01 · 試題原卷 28 題，照原卷順序
是非 10 小題 10 分、填充 14 題 70 分、混合題 20 分（卷面第 16 題 6 分、第 17 題 6 分、第 18 題兩小題 3 分與 5 分；答案欄另印第 18 題 (1) 可直接寫答案，不須詳列演算過程），合計 100 分。本頁第 1～10 題為卷面第 1 題的 (1)～(10)，第 11～24 題為卷面第 2～15 題，第 25、26 題為卷面第 16、17 題，第 27、28 題為卷面第 18 題的 (1)(2)。答案已與學校公布的答案逐題核對，全部一致。
1. 是非題（10%）：每小題 1 分。正確請填「○」，錯誤請填「✕」。
4
已知 2 為無理數，若 a，b，c，d 為有理數，且 a+b×2=c+d×2，則 a=c 且 b=d。 5
設 a，b 為兩正實數，若 2a+b=ab，則 a=b。 6
∣x−5∣+∣x+5∣=8 恰有 2 個實數解。
7
已知 a>0 且 a0.3=5，則 a0.09=25。
8
3×1051 的科學記號表示為 3−1×10−5。
9
已知 a>0 且 loga=0.5，則 a2=10。
2～15. 填充題（70%）：每題 5 分
11
試求其值：50012−4998250013−3×50012×4998+3×5001×49982−49983= ______。
12
若 2a+2a1=3，則 8a+8a1= ______。
13
已知 k 為整數，且 5k<4+12<5k+1，則 k= ______。 14
設數線上兩點 A(−5)、B(9) 與數線上一點 P(x)，且 AP:BP=3:5，已知 P 點在 AB 外，則 P 的坐標為 ______。
15
已知 a、b 為實數，且不等式 ∣ax−4∣>b 的解為 x<−7 或 x>3，則數對 (a,b)= ______。
16
試問數線上有多少個整數點與點 50 的距離大於 3，但與點 37 的距離小於 5？______。 17
正常成人在適度的飲食下，所排出尿液的滲透壓介於 500 mOsm/kg 到 850 mOsm/kg 之間（含）。若正常人的尿液滲透壓為 x mOsm/kg，且其範圍恰可用 ∣x−a∣≤b 來表示，則數對 (a,b)= ______。
18
若 9a=2，則 3a+2−27a= ______。
19
試求其值：103×10021−3+(30.6)5+(56)8×(65)22= ______。 20
試求其值：312522−252712520−2524= ______。 21
心理學家常用 L(t)=a(1−(54)t) 這個數學模式，來描述人類經過 t 星期的學習後所得到的學習量。已知小華兩星期後可以背熟 180 個單字，推算小華三星期後可以背熟多少個單字？______。
22
梅森數是指形如 2n−1 的數，可記為 Mn；如果一個梅森數是質數那麼它稱為梅森質數，例如 M2=22−1=3，M3=23−1=7，M5=25−1=31 都是質數。在 1876 年，數學家盧卡斯證明了 M127=2127−1 是當時已知的最大質數，該紀錄保持了 75 年之久。而 M127=2127−1 利用計算機可求得其值為 170141183460469231731687303715884105727，則有 39 位數的梅森數 M127 取 4 位有效數字以科學記號表示可為 ______。
23
若 a=log2，b=log3，則 (101−a+102b)−1= ______。
24
設正實數 x 滿足 (log1000)(logx)+log1000+logx=11，則 x= ______。
16～18 混合題（20%）：需詳列演算過程才計分。
25
設 x>0，求 (x+x4)(x+x9) 的最小值？又此時 x 為多少？ 26
若 x=102+log1.23，y=10−1+log4.56，試求 x+y 的值。
卷面第 18 題（第 27～28 題） 無理數是指除有理數以外的實數，而有理數（rational number）當中的 rational 的拉丁語源是 logos，就是英文的 ratio，原來的意思是「比」。也就是說，能夠寫成兩個整數之比的，就叫做有理數。這個概念源自畢氏學派所信奉「數目（mumber）是所有事物的本質」之論點，他們認為數目（這裡指的是正整數）是所有現象的基礎，例如，行星的運行、音階的規律都可以用數目的比來表示。公元前 500 年，畢達哥拉斯學派的弟子希帕索斯（Hippasus）發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形的邊長為 1，則對角線的長不是一個有理數），這在當時引起很大的震撼與爭議，據說他甚至因此喪命。這一不可公度性與畢氏學派的「萬物皆為數」（指有理數）的哲理大相逕庭。（引文中的 mumber 為卷面原字，應為 number）關於有理數與無理數，試回答以下問題：
