段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

臺南二中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 30 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 30 題，照原卷順序

是非 10 小題 10 分、多選 2 題 10 分、填充 11 題 55 分（每題 5 分）、混合題 4 題 25 分（第 15 題 4 分，只答對 x 坐標給 2 分；第 16～18 題的 (1) 各 3 分、(2) 各 4 分）。本頁第 1～10 題是卷面第 1 題的 (1)～(10)，第 11～24 題是第 2～15 題，第 25～30 題是第 16～18 題的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對，30 題全部相同。

1. 是非題（10%）：每小題 1 分。正確請填「○」，錯誤請填「×」。

π^{3} < π^{5}

2^{- 0.1} < (\frac{1}{3})^{- 0.1}

π^{0.1} + π^{- 0.1} < 2

(lo g 0.9)^{2} = lo g 0.9

lo g_{5} 2 + lo g_{2} 5 = 1

2^{l o g 3} < 3^{l o g 2}

(lo g 2) (lo g 81) = (lo g 3) (lo g 16)

直線

y = 2023

與

y = - lo g x

的圖形沒有交點

若點

(a, b)

在

y = 1 0^{x}

圖形上，則點

(b, a)

在

y = lo g x

圖形上

若

a, b, c

成等差數列，則

(\frac{1}{3})^{a}, (\frac{1}{3})^{b}, (\frac{1}{3})^{c}

成等比數列

2～3. 多選題（10%）：每題 5 分，若只錯 1 選項可得 3 分，只錯 2 選項可得 1 分，其餘情況則不給分。

指數函數

y = a^{x}

，

y = b^{x}

，

y = 3^{x}

的圖形如下圖所示，其中

y = b^{x}

與

y = 3^{x}

的圖形對稱於

y

軸。選出所有正確的選項。

(A) $b = \frac{1}{3}$
(B) $1 < a < 3$
(C) $(lo g_{a} b, b)$ 在 $y = a^{x}$ 圖形上
(D) 若 $(h, \frac{1}{a})$ 為函數 $y = a^{x}$ 圖形上一點，則 $h = \frac{1}{2}$
(E) 若 $(100, k)$ 為函數 $y = b^{x}$ 圖形上一點，則 $k < 1$

載入中...

函數

y = a lo g x

，

y = b lo g x

，

y = 2 lo g x

的圖形如下所示，其中

y = b lo g x

與

y = 2 lo g x

的圖形對稱於

x

軸。選出所有正確的選項。

(A) $P$ 點坐標為 $(2, 0)$
(B) $b = - 2$
(C) $0 < a < 2$
(D) $(10 0^{a}, 4 a)$ 為函數 $y = 2 lo g x$ 圖形上一點
(E) 若 $(h, 100)$ 為 $y = b lo g x$ 圖形上一點，則 $h < 1$

載入中...

4～14. 填充題（55%）：每題 5 分

若函數

y = a x^{2} + x

的圖形如下，則函數

y = a^{x}

的圖形可能為下列何者？（單選題）（本站補註：題目的拋物線與五個選項的圖形合畫在下圖）

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

已知

x

為任意實數，則

8^{(x^{2} - \frac{4}{3})}

的最小值為 ____。

不等式

\frac{1}{100} \leq (10)^{x} \leq 1000

其解為 ____。

設

a = lo g_{3} 2

，則

9^{a} + 2 7^{- a} =

____。

若

a = lo g_{3} 2

，則

lo g_{8} 9 =

？（單選題） (A)

\frac{2}{3 a}

(B)

\frac{3 a}{2}

(C)

\frac{6}{a}

(D)

\frac{a}{6}

(E)

\frac{2 a}{3}

(F)

\frac{3}{2 a}

(G)

6 a

(H)

\frac{1}{6 a}

已知

3^{x} + lo g (y^{2}) = 7

且

3^{x + 1} + 4 lo g (\frac{y}{100}) = 15

，則數對

(x, y) =

____。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，則以

a

、

b

表示得

lo g_{8} 15 =

____。

不等式

1 + lo g (x + 3) \leq lo g (8 - x)

其解為 ____。

某科學家在研究兩個變數

s

與

t

（

s

、

t

皆為正數）的關係時發現：若

x = lo g s

，

y = lo g t

，可得圖形為

y = 2 x + 3

的直線，則兩變數

s

與

t

的關係式為 ____。（答案不可含有 log 符號）

下圖為對數函數

f (x) = lo g x

的圖形，則以

p

、

q

表示得

f (\frac{2}{5}) =

____。

載入中...

