段考詳解範圍：多項式函數的微分與導函數的應用（導數與導函數、二階導函數、切線方程式、邊際利潤、遞增遞減、極值與最大最小值、凹凸性與反曲點、三次函數的圖形）

臺南二中 112 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 臺南二中 112 上 高三第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 臺南二中 112 上 高三第二次段考數學哪幾題最容易錯？

單選第 1 題分子是導函數，極限是二階導數，只算到一階會誤選；單選第 4 題要用三個條件分別排除選項，反曲點在 y 軸哪一側由 a、b 的正負決定；多選第 2 題的錯誤選項都可以用三次方或四次方的函數在原點舉反例；填充第 2 題與第 9 題的點不在圖形上，要先設切點再讓切線通過那一點。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

考前想要一份自己的模擬卷，外加每天練哪一章？免費註冊，練滿 15 題就能產生考前藍圖 PDF →

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 4 題（20 分）、多選題 3 題（15 分）、填充題 9 格（55 分，答對 1～9 格依序得 7、14、21、28、34、40、46、52、55 分）、混合題 1 題組 3 小題（1＋3＋6＝10 分）。本頁題號全卷連續：多選為第 5～7 題，填充為第 8～16 題，混合題為第 17～19 題。答案已與學校公布的答案逐題核對。

一、單選題：(20%)　說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請將答案寫在答案卷上之「單選題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或作答多於一個選項者，該題以零分計算。

已知

f (x) = x^{4} + 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 4

，求

x \to 2 lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( 2 )}{x - 2}

之值。

(A) $- 80$
(B) $- 65$
(C) $38$
(D) $65$
(E) $80$

已知

f (x) = 3 x^{2} - 2 ∣ x - 5 ∣ + 7

，試問導數

f^{'} (2)

的值為何？

(A) $10$
(B) $14$
(C) $16$
(D) $- 12$
(E) $- 14$

適逢雙十一購物節，某款家電商品決定降低利潤削價競爭。已知賣出

x

台的利潤函數為

P (x) = 0.0001 x^{3} - 0.05 x^{2} + 100 x + 550

（元），試估計從賣出

100

台增加到

101

台所增加的利潤 (

100

台時的邊際利潤) 約為多少元？

(A) $93$ 元
(B) $107$ 元
(C) $120$ 元
(D) $643$ 元
(E) $10150$ 元

考慮實係數三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

，若

a

、

b

、

c

、

d

與

b^{2} - 3 a c

均為負數，則下列哪個選項可能是

f (x)

的圖形(各圖中的黑點為反曲點)？

(A) 圖 (A)
(B) 圖 (B)
(C) 圖 (C)
(D) 圖 (D)
(E) 圖 (E)

載入中...

二、多選題：(15%)　說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項寫在答案卷上之「多選題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

設實係數三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

，已知

f^{'} (x)

的圖形是一個通過點

(- 2, 0)

與點

(4, 0)

且開口向下的的拋物線，則下列哪些選項是正確的？

(A) $b c < 0$
(B) $f (99) > f (100)$
(C) $f (- 2)$ 為極大值， $f (4)$ 為極小值
(D) $f (x)$ 在區間 $(- \infty, - 2)$ 的圖形是凹口向下
(E) 點 $(1, f (1))$ 為 $f (x)$ 圖形的反曲點

設

α

為實數，

f (x)

為實係數多項式函數，則下列哪些選項是正確的？

(A) 若 $f^{'} (α) = 0$ ，則 $f (x)$ 在 $x = α$ 處有極大值或極小值
(B) 若 $f (x)$ 在 $x = α$ 處有極小值，則 $f^{'} (α) = 0$
(C) 若 $f^{''} (α) = 0$ ，則點 $(α, f (α))$ 為 $f (x)$ 圖形的反曲點
(D) 若點 $(α, f (α))$ 為 $f (x)$ 圖形的反曲點，則 $f^{''} (α) = 0$
(E) 若 $f^{'} (α) = 0$ 且 $f (x)$ 在 $x = α$ 處有極小值，則 $f^{''} (α) > 0$

