段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數與對數函數的圖形、對數律與換底公式、指數對數方程式與不等式、常用對數的應用）

臺南二中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 21 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

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01 · 試題

原卷 21 題，照原卷順序

多重選擇題每題 5 分；填充題共 14 格，依答對格數給分（1 至 14 格依序為 7、14、20、26、32、38、43、47、51、55、59、63、67、70 分）；混合題第 1 題 2 分、第 2 題 3 分、第 3 題 5 分，合計 100 分。本頁第 5～18 題為原卷填充題第 1～12 題（第 3、4 題各兩格），第 19～21 題為混合題第 1～3 題。卷頭附參考數值 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 7 ≈ 0.8451。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、多重選擇題：每題 5 分，共 20 分。說明：每題至少有 1 個選項是正確的，每題答對得 5 分，答錯不倒扣，未作答者不給分；只錯 1 個選項者得 3 分，錯 2 個選項者得 1 分，錯 3 個或 3 個以上者不給分。

已知

a > 0

且

a \neq = 1

，函數

f (x) = a^{x}

，

g (x) = lo g_{a} x

，

h (x) = \frac{1}{f ( x )}

，則下列哪些選項是正確的？

(A) 函數 $y = f (x)$ 的圖形與任意水平線均有交點
(B) 函數 $y = g (x)$ 的圖形凹口向上
(C) 若 $c$ 、 $d$ 為兩相異實數，則 $\frac{h ( c ) + h ( d )}{2}$ 必大於 $h (\frac{c + d}{2})$
(D) 若 $P$ 、 $Q$ 為 $y = g (x)$ 圖形上的兩相異點，則直線 $P Q$ 的斜率必為正數
(E) 兩函數 $y = f (x)$ 、 $y = - h (x)$ 圖形對 $x$ 軸成對稱

下列哪些選項是正確的？

(A) $(lo g 0.3)^{2} = lo g 0.3$
(B) $lo g_{6} 5 = lo g_{6} 5 = lo g_{\frac{1}{6}} \frac{1}{5}$
(C) $\frac{1}{lo g 2} = lo g (\frac{1}{2})$
(D) $(lo g_{3} 7)^{2} (lo g_{2} 3)^{2} (lo g_{7} 8)^{2} = 9$
(E) $lo g_{3} x^{2} = 2 lo g_{3} x$

下列哪些敘述是正確的？

(A) $2^{100}$ 是 $31$ 位正整數
(B) $(\frac{1}{3})^{100}$ 表示成小數時，小數點後第 $47$ 位才開始出現不為零的數字
(C) 若 $x > 0$ 且 $lo g x = 5.55$ ，則 $x > 500000$
(D) 若 $y > 0$ 且 $lo g y = - 5.55$ ，則 $y < 3.5 \cdot 1 0^{- 6}$
(E) 若 $x > 0$ 且 $lo g x = - 2.2468$ ，則 $lo g (100 x) = 0.2468$

已知函數

f (x) = 1 0^{x}

與

g (x) = lo g x

，且點

(a, b)

在

y = f (x)

的圖形上，則下列哪些選項是正確的？

(A) 若 $a = 1 - \frac{3}{2}$ ，則 $b > 1$
(B) 點 $(2 a, 2 b)$ 會在 $y = f (x)$ 的圖形上
(C) 點 $(\frac{b}{10}, a - 1)$ 會在 $y = g (x)$ 的圖形上
(D) 已知 $α$ 、 $β$ 、 $γ$ 均為正數且滿足 $g (α) = 0.6$ ， $g (β) = 1.2$ ， $g (γ) = 1.8$ ，則 $α + γ = 2 β$
(E) 兩函數 $y = f (x)$ 、 $y = g (x)$ 圖形對直線 $y = x$ 成對稱

