段考詳解範圍：函數的極限與連續、勘根定理、多項式函數的導數與導函數（二階導函數、切線方程式、遞增遞減、極值與最大最小值、凹凸性與反曲點、三次函數的圖形與對稱中心）

臺南二中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多選 4 題各 6 分、填充 12 格各 5 分、問答 1 題 4 格（2、2、1、1 分）、繪圖 2 小題（8、2 分），共 100 分。第 5～16 題為原卷填充題，第 17～20 題為問答題四格，第 21、22 題為繪圖題；第 21 題學校未給標準圖，本頁的圖由本站繪製。答案已與學校公布的答案逐題核對。第 11 題學校答案只列一條切線，本頁列出兩條。

一.多重選擇題：( 每題 6 分，答錯一個選項得 4 分，答錯二個選項得 2 分，答錯 3 個選項以上或不作答不給分 )

關於函數的極限，下列各選項哪些為正確？

(A) 若 $x \to a lim f (x) = L$ ，則 $a$ 必屬於 $f (x)$ 之定義域（ $L$ 為一定實數）
(B) 若 $x \to a lim f (x) = L$ ，則 $L = f (a)$ （ $L$ 為一定實數）
(C) 若 $f (a)$ 有意義，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$
(D) 若 $f (x)$ 為一多項函數，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$
(E) 設 $x \to a^{+} lim f (x)$ 存在，且 $x \to a^{-} lim f (x)$ 存在，則 $x \to a lim f (x)$ 存在

下列敘述哪些為真？

(A) 若 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續
(B) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續，則 $x \to a lim f (x)$ 存在
(C) 若 $x \to a lim f (x) = f (a)$ ，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續
(D) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$
(E) 若 $f (a)$ 存在，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$

設

f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 18 x - 10

，則

f (x) = 0

在下列區間必有實根？

(A) $(- \infty, 0)$
(B) $(0, 1)$
(C) $(1, 2)$
(D) $(2, 5)$
(E) $(5, \infty)$

下圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，其中黑點為反曲點。選出正確的選項。

(A) $a > 0$
(B) $b > 0$
(C) $c > 0$
(D) $d > 0$
(E) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

二.填充題：每格 5 分

填充第 1 題（第 5～8 題）　求下列極限值

(1)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 5}{x - 1} =

____

(2)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x - 5}{x - 2} =

____

(3)

x \to - 3 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x + 3} =

____

(4)

x \to 2 lim \frac{x ^{10} - 2 ^{10}}{x - 2} =

____

設

x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x + 2} = - 1

，則數對

(a, b) =

____。

設函數

f (x) = 3 x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8

，求

f^{''} (x) =

____。

求過函數

f (x) = x^{3} - x

上一點

P (2, 6)

的切線方程式為 ____。

已知函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} - b x + 1

，且

f (x)

在

x = - 1

與

x = 3

處有極值，求數對

(a, b)

。

在坐標平面上，假設有一高牆的邊界是函數

f (x) = - x^{2} + 9

(- 3 \leq x \leq 3)

的圖形，甲站在點

(0, 10)

處，乙從原點向東走，問乙至少要走 ____ 單位長才會看到甲？

載入中...

如圖，於一邊長

20

公分的正方形硬紙板，從四個角各截去邊長

x

公分的小正方形，以便摺起而成一個無蓋的紙盒，則當紙盒容積最大時，

x =

____。

載入中...

若函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 3

圖形的反曲點為

(- 1, 2)

，則數對

(a, b) =

____。

設

y = f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1

，

- 3 \leq x \leq 3

，令函數

f (x)

之最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

三.問答題：

問答題（第 17～20 題）　下圖為多項式函數

f (x)

在閉區間

[- 4, 6]

的圖形，則

f (x)

的極大值為 ____（2 分）

載入中...

極小值為 ____（2 分）

最大值為 ____（1 分）

最小值為 ____（1 分）

四.繪圖題：

1. 描繪函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1

之圖形。（8 分）

2. 求函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1

之對稱中心。（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)(C)(D)

第 3 題(B)(D)

第 4 題(A)(B)(C)(E)

第 5 題

9

第 6 題不存在

第 7 題

- 4

第 8 題

5120

第 9 題

(3, 2)

第 10 題

36 x^{2} + 6 x - 4

第 11 題

y = 11 x - 16

或

y = 2 x + 2

（學校答案只列

y - 6 = 11 (x - 2)

）

第 12 題

(- 3, 9)

第 13 題

5

第 14 題

\frac{10}{3}

第 15 題

(3, - 3)

第 16 題

(46, - 6)

第 17 題

5

、

3

、

- 1

第 18 題

1

、

- 3

、

- 2

第 19 題

5

第 20 題

- 3

第 21 題圖形見詳解（極大點

(0, - 1)

、極小點

(2, - 5)

、反曲點

(1, - 3)

）

第 22 題

(1, - 3)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題（第 1、2 題）：極限與連續的觀念

第 1 題

答案 (D)。 $x \to a lim f (x)$ 只看 $x$ 很靠近 $a$ （但 $x \neq = a$ ）時 $f (x)$ 的趨勢，與 $f (a)$ 有沒有定義、等於多少無關。