如下圖，設直線

x = k

與

y = lo g x

、

y = lo g (x - 5)

分別交於

P

、

Q

兩點，若

\overline{P Q} = 1

，則

k =

____。

載入中...

15～18. 混合題（25%）：除單選題可直接填答，其餘需詳列演算過程才計分。

試求

y = 2^{2 x}

與

y = (\frac{1}{2})^{2 x + 6}

的圖形交點坐標。

第 16 題（第 25、26 題）（第 25～26 題）　在奇幻大陸的魔法世界中，存在著一種神奇的魔法藥劑，這種魔法藥劑的初始溫度為

100

Krisdor。為了發揮其真正的魔法力量，它需要在特定實驗室的環境溫度

19

Krisdor 下冷卻。透過以下超自然的公式可以描述這個神奇的冷卻過程：

f (t) = A + (f (0) - A) \cdot e^{- k t}

f (t)

是時間

t

小時後魔法藥劑的溫度，以克里斯多溫度（Krisdor）為單位。

f (0)

是魔法藥劑的初始溫度，以克里斯多溫度（Krisdor）為單位。

A

代表實驗室的環境溫度，以克里斯多溫度（Krisdor）為單位。

k

是一個與魔法藥劑特性相關的神秘常數，反映了魔法影響的程度。請注意：克里斯多溫度（Krisdor）是一種魔法世界中的溫度單位。

(1) 假設魔法藥劑在

1

小時內從

100

Krisdor 冷卻到

73

Krisdor，則

e^{- k} =

？

(2) 再經

3

個小時，此魔法藥劑的溫度為多少 Krisdor？

第 17 題（第 27、28 題）（第 27～28 題）　聲音的強度是用每平方公尺多少瓦特

(W/ m^{2})

來衡量，當測得的聲音的強度

w (W/ m^{2})

時，所產生的音量

D

分貝：

D = 10 \times lo g \frac{w}{1 0 ^{- 12}}

已知安靜的圖書館之聲音為

40

分貝，球場上啦啦隊

1

支汽笛獨鳴聲音為

70

分貝。

(1) 試問

70

分貝的聲音強度是

40

分貝的聲音強度的幾倍？（單選題） (A)

\frac{7}{4}

(B)

1 0^{\frac{7}{4}}

(C)

1 0^{30}

(D)

3 0^{10}

(E)

1 0^{3}

(F)

3^{10}

(2) 設

100

支汽笛合鳴的聲音強度為

1

支汽笛獨鳴的

100

倍，試問

100

支汽笛合鳴的噪音為多少分貝？

第 18 題（第 29、30 題）（第 29～30 題）　懷海德教授曾在《美國物理期刊》中提到：「一張骨牌能推倒另一張比它大的骨牌。」若第

1

張骨牌的重量為

3

公克，之後每一張骨牌的重量皆為前一張骨牌重量的

2

倍。試回答以下問題：

(1) 從第幾張骨牌開始，這張骨牌的重量會超過

100

公克？（單選題） (A)

4

(B)

5

(C)

6

(D)

7

(E)

8

(F)

9

(2) 骨牌效應是指一件事的發生會引發一連串的連鎖反應，得名於按一定間距排列的骨牌相繼倒下。因此，在理想狀況下，從哪一張骨牌開始，這張骨牌的重量會超過台北

101

大樓的總重量（台北

101

大樓的總重量約為

7 \times 1 0^{11}

公克）？（卷首參考資料：

lo g 2 \approx 0.3010

、

lo g 3 \approx 0.4771

、

lo g 7 \approx 0.8451

）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

是非題：○＝正確、×＝錯誤（照原卷作答規定）

1○

2○

3×

4×

5×

6×

7○

8×

9○

10○

第 11 題(A)(C)(E)

第 12 題(B)(D)(E)

第 13 題(B)

第 14 題

\frac{1}{16}

第 15 題

- 4 \leq x \leq 6

第 16 題

\frac{33}{8}

第 17 題(A)

第 18 題

(2, \frac{1}{10})

第 19 題

\frac{1 + b - a}{3 a}

第 20 題

- 3 < x \leq - 2

第 21 題

t = 1000 s^{2}

第 22 題

2 p - q - 1

第 23 題

\frac{50}{9}

第 24 題

(- \frac{3}{2}, \frac{1}{8})

