段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

臺南二中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題選項 B 要注意兩個函數的定義域不同，選項 E 要用指數與對數圖形對稱於直線 y=x 的性質；填充第 4 題（本頁第 7 題）底數除了大於 0 還不能等於 1；填充第 10 題（第 13 題）解出來有兩個答案，負一與以 2 為底 6 的對數都要寫；混合題第 2 題（第 20 題）除了 2 與 4 之外，在負數那一側還有一個交點；混合題第 3 題（第 21 題）要先寫出真數條件，底數小於 1 時去掉對數不等號要反向。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多選題 3 題共 15 分；填充題 15 格共 75 分，每格需全對才給分，依答對格數給分（1 至 15 格依序為 8、16、24、30、36、42、46、50、54、58、62、66、69、72、75 分）；混合題第 1 題 3 分、第 2 題 2 分、第 3 題 5 分，共 10 分。本頁第 1～3 題是原卷多選題第 1～3 題，第 4～18 題是填充題第 1～15 題，第 19～21 題是混合題第 1～3 題。卷頭附參考數值 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 5 ≈ 0.6990，log 7 ≈ 0.8451，log 1.05 ≈ 0.0212。答案已與學校公布的答案逐題核對，其中填充第 7 題（本頁第 10 題）學校答案印 6，本站計算為 5，其餘 20 題（格）相同。

一、多選題：每題 5 分，共 15 分（每題至少有一個是正確的選項，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。）

已知

a > 0

且

a \neq = 1

，下列關於函數的敘述，請選出正確的選項：

(A) $y = a^{x}$ 和 $y = a^{- x}$ 兩圖形對稱於 y 軸
(B) $y = lo g_{10} x^{2}$ 與 $y = 2 lo g_{10} x$ 兩圖形重合
(C) $y = a lo g_{10} x$ 和 $y = - a lo g_{10} x$ 兩圖形對稱於 y 軸
(D) $y = a^{x}$ 的圖形通過點 $(1, 0)$
(E) 若 $y = 1 0^{x}$ 的圖形和直線 $y = a x$ 交於相異兩點，則 $y = lo g_{10} x$ 的圖形和直線 $y = \frac{1}{a} x$ 也交於相異兩點

選出與對數值

lo g_{2} 5

相等的選項：

(A) $lo g_{6} 15$
(B) $lo g_{\frac{1}{8}} \frac{1}{125}$
(C) $2 lo g_{4} 5$
(D) $\frac{1}{lo g _{5} 2}$
(E) $lo g_{3} 10 \div lo g_{3} 4$

已知

a = 1 0^{3}

、

b = 1 0^{23}

、

c = 1 0^{33}

，請選出正確的選項：

(A) $a c = b^{2}$
(B) $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等差數列
(C) $lo g a$ 、 $lo g b$ 、 $lo g c$ 成等差數列
(D) $lo g a + lo g c = lo g a \times lo g c$
(E) $lo g b = lo g a + lo g 2$

二、填充題（共 75 分）

求

lo g_{10} \frac{4}{25} + lo g_{10} \frac{9}{16} - lo g_{10} \frac{3}{10} - lo g_{10} 3 =

____ 。

求

lo g_{\frac{1}{2}} 4 + lo g_{3} 4 - 2 lo g_{3} \frac{2}{9} + 2 5^{l o g_{5} 7} =

____ 。

若

x = lo g_{5} 4

，則

2 5^{x} + 5^{- x} =

____ 。

若

lo g_{(x - 2)} (7 - x)

有意義，則實數

x

的範圍為 ____ 。

土星為太陽系八大行星之一，因為它美麗的土星環而出名，其體積僅次於木星，偉殷找到一份資料上面寫著地球的半徑約為

1 0^{3.8042}

公里，土星的半徑約為

1 0^{4.7584}

公里，請問根據此份資料土星的半徑約為地球的 ____ 倍。（利用參考對數值，四捨五入取至整數位）

已知

1 < x < 10

，若

a = lo g (x^{2})

，

b = (lo g x)^{2}

，

c = lo g (lo g x)