二、填充題：共 70 分。說明：答案若為根式或分數均需化簡。

設

a = 33

，

b = 527

，

c = 39

，

d = \frac{3}{6 81}

，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係為 ____。

求

\frac{1}{lo g _{36} 3} - \frac{1}{lo g _{4} 3} + \frac{1}{2} lo g \frac{16}{125} + lo g \frac{125}{3 8} - lo g \frac{5}{3} =

____。

原卷填充第 3 題（第 7～8 題）　解方程式

(1)

3^{x + 1} - 28 \cdot 3^{\frac{x}{2} - 1} + 1 = 0

，得

x =

____

(2)

x^{1 + l o g x} = (10 x)^{3}

，得

x =

____

原卷填充第 4 題（第 9～10 題）　解不等式

(1)

lo g_{4} (x - 1) < lo g_{2} (4 - x) - 1

(2)

lo g_{\frac{1}{3}} (lo g_{2} x) \geq - 1

設

0 \leq x \leq 2

，若函數

f (x) = 2^{x + 2} - 4^{x} - 1

的最大值為

m

，最小值為

n

，則數對

(m, n) =

____。

設

P

、

Q

分別為直線

y = 2

、

y = 18

與

y = (\frac{1}{3})^{x}

的交點，求線段

P Q

的長度 ____。

將

(\frac{6}{7})^{80}

表示成小數時，從小數點後第

α

位開始出現不為

0

的數字，且此不為

0

的數字是

β

，則數對

(α, β) =

____。

設

a = lo g 2

，

b = lo g 3

，

c = lo g 7

。已知物質 A 在合適的環境下，平均每

6

小時個數就可以分裂成原來的

7

倍，則經過 ____ 小時（請以

a

，

b

，

c

表示）後，物質 A 會分裂成原來的

15

倍。

某品牌點心的保鮮時間

y

（小時）會隨著儲藏的溫度

x

（

^{\circ} C

）而有所不同。當儲藏溫度為

x^{\circ} C

時，可保鮮

y = f (x) = k \cdot a^{x}

小時，其中

k

、

a

（

a > 0

）均為常數。下圖為

y = f (x)

的部分圖形。夏季時室溫達

3 0^{\circ} C

，此時點心的保鮮時間是 ____ 小時。

載入中...

已知正實數

x

，

y

滿足

lo g x = 2.4

，

lo g y = 3.2

，若

x^{4} + 8 y^{3}

的整數部分為

α

位數，且其最高位的數字是

β

，則數對

(α, β) =

____。

物體的溫度變化，可以用函數

θ (t) = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) \times e^{- k t}

來描述，其中

θ_{0}

是物體周圍的環境溫度，

θ_{1}

是物體的原始溫度，經過

t

分鐘冷卻後的溫度為

θ (t)

，

k

、

e

（

e > 0

）均為常數。在氣溫

2 7^{\circ} C

的客廳裡，沖泡一杯

9 1^{\circ} C

的熱飲，靜置

3

分鐘後，熱飲的溫度是

5 9^{\circ} C

，則再靜置

9

分鐘後，熱飲的溫度最接近 ____

^{\circ} C

。

設光線通過一塊玻璃板，它的強度就會失掉一成。現在將

k

塊玻璃板重疊，使通過它們的光線強度是原來光線強度的

8%

以下，則

k

（取正整數）至少為 ____。

三、混合題：共 10 分。說明：第 1 題為單選題，第 2 題為填充題，只需直接作答即可；第 3 題為計算題，需詳列計算過程才予以計分。

下圖為

y = a + b^{- x}

的部分圖形，其中

a

、

b

為常數，則下列何者正確？

(A) $a > 0$ ， $b < 0$
(B) $a > 0$ ， $b > 1$
(C) $a < 0$ ， $b > 1$
(D) $a < 0$ ， $0 < b < 1$
(E) $a > 1$ ， $0 < b < 1$

載入中...