(A) 錯誤。 反例 $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ， $a = 1$ ： $x \neq = 1$ 時 $f (x) = x + 1$ ， $x \to 1 lim f (x) = 2$ ，但 $1$ 不在定義域內。

(B) 錯誤。 反例： $x \neq = 0$ 時 $f (x) = x$ ，而 $f (0) = 5$ 。 $x \to 0 lim f (x) = 0 \neq = f (0)$ 。

(D) 正確。 多項式函數處處連續，可以直接代入： $x \to a lim f (x) = f (a)$ 。

(E) 錯誤。 左、右極限都存在但不相等時，極限不存在。反例： $x \geq 0$ 時 $f (x) = 1$ ， $x < 0$ 時 $f (x) = - 1$ ， $a = 0$ ：右極限 $1$ 、左極限 $- 1$ ， $x \to 0 lim f (x)$ 不存在。

(E) 少了「兩者相等」這個條件；左右極限都存在且相等，極限才存在。

第 2 題

答案 (B)(C)(D)。 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續的定義是： $x \to a lim f (x)$ 存在、 $f (a)$ 有定義，而且兩者相等，也就是 $x \to a lim f (x) = f (a)$ 。

(A) 錯誤。 反例： $x \neq = 0$ 時 $f (x) = x$ ， $f (0) = 5$ 。極限存在（等於 $0$ ），但不等於 $f (0)$ ，不連續。

(B) 正確。 連續就包含「極限存在」。

(D) 正確。 也是連續的定義，與 (C) 互為逆敘述，兩個方向都對。

(E) 錯誤。 同 (A) 的反例： $f (0) = 5$ 存在，但 $x \to 0 lim f (x) = 0 \neq = f (0)$ 。

「極限存在」「函數值有定義」「兩者相等」三件事缺一不可；只有一件成立都推不出連續。

極限只看 a 的附近、不看 a 本身；連續就是極限等於函數值。多項式函數處處連續，求極限可以直接代入。

02多選第 3、4 題（第 3、4 題）：勘根定理與由圖形判斷係數

第 3 題

答案 (B)(D)。 $f (x)$ 是多項式函數，處處連續，可以用勘根定理。先算幾個函數值：

$f (0) = - 10$ ， $f (1) = 1 - 8 + 18 - 10 = 1$ ， $f (2) = 8 - 32 + 36 - 10 = 2$ ， $f (3) = 27 - 72 + 54 - 10 = - 1$ ， $f (5) = 125 - 200 + 90 - 10 = 5$ 。

$f (0) < 0 < f (1)$ ，所以 $(0, 1)$ 內有實根； $f (2) > 0 > f (3)$ ， $(2, 3)$ 內有實根； $f (3) < 0 < f (5)$ ， $(3, 5)$ 內有實根。三次方程式最多 $3$ 個實根，這三個已經找到，所以實根恰好就是這三個，其他區間都沒有實根。

(A) 錯誤。 三個實根分別在 $(0, 1)$ 、 $(2, 3)$ 、 $(3, 5)$ 內，沒有負根。（也可以直接看： $x < 0$ 時 $x^{3}$ 、 $- 8 x^{2}$ 、 $18 x$ 、 $- 10$ 都是負的， $f (x) < 0$ 。）

(B) 正確。 $f (0)$ 與 $f (1)$ 異號。

(D) 正確。 $(2, 5)$ 內有兩個實根（在 $(2, 3)$ 與 $(3, 5)$ 內各一個）。

(E) 錯誤。 三個實根都小於 $5$ 。

f (2)

與

f (5)

同號，只看兩端點看不出

(2, 5)

內有根；要再找中間的

f (3) < 0

。反過來，兩端同號也不代表沒有根，所以 (C)、(E) 要靠「最多三個根」來排除。

第 4 題

答案 (A)(B)(C)(E)。 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 。由圖： $x$ 很大時圖形往上、有一個極大點與一個極小點且都在 $y$ 軸左側、反曲點在 $y$ 軸左側、圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方。

(A) 正確。 $x$ 往右越來越大時 $f (x)$ 也往上越來越大，最高次項係數 $a > 0$ 。

(B) 正確。 反曲點的 $x$ 坐標是 $f^{''} (x) = 0$ 的解 $- \frac{b}{3 a}$ ，圖上它小於 $0$ ，又 $a > 0$ ，所以 $b > 0$ 。

(D) 錯誤。 $d = f (0)$ ，圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方， $d < 0$ 。

(E) 正確。 圖形有極大值與極小值， $f^{'} (x) = 0$ 有兩個相異實根，判別式 $(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) > 0$ ，所以 $b^{2} - 3 a c > 0$ 。

x

坐標都是負數，它們是

f^{'} (x) = 0

的兩根，兩根的積

\frac{c}{3 a} > 0

，又

a > 0

，所以

c > 0

。

勘根定理只說「異號必有根」，同號不代表沒有根；看三次函數圖形：最高次項係數看右端、反曲點位置看負 b 除以 3a、y 截距看 d、有沒有極值看 b 平方減 3ac。