，請比較

a

、

b

、

c

三個數的大小順序為 ____ 。

已知

a

為正整數，且

100 < a < 3000

，則

lo g_{2} a

滿足為正整數的

a

共有 ____ 個。

已知

a = 8

，

b = 4 \cdot 32

，

c = (0.5)^{- 3}

，

d = lo g_{5} (lo g_{2} 32)

，請比較

a

、

b

、

c

、

d

四數的大小順序為 ____ 。

將函數

y = lo g x

的圖形往右平移

h

單位，再往上平移

k

單位後可得函數

y = lo g (10 x + 30)

的圖形，則數對

(h, k) =

____ 。

解方程式

4^{x} - 13 \times 2^{x - 1} + 3 = 0

，

x =

____ 。

設

n

為正整數且滿足

f (n) = \frac{lo g ( n + 2 )}{lo g ( n + 1 )}

，試求

lo g_{3} (f (1)) + lo g_{3} (f (2)) + lo g_{3} (f (3)) + lo g_{3} (f (4)) + lo g_{3} (f (5)) + lo g_{3} (f (6)) =

梅西於大學畢業後，經過幾年的工作，存下人生的第一桶金

100

萬元，他找到一個投資理財方案，年利率固定為

5%

，每年計息一次，依複利計息，請問至少要經過 ____ 年，才會本利和超過

200

萬元。

已知

x

為任意實數，求

2 5^{2 x^{2} - 6 x + 6}

的最小值為 ____ 。

聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特（

W/m^{2}

）來衡量，當測得的聲音強度

w

（

W/m^{2}

）時，所產生的音量

d

分貝為

d = 10 \times lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

。已知棒球場上啦啦隊用的汽笛獨鳴的噪音約為

72

分貝，請問

1000

支汽笛一起發出聲音時，噪音可達 ____ 分貝。

Covid-19 病毒在感染初期病毒量極微，欲知體內病毒濃度，可透過核酸複製技術(PCR)，每經過一次複製，病毒的核酸量增為原來的兩倍；若先在核酸上著色，經過 k 次複製後，直到染色的螢光強度可被偵測到，則 k 稱為此檢體的 Ct 值。例如：Ct 值為

10

表示核酸被複製

10

次後，核酸總量為原來的

1024

倍才可被偵測到，因此，Ct 值越高，表示病毒量越少，傳染力越低。已知某病患入院時，採檢得到的 Ct 值為

18

，經數日休養後病毒量逐漸下降，身體漸漸康復，於出院當天，採檢得到的 Ct 值為

35

，請問，出院當天的病毒量大約為入院當天的幾倍？（單選）

(A) $100000$
(B) $10000$
(C) $\frac{1}{10000}$
(D) $\frac{1}{100000}$
(E) $\frac{1}{1000000}$

三、混合題（共 10 分）

在下圖方格紙中描繪指數函數

y = 2^{x}

的圖形。（3 分）說明：請至少列出五個滿足

y = 2^{x}

點

(x, y)

載入中...

滿足方程式

x^{2} = 2^{x}

的實數解共有多少個？（單選題）（2 分）

(A) $0$
(B) $1$
(C) $2$
(D) $3$
(E) $4$ 個

解對數不等式

lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) \geq - 1 + lo g_{\frac{1}{4}} (10 - x)

。（5 分）（請詳列計算過程，若僅有答案無計算過程，不給分。）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(E)

第 2 題(B)(C)(D)

第 3 題(A)(C)

第 4 題

- 1

第 5 題

51

第 6 題

\frac{65}{4}

第 7 題

2 < x < 7

且

x \neq = 3

第 8 題

9

第 9 題

a > b > c

第 10 題

5

（學校答案印 6）

第 11 題

c > a > b > d

第 12 題

(- 3, 1)

第 13 題

- 1

或

lo g_{2} 6

第 14 題

2

第 15 題

15

第 16 題

125

第 17 題

102

第 18 題(D)

第 19 題例如描出

(- 2, \frac{1}{4})

、

(- 1, \frac{1}{2})

、

(0, 1)

、

(1, 2)

、

(2, 4)

，再以平滑曲線連接（圖見詳解）

第 20 題(D)

