段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數及其圖形、對數與對數律、換底、對數函數及其圖形、指數與對數的應用）

臺南二中 110 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 110 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 110 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 2 題選項 E 要把三種實根個數都想到，1 個也可能出現；第一部分填充第 5 題（本頁第 7 題）底數除了大於 0 還不能等於 1；第二部分填充第 2 題（第 12 題）真數小於 1 時，底數越大對數值反而越接近 0；第二部分填充第 9 題（第 19 題）要比的是漲價後用團購與漲價前不用團購；計算第 1 題（第 21 題）在 0 與 1 之間還有一個交點，只找到大於 1 的那一個會少算。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 22 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 22 題，照原卷順序

多選題 2 題，每題 5 分，共 10 分；第一部分填充題 8 題，每題 4 分，共 32 分（原卷第一部分第 7 題，即本頁第 9 題，全對才給分）；第二部分填充題 10 題共 48 分，依答對格數給分（1 至 10 格依序為 7、13、19、25、30、35、39、43、46、48 分；原卷第二部分第 6 題，即本頁第 16 題，有兩解，錯一個給一半）；計算題 2 題，每題 5 分，共 10 分。本頁第 1～2 題是原卷多選題第 1～2 題，第 3～10 題是第一部分填充題第 1～8 題，第 11～20 題是第二部分填充題第 1～10 題，第 21～22 題是計算題第 1～2 題。卷頭附參考對數值 log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771，log 4 ≈ 0.6020，log 5 ≈ 0.6990，log 6 ≈ 0.7781，log 7 ≈ 0.8451，log 8 ≈ 0.9030，log 9 ≈ 0.9542。答案已與學校公布的答案逐題核對，22 題全部相同（多選題第 2 題，即本頁第 2 題，選項 E 另有一種讀法，見詳解）。

一、多選題（每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上或未作答得 0 分）

以下敘述何者正確？

(A) $lo g (3 + 7) = 1$
(B) $lo g_{- 3} 9 = 2$
(C) $lo g_{3} 5 = lo g_{27} 125$
(D) 若 $y = lo g_{2} x$ ，則 $x$ 、 $y$ 恆為正數
(E) 對所有的非零實數 $x$ ， $lo g x^{4} = 4 lo g x$

以下關於圖形的敘述，何者正確？

(A) 設對數函數 $f (x) = lo g_{a} x$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) < f (x_{2})$
(B) 指數函數 $f (x) = (\frac{1}{3})^{x}$ 與對數函數 $f (x) = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 的圖形對稱於直線 $y = x$
(C) 指數函數 $f (x) = 5^{x}$ 與二次函數 $f (x) = 3 x^{2} - x + 5$ 之圖形皆為凹口向上
(D) 對數函數 $f (x) = lo g_{2} x$ 向右平移 3 單位，得到的新圖形方程式為 $f (x) = lo g_{2} x - 3$
(E) $a$ 、 $b$ 為任意實數，方程式 $lo g_{2} ∣ x ∣ = a x + b$ 之實根個數可能為 2 個或 3 個

二、第一部分填充題（每題 4 分，共 32 分）

8^{l o g_{2} 3} =

____

\frac{lo g _{16} 243}{lo g _{\frac{1}{8}} 9 3} =

____

lo g_{2} (lo g_{9} 3) =

____

\frac{1}{lo g _{4} 10} + \frac{2}{lo g _{5} 10} =

____

lo g_{(x - 1)} (4 - x)

有意義，求

x

的範圍 ____

(\frac{1}{5})^{l o g x} > \frac{1}{25}

，求

x

的範圍 ____

3^{100}

為

a

位數，且最高位數字為

b

，則數對

(a, b) =

____

(lo g_{2} 5 + lo g_{4} \frac{1}{5}) (lo g_{5} 2 + lo g_{25} \frac{1}{2}) =

____

三、第二部分填充題（共 48 分，配分照下表）

lo g_{6} (\frac{4 27}{8})^{- \frac{2}{3}} \times 3 + lo g_{\frac{2}{5}} (0.8)^{3} - 5^{l o g_{5} (- \frac{9}{4} l o g_{6} 3)} =