第 25 題

\frac{2}{3}

第 26 題

35

Krisdor

第 27 題(E)

第 28 題

90

分貝

第 29 題(D)

第 30 題第

39

張

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01第 1 題是非題（第 1～10 題）：指數與對數的性質

第 1 題○答 ○。底數

π > 1

，

y = π^{x}

是遞增函數，指數越大值越大。

3 < 5

，所以

π^{3} < π^{5}

。

第 2 題○答 ○。

2^{- 0.1} = (\frac{1}{2})^{0.1}

，底數小於

1

、指數為正，所以

2^{- 0.1} < 1

；

(\frac{1}{3})^{- 0.1} = 3^{0.1}

，底數大於

1

、指數為正，所以

3^{0.1} > 1

。因此

2^{- 0.1} < 1 < (\frac{1}{3})^{- 0.1}

。

第 3 題×答 ×。

π^{0.1}

與

π^{- 0.1}

都是正數，乘積

π^{0.1} \times π^{- 0.1} = π^{0} = 1

。由算幾不等式

π^{0.1} + π^{- 0.1} \geq 2 π^{0.1} \times π^{- 0.1} = 2

，等號只在

π^{0.1} = π^{- 0.1}

時成立；但

π^{0.1} > 1 > π^{- 0.1}

，所以

π^{0.1} + π^{- 0.1} > 2

。

實際上

π^{0.1} + π^{- 0.1} \approx 2.013

。

第 4 題×答 ×。

0.9 < 1

，所以

lo g 0.9 < lo g 1 = 0

。

A^{2} = ∣ A ∣

，故

(lo g 0.9)^{2} = ∣ lo g 0.9∣ = - lo g 0.9 > 0

，而

lo g 0.9 < 0

，兩者不相等。

第 5 題×答 ×。由換底，

lo g_{5} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 5}

、

lo g_{2} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 2}

，兩數都是正數且乘積為

1

。由算幾不等式，兩數和

\geq 2

；又

lo g_{5} 2 < 1 < lo g_{2} 5

，兩數不相等，所以和大於

2

，不可能等於

1

。

第 6 題×答 ×。兩邊取常用對數：

lo g (2^{l o g 3}) = lo g 3 \times lo g 2

，

lo g (3^{l o g 2}) = lo g 2 \times lo g 3

，兩者相同，所以

2^{l o g 3} = 3^{l o g 2}

，不是小於。

第 7 題○答 ○。

lo g 81 = lo g 3^{4} = 4 lo g 3

，

lo g 16 = lo g 2^{4} = 4 lo g 2

。左邊

= 4 lo g 2 lo g 3

，右邊

= 4 lo g 3 lo g 2

，兩邊相等。

第 8 題×答 ×。

y = - lo g x

的值域是全體實數，所以

- lo g x = 2023

有解：

lo g x = - 2023

，

x = 1 0^{- 2023}

。兩圖形交於點

(1 0^{- 2023}, 2023)

，有交點。

第 9 題○答 ○。點

(a, b)

在

y = 1 0^{x}

上，表示

b = 1 0^{a}

，由對數的定義

a = lo g b

（

b = 1 0^{a} > 0

），所以點

(b, a)

滿足

y = lo g x

。

第 10 題○答 ○。設公差為

d

，則

b - a = c - b = d

。三數

(\frac{1}{3})^{a}

、

(\frac{1}{3})^{b}

、

(\frac{1}{3})^{c}

都不為

0

，後項除以前項：

\frac{( 1/3 ) ^{b}}{( 1/3 ) ^{a}} = (\frac{1}{3})^{b - a} = (\frac{1}{3})^{d}

，同理

\frac{( 1/3 ) ^{c}}{( 1/3 ) ^{b}} = (\frac{1}{3})^{d}

，比值相同，成等比數列（公比

(\frac{1}{3})^{d}

）。

比較兩個指數先看底數大於

1

還是小於

1

；兩個正數乘積為

1

時，和至少是

2

；

a^{l o g b} = b^{l o g a}

，取對數就看得出來。

02第 2、3 題多選（第 11、12 題）：由圖形判斷底數與係數

第 11 題

$y = b^{x}$ 與 $y = 3^{x}$ 對稱於 $y$ 軸，所以 $b^{x} = 3^{- x} = (\frac{1}{3})^{x}$ ， $b = \frac{1}{3}$ 。由圖，三條曲線都過 $P (0, 1)$ ；在 $x > 0$ 的地方 $y = a^{x}$ 在 $y = 3^{x}$ 的上方，即 $a^{x} > 3^{x}$ ，所以 $a > 3$ 。