第 21 題

2 < x \leq 6

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～3 題）：圖形的對稱、換底公式、10 的次方取對數

第 1 題

(A) 正確。 $y = a^{- x}$ 是把 $y = a^{x}$ 的 $x$ 換成 $- x$ ： $y = a^{x}$ 圖形上任一點 $(p, q)$ ，對稱於 y 軸的點 $(- p, q)$ 滿足 $q = a^{- (- p)}$ ，在 $y = a^{- x}$ 上，所以兩圖形對稱於 y 軸。

(B) 錯誤。 $y = lo g_{10} x^{2}$ 只要 $x^{2} > 0$ ，定義域是 $x \neq = 0$ ； $y = 2 lo g_{10} x$ 要 $x > 0$ 。例如 $x = - 1$ 時前者有 $y = lo g_{10} 1 = 0$ ，後者沒有意義，所以兩圖形不重合（只在 $x > 0$ 的部分重合）。

(D) 錯誤。 $x = 1$ 時 $y = a^{1} = a \neq = 0$ ； $y = a^{x}$ 的值恆為正，圖形通過的是 $(0, 1)$ ，不是 $(1, 0)$ 。

(E) 正確。 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g_{10} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$ 。直線 $y = a x$ 對直線 $y = x$ 的對稱圖形是把 $x$ 、 $y$ 互換： $x = a y$ ，即 $y = \frac{1}{a} x$ 。若 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = a x$ 交於相異兩點 $P$ 、 $Q$ ，則 $P$ 、 $Q$ 對 $y = x$ 的對稱點都同時在 $y = lo g_{10} x$ 與 $y = \frac{1}{a} x$ 上；反過來，後兩者的每個交點對稱回去也都是前兩者的交點，所以交點恰好也是相異兩點。

選 (A)(E)。

第 2 題

由換底公式， $lo g_{2} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 2}$ 。

(A) 錯誤。 $lo g_{6} 15 = \frac{lo g 15}{lo g 6}$ 。 $lo g_{2} 5 > lo g_{2} 4 = 2$ ，而 $lo g_{6} 15 < lo g_{6} 36 = 2$ ，兩者不相等。

(B) 正確。 $\frac{1}{8} = 2^{- 3}$ 、 $\frac{1}{125} = 5^{- 3}$ ， $lo g_{\frac{1}{8}} \frac{1}{125} = \frac{lo g 5 ^{- 3}}{lo g 2 ^{- 3}} = \frac{- 3 lo g 5}{- 3 lo g 2} = lo g_{2} 5$ 。

(D) 正確。 $lo g_{5} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 5}$ ，倒數就是 $\frac{lo g 5}{lo g 2} = lo g_{2} 5$ 。

(E) 錯誤。 $lo g_{3} 10 \div lo g_{3} 4 = \frac{lo g 10}{lo g 4} = lo g_{4} 10 = \frac{1}{2} lo g_{2} 10 = lo g_{2} 10$ ，而 $10 \neq = 5$ ，所以不等於 $lo g_{2} 5$ 。

選 (B)(C)(D)。

數值：

lo g_{2} 5 \approx 2.322

、

lo g_{6} 15 \approx 1.511

、

lo g_{4} 10 \approx 1.661

。

第 3 題

$lo g a = 3$ 、 $lo g b = 23$ 、 $lo g c = 33$ 。

(A) 正確。 $a c = 1 0^{3 + 33} = 1 0^{43}$ ， $b^{2} = 1 0^{2 \cdot 23} = 1 0^{43}$ ，相等。

(B) 錯誤。 $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = 1 0^{3}$ ， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 成等比數列；而 $b - a = 1 0^{3} (1 0^{3} - 1)$ ， $c - b = 1 0^{23} (1 0^{3} - 1)$ ，兩個差不相等，不是等差數列。

(D) 錯誤。 左邊 $3 + 33 = 43$ ，右邊 $3 \times 33 = 9$ ， $43 = 48 \neq = 81$ 。

(E) 錯誤。 $lo g a + lo g 2 = lo g (2 a)$ ，要成立須 $b = 2 a$ ；但 $\frac{b}{a} = 1 0^{3}$ ， $3 > 1$ ，所以 $1 0^{3} > 10 \neq = 2$ 。