27
(1) 下列何者為無理數？（單選）- (A) 202110.14
- (B) 102log3
- (C) 252×53−8
- (D) (5−2)−3×(5+2)−3
- (E) 8−28−8+28
28
(2) 設 x+y，2x−y 均為有理數，試證：x，y 均為有理數。
是非題：○＝正確、✕＝錯誤（照原卷作答規定）
第 11 題11111
第 12 題18
第 13 題13
第 14 題−26
第 15 題(−2,10)
第 16 題4
第 17 題(675,175)
第 19 題38
第 20 題251
第 21 題244
第 22 題1.701×1038
第 23 題141
第 24 題100
第 25 題最小值 25，此時 x=6
第 26 題123.456
第 27 題(A)
第 28 題證明見詳解
03 · 勾錯題號勾出錯的題號，看錯在哪幾章
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看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。
01是非題 (1)～(5)（第 1～5 題）：循環小數、指數比大小、有理化、比較係數、算幾不等式
第 1 題✕3.3=3+93=310，6.6=6+96=320，相加 310+320=10。兩數的和恰好等於 10，不是小於 10。
3.3+6.6=9.9，而 9.9=10。
第 2 題✕化成以 10 為底：1001000=(102)1000=102000，1000100=(103)100=10300。2000>300，所以 1001000>1000100，不等號方向相反。
第 3 題○有理化分母：6−51=6−56+5=6+5，10−37=10−37(10+3)=10+3。兩數都是正數，比較平方：(6+5)2=11+230，(10+3)2=13+230，11<13，所以左邊較小。 第 4 題○移項得 a−c=(d−b)2。若 d−b=0，則 2=d−ba−c 是有理數相除，為有理數，與 2 是無理數矛盾。所以 d−b=0，於是 a−c=0，即 a=c 且 b=d。 a、b、c、d 都是有理數是這個結論的前提。
第 5 題○兩邊同乘 2 再移項：a+b−2ab=0，即 (a−b)2=0，所以 a=b，a=b。 這就是算幾不等式
2a+b≥ab 的等號成立條件。
02是非題 (6)～(10)（第 6～10 題）：距離和、指數律、科學記號、log 的意義、位數
第 6 題✕∣x−5∣+∣x+5∣ 是數線上點 x 到 5 與到 −5 的距離和。5 與 −5 相距 10，所以這個距離和至少是 10，不可能等於 8。方程式沒有實數解。
若右邊改成大於 10 的數，才會恰有 2 個解。
第 7 題✕a0.09=(a0.3)0.3=50.3。因為 0.3<1，50.3<51=5，不會是 25。
25=52=(a0.3)2=a0.6。指數相乘 0.3×0.3=0.09，指數乘 2 是 0.6。
第 8 題✕科學記號要寫成 k×10n，其中 1≤k<10、n 為整數。3−1=31≈0.333 不在這個範圍內。正確的寫法是 3×1051=0.333⋯×10−5≈3.33×10−6。
數值上 3−1×10−5 與原數相等，但它不是科學記號的形式。
第 9 題○loga=0.5 的意思是 a=100.5，所以 a2=(100.5)2=101=10。
第 10 題○47<47.71<48，所以 1047<1047.71<1048。1047 是最小的 48 位數，1048 是最小的 49 位數，所以 1047.71 的整數部分是 48 位數。
10n≤x<10n+1（n 為非負整數）時，x 的整數部分是 n+1 位數。
是非題先把兩邊化成同一種形式（同底數、同分母、平方）再比；等號會不會成立要單獨確認。
03填充題第 2～4 題（第 11～13 題）：乘法公式、立方和、雙重根號
第 11 題令 a=5001、b=4998，a−b=3，a+b=9999。分子 a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3=27，分母 a2−b2=(a−b)(a+b)=3×9999。所以原式 =3×999927=99999=11111。
