段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

臺南二中 109 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 109 上 高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 109 上 高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (E) 要先認出三倍角的式子，正負號容易看反；第 4 題與第 11 題都有範圍限制，疊合後要把角的範圍寫出來，最大值或最小值不一定是振幅；第 8 題的夾角有兩個，只寫一個只有半格分數；第 14 題要確認直線在第二個波谷的位置還沒有低於負 1，才數得到 9 個解。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（每題 5 分，共 20 分）、填充題 13 格（共 72 分，依答對格數給分。學校答案卷印的給分表：答對 1～13 格依序得 7、13、19、25、31、37、43、49、55、61、65、69、72 分；填充第 4 題（本頁第 8 題）只對一個給半格）、計算題 1 題（共 8 分，兩小題依序 5 分、3 分），合計 100 分。原卷三大題各自從 1 編號，本頁連續編號：填充題第 1～13 題是本頁第 5～17 題，計算題的 (1)(2) 是本頁第 18、19 題。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。

一、多重選擇題：每題 5 分，共 20 分。說明：每題至少有 1 個選項是正確的，每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未作答者不給分；只錯 1 個選項者得 3 分，錯 2 個選項者得 1 分，錯 3 個或 3 個以上者不給分。

下列哪些選項是正確的？

(A) 函數 $y = ∣ tan x ∣$ 的週期為 $π$
(B) 點 $P (tan 3, cos 5)$ 在第三象限
(C) $cos π^{\circ} > sin π^{\circ}$
(D) $tan 1 > sin 1$
(E) 設 $f (x) = - 8 x^{3} + 6 x$ ，則 $f (sin 1 5^{\circ}) = - 2$

考慮函數

f (x) = 2 cos (3 x + \frac{π}{3}) + 1

，下列哪些敘述是正確的？

(A) 將 $y = g (x) = 2 cos 3 x + 1$ 之函數圖形往左平移 $\frac{π}{3}$ ，可得 $y = f (x)$ 之函數圖形
(B) $f (x)$ 之最大值為 $3$ ，最小值為 $- 1$
(C) $y = ∣ f (x) ∣$ 之圖形對稱於 $y$ 軸
(D) $f (x)$ 之週期為 $\frac{2 π}{3}$
(E) 將 $y = - 2 sin 3 x$ 的圖形平移後可得 $y = f (x)$ 的圖形

在坐標平面上，廣義角

θ

的頂點為原點，始邊為

x

軸的正向，且滿足

tan θ = \frac{4}{3}

。若

θ

的終邊上有一點

P

，其

y

坐標為

- 8

，請選出正確的選項。

(A) $P$ 的 $x$ 坐標是 $6$
(B) $\overline{O P} = 5$
(C) $sin (\frac{7}{2} π - θ) = \frac{3}{5}$
(D) $sin \frac{θ}{2} > 0$
(E) $cos 2 θ < 0$

在

0 \leq x \leq π

的範圍，考慮函數

f (x) = 2 cos (\frac{π}{3} - x) - 2 cos x + 1

，則下列哪些敘述是正確的？

(A) $f (x)$ 的週期是 $2 π$
(B) $f (x)$ 的最小值為 $0$
(C) 方程式 $f (x) + 1 = 0$ 有解
(D) $f (x)$ 的圖形對稱於 $x = \frac{π}{6}$
(E) 當 $x = \frac{2 π}{3}$ 時， $f (x)$ 有最大值

二、填充題：共 72 分。說明：所有答案均需算出數值並化為最簡分數或有理化。

求

4 cos (- \frac{13 π}{6}) - tan \frac{23 π}{4} + 2 sin \frac{22 π}{3} + cos \frac{5 π}{2} =