選 (A)(C)。

對稱看「誰換成負號」：

x

換成

- x

對稱於 y 軸，

y

換成

- y

對稱於 x 軸，

x

、

y

互換對稱於直線

y = x

。比較對數值時一律換成同一個底。

02填充第 1～5 題（第 4～8 題）：對數律求值、真數與底數的限制、參考對數值

第 4 題

用對數律合併成一個對數：

$原式 = lo g_{10} (\frac{4}{25} \times \frac{9}{16} \div \frac{3}{10} \div 3)$

$\frac{4}{25} \times \frac{9}{16} = \frac{9}{100}$ ， $\frac{9}{100} \times \frac{10}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{90}{900} = \frac{1}{10}$ 。所以原式 $= lo g_{10} \frac{1}{10} = - 1$ 。

第 5 題

逐項計算。

$lo g_{\frac{1}{2}} 4$ ： $(\frac{1}{2})^{- 2} = 4$ ，所以等於 $- 2$ 。

$lo g_{3} 4 - 2 lo g_{3} \frac{2}{9} = lo g_{3} 4 - lo g_{3} \frac{4}{81} = lo g_{3} (4 \times \frac{81}{4}) = lo g_{3} 81 = 4$ 。

$2 5^{l o g_{5} 7} = (5^{2})^{l o g_{5} 7} = (5^{l o g_{5} 7})^{2} = 7^{2} = 49$ 。

原式 $= - 2 + 4 + 49 = 51$ 。

第 6 題

$x = lo g_{5} 4$ ，所以 $5^{x} = 4$ 。

$2 5^{x} = (5^{x})^{2} = 16$ ， $5^{- x} = \frac{1}{5 ^{x}} = \frac{1}{4}$ 。

$2 5^{x} + 5^{- x} = 16 + \frac{1}{4} = \frac{65}{4}$ 。

第 7 題

$lo g_{(x - 2)} (7 - x)$ 有意義，底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ，真數要大於 $0$ ：

底數： $x - 2 > 0$ 且 $x - 2 \neq = 1$ ，得 $x > 2$ 且 $x \neq = 3$ 。

真數： $7 - x > 0$ ，得 $x < 7$ 。

合起來是 $2 < x < 7$ 且 $x \neq = 3$ 。

最常漏掉的是

x \neq = 3

：

x = 3

時底數是

1

，

1

的任何次方都是

1

，以

1

為底的對數沒有定義。

第 8 題

土星半徑是地球半徑的

$\frac{1 0 ^{4.7584}}{1 0 ^{3.8042}} = 1 0^{4.7584 - 3.8042} = 1 0^{0.9542}$

倍。參考對數值 $lo g 3 \approx 0.4771$ ，所以 $lo g 9 = 2 lo g 3 \approx 0.9542$ ，即 $1 0^{0.9542} \approx 9$ 。土星的半徑約為地球的 $9$ 倍。

對數律把乘除變加減；指數裡出現同底的對數時，用

a^{l o g_{a} M} = M

直接化掉。對數有意義要同時檢查底數與真數。

03填充第 6～10 題（第 9～13 題）：比大小、整數個數、圖形平移、指數方程式

第 9 題

令 $t = lo g x$ 。 $1 < x < 10$ ， $y = lo g x$ 遞增，所以 $0 < t < 1$ 。

$a = lo g (x^{2}) = 2 lo g x = 2 t$ ； $b = (lo g x)^{2} = t^{2}$ ； $c = lo g (lo g x) = lo g t$ 。

$0 < t < 1$ 時， $t^{2} < t < 2 t$ ，所以 $a > b > 0$ 。又 $0 < t < 1$ ， $lo g t < lo g 1 = 0$ ，所以 $c < 0$ 。

大小順序為 $a > b > c$ 。

第 10 題

$lo g_{2} a$ 是正整數，設 $lo g_{2} a = k$ （ $k$ 為正整數），則 $a = 2^{k}$ 。

要 $100 < 2^{k} < 3000$ ： $2^{6} = 64$ 、 $2^{7} = 128$ 、 $2^{11} = 2048$ 、 $2^{12} = 4096$ ，所以 $k = 7$ 、 $8$ 、 $9$ 、 $10$ 、 $11$ 。