03填充第 1、2 題（第 5～9 題）：求極限與由極限反求係數

第 5 題分母

x - 1

在

x = 2

不為

0

，直接代入：

\frac{4 + 5}{2 - 1} = 9

。

第 6 題

x \to 2

時分母

x - 2 \to 0

，分子

x^{2} + x - 5 \to 4 + 2 - 5 = 1 \neq = 0

。分子趨近

1

、分母趨近

0

，商的絕對值會無限變大（

x \to 2^{+}

時趨向正無限大，

x \to 2^{-}

時趨向負無限大），所以極限不存在。

第 7 題代入

x = - 3

分子分母都是

0

，先因式分解約去公因式：

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

。

x \neq = - 3

時

\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x + 3} = x - 1

，所以極限為

- 3 - 1 = - 4

。

第 8 題利用

x^{10} - 2^{10} = (x - 2) (x^{9} + 2 x^{8} + 2^{2} x^{7} + \dots + 2^{8} x + 2^{9})

，

x \neq = 2

時約去

x - 2

，得

x \to 2 lim (x^{9} + 2 x^{8} + \dots + 2^{9}) = 10 項 2^{9} + 2^{9} + \dots + 2^{9} = 10 \times 512 = 5120

也可以看成

g (x) = x^{10}

在

x = 2

的導數：由導數的定義，這個極限等於

g^{'} (2) = 10 \times 2^{9} = 5120

。

第 9 題

x \to - 2

時分母

x + 2 \to 0

，而極限存在，所以分子也要趨近

0

：

4 - 2 a + b = 0

，

b = 2 a - 4

。於是分子

x^{2} + a x + 2 a - 4 = (x + 2) (x + a - 2)

（展開可驗證），約去

x + 2

：

x \to - 2 lim (x + a - 2) = a - 4 = - 1

得

a = 3

，

b = 2

，

(a, b) = (3, 2)

。

檢查：

\frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x + 2} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{x + 2} = x + 1

，

x \to - 2

時趨近

- 1

。

求分式的極限：分母不趨近 0 就直接代入；分母趨近 0 而分子不趨近 0，極限不存在；兩者都趨近 0，先因式分解約掉。

04填充第 3、4、6 題（第 10、11、13 題）：導函數與切線

第 10 題

f^{'} (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4

，再微分一次：

f^{''} (x) = 36 x^{2} + 6 x - 4

。

第 11 題

$f (2) = 8 - 2 = 6$ ， $P (2, 6)$ 在圖形上。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$ ， $f^{'} (2) = 11$ ，以 $P$ 為切點的切線為 $y - 6 = 11 (x - 2)$ ，即 $y = 11 x - 16$ 。這是學校答案列的那一條。

不過「過 $P$ 的切線」嚴格說是「通過 $P$ 而與圖形相切的直線」，切點不一定是 $P$ 。設切點 $(t, t^{3} - t)$ ，切線 $y = (3 t^{2} - 1) (x - t) + t^{3} - t$ ，即 $y = (3 t^{2} - 1) x - 2 t^{3}$ 。通過 $P (2, 6)$ ： $6 = 2 (3 t^{2} - 1) - 2 t^{3}$ ，整理得 $t^{3} - 3 t^{2} + 4 = 0$ ， $(t - 2)^{2} (t + 1) = 0$ ， $t = 2$ 或 $t = - 1$ 。 $t = - 1$ 時切點 $(- 1, 0)$ ，斜率 $f^{'} (- 1) = 2$ ，切線 $y = 2 x + 2$ ，它也通過 $P (2, 6)$ 。所以過 $P$ 的切線有 $y = 11 x - 16$ 與 $y = 2 x + 2$ 兩條。

學校答案只列以

P

為切點的

y - 6 = 11 (x - 2)

。

t = 2

是二重根，正好對應

P

自己是切點的情形。

第 13 題

乙要看到甲，視線（乙到甲的線段）不能被高牆擋住。乙走得越遠視線越低平，剛好看到甲時，視線與牆的邊界相切（如圖中的虛線）。

設切點為 $(s, - s^{2} + 9)$ ， $0 < s \leq 3$ 。 $f^{'} (x) = - 2 x$ ，切線斜率 $- 2 s$ ，切線為 $y = - 2 s (x - s) - s^{2} + 9 = - 2 s x + s^{2} + 9$ 。切線通過甲 $(0, 10)$ ： $s^{2} + 9 = 10$ ， $s = 1$ 。切線為 $y = - 2 x + 10$ ，與 $x$ 軸交於 $(5, 0)$ 。

乙在 $(5, 0)$ 時視線剛好擦過牆在 $(1, 8)$ 的那一點；乙在 $(5, 0)$ 的左邊時視線被牆擋住。所以乙至少要走 $5$ 單位長。

切點

(1, 8)

在

- 3 \leq x \leq 3

內，確實在牆上。圖上乙的位置是示意，不是照實際比例畫的。

過一點的切線先設切點：寫出切點處的切線，再代入那一點解切點；給的點在圖形上時，它不一定是唯一的切點。

05填充第 5、7、8、9 題（第 12、14、15、16 題）：極值、反曲點與最大最小值

第 12 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x - b

。多項式函數在

x = - 1

、

x = 3

有極值，所以

f^{'} (- 1) = 0

、

f^{'} (3) = 0

，

f^{'} (x)