____

設

a = lo g_{2} 7

、

b = lo g_{3} 7

、

c = lo g_{2} \frac{3}{5}

、

d = lo g_{3} \frac{3}{5}

，比較

a

、

b

、

c

、

d

之大小 ____

設

lo g_{3} 7 = a

，

lo g_{7} 2 = b

，以

a

、

b

表示

lo g_{56} 84 =

____

直線

L

：

y = - x + 3

與指數函數

f (x) = 3^{x}

、對數函數

f (x) = lo g_{3} x

分別交於

A

、

B

兩點，

A

點之

x

座標為

a

，

B

點之

x

座標為

b

，求

a + b =

____

設對數函數

f (x) = lo g_{2} x

的圖形上有兩點

A (a, lo g_{2} a)

、

B (b, lo g_{2} b)

，已知

\overline{A B}

中點為

(\frac{9}{4}, \frac{1}{2})

，試求直線

\overline{A B}

斜率為 ____

解方程式

4^{x} - 7 \times 2^{x} + 12 = 0

，

x =

____

西元前 150 年，古希臘天文學家希巴卡斯(Hipparchus)編製了一份星表，將 1022 顆恆星，依據亮度劃分為六個等級，又由托勒密(Ptolemy)繼承其概念，將恆星亮度分為六個星等，按此方式定義出之星等稱為「視星等」。但視星等的大小不僅受恆星本身光度強弱影響，還取決於距離地球的遠近，故天文學家將所有星體均置於同一距離比較其亮度，稱為「絕對星等」。恆星的視星等

m

與絕對星等

M

的關係，可用下式表示：

M = m + 5 - 5 lo g d

（

d

代表恆星與地球的距離，以秒差距為單位，換算方式為 1 秒差距＝3.26 光年）若有兩顆絕對星等相同之恆星

A

與

B

，恆星

A

與地球的距離為 978 光年，恆星

B

與地球的距離為 652 光年，則恆星

A

與恆星

B

之「視星等」相差 ____ 等。（四捨五入至小數點後第二位）

手持裝置的改變，大大影響了人類的生活與聯繫方式，尤以手機為甚。從幾十年前的黑金剛，縮小到 Nokia3310，接著開始進化出現折疊、彩色螢幕，最後發展出智慧型手機。我們現在使用的手機能夠擁有如此多樣性的功能，與半導體在晶片的製程上有極密切的關聯性。在半導體產業中，Intel 的共同創辦人 Gordon Moore 在 1975 年提出了「摩爾定律」(Moore's Law)，描述電晶體數量成長速度的觀察。「摩爾定律」指一個尺寸相同的晶片上，容納的電晶體數量因製程技術的提升，每十八個月會加倍。依據摩爾定律的推論，某種晶片容納的電晶體數量若由 1,000 個成長為 16,384,000 個，需經過 ____ 年。

因新冠疫情造成原物料和運費成本大漲，速食龍頭麥當當日前宣布漲價，為了避免客人流失，在漲價的同時，同步推出許多不同方案的優惠，包含部分商品買一送一、套餐飲料免費升級、專屬振興優惠券…等活動，其中包含團購方案「凡購買同樣的套餐

X

組，餐費總金額以原始總價乘以

(0.98)^{X}

計算」，例如有兩人購買同樣的 100 元麥香雞套餐，則餐費總額為

200 \times (0.98)^{2}

元。已知此次漲價，所有套餐皆調漲 30 元，若今天止於至善有限公司恰逢週年慶期間，有 10 位員工晚上欲加班，揪團購買麥當當套餐，為求效率，由主揪統一點相同套餐，試問使用團購方案並點新菜單上 ____ 元以上的套餐，才會比漲價之前划算。（註①：