將一組正數數據

(a, b)

中的

a

、

b

分別以

10

為底取對數，將新資料數對

(lo g a, lo g b)

標記在坐標平面上，其圖形恰為一條過原點的直線，如下圖所示，則

a

與

b

的關係式為 ____。(答案不可有 log 的符號)

載入中...

甲將

150

萬元以定期存款存入銀行，年利率為

4%

，每年複利計算一次，則至少 ____（取正整數）年後本利和才會超過

420

萬元。

(lo g 1.04 \approx 0.017)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(C)

第 2 題(B)(D)

第 3 題(A)(D)

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題

a > c > b > d

第 6 題

\frac{5}{2}

第 7 題

2

或

- 4

第 8 題

1000

或

\frac{1}{10}

第 9 題

1 < x < 2

第 10 題

1 < x \leq 8

第 11 題

(3, - 1)

第 12 題

265

第 13 題

(6, 4)

第 14 題

\frac{6 + 6 b - 6 a}{c}

第 15 題

\frac{21}{4}

第 16 題

(11, 3)

第 17 題

31

第 18 題

24

第 19 題(C)

第 20 題

b^{3} = a^{2}

第 21 題

27

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇題（原卷第 1～4 題）：圖形性質、對數律、常用對數

第 1 題

$h (x) = \frac{1}{a ^{x}} = a^{- x}$ 。

(A) 錯誤。 $a^{x} > 0$ 恆成立，所以水平線 $y = - 1$ （或任何 $y \leq 0$ 的水平線）與 $y = f (x)$ 沒有交點。

(B) 錯誤。 取 $a = 10$ ： $g (x) = lo g x$ ，對相異正數 $c$ 、 $d$ ，由算幾不等式 $\frac{c + d}{2} > c d$ ，得 $lo g \frac{c + d}{2} > \frac{lo g c + lo g d}{2}$ ，兩點連線的中點在圖形下方，圖形凹口向下。 $0 < a < 1$ 時 $lo g_{a} x = - lo g_{\frac{1}{a}} x$ ，是 $lo g_{\frac{1}{a}} x$ 的圖形對 $x$ 軸翻轉，凹口改為向上；底數不確定，所以不能說「凹口向上」。

$\frac{a ^{- c} + a ^{- d}}{2} \geq a^{- c} \cdot a^{- d} = a^{- \frac{c + d}{2}} = h (\frac{c + d}{2})$

等號只在 $a^{- c} = a^{- d}$ ，即 $c = d$ 時成立； $c \neq = d$ ，所以必大於。

(D) 錯誤。 當 $0 < a < 1$ 時 $g (x) = lo g_{a} x$ 是遞減函數，任兩相異點連線的斜率為負數。

(E) 錯誤。 $y = - h (x) = - a^{- x}$ 。與 $y = a^{x}$ 對 $x$ 軸對稱的是 $y = - a^{x}$ ； $y = - a^{- x}$ 是把 $x$ 換成 $- x$ 、 $y$ 換成 $- y$ ，與 $y = a^{x}$ 對稱於原點。

選 (C)。

第 2 題

(A) 錯誤。 $(lo g 0.3)^{2} = ∣ lo g 0.3 ∣$ ，而 $0.3 < 1$ ， $lo g 0.3 < 0$ ，所以等於 $- lo g 0.3$ ，不是 $lo g 0.3$ 。

(B) 正確。 換底： $lo g_{6} 5 = \frac{\frac{1}{2} lo g 5}{\frac{1}{2} lo g 6} = \frac{lo g 5}{lo g 6}$ ， $lo g_{\frac{1}{6}} \frac{1}{5} = \frac{- lo g 5}{- lo g 6} = \frac{lo g 5}{lo g 6}$ ，三者都等於 $lo g_{6} 5$ 。

(D) 正確。 換底後 $lo g_{3} 7 \cdot lo g_{2} 3 \cdot lo g_{7} 8 = \frac{lo g 7}{lo g 3} \cdot \frac{lo g 3}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 8}{lo g 7} = \frac{lo g 8}{lo g 2} = 3$ ，平方得 $9$ 。