____。

試求

\frac{1}{cos 34 0 ^{\circ}} + \frac{3}{sin 20 0 ^{\circ}} =

____。

sin 2 2^{\circ} cos 11 3^{\circ} - sin 29 2^{\circ} cos 33 7^{\circ} =

____。

兩直線

L_{1} : 3 x - y - 2 = 0

與

L_{2} : x - 3 y + 4 = 0

的夾角為 ____。

如圖，一扇形中心角為

\frac{π}{3}

，半徑為

9

，有一圓內切於此扇形，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

已知

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

，且滿足

10 cos^{2} θ - 3 cos θ - 4 = 0

，則

tan \frac{θ}{2} =

____。

設函數

f (x) = 3 sin^{2} x + 43 sin x \cdot cos x - cos^{2} x

，在

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{8}

的範圍內，若

f (x)

之最大值為

m

，最小值為

n

，則

m + n =

____。

如圖，在

△ A B C

中，

∠ B = 9 0^{\circ}

且

∠ C A B

之平分線交

\overline{B C}

於

D

。已知

\overline{C D} = 4 \overline{B D}

，求

cos (∠ D A B) =

____。

載入中...

如附圖，已知

∠ A B C = ∠ D E A = ∠ A F D = 9 0^{\circ}

，

\overline{A B} = 12

，

\overline{B C} = 5

，

\overline{A E} = 4

，

\overline{A D} = 5

，則

\overline{D F} =

____。

載入中...

方程式

sin x = - \frac{x}{13}

有 ____ 個解。

在

△ A B C

中，已知

cos A = \frac{4}{5}

，

cos B = \frac{12}{13}

，則

cos C =

____。

附圖為函數

y = a cos (b x + c)

（其中

a > 0

，

b > 0

，

0 \leq c < 2 π

）的部分圖形，試求序組

(a, b, c) =

____。

載入中...

在

- 2 π \leq x \leq π

的範圍內，方程式

2 cos^{2} x + 5 sin x - 4 = 0

之所有解的和為 ____。

三、計算題：共 8 分。說明：需詳列解題過程否則不予計分。

計算題第 1 題（本頁第 18～19 題）（第 18～19 題）　欲在半徑

1

公尺的圓形木板內繪製線段，如附圖，點

O

為圓心，四邊形

A B C D

為圓內接矩形，

E

、

F

分別為

\overline{A D}

、

\overline{B C}

之中點。

(1) 繪製的線段總長（

\overline{A B} + \overline{C D} + \overline{E F} + \overline{A D} + \overline{B C}

）最長為 ____ 公尺。

載入中...

(2) 此時

\overline{E F}

為 ____ 公尺。

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(D)

第 2 題(B)(D)(E)

第 3 題(C)(E)

第 4 題(A)(B)(E)（依學校答案；(A) 是把

x

當成任意實數時函數式的週期，見詳解）

第 5 題

1 + 3

第 6 題

- 4

第 7 題

\frac{2}{2}

第 8 題

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

第 9 題

\frac{15 π}{2} - 93

第 10 題

- \frac{1}{3}

第 11 題

6 - 2 - 2

第 12 題

\frac{10}{4}

第 13 題

\frac{56}{13}

第 14 題

9

第 15 題

- \frac{33}{65}

第 16 題

(2, \frac{4}{3}, \frac{3 π}{2})