符合的 $a$ 是 $128$ 、 $256$ 、 $512$ 、 $1024$ 、 $2048$ ，共 $5$ 個。

學校答案印

6

，本站計算為

5

。區間

100 < a < 3000

內

2

的正整數次方只有上面五個：下一個較小的

2^{6} = 64

小於

100

，下一個較大的

2^{12} = 4096

大於

3000

，都不在範圍內，所以找不到第六個。

第 11 題

化成以 $2$ 為底的指數（ $d$ 先算出來）：

$a = 8 = (2^{3})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$ 。

$b = 4 \cdot 32 = (2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (2^{\frac{7}{3}})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{7}{6}}$ 。

$c = (0.5)^{- 3} = (2^{- 1})^{- 3} = 2^{3}$ 。

$d = lo g_{5} (lo g_{2} 32) = lo g_{5} 5 = 2 = 2^{1}$ （因為 $(5)^{2} = 5$ ）。

底數 $2 > 1$ ，指數越大值越大： $3 > \frac{3}{2} > \frac{7}{6} > 1$ ，所以 $c > a > b > d$ 。

數值：

a \approx 2.83

、

b \approx 2.24

、

c = 8

、

d = 2

。

第 12 題

$y = lo g (10 x + 30) = lo g (10 (x + 3)) = lo g 10 + lo g (x + 3) = lo g (x + 3) + 1$ 。

$y = lo g x$ 的圖形往右平移 $h$ 單位、再往上平移 $k$ 單位，得 $y = lo g (x - h) + k$ 。比較 $y = lo g (x + 3) + 1$ ： $- h = 3$ 、 $k = 1$ ，所以 $h = - 3$ 、 $k = 1$ 。

$(h, k) = (- 3, 1)$ （往右平移 $- 3$ 單位，就是往左平移 $3$ 單位）。

第 13 題

$4^{x} = (2^{x})^{2}$ ， $2^{x - 1} = \frac{2 ^{x}}{2}$ 。令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ），方程式變成

$t^{2} - \frac{13}{2} t + 3 = 0$

兩邊乘以 $2$ ： $2 t^{2} - 13 t + 6 = 0$ ， $(2 t - 1) (t - 6) = 0$ ， $t = \frac{1}{2}$ 或 $t = 6$ ，都大於 $0$ 。

$2^{x} = \frac{1}{2}$ 得 $x = - 1$ ； $2^{x} = 6$ 得 $x = lo g_{2} 6$ 。

所以 $x = - 1$ 或 $lo g_{2} 6$ 。

lo g_{2} 6 = 1 + lo g_{2} 3 \approx 2.585

。兩個解代回原式都成立。

比大小先換成同一個底；圖形平移時

x

換成

x - h

、整個加上

k

。指數方程式裡出現

4^{x}

與

2^{x}

，就令

t = 2^{x}

化成二次方程式，記得

t > 0

。

04填充第 11～15 題（第 14～18 題）：連乘相消、複利、最小值、分貝、Ct 值

第 14 題

對數律： $lo g_{3} M + lo g_{3} N = lo g_{3} (M N)$ ，所以原式 $= lo g_{3} (f (1) f (2) \dots f (6))$ 。

連乘相消：

$f (1) f (2) \dots f (6) = \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 4}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 5}{lo g 4} \cdot \frac{lo g 6}{lo g 5} \cdot \frac{lo g 7}{lo g 6} \cdot \frac{lo g 8}{lo g 7} = \frac{lo g 8}{lo g 2} = \frac{3 lo g 2}{lo g 2} = 3$

原式 $= lo g_{3} 3 = 2$ （因為 $(3)^{2} = 3$ ）。

第 15 題

$n$ 年後本利和為 $100 \times 1.0 5^{n}$ 萬元。要 $100 \times 1.0 5^{n} > 200$ ，即 $1.0 5^{n} > 2$ 。