的兩根就是

- 1

與

3

，

f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 3) = 3 x^{2} - 6 x - 9

。比較係數：

2 a = - 6

，

- b = - 9

，

(a, b) = (- 3, 9)

。

檢查：

f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 3)

在

x = - 1

由正變負、在

x = 3

由負變正，兩處確實都有極值。

第 14 題截角後摺成的紙盒，底是邊長

20 - 2 x

的正方形，高是

x

，

0 < x < 10

。容積

V (x) = x (20 - 2 x)^{2} = 4 x^{3} - 80 x^{2} + 400 x

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 160 x + 400 = 4 (3 x^{2} - 40 x + 100) = 4 (3 x - 10) (x - 10)

。在

0 < x < 10

內，

V^{'} (x) = 0

只有

x = \frac{10}{3}

；

0 < x < \frac{10}{3}

時

V^{'} (x) > 0

，

\frac{10}{3} < x < 10

時

V^{'} (x) < 0

，所以

x = \frac{10}{3}

時容積最大。

最大容積

V (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \times (\frac{40}{3})^{2} = \frac{16000}{27}

立方公分。圖上截角的大小是示意，不是照實際比例畫的。

第 15 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

，

f^{''} (x) = 6 x + 2 a

。反曲點的

x

坐標是

f^{''} (x) = 0

的解：

- 6 + 2 a = 0

，

a = 3

。反曲點

(- 1, 2)

在圖形上：

f (- 1) = - 1 + a - b - 3 = 2

，代入

a = 3

得

- 1 - b = 2

，

b = - 3

。

(a, b) = (3, - 3)

。

檢查：

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 3

，

f (- 1) = - 1 + 3 + 3 - 3 = 2

；

f^{''} (x) = 6 x + 6

在

x = - 1

兩側異號。

第 16 題

$f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 = 6 (x + 2) (x - 1)$ ，在 $[- 3, 3]$ 內 $f^{'} (x) = 0$ 的點是 $x = - 2$ 與 $x = 1$ 。閉區間上的最大最小值出現在這些點或端點，逐一計算：

$f (- 3) = - 54 + 27 + 36 + 1 = 10$ ， $f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1 = 21$ ， $f (1) = 2 + 3 - 12 + 1 = - 6$ ， $f (3) = 54 + 27 - 36 + 1 = 46$ 。

最大值 $M = 46$ （在端點 $x = 3$ ），最小值 $m = - 6$ ， $(M, m) = (46, - 6)$ 。

極大值

f (- 2) = 21

不是最大值；右端點

x = 3

的函數值更大，端點一定要算。

極值點給 f′＝0、反曲點給 f″＝0 與函數值；閉區間上的最大最小值，把 f′＝0 的點和兩個端點的函數值都算出來比較。

06問答題（第 17～20 題）：由圖形讀極值與最大最小值

第 17 題極大值是「在那一點附近（且在定義域內）函數值最大」的值。圖上

D (2, 3)

、

F (5, - 1)

兩側附近的函數值都比它小，是極大值。在閉區間上，端點也算極值：在定義域

[- 4, 6]

內，

A (- 4, 5)

右側附近的函數值都比

5

小，所以

f (- 4) = 5

也是極大值。極大值為

5

、

3

、

- 1

。

有的課本定義極值時要求那一點的左右兩側都在定義域內，照那種定義端點不算，極大值只有

3

、

- 1

。

第 18 題同樣的看法：

C (- 1, 1)

、

E (4, - 3)

兩側附近的函數值都比它大，是極小值；端點

B (6, - 2)

左側附近（從

F

往

B

一路下降）的函數值都比

- 2

大，所以

f (6) = - 2

也是極小值（閉區間端點也算極值）。極小值為

1

、

- 3

、

- 2

。

若端點不算極值，極小值只有

1

、

- 3

。

第 19 題最大值要和整個區間

[- 4, 6]

上所有的函數值比。候選是極大值與端點值：

5

、

3

、

- 1

、

- 2

，最大的是

f (- 4) = 5

。最大值為

5

。

第 20 題候選是極小值與端點值：

5

、

1

、

- 3

、

- 2

，最小的是

f (4) = - 3

。最小值為

- 3

。

最大值出現在端點

A

，不是在極大點

D

；讀圖找最大最小值時，端點的函數值要一起比較。

極值只和附近比，最大最小值要和整段區間比；閉區間上的最大最小值，候選一定包含兩個端點。

07繪圖題（第 21、22 題）：描繪三次函數的圖形與對稱中心

第 21 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ ， $f^{''} (x) = 6 x - 6 = 6 (x - 1)$ 。

增減： $x < 0$ 或 $x > 2$ 時 $f^{'} (x) > 0$ ，遞增； $0 < x < 2$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ，遞減。所以 $x = 0$ 有極大值 $f (0) = - 1$ ， $x = 2$ 有極小值 $f (2) = 8 - 12 - 1 = - 5$ 。