第 17 題

- 2 π

第 18 題

213

公尺

第 19 題

\frac{6 13}{13}

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（第 1～2 題）：週期與弧度的觀念、餘弦函數圖形

第 1 題(A) 正確。

tan (x + π) = tan x

，所以

∣ tan (x + π) ∣ = ∣ tan x ∣

；又

∣ tan x ∣ = 0

只發生在

x = k π

（

k

為整數），相鄰兩個零點相距

π

，週期不可能比

π

小。 (B) 錯誤。 這裡的

3

、

5

是弧度。

\frac{π}{2} \approx 1.57 < 3 < π \approx 3.14

，

3

是第二象限角，

tan 3 < 0

；

\frac{3 π}{2} \approx 4.71 < 5 < 2 π \approx 6.28

，

5

是第四象限角，

cos 5 > 0

。

P

的橫坐標為負、縱坐標為正，在第二象限。 (C) 正確。

π^{\circ} \approx 3.1 4^{\circ}

，介於

0^{\circ}

與

4 5^{\circ}

之間，這個範圍內餘弦大於正弦。 (D) 正確。

0 < 1 < \frac{π}{2}

，

1

弧度是第一象限角，

sin 1 > 0

且

0 < cos 1 < 1

，所以

tan 1 = \frac{sin 1}{cos 1} > sin 1

。 (E) 錯誤。 先用和角與倍角公式推出三倍角：

sin 3 θ = sin (2 θ + θ) = sin 2 θ cos θ + cos 2 θ sin θ = 2 sin θ (1 - sin^{2} θ) + (1 - 2 sin^{2} θ) sin θ = 3 sin θ - 4 sin^{3} θ

。而

f (x) = - 8 x^{3} + 6 x = 2 (3 x - 4 x^{3})

，所以

f (sin 1 5^{\circ}) = 2 sin 4 5^{\circ} = 2

，不是

- 2

。選 (A)(C)(D)。

(B) 與 (D) 的角沒有度的記號，是弧度；(C) 的

π^{\circ}

有度的記號，是大約

3.14

度。

第 2 題(A) 錯誤。 往左平移

\frac{π}{3}

是把

x

換成

x + \frac{π}{3}

，得到

y = 2 cos (3 x + π) + 1 = - 2 cos 3 x + 1

，不是

f (x)

。因為

f (x) = 2 cos 3 (x + \frac{π}{9}) + 1

，正確的平移量是往左

\frac{π}{9}

。 (B) 正確。

x

是任意實數，

- 1 \leq cos (3 x + \frac{π}{3}) \leq 1

且兩端都取得到，所以

- 1 \leq f (x) \leq 3

。 (C) 錯誤。

f (\frac{π}{9}) = 2 cos \frac{2 π}{3} + 1 = 0

，

f (- \frac{π}{9}) = 2 cos 0 + 1 = 3

；

∣ f (x) ∣

在

x = \frac{π}{9}

與

x = - \frac{π}{9}

的值是

0

與

3

，不相等，圖形不對稱於

y

軸。 (D) 正確。 週期是

\frac{2 π}{3}

（

x

的係數是

3

）。 (E) 正確。 由

cos (t + \frac{π}{2}) = - sin t

，

- 2 sin 3 x = 2 cos (3 x + \frac{π}{2})

。把

x

換成

x - \frac{π}{18}

（往右平移

\frac{π}{18}

）得

2 cos (3 x - \frac{π}{6} + \frac{π}{2}) = 2 cos (3 x + \frac{π}{3})

，再往上平移

1

就是

y = f (x)

。選 (B)(D)(E)。

沒有度的記號的角就是弧度，先和

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

比大小定象限；左右平移要先把

x

的係數提出來再看平移量。

02多重選擇題（第 3～4 題）：廣義角的象限、疊合後在指定範圍內看極值

第 3 題

tan θ = \frac{4}{3} > 0

，

θ

是第一或第三象限角；終邊上的點

P

的

y

坐標是負的，所以

θ

是第三象限角。設

P (x, - 8)

，

tan θ = \frac{- 8}{x} = \frac{4}{3}

，

x = - 6

；

\overline{O P} = 36 + 64 = 10

，

sin θ = - \frac{4}{5}

，

cos θ = - \frac{3}{5}

。 (A) 錯誤。

P

的

x

坐標是

- 6

。 (B) 錯誤。

\overline{O P} = 10

。 (C) 正確。

\frac{7}{2} π - θ = 2 π + (\frac{3 π}{2} - θ)