關於四次函數

f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 10

圖形的描述，下列哪些選項是正確的？

(A) $f (x)$ 在區間 $[- 3, 1]$ 上為嚴格遞減函數
(B) $f (x)$ 在區間 $(0, 3)$ 的圖形是凹口向下
(C) $f (x)$ 在 $x = 0$ 處有極小值
(D) $f (x)$ 的最小值為 $- 17$
(E) 點 $(2, - 6)$ 為 $f (x)$ 圖形的反曲點

三、填充題：(55%)　說明：第 1 題至 9 題，將答案寫在答案卷之「填充題答案區」所標示的格號內，依下表的答對格數計分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

若函數

f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 5

圖形的反曲點為

P

，則以點

P

為切點的切線方程式為 ____。

已知

P (3, 2)

為函數

f (x) = x^{2} - x - 3

圖形外一點，求過

P

點的切線方程式。(有兩解) ____

已知

f (x) = 8 x^{3} + a x^{2} + b x + 10

在區間

[1, 4]

上為遞減函數，在區間

[0, 1]

與

[4, 8]

上為遞增函數，求實數序對

(a, b) =

____。

若函數

f (x) = - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 5

在閉區間

[- 3, 3]

的最大值為

M

，最小值為

m

，則實數序對

(M, m) =

____。

若三次函數

f (x) = x^{3} + 3 m x^{2} - 3 (m - 2) x + 15

沒有極值，則實數

m

之範圍為 ____。

若三次函數

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

在

x = - 1

處有極大值

25

，且點

(1, 9)

為

f (x)

圖形的反曲點，則實數序對

(a, b, c, d) =

____。

若三次函數

f (x)

在

x = - 2

處有極大值

29

，且此函數的圖形在點

(0, 9)

與直線

y = - 12 x + 9

相切，則

f (x) =

____。

已知在函數

f (x) = - x^{3} + a x^{2} - 8 x + b

圖形上所有切線的斜率中，以

P (2, 11)

為切點的切線斜率最大，求實數序對

(a, b) =

____。

如下圖所示：在坐標平面上，假設某公園裡有一條休閒步道的路徑是函數

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x

圖形的一部分。已知李爺爺散步走到點

P

時，剛好看到位於點

Q (0, - 18)

的涼亭，試求

P

點的坐標。____

載入中...

四、混合題或非選擇題：10%　說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。

混合題第 1 題（第 17～19 題）　設拋物線

y = 9 - x^{2}

與

x

軸交於

A (- 3, 0)

、

B (3, 0)

兩點，今有一梯形以

\overline{A B}

為下底，上底

\overline{C D}

在

x

軸的上方，且其兩端點

C

、

D

在此拋物線上，如下圖所示。若點

C

的

x

坐標為

t

，梯形

A B C D

的面積為

f (t)

，試回答下列問題：

(1) 實數

t

的範圍為 ____。(填充題，1 分)

載入中...

(2) 寫出函數

f (t) =

____。（非選擇題，3 分）

(3) 梯形之最大面積為何？此時的

t

值為何？（非選擇題，6 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(B)

第 3 題(A)

第 4 題(D)

第 5 題(B)(E)

第 6 題(B)(D)

第 7 題(A)(D)(E)

第 8 題

y = 12 x + 6

第 9 題

y = 3 x - 7

或

y = 7 x - 19

第 10 題

(- 60, 96)

第 11 題

(40, - 12)

第 12 題

- 2 \leq m \leq 1

第 13 題

(1, - 3, - 9, 20)

第 14 題

2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 9

第 15 題

(6, 11)

第 16 題

(3, 12)

第 17 題

0 < t < 3

第 18 題

f (t) = - t^{3} - 3 t^{2} + 9 t + 27

第 19 題最大面積為

32

，此時

t = 1

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

考前先拿一份自己的考前藍圖

註冊之後，在首頁填上你們下一次段考的日期和範圍，練滿 15 題，系統就會照你做過的題、錯過的題，出一份考前藍圖 PDF：一份模擬卷、詳解，還有考前每天練哪一章。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1～3 題）：導數的計算與邊際利潤

