01 · 試題原卷 21 題，照原卷順序
多重選擇題 4 題（每題 6 分，共 24 分）、填充題 13 題共 14 格（共 69 分）、計算題 1 題 3 小題（1 分、2 分、4 分，共 7 分），合計 100 分。填充題依答對格數給分：1 格 6 分、2 格 12 分、3 格 18 分、4 格 24 分、5 格 30 分、6 格 35 分、7 格 40 分、8 格 45 分、9 格 50 分、10 格 54 分、11 格 58 分、12 格 62 分、13 格 66 分、14 格 69 分；計算題要有計算過程並依內容計分。題號對照：本頁第 5、6 題為原卷填充第 1 題的 (1)(2)，第 7～18 題為原卷填充第 2～13 題，第 19～21 題為原卷計算題的 (1)～(3)。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。
一、多重選擇題：24 分（說明：每題至少有一個正確的選項。全對得 6 分，只錯 k 個選項得 (6-2k) 分，沒有作答者得 0 分。）
1
已知多項式函數 f(x) 之導函數 f′(x) 的圖形如下，下列選項那些正確?- (1) f(1)<f(2)
- (2) f(6) 是極小值
- (3) 函數 f(x)=0 有三個相異實根
- (4) 此圖形只有一個反曲點且過此點的切線斜率是正數
- (5) 函數 f(x) 在區間 [3,5] 的圖形是凹口向下
2
[x] 表不大於 x 的最大整數。下列各函數何者在 x=0 處可微分？- (1) f(x)=∣x∣
- (2) f(x)=[x−21]
- (3) f(x)=x∣x∣
- (4) f(x)=x1
- (5) f(x)={2x+3,3,x≤0x>0
3
設 f(x) 是實係數多項式函數，若 a<b<c<d，下列選項那些正確?- (1) 若 f(x) 在區間 [a,d] 上嚴格遞增，則 f′(b)>0
- (2) 若 f′(b)=0，則 f(x) 在 x=b 處有極值
- (3) 若 f(x) 在 x=b 處有極大值，則 f′(b)=0
- (4) 若 f′′(c)=0，則點 (c,f(c)) 是 f(x) 圖形的反曲點
- (5) 若 f(x) 在 x=b 處有極大值且在 x=c 處有極小值，則 f(b)≥f(c)
4
已知 (x+1)2 可整除多項式 f(x)=x8+ax3+bx+1，則下列何者正確?- (1) a+b=2
- (2) a=−1
- (3) x→−1limx+1f(x)=0
- (4) 函數 f(x) 在 x=1 附近的一次估計為 14x−12
- (5) ∣f(0.999)−4∣<0.1
二、填充題：共 69 分
填充第 1 題（第 5～6 題） 試求下列各題的導數:
5
(1) f(x)=(x−1)(x−2)2(2x2+1)3，則 f′(1)= ____
6
(2) f(x)=x2+2x+3−2x+1，則 f′(−1)= ____
7
設實係數函數 f(x)=x3+ax2+bx+2 在 −1≤x≤3 時遞減；在 x≤−1 或 x≥3 時遞增，試求實數序對 (a,b)= ____
8
若函數 f(x)=−x4+4x3+3 在閉區間 [−1,4] 的最大值為 M，最小值為 m，則實數序對 (M,m)= ____
9
試求函數 f(x)=−x3+3x2+6x 圖形上所有切線中，斜率最大的切線方程式 ____
10
試求過函數 f(x)=x2−4x+1 外一點 P(4,−3) 的切線方程式為 ____
11
設 f(x)=⎩⎨⎧x2+1,x+1ax+b,x≤1x>1，若 f(x) 在 x=1 處可微分，求實數序對 (a,b)= ____ 12
設 f(x)=(2x2−1)5，試求 h→0limhf(−1−h)−f(−1)= ____
13
已知多項式 f(x) 滿足 f′′(x)=6x−4 且 f(x) 在 x=2 有極值 3，則 f(1)= ____
14
已知三次函數 f(x) 圖形的反曲點為 (−1,6)，f′(0)=−7 且 f(x) 在 x=1 處的切線斜率為 11，求 f(x)= ____。請按降冪排列
15