，所以

sin (\frac{7}{2} π - θ) = sin (\frac{3 π}{2} - θ) = sin \frac{3 π}{2} cos θ - cos \frac{3 π}{2} sin θ = - cos θ = \frac{3}{5}

。 (D) 錯誤。 廣義角沒有限定在哪一圈。設

α

是銳角且

tan α = \frac{4}{3}

。若

θ = π + α

，則

\frac{θ}{2} = \frac{π}{2} + \frac{α}{2}

是第二象限角，

sin \frac{θ}{2} > 0

；但若

θ = α - π

（同樣是第三象限角），則

- \frac{π}{2} < \frac{θ}{2} < - \frac{π}{4}

，

sin \frac{θ}{2} < 0

。不一定成立。 (E) 正確。

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{18}{25} - 1 = - \frac{7}{25} < 0

。選 (C)(E)。

第 4 題先展開：

cos (\frac{π}{3} - x) = \frac{1}{2} cos x + \frac{3}{2} sin x

，所以

f (x) = cos x + 3 sin x - 2 cos x + 1 = 3 sin x - cos x + 1

。疊合：

3 sin x - cos x = 2 (sin x cos \frac{π}{6} - cos x sin \frac{π}{6}) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

，即

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6}) + 1

這個形式。當

0 \leq x \leq π

時，

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

，

sin (x - \frac{π}{6})

從

- \frac{1}{2}

（

x = 0

）升到

1

（

x = \frac{2 π}{3}

），再降到

\frac{1}{2}

（

x = π

），所以

0 \leq f (x) \leq 3

。 (A) 正確（依學校答案）。把

x

當成任意實數時，

2 sin (x - \frac{π}{6}) + 1

這個式子的週期是

2 π

。 (B) 正確。 最小值是

0

，在

x = 0

。 (C) 錯誤。

f (x) + 1 = 0

即

f (x) = - 1

，但在這個範圍內

f (x) \geq 0

，無解。 (D) 錯誤。

x = 0

與

x = \frac{π}{3}

到直線

x = \frac{π}{6}

一樣遠，但

f (0) = 0

，

f (\frac{π}{3}) = 2 sin \frac{π}{6} + 1 = 2

，高度不同。 (E) 正確。

x = \frac{2 π}{3}

時

sin (x - \frac{π}{6}) = sin \frac{π}{2} = 1

，

f (x) = 3

是最大值。選 (A)(B)(E)。

(A) 的週期指的是函數式本身（

x

取所有實數時）的週期；題目雖然把

x

限在

0 \leq x \leq π

來討論極值，學校公布的答案仍把 (A) 列為正確。若把定義域就當成

0 \leq x \leq π

這一段，圖形不會重複出現，嚴格說就談不上週期。

只知道象限、不知道在哪一圈時，半角的正負號不能確定；

a sin x + b cos x

先疊合，有範圍限制時把括號裡的角的範圍寫出來再看正弦的高低。

03填充題（第 5～8 題，原卷填充 1～4）：廣義角求值、疊合、和角公式、兩直線的夾角

第 5 題逐項化到一圈之內：

cos (- \frac{13 π}{6}) = cos \frac{13 π}{6} = cos (2 π + \frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

；

tan \frac{23 π}{4} = tan (6 π - \frac{π}{4}) = - tan \frac{π}{4} = - 1

；

sin \frac{22 π}{3} = sin (6 π + \frac{4 π}{3}) = sin \frac{4 π}{3} = - \frac{3}{2}

；

cos \frac{5 π}{2} = cos (2 π + \frac{π}{2}) = 0

。原式

= 4 \times \frac{3}{2} - (- 1) + 2 \times (- \frac{3}{2}) + 0 = 23 + 1 - 3 = 1 + 3

。

第 6 題

cos 34 0^{\circ} = cos (36 0^{\circ} - 2 0^{\circ}) = cos 2 0^{\circ}

，

sin 20 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} + 2 0^{\circ}) = - sin 2 0^{\circ}