(E) 錯誤。 左邊只要 $x \neq = 0$ 就有意義，右邊要 $x > 0$ 。例如 $x = - 1$ ：左邊 $lo g_{3} 1 = 0$ ，右邊 $2 lo g_{3} (- 1)$ 沒有意義，所以不是對所有 $x$ 都成立（ $x < 0$ 時應為 $lo g_{3} x^{2} = 2 lo g_{3} ∣ x ∣$ ）。

選 (B)(D)。

第 3 題

(A) 正確。 $lo g 2^{100} = 100 \times 0.3010 = 30.10$ ，整數部分是 $30$ ，所以 $2^{100}$ 是 $31$ 位數。

(B) 錯誤。 $lo g (\frac{1}{3})^{100} = - 100 \times 0.4771 = - 47.71 = - 48 + 0.29$ ，所以 $(\frac{1}{3})^{100} = 1 0^{0.29} \times 1 0^{- 48}$ ， $1 < 1 0^{0.29} < 10$ ，小數點後第 $48$ 位才開始出現不為零的數字，不是第 $47$ 位。

(D) 正確。 $lo g (3.5 \cdot 1 0^{- 6}) = lo g \frac{7}{2} - 6 = 0.8451 - 0.3010 - 6 = - 5.4559$ 。 $- 5.55 < - 5.4559$ ，所以 $y < 3.5 \cdot 1 0^{- 6}$ 。

(E) 錯誤。 $lo g (100 x) = lo g 100 + lo g x = 2 - 2.2468 = - 0.2468$ ，不是 $0.2468$ 。

選 (A)(D)。

第 4 題

$(a, b)$ 在 $y = 1 0^{x}$ 上，所以 $b = 1 0^{a}$ ，也就是 $a = lo g b$ 。

(A) 正確。 $\frac{3}{2} < 1$ ，所以 $a = 1 - \frac{3}{2} > 0$ ， $b = 1 0^{a} > 1 0^{0} = 1$ 。

(B) 錯誤。 點 $(2 a, 2 b)$ 在圖形上要 $1 0^{2 a} = 2 b$ ，但 $1 0^{2 a} = b^{2}$ ，只有 $b = 2$ 時 $b^{2} = 2 b$ 。例如 $a = 0$ 、 $b = 1$ ： $1 0^{0} = 1 \neq = 2$ 。

(D) 錯誤。 $α = 1 0^{0.6}$ ， $β = 1 0^{1.2}$ ， $γ = 1 0^{1.8}$ ，所以 $α γ = 1 0^{2.4} = β^{2}$ 。 $α \neq = γ$ ，由算幾不等式 $α + γ > 2 α γ = 2 β$ ，所以 $α + γ \neq = 2 β$ 。

(E) 正確。 $y = 1 0^{x}$ 與 $y = lo g x$ 互為反函數，圖形對直線 $y = x$ 對稱。

選 (A)(C)(E)。

底數沒給大小的題目，要把

a > 1

與

0 < a < 1

兩種情形都想一遍；只要找到一種情形不成立，「必」就是錯的。

02填充題（原卷第 1～4 題）：比大小、對數化簡、方程式與不等式

第 5 題

全部化成以 $3$ 為底：

$a = (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{4}}$ ， $b = 3^{\frac{3}{5}}$ ， $c = 3^{\frac{2}{3}}$ ， $d = \frac{3}{3 ^{\frac{4}{6}}} = 3^{1 - \frac{2}{3}} = 3^{\frac{1}{3}}$ 。

通分比較指數： $\frac{3}{4} = \frac{45}{60}$ ， $\frac{2}{3} = \frac{40}{60}$ ， $\frac{3}{5} = \frac{36}{60}$ ， $\frac{1}{3} = \frac{20}{60}$ 。底數 $3 > 1$ ，指數越大值越大，所以 $a > c > b > d$ 。