1 0^{0.912} \approx 8.2

　註②：菜單上的價格皆為正整數）

台南咿中 109 學年度高三應屆畢業生考上頂大的比例近 50%；台南痾中 109 學年度高三應屆畢業生考上頂大的比例約 7%。(此處頂大範圍包含有：台大、清華、交通、成大、政大與醫科) 咿中與痾中因為地緣、歷史關係，有著緊密的關聯性，兩校的同學也不時以在對方黑特版上互酸互嗆的方式培養感情。有一天，阿絮滑到了一篇挑釁文：（本站補註：原卷此處附一張黑特版貼文的截圖，貼文寫著「唉你們痾中真可憐都沒有強的人說什麼校排前面的能上頂大原來那個也叫頂大啊可憐果然還是我偉大的台南咿中厲害！雖然大家都說痾中的比較帥但我個人覺得啦咿中才是最帥的」）不服氣的她心想：「ㄏㄏ，以為是我不會讀書？不是我不會，只是我不想，怕考太好讓你們無地自容！」阿絮徹底被激怒，決定發憤圖強，站出來帶領痾中重返榮耀！往後的每週三，阿絮都在升旗時，在台上慷慨激昂的帶領全校大喊：『台南痾中，重返榮耀！』在熱血的氛圍鼓動激勵之下，痾中的同學果真開始有顯著的進步，每一年考上頂大的人數都比前一年增加 10%，同時，咿中因為太過於輕敵，每一年考上頂大的人數都減少原本人數的 1%，則 ____ 年後，台南痾中應屆畢業生錄取頂大的比率就可以超越台南咿中，完成『黃金交叉』，奪回台南第一志願的稱號！(答案取最小正整數)

四、計算題（每題 5 分，共 10 分；若僅有答案而無過程，不給分）

方程式

2^{- ∣ x ∣} = ∣ lo g_{2} x ∣

有幾個實根？請回答並說明之。

解方程式

lo g_{\frac{1}{3}} (x - 2) + lo g_{\frac{1}{3}} (x - 10) > - 2

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)

第 2 題(B)(C)（照學校答案；(E) 另一種讀法見詳解）

第 3 題

27

第 4 題

- \frac{3}{2}

第 5 題

- 2

第 6 題

2

第 7 題

1 < x < 4

，但

x \neq = 2

第 8 題

0 < x < 100

第 9 題

(48, 5)

第 10 題

\frac{1}{4}

第 11 題

8

（卷面最後一項的真數是負數，見詳解）

第 12 題

a > b > d > c

第 13 題

\frac{1 + a + 2 ab}{a + 3 ab}

第 14 題

3

第 15 題

\frac{6}{7}

第 16 題

2

或

lo g_{2} 3

第 17 題

0.88

第 18 題

21

第 19 題

167

第 20 題

19

第 21 題

2

個

第 22 題

10 < x < 11

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～2 題）：對數的定義與限制、指數與對數函數的圖形

第 1 題

(A) 正確。 $lo g (3 + 7) = lo g 10 = 1$ 。

(B) 錯誤。 對數的底數要大於 $0$ 且不等於 $1$ ，底數 $- 3$ 不合， $lo g_{- 3} 9$ 沒有意義。

(C) 正確。 $lo g_{3} 5 = \frac{lo g 5 ^{\frac{1}{2}}}{lo g 3 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{\frac{1}{2} lo g 5}{\frac{1}{2} lo g 3} = lo g_{3} 5$ 。

$lo g_{27} 125 = \frac{lo g 5 ^{3}}{lo g 3 ^{3}} = \frac{3 lo g 5}{3 lo g 3} = lo g_{3} 5$ ，兩者相等。

(D) 錯誤。 真數 $x$ 一定是正數，但 $y$ 可以是負數或 $0$ ：例如 $x = \frac{1}{2}$ 時 $y = - 1$ ， $x = 1$ 時 $y = 0$ （見圖， $0 < x < 1$ 的部分在 x 軸下方）。

(E) 錯誤。 $x < 0$ 時 $lo g x$ 沒有意義。例如 $x = - 1$ ：左邊 $lo g 1 = 0$ ，右邊 $4 lo g (- 1)$ 沒有意義。只有 $x > 0$ 時等式才成立。

選 (A)(C)。

載入中...