設實係數多項式函數 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e，若 x→∞lim(x2−1)(3x+1)f(x)=1，x→1limx−1f(x)=2 且 x→0limxf(x) 存在，則 f(2)= ____
16
設三次函數 f(x)=ax3−3x2+(a+2)x−5 為嚴格遞減函數，則實數 a 的範圍為 ____
17
設 P 點在拋物線 y=x2 上移動，求 P 點與定點 A(6,3) 的最近距離 ____
18
想設計一個底面為正方形，且外表面積(五個面)為 108 平方英吋的無蓋盒子，如果厚度不計，試問 x 為多少時才有最大的體積？ ____ 三、計算題：7 分
計算題第 1 題（第 19～21 題） 小云和同學玩桌遊，每人選擇一個的吉祥物放在起點上，並自起點出發，大家輪流投擲一個不公正的硬幣決定自己每次的移動位置，當出現正面則前進 2 格，反之出現反面則後退 1 格。假設此枚硬幣出現正面的機率為 p，其中 0<p<1，且每次投擲結果互不影響。今以 f(p) 表示小云投擲 5 次硬幣後的位置位於起點前方第 4 格命運上的機率。試回答下列問題。
19
(1) 若小云投擲 5 次硬幣後的位置位於起點前方第 4 格命運上，則在 5 次投擲中共出現多少次正面?(1 分)
20
(2) 已知 f(p) 是 p 的 5 次多項式，試求 f(p)。（展開並依降冪排列）(2 分)
第 1 題(1)(2)
第 2 題(2)(3)
第 3 題(3)
第 4 題(1)(3)(5)
第 5 題27
第 6 題−1
第 7 題(−3, −9)
第 8 題(30, −2)
第 9 題9x−y=1
第 10 題8x−y=35 及 y=−3
第 11 題(6, −2)
第 12 題20
第 13 題6
第 14 題2x3+6x2−7x−5
第 15 題10
第 16 題a≤−3
第 18 題6
第 19 題3 次
第 20 題f(p)=10p5−20p4+10p3
第 21 題625216（p=53 時）
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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01多選 1～2：由導函數的圖形判斷，可微分的判斷
第 1 題答案 (1)(2)。由圖，f′(x) 是開口向上、與 x 軸交於 x=3、x=6 的拋物線，可設 f′(x)=k(x−3)(x−6)，k>0。於是 x<3 或 x>6 時 f′(x)>0（遞增），3<x<6 時 f′(x)<0（遞減）。又 f′′(x)=k(2x−9)。
(1) 正確。 在 1≤x≤2 上 f′(x)>0，f(x) 遞增，所以 f(1)<f(2)。
(2) 正確。 f′(x) 在 x=6 由負變正，f(6) 是極小值。
(3) 錯誤。 導函數只決定 f(x) 的形狀，常數項可以任意上下平移。例如取 k=1，f(x)=31x3−29x2+18x+C 的導數就是 (x−3)(x−6)；極大值 f(3)=245+C、極小值 f(6)=18+C。取 C=0 時極小值 18>0，f(x)=0 只有一個實根。
(4) 錯誤。 f′′(x)=k(2x−9) 只在 x=29 變號，反曲點只有一個；但過此點的切線斜率 f′(29)=k⋅23⋅(−23)=−49k<0，是負數。若把「此圖形」讀成題目所附 y=f′(x) 的拋物線，拋物線沒有反曲點，本選項同樣錯誤。
(5) 錯誤。 3≤x<29 時 f′′(x)<0 凹口向下，但 29<x≤5 時 f′′(x)>0 凹口向上，不是整段凹口向下。
看導函數的圖：f′ 的正負決定 f 的增減；f′ 的增減（即 f′′ 的正負）決定 f 的凹凸。
第 2 題答案 (2)(3)。看 x=0 處的左、右導數是否存在且相等。
(1) 錯誤。 h∣h∣−0 在 h→0+ 時為 1，h→0− 時為 −1，左右導數不相等。
(2) 正確。 當 −21<x<21 時 −1<x−21<0，所以 f(x)=−1 在 x=0 附近是常數函數，f′(0)=0。
(3) 正確。 hh∣h∣−0=∣h∣→0，左右導數都是 0，f′(0)=0。
(4) 錯誤。 f(0) 沒有定義，在 x=0 不連續，當然不可微分。
(5) 錯誤。 f(0)=3，右邊 h3−3=0，右導數 0；左邊 h(2h+3)−3=2，左導數 2。函數在 x=0 連續但左右導數不相等，不可微分。