凹凸： $x < 1$ 時 $f^{''} (x) < 0$ ，凹口向下； $x > 1$ 時 $f^{''} (x) > 0$ ，凹口向上。反曲點為 $(1, f (1)) = (1, - 3)$ 。

與兩軸的交點： $y$ 截距 $f (0) = - 1$ 。極大值 $- 1$ 已經小於 $0$ ，所以 $x \leq 2$ 時圖形都在 $x$ 軸下方； $x > 2$ 時 $f (x)$ 遞增， $f (3) = 27 - 27 - 1 = - 1 < 0$ ， $f (4) = 64 - 48 - 1 = 15 > 0$ ，圖形只與 $x$ 軸交一次，交點在 $3$ 與 $4$ 之間。

把極大點 $(0, - 1)$ 、反曲點 $(1, - 3)$ 、極小點 $(2, - 5)$ 與輔助點 $(- 1, - 5)$ 、 $(3, - 1)$ 描出，依增減與凹凸連成平滑曲線，如下圖。

載入中...

f (- 1) = - 1 - 3 - 1 = - 5

與極小值相同，

f (3) = - 1

與極大值相同，兩點正好對稱於反曲點

(1, - 3)

，可以用來檢查畫得對不對。學校答案卷這一題由閱卷老師斟酌給分，沒有標準圖。

第 22 題

三次函數的圖形對稱於它的反曲點。由上一題，反曲點為 $(1, - 3)$ ，所以對稱中心為 $(1, - 3)$ 。

驗證： $f (1 + h) = (1 + h)^{3} - 3 (1 + h)^{2} - 1 = h^{3} - 3 h - 3$ ， $f (1 - h) = - h^{3} + 3 h - 3$ ，兩者相加 $= - 6 = 2 \times (- 3)$ ，所以圖形上與 $(1, - 3)$ 對稱的兩點都在圖形上。

描繪三次函數：f′ 的正負決定增減與極值，f″ 的正負決定凹凸與反曲點，再補上截距與幾個輔助點；三次函數的圖形對稱於反曲點。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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常見問題

臺南二中 111 上高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 111 上高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 3 題的 (2,5) 兩端點函數值同號，要找出中間的 f(3) 為負才看得出有根，其他區間要靠三次方程式最多三個實根來排除；多選第 4 題的 c 要看圖形在 y 軸上是上升的；填充第 4 題過 P 的切線有兩條，學校答案只列一條；問答題閉區間端點也算極值，最大值出現在端點。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

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題目取自臺南二中 111 學年度上學期高三第二次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

臺南二中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

一.多重選擇題：( 每題 6 分，答錯一個選項得 4 分，答錯二個選項得 2 分，答錯 3 個選項以上或不作答不給分 )

關於函數的極限，下列各選項哪些為正確？

(A) 若 $x \to a lim f (x) = L$ ，則 $a$ 必屬於 $f (x)$ 之定義域（ $L$ 為一定實數）
(B) 若 $x \to a lim f (x) = L$ ，則 $L = f (a)$ （ $L$ 為一定實數）
(C) 若 $f (a)$ 有意義，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$
(D) 若 $f (x)$ 為一多項函數，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$
(E) 設 $x \to a^{+} lim f (x)$ 存在，且 $x \to a^{-} lim f (x)$ 存在，則 $x \to a lim f (x)$ 存在

下列敘述哪些為真？

(A) 若 $x \to a lim f (x)$ 存在，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續
(B) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續，則 $x \to a lim f (x)$ 存在
(C) 若 $x \to a lim f (x) = f (a)$ ，則 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續
(D) 若 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$
(E) 若 $f (a)$ 存在，則 $x \to a lim f (x) = f (a)$

設

f (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 18 x - 10

，則

f (x) = 0

在下列區間必有實根？

(A) $(- \infty, 0)$
(B) $(0, 1)$
(C) $(1, 2)$
(D) $(2, 5)$
(E) $(5, \infty)$

下圖為三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

的圖形，其中黑點為反曲點。選出正確的選項。

(A) $a > 0$
(B) $b > 0$
(C) $c > 0$
(D) $d > 0$
(E) $b^{2} - 3 a c > 0$

載入中...

二.填充題：每格 5 分

填充第 1 題（第 5～8 題）　求下列極限值

(1)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 5}{x - 1} =

____

(2)

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + x - 5}{x - 2} =

____

(3)

x \to - 3 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x + 3} =

____

(4)

x \to 2 lim \frac{x ^{10} - 2 ^{10}}{x - 2} =

____

設

x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x + 2} = - 1

，則數對

(a, b) =

____。

設函數

f (x) = 3 x^{4} + x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8

，求

f^{''} (x) =

____。

求過函數

f (x) = x^{3} - x

上一點

P (2, 6)

的切線方程式為 ____。

已知函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} - b x + 1

，且

f (x)

在

x = - 1

與

x = 3

處有極值，求數對

(a, b)

。

在坐標平面上，假設有一高牆的邊界是函數

f (x) = - x^{2} + 9

(- 3 \leq x \leq 3)

的圖形，甲站在點

(0, 10)

處，乙從原點向東走，問乙至少要走 ____ 單位長才會看到甲？

載入中...