(A) 正確。 如上， $b = \frac{1}{3}$ 。

(B) 錯誤。 由圖 $a > 3$ ，不在 $1$ 與 $3$ 之間。

(D) 錯誤。 $a^{h} = \frac{1}{a} = a^{- \frac{1}{2}}$ ，又 $a > 1$ ，所以 $h = - \frac{1}{2}$ ，不是 $\frac{1}{2}$ 。

(E) 正確。 $k = b^{100} = (\frac{1}{3})^{100}$ ，底數小於 $1$ 、指數為正，所以 $0 < k < 1$ 。

選 (A)(C)(E)。

第 12 題

$y = b lo g x$ 與 $y = 2 lo g x$ 對稱於 $x$ 軸，所以 $b lo g x = - 2 lo g x$ 對所有 $x > 0$ 成立， $b = - 2$ 。三條曲線在 $x = 1$ 時 $y = 0$ ，交點 $P = (1, 0)$ 。由圖，在 $x > 1$ 的地方（ $lo g x > 0$ ）， $y = a lo g x$ 在 $x$ 軸下方、在 $y = b lo g x$ 上方： $- 2 lo g x < a lo g x < 0$ ，同除以正數 $lo g x$ 得 $- 2 < a < 0$ 。

(A) 錯誤。 $P = (1, 0)$ 。

(B) 正確。 如上， $b = - 2$ 。

(D) 正確。 $x = 10 0^{a}$ 時 $2 lo g x = 2 lo g 1 0^{2 a} = 2 \times 2 a = 4 a$ ，所以 $(10 0^{a}, 4 a)$ 在 $y = 2 lo g x$ 上。

(E) 正確。 $- 2 lo g h = 100$ ， $lo g h = - 50$ ， $h = 1 0^{- 50} < 1$ 。

選 (B)(D)(E)。

對稱於

y

軸的指數函數底數互為倒數；對稱於

x

軸的

y = c lo g x

係數互為相反數；比較圖形高低時，先固定一個

x

（例如

x > 1

）再比較

y

。

03第 4～8 題（第 13～17 題）：由圖判斷底數、指數的最小值與不等式、對數求值

第 13 題

$y = a x^{2} + x = x (a x + 1)$ ，與 $x$ 軸交於 $x = 0$ 與 $x = - \frac{1}{a}$ 。由圖，拋物線開口向上，所以 $a > 0$ ；另一個交點落在 $- 2$ 與 $- 1$ 之間： $- 2 < - \frac{1}{a} < - 1$ ，即 $1 < \frac{1}{a} < 2$ ，所以 $\frac{1}{2} < a < 1$ 。

底數 $a$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間， $y = a^{x}$ 遞減、過 $(0, 1)$ 、圖形在 $x$ 軸上方。(A) 遞增；(C)(D) 有 $y < 0$ 的部分， $a^{x}$ 恆為正，不可能；(E) 過 $(1, 0)$ ，也有 $y < 0$ 的部分。只有 (B) 符合。選 (B)。

第 14 題底數

8 > 1

，

y = 8^{u}

遞增，指數越小值越小。指數

x^{2} - \frac{4}{3}

在

x = 0

時最小，為

- \frac{4}{3}

。最小值為

8^{- \frac{4}{3}} = (2^{3})^{- \frac{4}{3}} = 2^{- 4} = \frac{1}{16}

。

第 15 題都寫成以

10

為底：

\frac{1}{100} = 1 0^{- 2}

，

(10)^{x} = 1 0^{\frac{x}{2}}

，

1000 = 1 0^{3}

。不等式變成

1 0^{- 2} \leq 1 0^{\frac{x}{2}} \leq 1 0^{3}

。底數

10 > 1

，

y = 1 0^{x}

遞增，所以

- 2 \leq \frac{x}{2} \leq 3

，即

- 4 \leq x \leq 6

。

第 16 題由

a = lo g_{3} 2

得

3^{a} = 2

。

9^{a} = (3^{a})^{2} = 2^{2} = 4

；

2 7^{- a} = (3^{a})^{- 3} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

。所以

9^{a} + 2 7^{- a} = 4 + \frac{1}{8} = \frac{33}{8}

。

第 17 題換成以

3

為底：

lo g_{8} 9 = \frac{lo g _{3} 9}{lo g _{3} 8} = \frac{2}{3 lo g _{3} 2} = \frac{2}{3 a}