第 6 題

由換底公式 $\frac{1}{lo g _{36} 3} = lo g_{3} 36$ ， $\frac{1}{lo g _{4} 3} = lo g_{3} 4$ ，所以前兩項 $= lo g_{3} \frac{36}{4} = lo g_{3} 9 = 2$ 。

後三項： $\frac{1}{2} lo g \frac{16}{125} = lo g \frac{4}{5 5}$ ，合併得

$lo g (\frac{4}{5 5} \times \frac{125}{3 8} \times \frac{3}{5}) = lo g \frac{1500}{150 10} = lo g 10 = \frac{1}{2}$

所以原式 $= 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ 。

第 7 題

令 $u = 3^{\frac{x}{2}} > 0$ ，則 $3^{x + 1} = 3 \cdot (3^{\frac{x}{2}})^{2} = 3 u^{2}$ ， $3^{\frac{x}{2} - 1} = \frac{u}{3}$ 。

方程式變成 $3 u^{2} - \frac{28}{3} u + 1 = 0$ ，乘以 $3$ ： $9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$ ， $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ 。

$u = 3$ ： $\frac{x}{2} = 1$ ， $x = 2$ ； $u = \frac{1}{9} = 3^{- 2}$ ： $\frac{x}{2} = - 2$ ， $x = - 4$ 。答 $x = 2$ 或 $- 4$ 。

第 8 題

$x > 0$ 。兩邊取常用對數，令 $t = lo g x$ ：

$(1 + t) t = 3 (1 + t)$

移項 $(1 + t) (t - 3) = 0$ ， $t = - 1$ 或 $t = 3$ ，所以 $x = \frac{1}{10}$ 或 $x = 1000$ ，都是正數，都合。

第 9 題

真數條件： $x - 1 > 0$ 且 $4 - x > 0$ ，即 $1 < x < 4$ 。

$lo g_{4} (x - 1) = \frac{1}{2} lo g_{2} (x - 1) = lo g_{2} x - 1$ ，右邊 $lo g_{2} (4 - x) - 1 = lo g_{2} \frac{4 - x}{2}$ 。底數 $2 > 1$ ，所以

$x - 1 < \frac{4 - x}{2}$

在 $1 < x < 4$ 時兩邊都是正數，平方： $4 (x - 1) < (4 - x)^{2}$ ， $x^{2} - 12 x + 20 > 0$ ， $(x - 2) (x - 10) > 0$ ， $x < 2$ 或 $x > 10$ 。

與真數條件取交集： $1 < x < 2$ 。

第 10 題

$- 1 = lo g_{\frac{1}{3}} 3$ 。底數 $\frac{1}{3}$ 介於 $0$ 與 $1$ ，對數函數遞減，去掉對數時不等號反向；再加上真數 $lo g_{2} x > 0$ ：

$0 < lo g_{2} x \leq 3$

所以 $1 < x \leq 8$ 。

指數方程式找出共同的

u = 3^{\frac{x}{2}}

化成二次式；對數不等式先寫真數條件，再看底數大於

1

還是小於

1

決定不等號方向。

03填充題（原卷第 5～12 題）：極值、圖形與常用對數的應用

第 11 題

令 $u = 2^{x}$ ， $0 \leq x \leq 2$ 時 $1 \leq u \leq 4$ 。 $2^{x + 2} = 4 u$ ， $4^{x} = u^{2}$ ：

$f = 4 u - u^{2} - 1 = - (u - 2)^{2} + 3$

$u = 2$ （ $x = 1$ ）時最大值 $m = 3$ ； $u = 4$ （ $x = 2$ ）時最小值 $n = - 4 + 3 = - 1$ （ $u = 1$ 時為 $2$ ，比 $- 1$ 大）。答 $(m, n) = (3, - 1)$ 。