。原式

= \frac{1}{cos 2 0 ^{\circ}} - \frac{3}{sin 2 0 ^{\circ}} = \frac{sin 2 0 ^{\circ} - 3 cos 2 0 ^{\circ}}{sin 2 0 ^{\circ} cos 2 0 ^{\circ}}

。分子疊合：

sin 2 0^{\circ} - 3 cos 2 0^{\circ} = 2 (sin 2 0^{\circ} cos 6 0^{\circ} - cos 2 0^{\circ} sin 6 0^{\circ}) = 2 sin (2 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = - 2 sin 4 0^{\circ}

。分母用倍角：

sin 2 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 4 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{- 2 sin 4 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 4 0 ^{\circ}} = - 4

。

第 7 題把四個角都化成

2 2^{\circ}

與

2 3^{\circ}

：

cos 11 3^{\circ} = cos (9 0^{\circ} + 2 3^{\circ}) = - sin 2 3^{\circ}

；

sin 29 2^{\circ} = sin (27 0^{\circ} + 2 2^{\circ}) = - cos 2 2^{\circ}

；

cos 33 7^{\circ} = cos (36 0^{\circ} - 2 3^{\circ}) = cos 2 3^{\circ}

。原式

= - sin 2 2^{\circ} sin 2 3^{\circ} + cos 2 2^{\circ} cos 2 3^{\circ} = cos (2 2^{\circ} + 2 3^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

第 8 題

L_{1}

：

y = 3 x - 2

，斜率

3

，斜角

\frac{π}{3}

。

L_{2}

：

y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}

，斜率

\frac{1}{3}

，斜角

\frac{π}{6}

。兩直線相交所成的角，一個是斜角的差

\frac{π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{π}{6}

，另一個是它的補角

π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}

。

題目只說「夾角」，沒有限定銳角，兩個都要寫；學校的參考答案註明這一題只對一個給半格分數。用度表示是

3 0^{\circ}

與

15 0^{\circ}

。

超過一圈的角先減去整數圈，再用象限定正負號；分式型的三角式通分後，分子常可疊合、分母常可用倍角。

04填充題（第 9～11 題，原卷填充 5～7）：扇形的內切圓、半角公式、降次疊合求極值

第 9 題由圖，鋪色的是圓與弧之間的兩塊，靠近扇形頂點的那一塊沒有鋪色。設扇形的頂點為

O

，內切圓的圓心為

Q

、半徑為

r

。圓與兩條半徑都相切，所以

Q

在中心角的平分線上，

\overline{O Q}

與每條半徑夾

\frac{π}{6}

；圓又與弧內切，所以

\overline{O Q} = 9 - r

。

Q

到半徑的距離是

r

：

r = (9 - r) sin \frac{π}{6} = \frac{9 - r}{2}

，解得

r = 3

，

\overline{O Q} = 6

。設圓與兩條半徑的切點為

S

、

T

，則

\overline{O S} = \overline{O T} = 6 cos \frac{π}{6} = 33

。四邊形

O S QT

由兩個全等的直角三角形組成，面積

= 2 \times \frac{1}{2} \times 33 \times 3 = 93

；

∠ S QT = 2 π - \frac{π}{2} - \frac{π}{2} - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

，圓內這一塊扇形的面積

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{2 π}{3} = 3 π

。所以靠近頂點、沒有鋪色的那一塊面積是

93 - 3 π

。大扇形面積

= \frac{1}{2} \times 9^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{27 π}{2}

，圓面積

= 9 π

。鋪色區域

= \frac{27 π}{2} - 9 π - (93 - 3 π) = \frac{15 π}{2} - 93

。

數值約

7.97

。若忘了扣掉靠近頂點的那一塊，會得到

\frac{9 π}{2}

。

第 10 題因式分解：

10 cos^{2} θ - 3 cos θ - 4 = (5 cos θ - 4) (2 cos θ + 1) = 0

，

cos θ = \frac{4}{5}

或

- \frac{1}{2}

。

θ

是第四象限角，

cos θ > 0

，所以

cos θ = \frac{4}{5}

。半角公式：

tan^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - cos θ}{1 + cos θ} = \frac{1/5}{9/5} = \frac{1}{9}