第 2 題

(A) 錯誤。 題目沒有說底數 $a > 1$ 。若 $0 < a < 1$ ， $y = lo g_{a} x$ 遞減，例如 $a = \frac{1}{2}$ ， $lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0 > lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$ 。

(B) 正確。 同底數的指數函數與對數函數互為反函數： $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 上的點 $(p, q)$ 滿足 $p = lo g_{\frac{1}{3}} q$ ，所以 $(q, p)$ 在 $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 上，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

(D) 錯誤。 向右平移 $3$ 單位是把 $x$ 換成 $x - 3$ ，新圖形是 $y = lo g_{2} (x - 3)$ 。 $y = lo g_{2} x - 3$ 是向下平移 $3$ 單位。

(E) 錯誤（照學校答案）。 $y = lo g_{2} ∣ x ∣$ 的圖形對稱於 y 軸： $x < 0$ 的一支由左上往下遞減， $x > 0$ 的一支往右上遞增，兩支在 $x = 0$ 附近都往下無限延伸。

用直線 $y = a x + b$ 去截它（見圖）：

$y = x$ ：右邊那支整個在直線下方，左邊那支交一次，共 $1$ 個實根。

$y = 0$ ：交在 $x = \pm 1$ ，共 $2$ 個實根。

$y = x - 1$ ：右邊交在 $x = 1$ 與 $x = 2$ 兩點（ $lo g_{2} 1 = 0$ 、 $lo g_{2} 2 = 1$ ），左邊交一次，共 $3$ 個實根。

$a \neq = 0$ 時，直線與遞減（或遞增）的那一支一定恰好交一次，與另一支最多交兩次，所以實根個數只可能是 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 個。敘述只說 $2$ 個或 $3$ 個，漏了 $1$ 個的情形，所以錯。

選 (B)(C)。

載入中...

(E) 若讀成「實根個數有可能是

2

個，也有可能是

3

個」，這兩種情形確實都會出現，那麼 (E) 就算對，答案變成 (B)(C)(E)。學校公布的答案是 (B)(C)，表示學校的意思是「可能的實根個數只有

2

或

3

個」，本站照學校。

對數先看底數與真數的限制；底數沒說大於

1

時，遞增遞減兩種都要想；平移時「向右」是把

x

換成

x - 3

。

02第一部分填充題（第 3～10 題）：對數律、換底、對數有意義的條件、位數

第 3 題

$8 = 2^{3}$ ，所以

$8^{l o g_{2} 3} = (2^{3})^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{3} = 3^{3}$

答案 27。

第 4 題

① 分子： $lo g_{16} 243 = \frac{lo g 3 ^{5}}{lo g 2 ^{4}} = \frac{5 lo g 3}{4 lo g 2}$ 。

② 分母： $93 = 3^{\frac{5}{2}}$ ， $\frac{1}{8} = 2^{- 3}$ ， $lo g_{\frac{1}{8}} 93 = \frac{\frac{5}{2} lo g 3}{- 3 lo g 2} = - \frac{5 lo g 3}{6 lo g 2}$ 。

③ 相除：

$\frac{5 lo g 3}{4 lo g 2} \div (- \frac{5 lo g 3}{6 lo g 2}) = - \frac{6}{4} = - \frac{3}{2}$

答案 $- \frac{3}{2}$ 。

第 5 題

① 先算裡面： $lo g_{9} 3 = \frac{1}{2}$ （因為 $9^{\frac{1}{2}} = 3$ ）。

② 再算外面： $lo g_{2} \frac{1}{2}$ ，設它等於 $k$ ，則 $(2^{\frac{1}{2}})^{k} = 2^{- 1}$ ， $\frac{k}{2} = - 1$ ， $k = - 2$ 。

答案 $- 2$ 。

第 6 題

換底公式： $\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a$ 。

所以 $\frac{1}{lo g _{4} 10} = lo g 4$ ， $\frac{2}{lo g _{5} 10} = 2 lo g 5 = lo g 25$ 。

相加： $lo g 4 + lo g 25 = lo g 100 = 2$ 。

答案 2。

第 7 題

$lo g_{(x - 1)} (4 - x)$ 有意義，要同時滿足三個條件：

① 底數大於 $0$ ： $x - 1 > 0$ ， $x > 1$ 。

② 底數不等於 $1$ ： $x - 1 \neq = 1$ ， $x \neq = 2$ 。

③ 真數大於 $0$ ： $4 - x > 0$ ， $x < 4$ 。

三者取交集（見數線），答案 $1 < x < 4$ ，但 $x \neq = 2$ 。

載入中...

