$，依次得 $15$；$15\cdot 7-107=-2$；$-2\cdot 7+14=0$；$0\cdot 7-3=-3$；$-3\cdot 7+25=4$；$4\cdot 7-11=17$。所以 $f(7)=17$，$g(7)=-17-15=-32$，由餘式定理，$g(x)$ 除以 $x-7$ 的餘式為 $-32$。

但題目的條件其實互相矛盾：由 $f(x)=g(x)(x-8)-15$，代 $x=8$ 必須得到 $f(8)=-15$。用綜合除法算 $f(8)$：$15$；$15\cdot 8-107=13$；$13\cdot 8+14=118$；$118\cdot 8-3=941$；$941\cdot 8+25=7553$；$7553\cdot 8-11=60413$。$f(8)=60413\ne -15$，也就是 $f(x)+15$ 不能被 $x-8$ 整除，這樣的多項式 $g(x)$ 不存在。這就是學校送分的原因。

常數函數 $y=c$ 的圖形是一條水平線，選 (A)。

(B) 是過原點的斜直線（一次函數）；(C) 是鉛直線，同一個 $x$ 對應無限多個 $y$，不是函數的圖形；(D) 是拋物線；(E) 是三次函數 $y=a{x}^3$ 型的圖形。

由圖：$L_1$ 由左上往右下，斜率 $a_1<0$；$L_2$ 由左下往右上，斜率 $a_2>0$，所以 $a_1<a_2$。

$b_1$、$b_2$ 是兩直線與 $y$ 軸交點的 $y$ 坐標。兩直線交於 $x$ 軸正向上的同一點，$L_1$ 與 $y$ 軸交在 $x$ 軸上方，$b_1>0$；$L_2$ 與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方，$b_2<0$。所以 $b_1>b_2$，選 (F)。

設價格上漲 $n$ 個 $0.05$ 美元（$0\le n\le 40$），價格 $1+0.05n$ 美元，銷量 $4000-100n$ 首。每天收入

$$y=(1+0.05n)(4000-100n)=0.05(20+n)\cdot 100(40-n)=5(n+20)(40-n)$$

這是開口向下的二次函數，兩根 $-20$ 與 $40$，頂點在兩根的中點 $n=10$。最大收入 $5\cdot 30\cdot 30=4500$ 美元（此時每首 $1.5$ 美元，賣 $3000$ 首）。

圖形恆在直線上方：對所有實數 $x$，

$$4x^2+(4m+1)x-m>x-12$$

即 $4x^2+4mx+(12-m)>0$ 恆成立。首項係數 $4>0$，只要判別式小於 $0$：

$$(4m{)}^2-4\cdot 4\cdot (12-m)<0\Rightarrow 16\left(m^2+m-12\right)<0\Rightarrow (m+4)(m-3)<0$$

所以 $-4<m<3$。

$f(-5)=-125a-5p>0$，兩邊除以 $-5$：$25a+p<0$。

$f(-2)=-8a-2p<0$，兩邊除以 $-2$：$4a+p>0$。

由 $4a+p>0>25a+p$，得 $4a>25a$，$21a<0$，$a<0$。再由 $p>-4a$，而 $-4a>0$，所以 $p>0$。選 (D)。

$f(x)=(x+1{)}^3-2(x+1)-3$ 是 $y=x^3-2x$ 向左移 $1$、向下移 $3$ 的圖形。$y=x^3-2x$ 對稱於原點，所以 $y=f(x)$ 的對稱中心是 $(-1,-3)$。

圖形上點 $(a,b)$ 對 $(-1,-3)$ 的對稱點也在圖形上，它與 $(a,b)$ 的中點是 $(-1,-3)$：對稱點為 $(2\cdot (-1)-a,2\cdot (-3)-b)=(-a-2,-b-6)$。選 (H)。

$f(x)$ 是三次函數，對稱中心 $(4,k)$，可以寫成

$$f(x)=A(x-4{)}^3+p(x-4)+k$$

（以對稱中心為基準展開時，沒有 $(x-4{)}^2$ 項）。$A(x-4{)}^3$ 能被 $(x-4{)}^2$ 整除，所以 $f(x)$ 除以 $(x-4{)}^2$ 的餘式是 $p(x-4)+k=px+(k-4p)$。比較 $-2x+3$：$p=-2$，$k-4p=k+8=3$，所以 $k=-5$。

$y=g(x)=3x^3-9x^2+bx+c$ 是 $y=f(x)$ 左移的結果，形狀不變，首項係數 $A=3$。

$g(x)$ 的對稱中心：$3x^3-9x^2=3\left(x^3-3x^2\right)$，配成 $3(x-1{)}^3=3x^3-9x^2+9x-3$，所以對稱中心的 $x$ 坐標是 $1$。$f$ 的對稱中心在 $x=4$，所以是向左移 $3$ 單位，$g(x)=f(x+3)$。