第 12 題令 t=2a，則 t+t1=3，而 8a=(2a)3=t3。由 (t+t1)3=t3+t31+3(t+t1)，得 t3+t31=33−3×3=27−9=18。
展開時中間兩項是 3t2⋅t1+3t⋅t21=3(t+t1)。
第 13 題12=23，所以 4+12=3+1+23×1=(3+1)2，4+12=3+1。各邊同乘 5：k<53+5<k+1。53=75，而 8.62=73.96<75<75.69=8.72，所以 13.6<53+5<13.7，k=13。 估
3≈1.73：
53+5≈13.65，落在
13 與
14 之間。
04填充題第 5～8 題（第 14～17 題）：外分點、絕對值不等式
第 14 題P 在 AB 外，且 AP<BP，所以 P 離 A 較近，在 A 的左邊，x<−5。此時 AP=−5−x，BP=9−x，由 (−5−x):(9−x)=3:5 得 5(−5−x)=3(9−x)，−25−5x=27−3x，x=−26。檢查：AP=21，BP=35，比為 3:5。
若 P 在 B 的右邊，AP 會比 BP 長，比值不可能是 3:5。
第 15 題解的兩個端點 x=−7 與 x=3 要使 ∣ax−4∣=b，所以 ∣−7a−4∣=∣3a−4∣=b。若 −7a−4=3a−4，則 a=0，不等式變成 4>b，解不會是題目給的形式，不合。所以 −7a−4=−(3a−4)，−4a=8，a=−2，b=∣3×(−2)−4∣=10。驗算：∣−2x−4∣>10 即 ∣x+2∣>5，解為 x<−7 或 x>3，符合。答 (a,b)=(−2,10)。
也可以從解反推：x<−7 或 x>3 的中點是 −2、半徑是 5，即 ∣x+2∣>5；兩邊同乘 2 得 ∣2x+4∣>10，而 ∣2x+4∣=∣−2x−4∣，對照 ∣ax−4∣ 得 a=−2、b=10。
第 16 題設整數點為 n。第二個條件 ∣n−37∣<5：37−5<n<37+5，因為 6<37<7，所以 1.⋯<n<11.⋯，n=2,3,…,11。第一個條件 ∣n−50∣>3：n>50+3 或 n<50−3，因為 7<50<8，所以 n≥11 或 n≤4。兩個條件同時成立的整數是 2、3、4、11，共 4 個。 50+3 介於
10 與
11 之間，所以
n=11 符合、
n=10 不符合；
50−3 介於
4 與
5 之間，所以
n=4 符合、
n=5 不符合。
第 17 題範圍是 500≤x≤850。中點 a=2500+850=675，半徑 b=2850−500=175，所以 ∣x−675∣≤175，(a,b)=(675,175)。
∣x−a∣≤b 表示 x 與 a 的距離不超過 b，也就是 a−b≤x≤a+b。
絕對值不等式看成數線上的距離：小於是一段區間，大於是區間外的兩側，中點與半徑直接從端點算。
05填充題第 9～13 題（第 18～22 題）：指數律、指數模型、科學記號
第 18 題9a=(3a)2=2，且 3a>0，所以 3a=2。3a+2=3a×32=92，27a=(3a)3=(2)3=22。所以 3a+2−27a=92−22=72。 第 19 題第一項：10021−3=(102)21−3=101−3，所以 103×101−3=101=10。第二項：(30.6)5=33=27。第三項：8=22，(56)22×(65)22=(56×65)22=1。合計 10+27+1=38。 第 20 題全部化成以 5 為底：12520=560，2524=548，12522=566，2527=554。分子 560−548=548(512−1)，分母 566−554=554(512−1)，相除得 548−54=5−6。所以原式 =35−6=5−2=251。 第 21 題L(2)=a(1−2516)=259a=180，所以 a=500。L(3)=500(1−12564)=500×12561=244（個）。
第 22 題這個數有 39 位，最高位是 1，所以寫成 1.70141⋯×1038。取 4 位有效數字要看第 5 位：前五位是 1.7014，第 5 位是 4，捨去，得 1.701×1038。
39 位數的科學記號，10 的次方是 39−1=38。
06填充題第 14～15 題（第 23～24 題）：常用對數