如圖，於一邊長

20

公分的正方形硬紙板，從四個角各截去邊長

x

公分的小正方形，以便摺起而成一個無蓋的紙盒，則當紙盒容積最大時，

x =

____。

載入中...

若函數

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 3

圖形的反曲點為

(- 1, 2)

，則數對

(a, b) =

____。

設

y = f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1

，

- 3 \leq x \leq 3

，令函數

f (x)

之最大值為

M

，最小值為

m

，則數對

(M, m) =

____。

三.問答題：

問答題（第 17～20 題）　下圖為多項式函數

f (x)

在閉區間

[- 4, 6]

的圖形，則

f (x)

的極大值為 ____（2 分）

載入中...

極小值為 ____（2 分）

最大值為 ____（1 分）

最小值為 ____（1 分）

四.繪圖題：

1. 描繪函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1

之圖形。（8 分）

2. 求函數

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1

之對稱中心。（2 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(D)

第 2 題(B)(C)(D)

第 3 題(B)(D)

第 4 題(A)(B)(C)(E)

第 5 題

9

第 6 題不存在

第 7 題

- 4

第 8 題

5120

第 9 題

(3, 2)

第 10 題

36 x^{2} + 6 x - 4

第 11 題

y = 11 x - 16

或

y = 2 x + 2

（學校答案只列

y - 6 = 11 (x - 2)

）

第 12 題

(- 3, 9)

第 13 題

5

第 14 題

\frac{10}{3}

第 15 題

(3, - 3)

第 16 題

(46, - 6)

第 17 題

5

、

3

、

- 1

第 18 題

1

、

- 3

、

- 2

第 19 題

5

第 20 題

- 3

第 21 題圖形見詳解（極大點

(0, - 1)

、極小點

(2, - 5)

、反曲點

(1, - 3)

）

第 22 題

(1, - 3)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題（第 1、2 題）：極限與連續的觀念

第 1 題

答案 (D)。 $x \to a lim f (x)$ 只看 $x$ 很靠近 $a$ （但 $x \neq = a$ ）時 $f (x)$ 的趨勢，與 $f (a)$ 有沒有定義、等於多少無關。

(A) 錯誤。 反例 $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ， $a = 1$ ： $x \neq = 1$ 時 $f (x) = x + 1$ ， $x \to 1 lim f (x) = 2$ ，但 $1$ 不在定義域內。

(B) 錯誤。 反例： $x \neq = 0$ 時 $f (x) = x$ ，而 $f (0) = 5$ 。 $x \to 0 lim f (x) = 0 \neq = f (0)$ 。

(D) 正確。 多項式函數處處連續，可以直接代入： $x \to a lim f (x) = f (a)$ 。

(E) 少了「兩者相等」這個條件；左右極限都存在且相等，極限才存在。

第 2 題

答案 (B)(C)(D)。 $f (x)$ 在 $x = a$ 連續的定義是： $x \to a lim f (x)$ 存在、 $f (a)$ 有定義，而且兩者相等，也就是 $x \to a lim f (x) = f (a)$ 。

(A) 錯誤。 反例： $x \neq = 0$ 時 $f (x) = x$ ， $f (0) = 5$ 。極限存在（等於 $0$ ），但不等於 $f (0)$ ，不連續。

(B) 正確。 連續就包含「極限存在」。

(D) 正確。 也是連續的定義，與 (C) 互為逆敘述，兩個方向都對。

(E) 錯誤。 同 (A) 的反例： $f (0) = 5$ 存在，但 $x \to 0 lim f (x) = 0 \neq = f (0)$ 。

「極限存在」「函數值有定義」「兩者相等」三件事缺一不可；只有一件成立都推不出連續。

極限只看 a 的附近、不看 a 本身；連續就是極限等於函數值。多項式函數處處連續，求極限可以直接代入。

02多選第 3、4 題（第 3、4 題）：勘根定理與由圖形判斷係數

第 3 題

答案 (B)(D)。 $f (x)$ 是多項式函數，處處連續，可以用勘根定理。先算幾個函數值：

$f (0) = - 10$ ， $f (1) = 1 - 8 + 18 - 10 = 1$ ， $f (2) = 8 - 32 + 36 - 10 = 2$ ， $f (3) = 27 - 72 + 54 - 10 = - 1$ ， $f (5) = 125 - 200 + 90 - 10 = 5$ 。

(B) 正確。 $f (0)$ 與 $f (1)$ 異號。

(D) 正確。 $(2, 5)$ 內有兩個實根（在 $(2, 3)$ 與 $(3, 5)$ 內各一個）。

(E) 錯誤。 三個實根都小於 $5$ 。

f (2)

與

f (5)

同號，只看兩端點看不出

(2, 5)

內有根；要再找中間的

f (3) < 0

。反過來，兩端同號也不代表沒有根，所以 (C)、(E) 要靠「最多三個根」來排除。

第 4 題

(A) 正確。 $x$ 往右越來越大時 $f (x)$ 也往上越來越大，最高次項係數 $a > 0$ 。

(B) 正確。 反曲點的 $x$ 坐標是 $f^{''} (x) = 0$ 的解 $- \frac{b}{3 a}$ ，圖上它小於 $0$ ，又 $a > 0$ ，所以 $b > 0$ 。