。由

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

得

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

，是第二象限角，正切為負，所以

tan \frac{θ}{2} = - \frac{1}{3}

。

第 11 題降次：

sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

，

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2}

，

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

。代入得

f (x) = \frac{3 - 3 cos 2 x}{2} + 23 sin 2 x - \frac{1 + cos 2 x}{2} = 1 + 23 sin 2 x - 2 cos 2 x

。疊合：

23 sin 2 x - 2 cos 2 x = 4 (sin 2 x cos \frac{π}{6} - cos 2 x sin \frac{π}{6}) = 4 sin (2 x - \frac{π}{6})

，所以

f (x) = 1 + 4 sin (2 x - \frac{π}{6})

這個形式。當

- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{8}

時，

- \frac{5 π}{6} \leq 2 x - \frac{π}{6} \leq \frac{π}{12}

。在這一段，正弦從

- \frac{1}{2}

降到

- 1

（角為

- \frac{π}{2}

，即

x = - \frac{π}{6}

），再升到

sin \frac{π}{12}

。

sin \frac{π}{12} = sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) = \frac{6 - 2}{4}

，是正的，比

- \frac{1}{2}

大。所以最大值

m = 1 + (6 - 2)

，最小值

n = 1 - 4 = - 3

，

m + n = 6 - 2 - 2

。

這個範圍內正弦到不了

1

，最大值不是

5

；最大值發生在右端點

x = \frac{π}{8}

。

與扇形內切的圓，圓心在角平分線上，到頂點的距離是大半徑減小半徑；有範圍限制的極值題，疊合後一定要把括號裡的角的範圍寫出來。

05填充題（第 12～14 題，原卷填充 8～10）：角平分線、兩角相加、交點個數

第 12 題設

∠ D A B = φ

，則

∠ C A B = 2 φ

。取

\overline{A B} = 1

。直角三角形

A B D

中

\overline{B D} = tan φ

；直角三角形

A B C

中

\overline{B C} = tan 2 φ

。

\overline{C D} = 4 \overline{B D}

，所以

\overline{B C} = 5 \overline{B D}

，即

tan 2 φ = 5 tan φ

。令

t = tan φ > 0

，由倍角公式

\frac{2 t}{1 - t ^{2}} = 5 t

，約去

t

得

1 - t^{2} = \frac{2}{5}

，

t^{2} = \frac{3}{5}

。直角三角形

A B D

的斜邊

\overline{A D} = 1 + t^{2} = \frac{8}{5}

，所以

cos φ = \frac{A B}{A D} = \frac{5}{8} = \frac{10}{4}

。

另一個做法：角平分線把對邊分成與兩鄰邊相同的比，

\overline{A C} : \overline{A B} = \overline{C D} : \overline{B D} = 4 : 1

，所以

cos 2 φ = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{4}

，再由半角公式

cos φ = \frac{1 + \frac{1}{4}}{2} = \frac{10}{4}

。附圖是示意圖，長度未照比例。

第 13 題由圖，

E

在

\overline{A C}

上，

F

在

\overline{A B}

上。設

∠ C A B = α

，

∠ D A E = β

。直角三角形

A B C

的斜邊

\overline{A C} = 1 2^{2} + 5^{2} = 13

，

sin α = \frac{5}{13}

，

cos α = \frac{12}{13}

。直角三角形

A E D

中

\overline{D E} = 5^{2} - 4^{2} = 3

，

sin β = \frac{3}{5}

，

cos β = \frac{4}{5}

。

∠ D A F = α + β

，直角三角形

A F D

中

\overline{D F} = \overline{A D} sin (α + β) = 5 (sin α cos β + cos α sin β) = 5 (\frac{5}{13} \times \frac{4}{5} + \frac{12}{13} \times \frac{3}{5}) = 5 \times \frac{56}{65} = \frac{56}{13}