兩邊取常用對數（ $lo g$ 遞增，不等號方向不變）： $n lo g 1.05 > lo g 2$ ，

$n > \frac{lo g 2}{lo g 1.05} \approx \frac{0.3010}{0.0212} \approx 14.2$

$n$ 為正整數，至少要經過 $15$ 年。

檢查：

14 \times 0.0212 = 0.2968 < 0.3010

，

14

年還不到兩倍；

15 \times 0.0212 = 0.318 > 0.3010

，

15

年超過兩倍。

第 16 題

底數 $25 > 1$ ， $y = 2 5^{u}$ 隨 $u$ 增加而增加，所以指數 $u = 2 x^{2} - 6 x + 6$ 最小時，整個式子最小。

配方： $2 x^{2} - 6 x + 6 = 2 (x^{2} - 3 x) + 6 = 2 (x - \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{2} + 6 = 2 (x - \frac{3}{2})^{2} + \frac{3}{2}$ 。

$x = \frac{3}{2}$ 時指數最小值為 $\frac{3}{2}$ ，所以最小值是 $2 5^{\frac{3}{2}} = (5^{2})^{\frac{3}{2}} = 5^{3} = 125$ 。

第 17 題

一支汽笛的強度為 $w$ 時， $72 = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}$ 。 $1000$ 支一起發聲時強度為 $1000 w$ ：

$d = 10 lo g \frac{1000 w}{1 0 ^{- 12}} = 10 (lo g 1000 + lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}) = 10 \times 3 + 72 = 102$

噪音可達 $102$ 分貝。

由

72 = 10 lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

可得

w = 1 0^{- 4.8}

；不必先算出

w

，強度乘以

1000

就是分貝加

10 lo g 1000 = 30

。

第 18 題

Ct 值為 $k$ ，表示原有核酸量乘以 $2^{k}$ 後才達到同一個可偵測的量。設入院時病毒量為 $V_{1}$ 、出院時為 $V_{2}$ ，偵測門檻為 $M$ ： $V_{1} \cdot 2^{18} = M$ ， $V_{2} \cdot 2^{35} = M$ 。

所以 $\frac{V _{2}}{V _{1}} = \frac{2 ^{18}}{2 ^{35}} = 2^{- 17} = \frac{1}{2 ^{17}}$ 。

用參考對數值估計： $lo g 2^{17} = 17 lo g 2 \approx 17 \times 0.3010 = 5.117$ ，所以 $2^{17} \approx 1 0^{5.117}$ ，約為 $1 0^{5}$ （實際 $2^{17} = 131072$ ）。出院當天的病毒量大約為入院當天的 $\frac{1}{100000}$ 倍。選 (D)。

Ct 值多

17

，表示病毒量少到約

\frac{1}{2 ^{17}}

。

2^{10} = 1024 \approx 1 0^{3}

，

2^{17} = 2^{10} \times 2^{7} \approx 1000 \times 128

，也可以這樣估。

應用題先寫出「指數模型」：倍數關係寫成

a^{n}

，再取常用對數或用參考對數值估算。指數函數的最值，看底數大於

1

還是小於

1

，轉成求指數的最值。

05混合題（原卷第 1～3 題）：描點作圖、交點個數、對數不等式

第 19 題

列出幾個滿足 $y = 2^{x}$ 的點：

$x y = 2^{x} - 2 \frac{1}{4} - 1 \frac{1}{2} 011224$

在方格紙上描出 $(- 2, \frac{1}{4})$ 、 $(- 1, \frac{1}{2})$ 、 $(0, 1)$ 、 $(1, 2)$ 、 $(2, 4)$ 這五點（也可以加上 $(3, 8)$ ），再用平滑曲線由左到右連起來。

畫的時候要注意：圖形全部在 $x$ 軸上方（ $2^{x} > 0$ ），往左越來越貼近 $x$ 軸但不碰到；通過 $(0, 1)$ ；往右遞增而且越升越快（ $x$ 每增加 $1$ ， $y$ 變成 $2$ 倍）。

載入中...