第 8 題

① 先要 $lo g x$ 有意義： $x > 0$ 。

② $\frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^{2}$ ，不等式是 $(\frac{1}{5})^{l o g x} > (\frac{1}{5})^{2}$ 。

③ 底數 $\frac{1}{5} < 1$ ， $y = (\frac{1}{5})^{t}$ 遞減，比指數時不等號要反向： $lo g x < 2$ ，即 $x < 100$ 。

④ 與 $x > 0$ 取交集，答案 $0 < x < 100$ 。

載入中...

第 9 題

① $lo g 3^{100} = 100 lo g 3 \approx 100 \times 0.4771 = 47.71$ 。

② 首數 $47$ ： $3^{100} = 1 0^{47.71} = 1 0^{0.71} \times 1 0^{47}$ ，是 $48$ 位數， $a = 48$ 。

③ 尾數 $0.71$ ： $lo g 5 \approx 0.6990 < 0.71 < 0.7781 \approx lo g 6$ ，所以 $5 < 1 0^{0.71} < 6$ ，最高位數字 $b = 5$ 。

答案 $(48, 5)$ 。

載入中...

第 10 題

① 第一個括號： $lo g_{4} \frac{1}{5} = \frac{lo g 5 ^{- 1}}{lo g 2 ^{2}} = - \frac{1}{2} lo g_{2} 5$ ，

所以 $lo g_{2} 5 + lo g_{4} \frac{1}{5} = \frac{1}{2} lo g_{2} 5$ 。

② 第二個括號：同理 $lo g_{25} \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} lo g_{5} 2$ ，

所以 $lo g_{5} 2 + lo g_{25} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} lo g_{5} 2$ 。

③ 相乘： $\frac{1}{2} lo g_{2} 5 \times \frac{1}{2} lo g_{5} 2 = \frac{1}{4} \times 1 = \frac{1}{4}$ （ $lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 2 = 1$ ）。

答案 $\frac{1}{4}$ 。

換底公式寫成

lo g_{a} b = \frac{lo g b}{lo g a}

，把底數和真數都寫成同一個質數的次方，係數就直接提出來。

03第二部分填充題（第 11～16 題）：綜合化簡、比大小、以 a b 表示、圖形對稱、指數方程式

第 11 題

分三項計算。

① 第一項： $427 = 3^{\frac{3}{4}}$ ， $8 = 2^{3}$ ，

$(\frac{3 ^{\frac{3}{4}}}{2 ^{3}})^{- \frac{2}{3}} = 3^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{2} = 4 \cdot 3^{- \frac{1}{2}}$

再乘 $3 = 3^{\frac{1}{4}}$ ，得 $4 \cdot 3^{- \frac{1}{4}}$ 。所以第一項 $= lo g_{6} 4 - \frac{1}{4} lo g_{6} 3$ 。

② 第二項： $(\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{5} = 0.8$ ，所以 $(0.8)^{3} = (\frac{2}{5})^{6}$ ，第二項 $= 6$ 。

③ 第三項：依 $a^{l o g_{a} N} = N$ ， $5^{l o g_{5} (- \frac{9}{4} l o g_{6} 3)}$ 照題意當作 $- \frac{9}{4} lo g_{6} 3$ 。

④ 合起來：

$lo g_{6} 4 - \frac{1}{4} lo g_{6} 3 + 6 + \frac{9}{4} lo g_{6} 3 = lo g_{6} 4 + 2 lo g_{6} 3 + 6$

$= lo g_{6} (4 \times 9) + 6 = lo g_{6} 36 + 6 = 2 + 6 = 8$

答案 8。

嚴格來說，

lo g_{6} 3 > 0

，所以

- \frac{9}{4} lo g_{6} 3

是負數，而對數的真數必須是正數，

lo g_{5} (- \frac{9}{4} lo g_{6} 3)