。選 (A)。

由拋物線讀出常數範圍時，看它與

x

軸的交點；

a = lo g_{3} 2

這類條件，改寫成

3^{a} = 2

再用指數律最快。

04第 9～14 題（第 18～23 題）：聯立方程式、換底、對數不等式、對數圖形

第 18 題

第二式有 $lo g \frac{y}{100}$ ，所以 $y > 0$ 。令 $u = 3^{x}$ 、 $v = lo g y$ ，則 $lo g (y^{2}) = 2 v$ ， $3^{x + 1} = 3 u$ ， $lo g \frac{y}{100} = v - 2$ 。兩式變成

$u + 2 v = 7, 3 u + 4 (v - 2) = 15$

即 $u + 2 v = 7$ 、 $3 u + 4 v = 23$ 。第一式乘 $2$ 再相減： $3 u + 4 v - (2 u + 4 v) = 23 - 14$ ， $u = 9$ ，代回得 $v = - 1$ 。所以 $3^{x} = 9$ ， $x = 2$ ； $lo g y = - 1$ ， $y = \frac{1}{10}$ 。 $(x, y) = (2, \frac{1}{10})$ 。

驗算：

9 + lo g \frac{1}{100} = 9 - 2 = 7

；

27 + 4 lo g \frac{1}{1000} = 27 - 12 = 15

。

第 19 題

lo g_{8} 15 = \frac{lo g 15}{lo g 8}

。

15 = \frac{30}{2} = \frac{3 \times 10}{2}

，

lo g 15 = lo g 3 + 1 - lo g 2 = 1 + b - a

；

lo g 8 = 3 lo g 2 = 3 a

。所以

lo g_{8} 15 = \frac{1 + b - a}{3 a}

。

第 20 題

真數條件： $x + 3 > 0$ 且 $8 - x > 0$ ，所以 $- 3 < x < 8$ 。

$1 + lo g (x + 3) = lo g 10 + lo g (x + 3) = lo g [10 (x + 3)]$ ，不等式變成 $lo g [10 (x + 3)] \leq lo g (8 - x)$ 。底數 $10 > 1$ ，真數的大小方向不變： $10 x + 30 \leq 8 - x$ ， $11 x \leq - 22$ ， $x \leq - 2$ 。與真數條件取交集，解為 $- 3 < x \leq - 2$ 。

第 21 題

lo g t = 2 lo g s + 3 = lo g s^{2} + lo g 1000 = lo g (1000 s^{2})

。

lo g

是一對一函數，所以

t = 1000 s^{2}

。

第 22 題

由圖， $p = lo g 6$ 、 $q = lo g 9$ 。 $q = 2 lo g 3$ ，所以 $lo g 3 = \frac{q}{2}$ ； $p = lo g 2 + lo g 3$ ，所以 $lo g 2 = p - \frac{q}{2}$ 。

$f (\frac{2}{5}) = lo g 2 - lo g 5 = lo g 2 - (1 - lo g 2) = 2 lo g 2 - 1 = 2 (p - \frac{q}{2}) - 1 = 2 p - q - 1$ 。

第 23 題

$P = (k, lo g k)$ 、 $Q = (k, lo g (k - 5))$ ，需要 $k > 5$ 。 $k > k - 5 > 0$ ，所以 $lo g k > lo g (k - 5)$ ， $P$ 在 $Q$ 上方：

$\overline{P Q} = lo g k - lo g (k - 5) = lo g \frac{k}{k - 5} = 1$

所以 $\frac{k}{k - 5} = 10$ ， $k = 10 k - 50$ ， $k = \frac{50}{9}$ ，符合 $k > 5$ 。

圖上直線

x = k

的位置是示意，沒有照所求的值畫。

含

3^{x}

與

lo g y

的聯立方程式，把它們各當成一個未知數；對數不等式先寫真數條件，把常數

1

寫成

lo g 10

併進去，最後取交集。

05第 15～18 題混合題（第 24～30 題）：交點、冷卻模型、分貝、骨牌

第 24 題

(\frac{1}{2})^{2 x + 6} = 2^{- (2 x + 6)}

。兩式相等：

2^{2 x} = 2^{- 2 x - 6}

，指數函數一對一，

2 x = - 2 x - 6

，

x = - \frac{3}{2}

。代回

y = 2^{2 x} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

。交點坐標為

(- \frac{3}{2}, \frac{1}{8})