。

附圖是示意圖，長度未照比例。

第 14 題解的個數就是

y = sin x

與直線

y = - \frac{x}{13}

的交點個數。

- 1 \leq sin x \leq 1

，所以交點只可能在

- 13 \leq x \leq 13

。兩個圖形都對稱於原點，交點也對稱於原點；

x = 0

是一個交點，其餘只要數

x > 0

的部分再乘以

2

。

x > 0

時直線在

x

軸下方，只有

sin x < 0

的區間才可能相交；因為

4 π \approx 12.57 < 13 < 5 π

，這樣的區間是

π < x < 2 π

與

3 π < x < 4 π

（

4 π < x \leq 13

時

sin x > 0

，不會相交）。在

π < x < 2 π

：兩端

sin x = 0

，高於直線；中間

x = \frac{3 π}{2}

時

sin x = - 1

，直線高度是

- \frac{3 π}{26} \approx - 0.36

，正弦在直線下方。所以下降與上升的兩段各交一次，共

2

個。在

3 π < x < 4 π

：兩端

sin x = 0

，高於直線；中間

x = \frac{7 π}{2}

時

sin x = - 1

，直線高度是

- \frac{7 π}{26} \approx - 0.85

，正弦仍在直線下方，同樣交

2

個。

x > 0

共

4

個，

x < 0

也是

4

個，加上

x = 0

，共

9

個解。

關鍵是直線在

x = \frac{7 π}{2} \approx 11

時還沒有低於

- 1

，所以第二個波谷仍然交兩次。

圖上要求的角常是兩個好算的角相加或一個角的兩倍；數交點個數先用值域把範圍框住，再利用對稱只數一邊。

06填充題（第 15～17 題，原卷填充 11～13）：三角形的內角、由圖形求函數、三角方程式

第 15 題三角形的內角在

0

與

π

之間，正弦為正：

sin A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}

，

sin B = 1 - \frac{144}{169} = \frac{5}{13}

。

C = π - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (\frac{4}{5} \times \frac{12}{13} - \frac{3}{5} \times \frac{5}{13}) = - \frac{48 - 15}{65} = - \frac{33}{65}

。

cos C < 0

，

C

是鈍角。

第 16 題圖形最高

2

、最低

- 2

，

a > 0

，所以

a = 2

。圖形在

x = 0

由下往上通過

x

軸，下一次由下往上通過

x

軸是

x = \frac{3 π}{2}

，所以週期

\frac{2 π}{b} = \frac{3 π}{2}

，

b = \frac{4}{3}

。最高點在

x = \frac{3 π}{8}

：

cos (\frac{4}{3} \times \frac{3 π}{8} + c) = 1

，即

\frac{π}{2} + c = 2 k π

（

k

為整數）；在

0 \leq c < 2 π

內

c = \frac{3 π}{2}

。所以

(a, b, c) = (2, \frac{4}{3}, \frac{3 π}{2})

。

檢查：

x = 0

時

2 cos \frac{3 π}{2} = 0

；

x = \frac{9 π}{8}

時

2 cos (\frac{3 π}{2} + \frac{3 π}{2}) = 2 cos 3 π = - 2

，與圖相符。

第 17 題用

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

化成正弦的方程式：

2 (1 - sin^{2} x) + 5 sin x - 4 = 0

，即

2 sin^{2} x - 5 sin x + 2 = 0

，

(2 sin x - 1) (sin x - 2) = 0

。

sin x = 2

不可能，所以

sin x = \frac{1}{2}

。在

0 \leq x \leq π

內的解是

\frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

；在

- π < x < 0

內正弦為負，沒有解；在

- 2 π \leq x \leq - π

內的解是前兩個各減

2 π

：

- \frac{11 π}{6}

、

- \frac{7 π}{6}

。四個解的和

= \frac{π}{6} + \frac{5 π}{6} - \frac{11 π}{6} - \frac{7 π}{6} = - 2 π

。

由圖形求

y = a cos (b x + c)