可微分一定連續；連續不一定可微分（(1)、(5) 都是例子）。
由導函數的圖形看原函數：f′ 的正負管增減與極值，f′ 的升降管凹凸與反曲點；判斷可微分就把左、右導數都算出來。
02多選 3～4：極值與導數的關係，重因式與一次估計
第 3 題答案 (3)。
(1) 錯誤。 反例 f(x)=x3，取 a=−1、b=0、c=1、d=2：f(x) 在 [−1,2] 上嚴格遞增，但 f′(0)=0，不是大於 0。
(2) 錯誤。 同一個反例 f(x)=x3：f′(0)=0，但 f(x) 一直遞增，在 x=0 沒有極值。
(3) 正確。 多項式處處可微分。f(b) 是極大值，表示 b 附近 f(x)≤f(b)：右邊 hf(b+h)−f(b)≤0（h>0），左邊 hf(b+h)−f(b)≥0（h<0）；兩邊的極限都等於 f′(b)，所以 f′(b)=0。
(4) 錯誤。 反例 f(x)=x4，取 c=0：f′′(x)=12x2，f′′(0)=0，但 f′′(x) 在 x=0 左右都是正的，凹口一直向上，(0,0) 不是反曲點。
(5) 錯誤。 極大值、極小值只是局部的比較，只跟附近的點比。想像圖形在 x=b 有一個小山頂，往右先下坡到一個谷底，接著爬上一座很高的山，再下坡到 x=c 的谷底；這個谷底仍可以比 b 的小山頂高，所以 f(b)<f(c) 可能發生。要畫出「山頂—谷底—山頂—谷底」，f′(x) 至少要有四個變號的根，所以多項式至少五次。具體例子：反例 f(x)=3x5−25x3+60x：f′(x)=15x4−75x2+60=15(x2−1)(x2−4)，f′(x) 在 x=−2 由正變負、在 x=2 由負變正，所以 f(−2)=−16 是極大值、f(2)=16 是極小值。取 a=−3、b=−2、c=2、d=3，得 f(b)=−16<16=f(c)。
(3) 成立是因為多項式處處可微分；若函數在該點不可微分（例如 −∣x∣ 在 x=0），有極大值也沒有導數可談。
第 4 題答案 (1)(3)(5)。(x+1)2 整除 f(x)，表示 x=−1 是 f(x)=0 的重根，所以 f(−1)=0 且 f′(−1)=0。
f(−1)=1−a−b+1=0，得 a+b=2。
f′(x)=8x7+3ax2+b，f′(−1)=−8+3a+b=0，得 3a+b=8。
解得 a=3，b=−1，f(x)=x8+3x3−x+1。
(1) 正確。 a+b=2。
(2) 錯誤。 a=3。
(3) 正確。 因為 f(−1)=0，x→−1limx+1f(x)=x→−1limx−(−1)f(x)−f(−1)=f′(−1)=0。
(4) 錯誤。 f(1)=1+3−1+1=4，f′(x)=8x7+9x2−1，f′(1)=16。一次估計為 y=4+16(x−1)=16x−12，不是 14x−12。
(5) 正確。 用 (4) 的一次估計：f(0.999)≈16×0.999−12=3.984，所以 ∣f(0.999)−4∣≈0.016<0.1。
直接計算 f(0.999)≈3.98402，與一次估計幾乎相同。
多項式在極值點的導數一定是 0，反過來不一定；(x−α)² 整除 f(x) 就是 f(α)=0 且 f′(α)=0。
03填充 1～2：求導數，由遞增遞減區間求係數
第 5 題f(x)=(x−1)⋅g(x)，其中 g(x)=(x−2)2(2x2+1)3。
由乘法公式 f′(x)=g(x)+(x−1)g′(x)，代 x=1 時第二項為 0：
f′(1)=g(1)=(1−2)2⋅33=27。
有一個因式在該點為 0 時，不必把整個導函數展開。
第 6 題令 g(x)=x2+2x+3，則 f(x)⋅g(x)=−2x+1。兩邊微分（乘法公式）：
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)=−2。
代 x=−1：g(−1)=2，g′(x)=2x+2，g′(−1)=0，所以 2f′(−1)=−2，f′(−1)=−1。
也可用商的微分公式：f′(x)=(x2+2x+3)2−2(x2+2x+3)−(−2x+1)(2x+2)，代 x=−1 得 4−4=−1。