。

第 25 題

f (0) = 100

、

A = 19

，所以

f (t) = 19 + 81 e^{- k t}

。

t = 1

時

f (1) = 73

：

19 + 81 e^{- k} = 73

，

81 e^{- k} = 54

，

e^{- k} = \frac{54}{81} = \frac{2}{3}

。

第 26 題「再經

3

個小時」是從開始算起第

4

小時，

t = 4

：

f (4) = 19 + 81 (e^{- k})^{4} = 19 + 81 \times (\frac{2}{3})^{4} = 19 + 81 \times \frac{16}{81} = 19 + 16 = 35

。溫度為

35

Krisdor。

e^{- 4 k} = (e^{- k})^{4}

是指數律。若把

t

誤取為

3

，會得到

19 + 81 \times \frac{8}{27} = 43

，那是開始後

3

小時（只再經

2

小時）的溫度。

第 27 題設圖書館與汽笛的聲音強度分別為

w_{1}

、

w_{2}

。

70 - 40 = 10 lo g \frac{w _{2}}{1 0 ^{- 12}} - 10 lo g \frac{w _{1}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g \frac{w _{2}}{w _{1}}

，所以

lo g \frac{w _{2}}{w _{1}} = 3

，

\frac{w _{2}}{w _{1}} = 1 0^{3}

。選 (E)。

第 28 題

$1$ 支汽笛： $10 lo g \frac{w _{2}}{1 0 ^{- 12}} = 70$ 。 $100$ 支合鳴的強度為 $100 w_{2}$ ：

$D = 10 lo g \frac{100 w _{2}}{1 0 ^{- 12}} = 10 (lo g 100 + lo g \frac{w _{2}}{1 0 ^{- 12}}) = 10 \times 2 + 70 = 90$

噪音為 $90$ 分貝。

第 29 題第

n

張骨牌的重量為

3 \times 2^{n - 1}

公克（首項

3

、公比

2

的等比數列）。

3 \times 2^{n - 1} > 100

，

2^{n - 1} > \frac{100}{3} \approx 33.3

。

2^{5} = 32

不夠，

2^{6} = 64

超過，所以

n - 1 \geq 6

，

n \geq 7

。第

6

張重

96

公克，第

7

張重

192

公克，從第

7

張開始。選 (D)。

第 30 題

要 $3 \times 2^{n - 1} > 7 \times 1 0^{11}$ 。兩邊取常用對數（ $lo g$ 遞增，不等號方向不變）：

$lo g 3 + (n - 1) lo g 2 > lo g 7 + 11$

$(n - 1) \times 0.3010 > 0.8451 + 11 - 0.4771 = 11.368$ ， $n - 1 > \frac{11.368}{0.3010} \approx 37.77$ 。 $n - 1$ 是整數，所以 $n - 1 \geq 38$ ， $n \geq 39$ 。從第 $39$ 張骨牌開始。

檢查：

38 \times 0.3010 = 11.438 > 11.368

，

37 \times 0.3010 = 11.137 < 11.368

。實際上第

38

張約重

4.1 \times 1 0^{11}

公克，第

39

張約重

8.2 \times 1 0^{11}

公克。

公式題先把已知的常數代進去，求出整個

e^{- k}

就夠，不必求

k

；分貝差

10

分貝對應強度

10

倍；等比數列第幾項超過某數，取對數後記得

n

是整數要往上取。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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臺南二中 112 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題的 (3)(5)(6) 要看出兩數乘積為 1 或兩數其實相等，才不會被不等號騙；第 4 題（本頁第 13 題）要從拋物線的另一個 x 截距落在 −2 與 −1 之間推出 a 介於二分之一與 1；第 11 題（第 20 題）解完不等式還要和真數條件取交集；第 18 題第 (2) 小題（第 30 題）要用參考數據取對數，再判斷第幾張才超過。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自臺南二中 112 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

臺南二中 112 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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01第 1 題是非題（第 1～10 題）：指數與對數的性質

02第 2、3 題多選（第 11、12 題）：由圖形判斷底數與係數

03第 4～8 題（第 13～17 題）：由圖判斷底數、指數的最小值與不等式、對數求值

04第 9～14 題（第 18～23 題）：聯立方程式、換底、對數不等式、對數圖形

05第 15～18 題混合題（第 24～30 題）：交點、冷卻模型、分貝、骨牌

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臺南二中 112 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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