第 1 題由導數的定義，

x \to 2 lim \frac{f ^{'} ( x ) - f ^{'} ( 2 )}{x - 2}

就是函數

f^{'} (x)

在

x = 2

的導數，也就是

f^{''} (2)

。

f^{'} (x) = 4 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 5

，

f^{''} (x) = 12 x^{2} + 18 x - 4

，所以

f^{''} (2) = 48 + 36 - 4 = 80

，答案 (E)。

分子是

f^{'}

不是

f

，所以要再微分一次；只算到

f^{'} (2) = 32 + 36 - 8 + 5 = 65

會誤選 (D)。

第 2 題導數只看

x = 2

附近的函數。

x

在

2

附近時

x - 5 < 0

，

∣ x - 5 ∣ = 5 - x

，所以

f (x) = 3 x^{2} - 2 (5 - x) + 7 = 3 x^{2} + 2 x - 3

。

f^{'} (x) = 6 x + 2

，

f^{'} (2) = 14

，答案 (B)。

把絕對值直接拿掉（當成

x - 5

）會得到

f^{'} (x) = 6 x - 2

，

f^{'} (2) = 10

，誤選 (A)。先代

x = 2

看絕對值裡面的正負。

第 3 題

100

台時的邊際利潤是

P^{'} (100)

。

P^{'} (x) = 0.0003 x^{2} - 0.1 x + 100

，

P^{'} (100) = 0.0003 \times 10000 - 0.1 \times 100 + 100 = 3 - 10 + 100 = 93

（元），答案 (A)。

實際增加的利潤

P (101) - P (100) = 0.0001 \times (10 1^{3} - 10 0^{3}) - 0.05 \times (10 1^{2} - 10 0^{2}) + 100 = 3.0301 - 10.05 + 100 = 92.9801

元，與邊際利潤

93

元非常接近，所以用邊際利潤來估計。

形如「f′(x) 減 f′(a) 再除以 x 減 a」的極限就是 f″(a)；含絕對值的函數先看在那一點附近絕對值裡面的正負。

02單選第 4 題、多選第 1 題（第 4、5 題）：由係數與導函數判斷圖形

第 4 題

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 的判別式為 $(2 b)^{2} - 4 \cdot 3 a \cdot c = 4 (b^{2} - 3 a c) < 0$ ，而首項係數 $3 a < 0$ ，所以對所有實數 $x$ ， $f^{'} (x) < 0$ ： $f (x)$ 處處遞減，沒有極大值也沒有極小值。這就排除了 (A)、(B)（圖上有一高一低兩個轉折）。

再看反曲點： $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b = 0$ 得 $x = - \frac{b}{3 a}$ 。 $a$ 、 $b$ 都是負數， $\frac{b}{3 a} > 0$ ，所以反曲點的 $x$ 坐標 $- \frac{b}{3 a} < 0$ ，在 $y$ 軸左邊。(E) 的黑點在 $y$ 軸右邊，排除。

最後看 $y$ 截距： $f (0) = d < 0$ ，圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方。(C) 的圖形與 $y$ 軸交在 $x$ 軸上方，排除；(D) 處處遞減、反曲點在 $y$ 軸左邊、與 $y$ 軸交在 $x$ 軸下方，都符合。答案 (D)。

三個條件各排除不同的選項：

b^{2} - 3 a c < 0

決定沒有極值，

a

、

b

的正負決定反曲點在哪一側，

d

的正負決定

y

截距。

第 5 題

答案 (B)(E)。拋物線 $y = f^{'} (x)$ 過 $(- 2, 0)$ 、 $(4, 0)$ 且開口向下，可設 $f^{'} (x) = k (x + 2) (x - 4) = k (x^{2} - 2 x - 8)$ ， $k < 0$ 。與 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ 比較係數： $3 a = k$ ， $2 b = - 2 k$ ， $c = - 8 k$ 。所以 $a < 0$ ， $b = - k > 0$ ， $c > 0$ 。又 $f^{''} (x) = k (2 x - 2)$ 。由 $k < 0$ ： $x < - 2$ 或 $x > 4$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $- 2 < x < 4$ 時 $f^{'} (x) > 0$ 。