由第 14 題，$f(x)=3(x-4{)}^3-2(x-4)-5$，所以

$$g(x)=f(x+3)=3(x-1{)}^3-2(x-1)-5=3x^3-9x^2+9x-3-2x+2-5=3x^3-9x^2+7x-6$$

$(b,c)=(7,-6)$。

與 $x$ 軸交於 $0,5,7$ 三點，三次函數可寫成 $f(x)=Ax(x-5)(x-7)$；廣域看接近 $y=-6x^3$，表示首項係數 $A=-6$。

$$f(x)=-6x(x-5)(x-7)=-6x^3+72x^2-210x$$

對稱中心的 $x$ 坐標 $=-\frac{72}{3\cdot (-6)}=4$（也等於三根的平均 $\frac{0+5+7}{3}=4$）。$f(4)=-6\cdot 4\cdot (-1)\cdot (-3)=-72$。對稱中心為 $(4,-72)$。

由圖讀出：圖形在 $x=-1$、$x=1$、$x=9$ 穿過 $x$ 軸，在 $x=5$ 碰到 $x$ 軸又折回上方（重根，圖形在 $x$ 軸上方相切）。

$f(x)\le 0$ 是圖形在 $x$ 軸上或下方的部分：

① $-1$ 與 $1$ 之間圖形在 $x$ 軸下方，含端點：$-1\le x\le 1$；

② $x=5$ 這一點 $f(5)=0$，左右兩側都是正的，只有這一點：$x=5$；

③ $x=9$ 以右圖形在 $x$ 軸下方：$x\ge 9$。

解為 $-1\le x\le 1$ 或 $x=5$ 或 $x\ge 9$。

$a{x}^2+bx+c\le 0$ 的解在兩根之外，表示開口向下，$a<0$，且兩根是 $-3$ 與 $1$：

$$a{x}^2+bx+c=a(x+3)(x-1)=a{x}^2+2ax-3a$$

所以 $b=2a$，$c=-3a$。代入第二個不等式：

$$-3a{x}^2-4ax-a<0$$

兩邊除以 $-a$（$-a>0$，不等號不變）：$3x^2+4x+1<0$，$(3x+1)(x+1)<0$，解為 $-1<x<-\frac{1}{3}$。

用綜合除法連續除以 $x-1$：

$4,-20,43,-20$ 除以 $x-1$：商 $4,-16,27$，餘 $7$，所以 $d=7$；

$4,-16,27$ 除以 $x-1$：商 $4,-12$，餘 $15$，所以 $c=15$；

$4,-12$ 除以 $x-1$：商 $4$，餘 $-8$，所以 $b=-8$；最後的商 $a=4$。

$a=4$，$b=-8$，$c=15$，$d=7$。

$f(x)=4(x-1{)}^3-8(x-1{)}^2+15(x-1)+7$，$x=0.99$ 時 $x-1=-0.01$：

$4(-0.01{)}^3=-0.000004$，$-8(-0.01{)}^2=-0.0008$，$15(-0.01)=-0.15$。

$f(0.99)=7-0.15-0.0008-0.000004=6.849196$，四捨五入至小數點後第二位為 $6.85$。

在 $x=1$ 附近，$x-1$ 很小，$(x-1{)}^3$、$(x-1{)}^2$ 比 $x-1$ 小得多，所以

$$f(x)\approx 15(x-1)+7=15x-8$$

局部特徵近似於一次函數 $y=15x-8$。

$f(x)=-x\left(x^3-3x-2\right)$。已知 $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ 是因式，用長除法：$x^3-3x-2=(x^2-x-2)(x+1)$，所以

$$f(x)=-x(x-2)(x+1{)}^2$$

$f(x)>0$ 即 $x(x-2)(x+1{)}^2<0$。

$(x+1{)}^2\ge 0$：$x=-1$ 時左邊為 $0$，不合；$x\ne -1$ 時 $(x+1{)}^2>0$，不等式變成 $x(x-2)<0$，即 $0<x<2$（此範圍不含 $-1$）。

解為 $0<x<2$。

起跳點在原點，落地點是圖形與 $x$ 軸的另一個交點。令 $y=0$：

$$\frac{-1}{660}{x}^2+x=x\left(1-\frac{x}{660}\right)=0$$

$x=0$（起跳點）或 $x=660$（落地點）。此紅袋鼠可跳 $660$ 公分遠。

配方求最高點：

$$y=\frac{-1}{660}\left(x^2-660x\right)=\frac{-1}{660}(x-330{)}^2+\frac{330^2}{660}=\frac{-1}{660}(x-330{)}^2+165$$

最高點在 $x=330$，高度 $165$ 公分。$165>150$，把柵欄放在 $x=330$ 附近時，紅袋鼠的高度超過 $150$ 公分，所以能跳過 $150$ 公分高的柵欄。