：最高最低決定

a

，一個週期的長度決定

b

，最後代最高點求

c

；同時有

cos^{2} x

與

sin x

的方程式，先全部換成

sin x

。

07計算題（第 18～19 題，原卷計算題第 1 題）：圓內接矩形的線段總長

第 18 題矩形內接於圓，對角線是直徑，圓心

O

是矩形的中心，也是

\overline{E F}

的中點；

\overline{E F}

與

\overline{A B}

平行且等長。連接

\overline{O C}

，設

∠ C O F = θ

（

0 < θ < \frac{π}{2}

）。

F

是弦

\overline{B C}

的中點，所以

\overline{O F} ⊥ \overline{B C}

；直角三角形

O F C

的斜邊

\overline{O C} = 1

，

\overline{C F} = sin θ

，

\overline{O F} = cos θ

。於是

\overline{A D} = \overline{B C} = 2 sin θ

，

\overline{A B} = \overline{C D} = \overline{E F} = 2 cos θ

。總長

= 3 \times 2 cos θ + 2 \times 2 sin θ = 4 sin θ + 6 cos θ

。疊合：

4 sin θ + 6 cos θ = 213 (\frac{2}{13} sin θ + \frac{3}{13} cos θ) = 213 sin (θ + α)

，其中

α

是銳角，

cos α = \frac{2}{13}

，

sin α = \frac{3}{13}

。取

θ = \frac{π}{2} - α

（在

0

與

\frac{π}{2}

之間）時

sin (θ + α) = 1

，所以總長最長為

213

公尺。

學校參考答案的給分：列出總長

4 sin θ + 6 cos θ

給 1 分，疊合成

213 sin (θ + α)

給 2 分，寫出

sin α

、

cos α

給 1 分，寫出最長

213

公尺給 1 分。

213 \approx 7.21

。附圖是示意圖，矩形的長寬未照比例。

第 19 題承上題，總長最長時

θ + α = \frac{π}{2}

，即

θ = \frac{π}{2} - α

。此時

\overline{E F} = 2 cos θ = 2 cos (\frac{π}{2} - α) = 2 sin α = \frac{6}{13} = \frac{6 13}{13}

公尺。

此時

\overline{B C} = 2 sin θ = 2 cos α = \frac{4 13}{13}

，矩形的長與寬是

3 : 2

；檢查：

3 \times \frac{6}{13} + 2 \times \frac{4}{13} = \frac{26}{13} = 213

。這一小題學校給 3 分。

圓內接的圖形用圓心角把各段長度寫成正弦與餘弦，總長就是

a sin θ + b cos θ

的形式，疊合後直接讀出最大值與此時的角。

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本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 109 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題選項 (E) 要先認出三倍角的式子，正負號容易看反；第 4 題與第 11 題都有範圍限制，疊合後要把角的範圍寫出來，最大值或最小值不一定是振幅；第 8 題的夾角有兩個，只寫一個只有半格分數；第 14 題要確認直線在第二個波谷的位置還沒有低於負 1，才數得到 9 個解。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自臺南二中 109 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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04填充題（第 9～11 題，原卷填充 5～7）：扇形的內切圓、半角公式、降次疊合求極值

05填充題（第 12～14 題，原卷填充 8～10）：角平分線、兩角相加、交點個數

06填充題（第 15～17 題，原卷填充 11～13）：三角形的內角、由圖形求函數、三角方程式

07計算題（第 18～19 題，原卷計算題第 1 題）：圓內接矩形的線段總長

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