第 12 題

$(\frac{1}{3})^{x} = 2$ 得 $x = - lo g_{3} 2$ ，所以 $P (- lo g_{3} 2, 2)$ ； $(\frac{1}{3})^{x} = 18$ 得 $x = - lo g_{3} 18$ ，所以 $Q (- lo g_{3} 18, 18)$ 。

橫坐標差 $lo g_{3} 18 - lo g_{3} 2 = lo g_{3} 9 = 2$ ，縱坐標差 $18 - 2 = 16$ 。

$\overline{P Q} = 2^{2} + 1 6^{2} = 260 = 265$

第 13 題

$lo g \frac{6}{7} = lo g 2 + lo g 3 - lo g 7 \approx 0.3010 + 0.4771 - 0.8451 = - 0.0670$ 。

$lo g (\frac{6}{7})^{80} \approx - 5.36 = - 6 + 0.64$ ，所以 $(\frac{6}{7})^{80} = 1 0^{0.64} \times 1 0^{- 6}$ 。

$lo g 4 = 0.6020 < 0.64 < 0.6990 = lo g 5$ ，所以 $4 < 1 0^{0.64} < 5$ ，這個數是 $4. \dots \times 1 0^{- 6} = 0.000004 \dots$ ，從小數點後第 $6$ 位開始出現不為 $0$ 的數字 $4$ 。答 $(6, 4)$ 。

第 14 題

每 $6$ 小時變成 $7$ 倍，經過 $t$ 小時變成 $7^{\frac{t}{6}}$ 倍。令 $7^{\frac{t}{6}} = 15$ ，取常用對數：

$\frac{t}{6} lo g 7 = lo g 15 = lo g 3 + lo g 10 - lo g 2 = b + 1 - a$ ，

所以 $t = \frac{6 ( 1 + b - a )}{c} = \frac{6 + 6 b - 6 a}{c}$ 。

第 15 題

由圖，圖形與 $y$ 軸交於 $(0, 168)$ ，並通過 $(18, 21)$ 。

$f (0) = k = 168$ ； $f (18) = 168 \cdot a^{18} = 21$ ， $a^{18} = \frac{1}{8}$ ， $a > 0$ ，所以 $a^{6} = \frac{1}{2}$ 。

$f (30) = 168 \cdot (a^{6})^{5} = 168 \times \frac{1}{32} = \frac{21}{4}$

答： $\frac{21}{4}$ 小時。

圖上另外標的縱坐標

85

與橫坐標

10

只是軸上的刻度，這題用不到；它們不是曲線上同一點的坐標（由

k = 168

、

a^{6} = \frac{1}{2}

，曲線過

(6, 84)

，到

x = 10

時已低於

84

）。

第 16 題

$x^{4} = 1 0^{4 \times 2.4} = 1 0^{9.6}$ ， $y^{3} = 1 0^{3 \times 3.2} = 1 0^{9.6}$ ，兩者相等，所以

$x^{4} + 8 y^{3} = 9 \times 1 0^{9.6}$

$lo g (9 \times 1 0^{9.6}) = 2 \times 0.4771 + 9.6 = 10.5542$ ，整數部分 $10$ ，所以是 $11$ 位數。

小數部分 $0.5542$ ： $lo g 3 = 0.4771 < 0.5542 < 0.6020 = lo g 4$ ，最高位數字是 $3$ 。答 $(11, 3)$ 。