沒有意義，最後一項也就沒有意義。卷面就是這樣印的，學校答案為

8

，本站照題意直接用

a^{l o g_{a} N} = N

算出同樣的

8

。

第 12 題

① 底數 $2 = 2^{\frac{1}{2}}$ ，所以 $lo g_{2} N = 2 lo g_{2} N$ ；同理 $lo g_{3} N = 2 lo g_{3} N$ 。

② $a = 2 lo g_{2} 7$ 、 $b = 2 lo g_{3} 7$ ：都是正數。因為 $lo g_{2} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 2}$ 、 $lo g_{3} 7 = \frac{lo g 7}{lo g 3}$ ，分子相同而 $lo g 2 < lo g 3$ ，所以 $a > b > 0$ 。

③ $c = 2 lo g_{2} \frac{3}{5}$ 、 $d = 2 lo g_{3} \frac{3}{5}$ ：真數小於 $1$ ，都是負數。 $lo g \frac{3}{5} < 0$ ，除以較小的正數 $lo g 2$ 反而更負，所以 $c < d < 0$ 。

④ 估計： $a \approx 5.61$ 、 $b \approx 3.54$ 、 $d \approx - 0.93$ 、 $c \approx - 1.47$ （見數線）。

答案 $a > b > d > c$ 。

載入中...

第 13 題

全部換成以 $7$ 為底： $lo g_{7} 3 = \frac{1}{a}$ ， $lo g_{7} 2 = b$ 。

① 分子： $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ ， $lo g_{7} 84 = 2 b + \frac{1}{a} + 1$ 。

② 分母： $56 = 2^{3} \times 7$ ， $lo g_{7} 56 = 3 b + 1$ 。

③ 換底：

$lo g_{56} 84 = \frac{lo g _{7} 84}{lo g _{7} 56} = \frac{2 b + \frac{1}{a} + 1}{3 b + 1}$

分子分母同乘 $a$ ，答案 $\frac{1 + a + 2 ab}{a + 3 ab}$ 。

第 14 題

① $y = 3^{x}$ 與 $y = lo g_{3} x$ 互為反函數，兩圖形對稱於直線 $y = x$ 。

② 直線 $L$ ： $y = - x + 3$ 把 $x$ 、 $y$ 互換後是 $x = - y + 3$ ，還是同一條線，所以 $L$ 本身也對稱於 $y = x$ 。

③ 因此 $L$ 與 $y = 3^{x}$ 的交點 $A$ ，對 $y = x$ 的對稱點同時在 $y = lo g_{3} x$ 與 $L$ 上，就是 $B$ （見圖）。

④ $A (a, 3 - a)$ ，對稱點 $B (3 - a, a)$ ，所以 $b = 3 - a$ 。

答案 $a + b =$ 3。

載入中...

第 15 題

① 中點的 $x$ 坐標： $\frac{a + b}{2} = \frac{9}{4}$ ， $a + b = \frac{9}{2}$ 。

② 中點的 $y$ 坐標： $\frac{lo g _{2} a + lo g _{2} b}{2} = \frac{1}{2}$ ， $lo g_{2} ab = 1$ ， $ab = 2$ 。

③ $a$ 、 $b$ 是 $t^{2} - \frac{9}{2} t + 2 = 0$ 的兩根，即 $2 t^{2} - 9 t + 4 = 0$ ， $(2 t - 1) (t - 4) = 0$ ，兩點的 $x$ 坐標是 $\frac{1}{2}$ 與 $4$ 。

④ 兩點為 $(\frac{1}{2}, - 1)$ 、 $(4, 2)$ ，斜率

$\frac{2 - ( - 1 )}{4 - \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{7}{2}} = \frac{6}{7}$

答案 $\frac{6}{7}$ 。

載入中...