方格紙一格當作

1

單位。

第 20 題

看 $y = x^{2}$ 與 $y = 2^{x}$ 兩個圖形有幾個交點。

$x \geq 0$ 的部分：代入幾個值比較，

$x x^{2} 2^{x} 001112244398416165253263664$

$x = 2$ 與 $x = 4$ 都是解。把表中的點描在同一張圖上，可以看到 $0 \leq x < 2$ 時 $y = 2^{x}$ 在 $y = x^{2}$ 上方， $2 < x < 4$ 時 $y = x^{2}$ 在上方， $x > 4$ 之後 $y = 2^{x}$ 又回到上方；而且 $x$ 每增加 $1$ ， $2^{x}$ 變成 $2$ 倍， $x^{2}$ 只變成 $(\frac{x + 1}{x})^{2}$ 倍（ $x > 4$ 時不到 $1.6$ 倍），兩個圖形越拉越開。依兩個圖形的走勢，正數這一側的交點就是 $x = 2$ 與 $x = 4$ 兩個。

$x < 0$ 的部分： $x$ 由 $- \infty$ 增加到 $0$ 時， $x^{2}$ 由很大一路遞減到 $0$ ， $2^{x}$ 由很接近 $0$ 一路遞增到 $1$ 。 $x = - 1$ 時 $x^{2} = 1 > 2^{- 1} = \frac{1}{2}$ ， $x = 0$ 時 $x^{2} = 0 < 2^{0} = 1$ ，一個遞減、一個遞增，兩圖形在 $- 1$ 與 $0$ 之間恰好交一次。

共 $3$ 個實數解。選 (D)。

負數那一側的解約為

x \approx - 0.767

，它不是整數，只能靠圖形判斷「有一個」。最常見的錯誤是只找到

2

與

4

而選 (C)。正數這一側「沒有別的交點」要嚴格證明需要用到微分，高二依圖形判斷即可。

第 21 題

(1) 真數條件。 $x - 2 > 0$ 且 $10 - x > 0$ ，得 $2 < x < 10$ 。

(2) 化成同底。 $lo g_{\frac{1}{2}} (x - 2) = lo g_{\frac{1}{4}} (x - 2)^{2}$ （因為 $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ ）； $- 1 = lo g_{\frac{1}{4}} 4$ 。原不等式變成

$lo g_{\frac{1}{4}} (x - 2)^{2} \geq lo g_{\frac{1}{4}} 4 + lo g_{\frac{1}{4}} (10 - x) = lo g_{\frac{1}{4}} 4 (10 - x)$

(3) 去掉對數。 底數 $\frac{1}{4} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{4}} x$ 遞減，去掉對數時不等號要反向：

$(x - 2)^{2} \leq 4 (10 - x)$

展開： $x^{2} - 4 x + 4 \leq 40 - 4 x$ ， $x^{2} - 36 \leq 0$ ， $(x - 6) (x + 6) \leq 0$ ， $- 6 \leq x \leq 6$ 。

(4) 與真數條件取交集。 由 (1)(2)， $2 < x \leq 6$ 。

學校給分（共 5 分）：寫出真數條件 1 分；化成同底 1 分；去掉對數、不等號反向並解出

- 6 \leq x \leq 6

2 分；取交集得

2 < x \leq 6

1 分。驗證：

x = 6

時左邊

lo g_{\frac{1}{2}} 4 = - 2

，右邊

- 1 + lo g_{\frac{1}{4}} 4 = - 2

，等號成立。

對數不等式三步：先寫真數條件、化成同底、看底數大於

1

或小於

1

決定不等號要不要反向，最後一定要和真數條件取交集。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 1 題選項 B 要注意兩個函數的定義域不同，選項 E 要用指數與對數圖形對稱於直線 y=x 的性質；填充第 4 題（本頁第 7 題）底數除了大於 0 還不能等於 1；填充第 10 題（第 13 題）解出來有兩個答案，負一與以 2 為底 6 的對數都要寫；混合題第 2 題（第 20 題）除了 2 與 4 之外，在負數那一側還有一個交點；混合題第 3 題（第 21 題）要先寫出真數條件，底數小於 1 時去掉對數不等號要反向。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自臺南二中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南二中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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02填充第 1～5 題（第 4～8 題）：對數律求值、真數與底數的限制、參考對數值

03填充第 6～10 題（第 9～13 題）：比大小、整數個數、圖形平移、指數方程式

04填充第 11～15 題（第 14～18 題）：連乘相消、複利、最小值、分貝、Ct 值

05混合題（原卷第 1～3 題）：描點作圖、交點個數、對數不等式

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臺南二中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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