(A) 錯誤。 $b > 0$ 、 $c > 0$ ， $b c > 0$ 。

(B) 正確。 $x > 4$ 時 $f^{'} (x) < 0$ ， $f (x)$ 在 $[4, \infty)$ 遞減，所以 $f (99) > f (100)$ 。

(D) 錯誤。 $x < - 2$ 時 $2 x - 2 < 0$ ，又 $k < 0$ ，所以 $f^{''} (x) = k (2 x - 2) > 0$ ，圖形凹口向上。

(E) 正確。 $f^{''} (x) = k (2 x - 2)$ 在 $x = 1$ 為 $0$ ，且 $x < 1$ 時 $f^{''} (x) > 0$ 、 $x > 1$ 時 $f^{''} (x) < 0$ ，凹凸在 $x = 1$ 改變，所以 $(1, f (1))$ 是反曲點。

f^{''} (x)

就是拋物線

y = f^{'} (x)

的切線斜率：拋物線在頂點左邊上升、右邊下降，頂點的

x

坐標

\frac{- 2 + 4}{2} = 1

正是反曲點的位置。

看三次函數的圖形：f′ 的判別式決定有沒有極值，反曲點的 x 坐標是負 b 除以 3a，y 截距是 d。

03多選第 2、3 題（第 6、7 題）：極值、反曲點的觀念與四次函數

第 6 題

答案 (B)(D)。

(A) 錯誤。 反例 $f (x) = x^{3}$ ， $α = 0$ ： $f^{'} (0) = 0$ ，但 $f^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0$ ， $f (x)$ 一路遞增， $x = 0$ 沒有極值。

(B) 正確。 多項式函數處處可微；若 $f^{'} (α) > 0$ ， $α$ 右側附近的函數值會比 $f (α)$ 大、左側附近的會比 $f (α)$ 小， $f (α)$ 就不是極小值； $f^{'} (α) < 0$ 時同理。所以 $f^{'} (α) = 0$ 。

(C) 錯誤。 反例 $f (x) = x^{4}$ ， $α = 0$ ： $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ ， $f^{''} (0) = 0$ ，但 $x = 0$ 兩側 $f^{''} (x) > 0$ ，都是凹口向上，凹凸沒有改變， $(0, 0)$ 不是反曲點。

(D) 正確。 反曲點是凹凸改變的點， $f^{''} (x)$ 在 $α$ 的兩側異號；多項式函數的 $f^{''} (x)$ 也是多項式，是連續函數，所以 $f^{''} (α) = 0$ 。

(E) 錯誤。 反例 $f (x) = x^{4}$ ， $α = 0$ ： $f^{'} (0) = 0$ ， $f (0) = 0$ 是極小值，但 $f^{''} (0) = 0$ ，不大於 $0$ 。

二階檢定法是「

f^{'} (α) = 0

且

f^{''} (α) > 0

⇒ 極小值」，(E) 把它倒過來說，倒過來不成立。

第 7 題

答案 (A)(D)(E)。 $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ ， $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x = 12 x (x - 2)$ 。 $x^{2} \geq 0$ ，所以 $x < 3$ 時 $f^{'} (x) \leq 0$ （只在 $x = 0$ 等於 $0$ ）， $x > 3$ 時 $f^{'} (x) > 0$ 。

(A) 正確。 在開區間 $(- 3, 0)$ 內 $f^{'} (x) = 4 x^{2} (x - 3) < 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[- 3, 0]$ 連續，所以 $f (x)$ 在 $[- 3, 0]$ 嚴格遞減；同理在 $(0, 1)$ 內 $f^{'} (x) < 0$ 、 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 連續， $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 嚴格遞減。兩段在 $x = 0$ 接起來： $- 3 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ 時，若兩點在同一段直接得 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ；若 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，則 $f (x_{1}) > f (0) > f (x_{2})$ 。所以 $f (x)$ 在 $[- 3, 1]$ 嚴格遞減。