第 7 題f′(x)=3x2+2ax+b。f(x) 在 x=−1、x=3 由遞增轉遞減、再由遞減轉遞增，所以 f′(−1)=f′(3)=0，即 −1、3 是 f′(x)=0 的兩根：
f′(x)=3(x+1)(x−3)=3x2−6x−9。
比較係數：2a=−6，b=−9，(a,b)=(−3,−9)。
因式在該點為 0 就只留下一項；遞增遞減交界處導數為 0。
04填充 3～5：最大最小值，切線
第 8 題f′(x)=−4x3+12x2=−4x2(x−3)，在 [−1,4] 內的臨界點是 x=0、x=3。比較端點與臨界點的函數值：
f(−1)=−1−4+3=−2，f(0)=3，f(3)=−81+108+3=30，f(4)=−256+256+3=3。
所以 M=30，m=−2，(M,m)=(30,−2)。
x=0 是 f′(x) 的二重根，左右不變號，不是極值點，但列進來比較也不影響結果。
第 9 題切線斜率 f′(x)=−3x2+6x+6=−3(x−1)2+9，在 x=1 時最大，斜率為 9。
切點 (1,f(1))=(1,8)，切線 y−8=9(x−1)，即 9x−y=1。
第 10 題f(4)=16−16+1=1=−3，P 不在圖形上。設切點 (t, t2−4t+1)，f′(t)=2t−4，切線為
y=(2t−4)(x−t)+t2−4t+1。
切線過 P(4,−3)：−3=(2t−4)(4−t)+t2−4t+1=−t2+8t−15，
即 t2−8t+12=0，t=2 或 t=6。
t=2：切點 (2,−3)，斜率 0，切線 y=−3。
t=6：切點 (6,13)，斜率 8，切線 y−13=8(x−6)，即 8x−y=35。
過圖形外一點的切線要先設切點，切線有兩條，兩條都要寫。
閉區間的最大最小值比較端點與臨界點；過圖形外一點的切線先設切點，再讓切線通過該點。
05填充 6～9：可微分的條件、導數的定義、由條件決定函數
第 11 題可微分必連續：f(1)=2，右極限 x→1+limx+1ax+b=2a+b=2，得 a+b=4。
左導數：x≤1 時 f′(x)=2x，左導數為 2。
右導數：h→0+limh1(2+ha(1+h)+b−2)=h→0+limh(2+h)(a+b−4)+(a−2)h=h→0+lim2+ha−2=2a−2（用到 a+b=4）。
可微分要左右導數相等：2a−2=2，a=6，b=−2。(a,b)=(6,−2)。
第 12 題h→0limhf(−1−h)−f(−1)=−h→0lim−hf(−1+(−h))−f(−1)=−f′(−1)。
由連鎖律 f′(x)=5(2x2−1)4⋅4x=20x(2x2−1)4，f′(−1)=20⋅(−1)⋅14=−20。
所求 =−(−20)=20。
第 13 題f′′(x)=6x−4 是一次式，所以 f(x) 是三次多項式，設 f(x)=px3+qx2+rx+s，則 f′′(x)=6px+2q，比較得 p=1，q=−2。
f′(x)=3x2−4x+r。在 x=2 有極值，f′(2)=12−8+r=0，r=−4。
f(2)=8−8−8+s=3，s=11。
f(x)=x3−2x2−4x+11，f(1)=1−2−4+11=6。
檢查：f′′(2)=8>0，f(2)=3 確實是極小值。
第 14 題設 f(x)=ax3+bx2+cx+d（a=0），f′(x)=3ax2+2bx+c，f′′(x)=6ax+2b。
反曲點的 x 坐標為 −1：f′′(−1)=−6a+2b=0，b=3a。
f′(0)=c=−7。
f′(1)=3a+2b+c=3a+6a−7=11，a=2，b=6。
反曲點 (−1,6) 在圖形上：f(−1)=−2+6+7+d=6，d=−5。
f(x)=2x3+6x2−7x−5。
可微分要先連續，再讓左右導數相等；看到 f(a−h) 這種形式先把負號提出來。
06填充 10～13：由極限決定多項式、嚴格遞減、最近距離、最佳化
第 15 題分母 (x2−1)(3x+1) 是三次式，最高次係數 3。x→∞ 時極限為 1，所以 f(x) 也是三次式：a=0，且 3b=1，b=3。
x→0limxf(x) 存在而分母趨近 0，分子也要趨近 0：f(0)=e=0。
x→1limx−1f(x)=2：分子趨近 0，f(1)=0；且此極限就是 x→1limx−1f(x)−f(1)=f′(1)=2。