第 16 題

① 令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $4^{x} = t^{2}$ ，方程式變成 $t^{2} - 7 t + 12 = 0$ 。

② $(t - 3) (t - 4) = 0$ ， $t = 3$ 或 $t = 4$ ，都大於 $0$ 。

③ $2^{x} = 4$ 得 $x = 2$ ； $2^{x} = 3$ 得 $x = lo g_{2} 3$ 。

答案 $x = 2$ 或 $lo g_{2} 3$ 。

同底的指數與對數圖形對稱於

y = x

；斜率為

- 1

的直線也對稱於

y = x

，交點會兩兩成對。

04第二部分填充題（第 17～20 題）：星等、摩爾定律、團購折扣、黃金交叉

第 17 題

① 兩顆星絕對星等相同： $m_{A} + 5 - 5 lo g d_{A} = m_{B} + 5 - 5 lo g d_{B}$ ，

所以 $m_{A} - m_{B} = 5 lo g d_{A} - 5 lo g d_{B} = 5 lo g \frac{d _{A}}{d _{B}}$ 。

② 距離的比與單位無關： $\frac{d _{A}}{d _{B}} = \frac{978}{652} = \frac{3}{2}$ 。

③ $5 lo g \frac{3}{2} = 5 (lo g 3 - lo g 2) \approx 5 (0.4771 - 0.3010) = 5 \times 0.1761 = 0.8805$ 。

四捨五入到小數點後第二位，答案 0.88。

秒差距與光年的換算在相除時消掉，不用真的換算。距離較遠的

A

視星等較大（看起來較暗）。

第 18 題

① 倍數： $\frac{16384000}{1000} = 16384 = 2^{14}$ ，要加倍 $14$ 次。

② 每加倍一次要 $18$ 個月： $14 \times 18 = 252$ 個月。

③ $252 \div 12 = 21$ 。

答案 21 年。

第 19 題

① 設新菜單上套餐的價格為 $p$ 元，漲價前同一套餐是 $p - 30$ 元。

② 漲價後 $10$ 人用團購： $10 p \times (0.98)^{10}$ 元；漲價前 $10$ 人照原價： $10 (p - 30)$ 元。

③ 估計 $(0.98)^{10}$ ： $lo g 0.98 = lo g \frac{2 \times 7 ^{2}}{100} = lo g 2 + 2 lo g 7 - 2 \approx 0.3010 + 1.6902 - 2 = - 0.0088$ 。

所以 $lo g (0.98)^{10} \approx - 0.088 = 0.912 - 1$ ， $(0.98)^{10} \approx 1 0^{0.912} \times 1 0^{- 1} \approx 0.82$ （用註①）。

④ 要比漲價前划算： $10 p \times 0.82 < 10 (p - 30)$ ， $0.82 p < p - 30$ ， $0.18 p > 30$ ， $p > 166.6 \dots$ 。

⑤ 價格是正整數，答案 167 元以上。

載入中...

這題要用卷面給的近似值算。若用計算機算

(0.98)^{10} \approx 0.8171

，得到的門檻會比

167

小一些（

164

元以上）；題目附註①就是要大家用

1 0^{0.912} \approx 8.2

估計。

第 20 題

① 設兩校應屆畢業生人數不變。 $n$ 年後，痾中的比例是 $7% \times (1.1)^{n}$ ，咿中的比例是 $50% \times (0.99)^{n}$ 。

② 要超越： $7 (1.1)^{n} > 50 (0.99)^{n}$ ，即 $(\frac{1.1}{0.99})^{n} > \frac{50}{7}$ ，而 $\frac{1.1}{0.99} = \frac{10}{9}$ 。

③ 取常用對數： $n lo g \frac{10}{9} > lo g \frac{50}{7}$ 。

$lo g \frac{10}{9} = 1 - 2 lo g 3 \approx 1 - 0.9542 = 0.0458$ ； $lo g \frac{50}{7} = lo g 5 + 1 - lo g 7 \approx 1.6990 - 0.8451 = 0.8539$ 。

④ $n > \frac{0.8539}{0.0458} \approx 18.6$ 。

⑤ 檢查： $n = 18$ 時 $18 \times 0.0458 = 0.8244 < 0.8539$ ； $n = 19$ 時 $19 \times 0.0458 = 0.8702 > 0.8539$ 。

答案取最小正整數 19（見圖，兩條曲線在第 18 與 19 年之間交叉）。

載入中...