第 17 題

$θ_{0} = 27$ ， $θ_{1} = 91$ ， $θ (t) = 27 + 64 e^{- k t}$ 。

$θ (3) = 59$ ： $64 e^{- 3 k} = 32$ ， $e^{- 3 k} = \frac{1}{2}$ 。

再靜置 $9$ 分鐘，是從開始算起 $t = 12$ 分鐘： $e^{- 12 k} = (e^{- 3 k})^{4} = \frac{1}{16}$ ，

$θ (12) = 27 + 64 \times \frac{1}{16} = 27 + 4 = 31$ 。答 $3 1^{\circ} C$ 。

若誤算成

t = 9

，會得到

27 + 64 \times \frac{1}{8} = 35

；「再靜置」是接在前

3

分鐘之後。

第 18 題

每通過一塊剩下 $0.9$ 倍，通過 $k$ 塊剩下 $0. 9^{k}$ 倍。要 $0. 9^{k} \leq 0.08$ ，兩邊取常用對數：

$k lo g 0.9 \leq lo g 0.08$ 。

$lo g 0.9 = 2 lo g 3 - 1 \approx - 0.0458$ ， $lo g 0.08 = 3 lo g 2 - 2 \approx - 1.097$ 。兩邊除以負數 $- 0.0458$ ，不等號反向：

$k \geq \frac{1.097}{0.0458} \approx 23.95$

所以 $k$ 至少為 $24$ 。

檢查：

23 \times 0.0458 = 1.0534 < 1.097

，

24 \times 0.0458 = 1.0992 > 1.097

，所以

23

塊還不夠、

24

塊可以。

位數看對數的整數部分，首位數字看小數部分落在哪兩個

lo g k

之間；小於

1

的數要把對數寫成「負整數＋0 到 1 之間的小數」。

04混合題（原卷第 1～3 題）：圖形判斷、對數坐標、複利

第 19 題

$y = a + b^{- x} = a + (\frac{1}{b})^{x}$ ，底數 $b$ 必為正數且不為 $1$ ，所以 (A) 不合。

圖形從左上往右下遞減，表示底數 $\frac{1}{b}$ 介於 $0$ 與 $1$ ，即 $b > 1$ 。

當 $x$ 很大時 $(\frac{1}{b})^{x}$ 趨近 $0$ ，圖形往右趨近水平線 $y = a$ ；圖中右側圖形落在 $x$ 軸下方，所以 $a < 0$ 。

（檢查： $x = 0$ 時 $y = a + 1$ ，圖中與 $y$ 軸的交點在 $0$ 與 $1$ 之間，得 $- 1 < a < 0$ ，與 $a < 0$ 相符。）選 (C)。

第 20 題

直線過原點 $O$ 與 $(3, 2)$ ，斜率 $\frac{2}{3}$ ，方程式為 $lo g b = \frac{2}{3} lo g a$ 。

兩邊乘以 $3$ ： $3 lo g b = 2 lo g a$ ，即 $lo g b^{3} = lo g a^{2}$ ，所以 $b^{3} = a^{2}$ 。

第 21 題

$n$ 年後本利和為 $150 \times 1.0 4^{n}$ 萬元。要 $150 \times 1.0 4^{n} > 420$ ，即 $1.0 4^{n} > \frac{14}{5}$ 。

兩邊取常用對數： $n lo g 1.04 > lo g 2 + lo g 7 - lo g 5$ 。

$lo g 5 = 1 - lo g 2 = 0.6990$ ，右邊 $\approx 0.3010 + 0.8451 - 0.6990 = 0.4471$ ；左邊 $\approx 0.017 n$ 。

$n > \frac{0.4471}{0.017} \approx 26.3$

$n$ 取正整數，至少 $27$ 年。

學校給分：本題 5 分，列出不等式、取對數、代入數值、解出

n

的範圍、寫出

27

年，每步 1 分。

看圖判斷常數：遞增或遞減決定底數與

1

的大小，圖形往一側趨近的水平線決定加上去的常數。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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臺南二中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

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題目取自臺南二中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

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02填充題（原卷第 1～4 題）：比大小、對數化簡、方程式與不等式

03填充題（原卷第 5～12 題）：極值、圖形與常用對數的應用

04混合題（原卷第 1～3 題）：圖形判斷、對數坐標、複利

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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