第 23 題a=log2 表示 10a=2，b=log3 表示 10b=3。101−a=10a10=210=5，102b=(10b)2=9。所以 (101−a+102b)−1=(5+9)−1=141。
第 24 題1000=103，所以 log1000=3。令 t=logx，方程式變成 3t+3+t=11，4t=8，t=2。logx=2，所以 x=102=100。
看到 log 先翻回指數式：loga=k 就是 10k=a。
07混合題第 16～17 題（第 25～26 題）：算幾不等式、指數與 log
第 25 題展開：(x+x4)(x+x9)=x+9+4+x36=13+x+x36。因為 x>0，x 與 x36 都是正數，由算幾不等式 2x+x36≥x⋅x36=6，得 x+x36≥12。所以原式 ≥13+12=25，最小值為 25。等號成立在 x=x36，即 x2=36，取正數得 x=6。 不可以對兩個括號分別用算幾不等式再相乘：第一個括號的等號在 x=4、第二個在 x=9，兩個等號不會同時成立，那樣得到的 4×6=24 取不到。
第 26 題x=102+log1.23=102×10log1.23=100×1.23=123。y=10−1+log4.56=10−1×10log4.56=0.1×4.56=0.456。所以 x+y=123+0.456=123.456。
10logk=k：logk 就是「10 的幾次方等於 k」的那個次方。
08混合題第 18 題（第 27～28 題）：無理數的判斷、有理數的封閉性
第 27 題答案 (A)。(B) 102log3=(10log3)2=(3)2=3，有理數。(C) 252=522，8=22，所以原式 =522+3−22=53=125，有理數。(D) 原式 =[(5−2)(5+2)]−3=(5−2)−3=271，有理數。(E) 28=27，8±27=(7±1)2，所以原式 =(7−1)−(7+1)=−2，有理數。(B)～(E) 都是有理數，單選題只剩 (A)。 (A) 確實是無理數：202110.14=202110×2021507，202110 是正整數，只要看 r=2021507。若 r 是有理數，寫成最簡分數 qp，則 p50=20217×q50；p、q 互質，只能 q=1，於是 p50=20217=437×477。但整數的 50 次方，每個質因數的次數都是 50 的倍數，7 不是，矛盾。
第 28 題設 x+y=p，2x−y=q，p、q 都是有理數。兩式相加：3x=p+q，所以 x=3p+q。有理數相加、再除以不為 0 的有理數 3，結果仍是有理數，所以 x 是有理數。再由 y=p−x，有理數減有理數仍是有理數，所以 y 也是有理數。故 x、y 均為有理數。
也可以照有理數的定義寫：設 x+y=ab，2x−y=cd（a、b、c、d 為整數，a=0、c=0），解得 x=3acbc+ad，y=3ac2bc−ad，分子、分母都是整數且分母不為 0，所以都是有理數。
有理數做加、減、乘、除（除數不為 0）還是有理數；要證某數是有理數，就把它寫成已知有理數的四則運算。
同一次段考的其他學校
同樣是高一第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。
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上傳考卷常見問題
臺南二中 110 上 高一第一次段考數學的答案在哪裡？
本頁列出全部 28 題的答案，是非題 10 題附對錯一覽；答案由御藍教育逐題重新計算。
臺南二中 110 上 高一第一次段考數學哪幾題最容易錯？
第 1 題的兩個循環小數相加恰好等於 10，不是小於 10；第 8 題數值相等但不是科學記號的形式；第 14 題要先判斷 P 在 A 的左邊；第 15 題的 a 是負數，要用兩個端點列式；第 16 題兩個條件要分開解再取共同的整數；第 25 題不能把兩個括號分別用算幾不等式再相乘。詳解逐題寫在本頁。
我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？
可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。
這份段考卷可以下載列印嗎？
可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。
題目取自臺南二中 110 學年度上學期 高一第一次段考 數學，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。