(D) 錯誤。 $d = f (0)$ ，圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方， $d < 0$ 。

(E) 正確。 圖形有極大值與極小值， $f^{'} (x) = 0$ 有兩個相異實根，判別式 $(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) > 0$ ，所以 $b^{2} - 3 a c > 0$ 。

x

坐標都是負數，它們是

f^{'} (x) = 0

的兩根，兩根的積

\frac{c}{3 a} > 0

，又

a > 0

，所以

c > 0

。

03填充第 1、2 題（第 5～9 題）：求極限與由極限反求係數

第 5 題分母

x - 1

在

x = 2

不為

0

，直接代入：

\frac{4 + 5}{2 - 1} = 9

。

第 6 題

x \to 2

時分母

x - 2 \to 0

，分子

x^{2} + x - 5 \to 4 + 2 - 5 = 1 \neq = 0

。分子趨近

1

、分母趨近

0

，商的絕對值會無限變大（

x \to 2^{+}

時趨向正無限大，

x \to 2^{-}

時趨向負無限大），所以極限不存在。

第 7 題代入

x = - 3

分子分母都是

0

，先因式分解約去公因式：

x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1)

。

x \neq = - 3

時

\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x + 3} = x - 1

，所以極限為

- 3 - 1 = - 4

。

第 8 題利用

x^{10} - 2^{10} = (x - 2) (x^{9} + 2 x^{8} + 2^{2} x^{7} + \dots + 2^{8} x + 2^{9})

，

x \neq = 2

時約去

x - 2

，得

x \to 2 lim (x^{9} + 2 x^{8} + \dots + 2^{9}) = 10 項 2^{9} + 2^{9} + \dots + 2^{9} = 10 \times 512 = 5120

也可以看成

g (x) = x^{10}

在

x = 2

的導數：由導數的定義，這個極限等於

g^{'} (2) = 10 \times 2^{9} = 5120

。

第 9 題

x \to - 2

時分母

x + 2 \to 0

，而極限存在，所以分子也要趨近

0

：

4 - 2 a + b = 0

，

b = 2 a - 4

。於是分子

x^{2} + a x + 2 a - 4 = (x + 2) (x + a - 2)

（展開可驗證），約去

x + 2

：

x \to - 2 lim (x + a - 2) = a - 4 = - 1

得

a = 3

，

b = 2

，

(a, b) = (3, 2)

。

檢查：

\frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x + 2} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{x + 2} = x + 1

，

x \to - 2

時趨近

- 1

。

求分式的極限：分母不趨近 0 就直接代入；分母趨近 0 而分子不趨近 0，極限不存在；兩者都趨近 0，先因式分解約掉。

04填充第 3、4、6 題（第 10、11、13 題）：導函數與切線

第 10 題

f^{'} (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 4

，再微分一次：

f^{''} (x) = 36 x^{2} + 6 x - 4

。

第 11 題

學校答案只列以

P

為切點的

y - 6 = 11 (x - 2)

。

t = 2

是二重根，正好對應

P

自己是切點的情形。

第 13 題

乙要看到甲，視線（乙到甲的線段）不能被高牆擋住。乙走得越遠視線越低平，剛好看到甲時，視線與牆的邊界相切（如圖中的虛線）。

乙在 $(5, 0)$ 時視線剛好擦過牆在 $(1, 8)$ 的那一點；乙在 $(5, 0)$ 的左邊時視線被牆擋住。所以乙至少要走 $5$ 單位長。

切點

(1, 8)

在

- 3 \leq x \leq 3

內，確實在牆上。圖上乙的位置是示意，不是照實際比例畫的。

過一點的切線先設切點：寫出切點處的切線，再代入那一點解切點；給的點在圖形上時，它不一定是唯一的切點。

05填充第 5、7、8、9 題（第 12、14、15、16 題）：極值、反曲點與最大最小值

第 12 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x - b

。多項式函數在

x = - 1

、

x = 3

有極值，所以

f^{'} (- 1) = 0

、

f^{'} (3) = 0

，

f^{'} (x)

的兩根就是

- 1

與

3

，

f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 3) = 3 x^{2} - 6 x - 9

。比較係數：

2 a = - 6

，

- b = - 9

，

(a, b) = (- 3, 9)

。

檢查：

f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 3)

在

x = - 1

由正變負、在

x = 3

由負變正，兩處確實都有極值。

第 14 題截角後摺成的紙盒，底是邊長

20 - 2 x

的正方形，高是

x

，

0 < x < 10

。容積

V (x) = x (20 - 2 x)^{2} = 4 x^{3} - 80 x^{2} + 400 x

V^{'} (x) = 12 x^{2} - 160 x + 400 = 4 (3 x^{2} - 40 x + 100) = 4 (3 x - 10) (x - 10)