(B) 錯誤。 $0 < x < 2$ 時 $f^{''} (x) < 0$ ，凹口向下； $2 < x < 3$ 時 $f^{''} (x) > 0$ ，凹口向上。不是整段 $(0, 3)$ 都凹口向下。

(D) 正確。 $f (x)$ 在 $(- \infty, 3]$ 遞減、在 $[3, \infty)$ 遞增，最小值為 $f (3) = 81 - 108 + 10 = - 17$ 。

(E) 正確。 $f (2) = 16 - 32 + 10 = - 6$ ，且 $f^{''} (x)$ 在 $x = 2$ 的左側為負、右側為正，凹凸改變， $(2, - 6)$ 是反曲點。

x = 0

是

f^{'} (x)

的二重根，兩側同號，所以既不是極值也不影響遞減；

(0, 10)

則因為

f^{''} (x)

在

0

的兩側由正變負，是另一個反曲點。

f′(α)＝0 不一定有極值，f″(α)＝0 不一定是反曲點；判斷時一律看兩側的正負有沒有改變。

04填充第 1、2、9 題（第 8、9、16 題）：切線方程式

第 8 題

f^{'} (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 9

，

f^{''} (x) = - 6 x - 6

。

f^{''} (x) = 0

得

x = - 1

，且

f^{''} (x)

在

x = - 1

兩側異號，反曲點

P (- 1, f (- 1))

，

f (- 1) = 1 - 3 - 9 + 5 = - 6

。切線斜率

f^{'} (- 1) = - 3 + 6 + 9 = 12

。切線方程式

y + 6 = 12 (x + 1)

，即

y = 12 x + 6

。

第 9 題

$f (3) = 9 - 3 - 3 = 3 \neq = 2$ ， $P$ 不在圖形上。設切點為 $(a, a^{2} - a - 3)$ ， $f^{'} (x) = 2 x - 1$ ，切線為 $y = (2 a - 1) (x - a) + a^{2} - a - 3$ 。切線過 $P (3, 2)$ ： $2 = (2 a - 1) (3 - a) + a^{2} - a - 3 = - a^{2} + 6 a - 6$ ，整理得 $a^{2} - 6 a + 8 = 0$ ， $(a - 2) (a - 4) = 0$ ， $a = 2$ 或 $a = 4$ 。

$a = 2$ ：切點 $(2, - 1)$ ，斜率 $3$ ，切線 $y = 3 x - 7$ 。

$a = 4$ ：切點 $(4, 9)$ ，斜率 $7$ ，切線 $y = 7 x - 19$ 。

P

不是切點，不可以直接用

f^{'} (3)

當斜率；要先設切點，再讓切線通過

P

。兩條切線代

x = 3

都得

y = 2

。

第 16 題

李爺爺在 $P$ 點「剛好看到」涼亭，表示視線 $P Q$ 剛好與步道在 $P$ 點相切（圖中的虛線）。設 $P (a, \frac{1}{3} a^{3} + a)$ ， $f^{'} (x) = x^{2} + 1$ ，切線斜率 $a^{2} + 1$ 。切線過 $Q (0, - 18)$ ：

$\frac{1}{3} a^{3} + a - (- 18) = (a^{2} + 1) (a - 0)$

$\frac{1}{3} a^{3} + a + 18 = a^{3} + a$ ，得 $\frac{2}{3} a^{3} = 18$ ， $a^{3} = 27$ ， $a = 3$ 。 $f (3) = 9 + 3 = 12$ ，所以 $P (3, 12)$ 。

為什麼是相切： $P$ 在 $x > 3$ 的位置時，視線 $P Q$ 會被步道擋住。例如 $P (6, 78)$ ，直線 $P Q$ 為 $y = 16 x - 18$ ；在 $x = 0$ 處步道高度 $0$ 高於直線的 $- 18$ ，在 $x = 3$ 處步道高度 $12$ 低於直線的 $30$ ，所以 $Q$ 、 $P$ 之間步道與視線還有交點。 $P$ 沿步道往下走到切點 $(3, 12)$ 時才第一次看到涼亭，這就是「剛好看到」的位置。

檢查：切線

y = 10 x - 18

過

Q (0, - 18)