f(x)=3x3+cx2+dx：f(1)=3+c+d=0；f′(x)=9x2+2cx+d，f′(1)=9+2c+d=2。
解得 c=−4，d=1。f(x)=3x3−4x2+x，f(2)=24−16+2=10。
第 16 題f′(x)=3ax2−6x+(a+2)。三次函數 a=0；要嚴格遞減，需 f′(x)≤0 對所有 x 成立，且 f′(x) 只在個別點等於 0。
f′(x) 是二次式，恆 ≤0 的條件：a<0，且判別式 36−12a(a+2)≤0，即 a2+2a−3≥0，(a+3)(a−1)≥0，a≤−3 或 a≥1。
與 a<0 合併得 a≤−3。
a=−3 時 f′(x)=−9x2−6x−1=−(3x+1)2，只在 x=−31 等於 0，其餘都小於 0，f(x) 仍是嚴格遞減，所以等號可以取。
嚴格遞減不需要 f′(x)<0 處處成立，導數只在個別點等於 0 也可以。
第 17 題設 P(t,t2)，距離平方 D(t)=(t−6)2+(t2−3)2=t4−5t2−12t+45。
D′(t)=4t3−10t−12=2(2t3−5t−6)=2(t−2)(2t2+4t+3)。
2t2+4t+3 的判別式 16−24<0，恆正；所以 t<2 時 D′(t)<0，t>2 時 D′(t)>0，D(t) 在 t=2 有最小值 D(2)=16+1=17。
最近距離為 17（此時 P(2,4)）。
距離有根號，改求距離平方的最小值比較好算。
第 18 題設高為 h。外表面積（底面加四個側面）：x2+4xh=108，所以 h=4x108−x2，且 0<x<108。
體積 V(x)=x2h=4108x−x3，
V′(x)=4108−3x2=43(6−x)(6+x)。
0<x<6 時 V′(x)>0，x>6 時 V′(x)<0，所以 x=6 時體積最大。
此時 h=3，最大體積 108 立方英吋。圖上的 x、h 是示意長度。
極限條件分兩種：x 趨近無限大看最高次，x 趨近定值時分母為 0 就逼分子也為 0；最佳化先把所求寫成一個變數的函數並寫出範圍。
07計算題：投擲硬幣的機率函數與最大值
第 19 題設 5 次中出現 k 次正面、5−k 次反面，位置為 2k−(5−k)=3k−5。
要在起點前方第 4 格：3k−5=4，k=3。共出現 3 次正面。
第 20 題由 (1)，5 次中恰好 3 次正面、2 次反面。選出哪 3 次是正面有 C35=10 種，每一種的機率都是 p3(1−p)2，所以
f(p)=C35p3(1−p)2=10p3(1−2p+p2)=10p5−20p4+10p3。
第 21 題f′(p)=50p4−80p3+30p2=10p2(5p2−8p+3)=10p2(p−1)(5p−3)。
在 0<p<1 內：10p2>0，p−1<0；所以 0<p<53 時 5p−3<0，f′(p)>0，f 遞增；53<p<1 時 f′(p)<0，f 遞減。
f(p) 在 p=53 有最大值：
f(53)=10⋅12527⋅254=31251080=625216。
答案卷上要寫出 f′(p) 的分解與增減的判斷，才能說明 p=53 時是最大值。
先由位置列方程式算出正面次數，再用二項機率寫出 f(p)；在開區間上找最大值，看導數由正變負的地方。
同一次段考的其他學校
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上傳考卷常見問題
臺南二中 112 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 21 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。
臺南二中 112 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？
最容易錯的是第 3 題（導數為 0、極值、遞增、反曲點之間哪個方向成立，第 5 個選項要想到極大值不一定比極小值大）、第 10 題（過圖形外一點的切線有兩條，兩條都要寫）、第 16 題（嚴格遞減時導函數可以在一點等於 0，範圍要含等號）和第 21 題（要先寫出機率函數再用導數找最大值）。
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