。在

0 < x < 10

內，

V^{'} (x) = 0

只有

x = \frac{10}{3}

；

0 < x < \frac{10}{3}

時

V^{'} (x) > 0

，

\frac{10}{3} < x < 10

時

V^{'} (x) < 0

，所以

x = \frac{10}{3}

時容積最大。

最大容積

V (\frac{10}{3}) = \frac{10}{3} \times (\frac{40}{3})^{2} = \frac{16000}{27}

立方公分。圖上截角的大小是示意，不是照實際比例畫的。

第 15 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b

，

f^{''} (x) = 6 x + 2 a

。反曲點的

x

坐標是

f^{''} (x) = 0

的解：

- 6 + 2 a = 0

，

a = 3

。反曲點

(- 1, 2)

在圖形上：

f (- 1) = - 1 + a - b - 3 = 2

，代入

a = 3

得

- 1 - b = 2

，

b = - 3

。

(a, b) = (3, - 3)

。

檢查：

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 3

，

f (- 1) = - 1 + 3 + 3 - 3 = 2

；

f^{''} (x) = 6 x + 6

在

x = - 1

兩側異號。

第 16 題

$f (- 3) = - 54 + 27 + 36 + 1 = 10$ ， $f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1 = 21$ ， $f (1) = 2 + 3 - 12 + 1 = - 6$ ， $f (3) = 54 + 27 - 36 + 1 = 46$ 。

最大值 $M = 46$ （在端點 $x = 3$ ），最小值 $m = - 6$ ， $(M, m) = (46, - 6)$ 。

極大值

f (- 2) = 21

不是最大值；右端點

x = 3

的函數值更大，端點一定要算。

極值點給 f′＝0、反曲點給 f″＝0 與函數值；閉區間上的最大最小值，把 f′＝0 的點和兩個端點的函數值都算出來比較。

06問答題（第 17～20 題）：由圖形讀極值與最大最小值

第 17 題極大值是「在那一點附近（且在定義域內）函數值最大」的值。圖上

D (2, 3)

、

F (5, - 1)

兩側附近的函數值都比它小，是極大值。在閉區間上，端點也算極值：在定義域

[- 4, 6]

內，

A (- 4, 5)

右側附近的函數值都比

5

小，所以

f (- 4) = 5

也是極大值。極大值為

5

、

3

、

- 1

。

有的課本定義極值時要求那一點的左右兩側都在定義域內，照那種定義端點不算，極大值只有

3

、

- 1

。

第 18 題同樣的看法：

C (- 1, 1)

、

E (4, - 3)

兩側附近的函數值都比它大，是極小值；端點

B (6, - 2)

左側附近（從

F

往

B

一路下降）的函數值都比

- 2

大，所以

f (6) = - 2

也是極小值（閉區間端點也算極值）。極小值為

1

、

- 3

、

- 2

。

若端點不算極值，極小值只有

1

、

- 3

。

第 19 題最大值要和整個區間

[- 4, 6]

上所有的函數值比。候選是極大值與端點值：

5

、

3

、

- 1

、

- 2

，最大的是

f (- 4) = 5

。最大值為

5

。

第 20 題候選是極小值與端點值：

5

、

1

、

- 3

、

- 2

，最小的是

f (4) = - 3

。最小值為

- 3

。

最大值出現在端點

A

，不是在極大點

D

；讀圖找最大最小值時，端點的函數值要一起比較。

極值只和附近比，最大最小值要和整段區間比；閉區間上的最大最小值，候選一定包含兩個端點。

07繪圖題（第 21、22 題）：描繪三次函數的圖形與對稱中心

第 21 題

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ ， $f^{''} (x) = 6 x - 6 = 6 (x - 1)$ 。

凹凸： $x < 1$ 時 $f^{''} (x) < 0$ ，凹口向下； $x > 1$ 時 $f^{''} (x) > 0$ ，凹口向上。反曲點為 $(1, f (1)) = (1, - 3)$ 。

把極大點 $(0, - 1)$ 、反曲點 $(1, - 3)$ 、極小點 $(2, - 5)$ 與輔助點 $(- 1, - 5)$ 、 $(3, - 1)$ 描出，依增減與凹凸連成平滑曲線，如下圖。

載入中...

f (- 1) = - 1 - 3 - 1 = - 5

與極小值相同，

f (3) = - 1

與極大值相同，兩點正好對稱於反曲點

(1, - 3)

，可以用來檢查畫得對不對。學校答案卷這一題由閱卷老師斟酌給分，沒有標準圖。

第 22 題

三次函數的圖形對稱於它的反曲點。由上一題，反曲點為 $(1, - 3)$ ，所以對稱中心為 $(1, - 3)$ 。

描繪三次函數：f′ 的正負決定增減與極值，f″ 的正負決定凹凸與反曲點，再補上截距與幾個輔助點；三次函數的圖形對稱於反曲點。

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02多選第 3、4 題（第 3、4 題）：勘根定理與由圖形判斷係數

03填充第 1、2 題（第 5～9 題）：求極限與由極限反求係數

04填充第 3、4、6 題（第 10、11、13 題）：導函數與切線

05填充第 5、7、8、9 題（第 12、14、15、16 題）：極值、反曲點與最大最小值

06問答題（第 17～20 題）：由圖形讀極值與最大最小值

07繪圖題（第 21、22 題）：描繪三次函數的圖形與對稱中心

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