，在

x = 3

時

y = 12

，與

f (3)

相同。圖上

P

的位置是示意，不是照實際比例畫的。

求切線先找切點：切點已知直接用 f′ 求斜率；給的是圖形外一點，就設切點、寫出切線，再代入那一點解切點。

05填充第 3～8 題（第 10～15 題）：增減、極值、反曲點與由條件定函數

第 10 題

f^{'} (x) = 24 x^{2} + 2 a x + b

。

f (x)

在

[0, 1]

遞增、

[1, 4]

遞減、

[4, 8]

遞增，所以

f^{'} (x)

在

x = 1

的左右由正變負、在

x = 4

的左右由負變正，

f^{'} (1) = 0

，

f^{'} (4) = 0

。

f^{'} (x)

是二次式、首項係數

24

，所以

f^{'} (x) = 24 (x - 1) (x - 4) = 24 x^{2} - 120 x + 96

。比較係數：

2 a = - 120

，

b = 96

，

(a, b) = (- 60, 96)

。

檢查：

1 < x < 4

時

(x - 1) (x - 4) < 0

，

f^{'} (x) < 0

遞減；

0 \leq x < 1

與

4 < x \leq 8

時

f^{'} (x) > 0

遞增，與題意相符。

第 11 題

$f^{'} (x) = - 6 x^{2} + 6 x + 12 = - 6 (x^{2} - x - 2) = - 6 (x - 2) (x + 1)$ ，在 $[- 3, 3]$ 內 $f^{'} (x) = 0$ 的點是 $x = - 1$ 與 $x = 2$ 。閉區間上的最大最小值出現在這些點或端點，逐一計算：

$f (- 3) = 54 + 27 - 36 - 5 = 40$ ， $f (- 1) = 2 + 3 - 12 - 5 = - 12$ ， $f (2) = - 16 + 12 + 24 - 5 = 15$ ， $f (3) = - 54 + 27 + 36 - 5 = 4$ 。

最大值 $M = 40$ （在端點 $x = - 3$ ），最小值 $m = - 12$ ， $(M, m) = (40, - 12)$ 。

極大值

f (2) = 15

不是最大值；左端點

x = - 3

的函數值更大，端點一定要算。

第 12 題

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 m x - 3 (m - 2)

。三次函數沒有極值，表示

f^{'} (x)

不會由正變負或由負變正；

f^{'} (x)

是開口向上的二次式，所以要

f^{'} (x) \geq 0

恆成立，即判別式

\leq 0

：

(6 m)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3) (m - 2) \leq 0

，

36 m^{2} + 36 (m - 2) \leq 0

，

m^{2} + m - 2 \leq 0

，

(m + 2) (m - 1) \leq 0

，所以

- 2 \leq m \leq 1

。

判別式等於

0

時，

f^{'} (x)

只在一點等於

0

、兩側都正，仍然沒有極值，所以等號要取。

第 13 題

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ ， $f^{''} (x) = 6 a x + 2 b$ 。由條件：

在 $x = - 1$ 有極值： $f^{'} (- 1) = 3 a - 2 b + c = 0$ ；

$f (- 1) = - a + b - c + d = 25$ ；

$(1, 9)$ 是反曲點： $f^{''} (1) = 6 a + 2 b = 0$ ，且 $f (1) = a + b + c + d = 9$ 。

由 $6 a + 2 b = 0$ 得 $b = - 3 a$ ；代入第一式得 $3 a + 6 a + c = 0$ ， $c = - 9 a$ 。代入兩個函數值： $- a - 3 a + 9 a + d = 5 a + d = 25$ ， $a - 3 a - 9 a + d = - 11 a + d = 9$ 。兩式相減 $16 a = 16$ ， $a = 1$ ， $d = 20$ ， $b = - 3$ ， $c = - 9$ 。 $(a, b, c, d) = (1, - 3, - 9, 20)$ 。

檢查：

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 20

，

f^{'} (x) = 3 (x - 3) (x + 1)