成長與衰退的比較，寫成「初始值乘以每年倍數的

n

次方」，再兩邊取常用對數，把

n

從指數拿下來。

05計算題（第 21～22 題）：用圖形判斷實根個數、對數不等式

第 21 題

① 右邊 $lo g_{2} x$ 要有意義， $x > 0$ 。此時 $∣ x ∣ = x$ ，方程式變成 $(\frac{1}{2})^{x} = ∣ lo g_{2} x ∣$ 。

② 實根個數＝ $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 在 $x > 0$ 的交點個數。把兩個圖形畫在同一個坐標平面上（見圖）。

③ $x \geq 1$ 的部分： $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減， $y = lo g_{2} x$ 遞增，最多交一點。

$x = 1$ 時左邊 $\frac{1}{2} > 0$ ， $x = 2$ 時左邊 $\frac{1}{4} < 1$ ，所以在 $1$ 與 $2$ 之間恰交一點。

④ $0 < x < 1$ 的部分： $y = - lo g_{2} x$ 由很大一路降到 $0$ ， $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 在 $\frac{1}{2}$ 與 $1$ 之間。

$x = \frac{1}{2}$ 時 $- lo g_{2} \frac{1}{2} = 1 > (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \approx 0.71$ ； $x = \frac{2}{2}$ 時 $- lo g_{2} \frac{2}{2} = \frac{1}{2} < (\frac{1}{2})^{\frac{2}{2}}$ ，所以在 $\frac{1}{2}$ 與 $\frac{2}{2}$ 之間有一個交點；由圖形，這一段只交這一次。

⑤ 共 2 個實根。

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學校給分說明：討論

y = 2^{- ∣ x ∣}

與

y = ∣ lo g_{2} x ∣

的交點個數，若只有答案、沒有畫圖，不給分（除非有另外合理的說明）。容易漏掉

0 < x < 1

那一個交點。

x < 0

那一側雖然

y = 2^{- ∣ x ∣}

有圖形，但

lo g_{2} x

沒有意義，不會有交點。

第 22 題

① 真數條件： $x - 2 > 0$ 且 $x - 10 > 0$ ，得 $x > 10$ 。

② 化成同一個對數： $- 2 = lo g_{\frac{1}{3}} 9$ （因為 $(\frac{1}{3})^{- 2} = 9$ ），

$lo g_{\frac{1}{3}} (x - 2) (x - 10) > lo g_{\frac{1}{3}} 9$

③ 底數 $\frac{1}{3} < 1$ ， $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ 遞減，去掉對數時不等號要反向：

$(x - 2) (x - 10) < 9$

④ 展開： $x^{2} - 12 x + 20 < 9$ ， $x^{2} - 12 x + 11 < 0$ ， $(x - 1) (x - 11) < 0$ ， $1 < x < 11$ 。

⑤ 與真數條件取交集（見數線）：答案 $10 < x < 11$ 。

載入中...

驗證：

x = 10.5

時

(x - 2) (x - 10) = 8.5 \times 0.5 = 4.25 < 9

，左邊

lo g_{\frac{1}{3}} 4.25 \approx - 1.32 > - 2

，成立。

對數不等式三步：先寫真數條件、化成同底、看底數大於

1

或小於

1

決定不等號要不要反向，最後一定要和真數條件取交集。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 22 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

臺南二中 110 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

多選第 2 題選項 E 要把三種實根個數都想到，1 個也可能出現；第一部分填充第 5 題（本頁第 7 題）底數除了大於 0 還不能等於 1；第二部分填充第 2 題（第 12 題）真數小於 1 時，底數越大對數值反而越接近 0；第二部分填充第 9 題（第 19 題）要比的是漲價後用團購與漲價前不用團購；計算第 1 題（第 21 題）在 0 與 1 之間還有一個交點，只找到大於 1 的那一個會少算。詳解逐題寫在本頁。

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01多選題（第 1～2 題）：對數的定義與限制、指數與對數函數的圖形

02第一部分填充題（第 3～10 題）：對數律、換底、對數有意義的條件、位數

03第二部分填充題（第 11～16 題）：綜合化簡、比大小、以 a b 表示、圖形對稱、指數方程式

04第二部分填充題（第 17～20 題）：星等、摩爾定律、團購折扣、黃金交叉

05計算題（第 21～22 題）：用圖形判斷實根個數、對數不等式

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高二第二次段考
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