，

f^{''} (- 1) = - 12 < 0

，

x = - 1

確實是極大值，

f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 20 = 25

；

f^{''} (x) = 6 x - 6

在

x = 1

變號，

f (1) = 1 - 3 - 9 + 20 = 9

。

第 14 題設

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

，

f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c

。圖形過

(0, 9)

：

d = 9

；在

(0, 9)

的切線是

y = - 12 x + 9

，斜率

f^{'} (0) = c = - 12

。在

x = - 2

有極值：

f^{'} (- 2) = 12 a - 4 b - 12 = 0

，即

3 a - b = 3

。極大值

29

：

f (- 2) = - 8 a + 4 b + 24 + 9 = 29

，即

- 2 a + b = - 1

。兩式相加得

a = 2

，

b = 3

。所以

f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 9

。

檢查：

f^{'} (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 = 6 (x + 2) (x - 1)

，

f^{''} (- 2) = - 24 + 6 = - 18 < 0

，

x = - 2

是極大值，

f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 9 = 29

。

第 15 題切線斜率就是

f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 2 a x - 8

，這是開口向下的拋物線，在頂點

x = \frac{2 a}{6} = \frac{a}{3}

有最大值。以

x = 2

為切點的斜率最大，所以

\frac{a}{3} = 2

，

a = 6

。

P (2, 11)

在圖形上：

f (2) = - 8 + 4 a - 16 + b = - 8 + 24 - 16 + b = b = 11

。

(a, b) = (6, 11)

。

也可以用

f^{''} (2) = 0

：

f^{''} (x) = - 6 x + 2 a

，

- 12 + 2 a = 0

，

a = 6

。斜率最大的點正是反曲點。

由條件定函數：極值給 f′＝0、反曲點給 f″＝0、切點給函數值與 f′，條件數和未知數一樣多就能解；解完記得檢查極大極小的種類。

06混合題（第 17～19 題）：拋物線內梯形面積的最大值

第 17 題

C

在拋物線上、

x

坐標為

t

，所以

C (t, 9 - t^{2})

；拋物線對稱於

y

軸，

\overline{C D}

與

\overline{A B}

平行，

D (- t, 9 - t^{2})

。

C

在

x

軸上方：

9 - t^{2} > 0

，

- 3 < t < 3

。又

C

在

D

的右側（

t > 0

，

t = 0

時

C

、

D

重合，不成梯形）。所以

0 < t < 3

。

第 18 題

下底 $\overline{A B} = 6$ ，上底 $\overline{C D} = 2 t$ ，高為 $C$ 的 $y$ 坐標 $9 - t^{2}$ 。

$f (t) = \frac{1}{2} (2 t + 6) (9 - t^{2}) = (t + 3) (9 - t^{2}) = - t^{3} - 3 t^{2} + 9 t + 27, 0 < t < 3$

第 19 題

$f^{'} (t) = - 3 t^{2} - 6 t + 9 = - 3 (t^{2} + 2 t - 3) = - 3 (t + 3) (t - 1)$ 。在 $0 < t < 3$ 內， $f^{'} (t) = 0$ 只有 $t = 1$ （ $t = - 3$ 不合）。 $0 < t < 1$ 時 $f^{'} (t) > 0$ ， $f (t)$ 遞增； $1 < t < 3$ 時 $f^{'} (t) < 0$ ， $f (t)$ 遞減。所以 $t = 1$ 時面積最大， $f (1) = - 1 - 3 + 9 + 27 = 32$ 。（也可以用二階檢定： $f^{''} (t) = - 6 t - 6$ ， $f^{''} (1) = - 12 < 0$ ， $f (1)$ 為極大值；又它是範圍內唯一的極值，所以是最大值。）

梯形的最大面積為 $32$ ，此時 $t = 1$ 。

t = 1

時

C (1, 8)

、

D (- 1, 8)

，上底

2

、下底

6

、高

8

，面積

\frac{1}{2} \times 8 \times 8 = 32

。圖上

C

、

D

的位置是示意，不是面積最大時的位置。

應用題求最大值：先用變數寫出函數並寫出變數的範圍，再用導函數的正負找出範圍內的最大值。

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同樣是高三第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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單選第 1 題分子是導函數，極限是二階導數，只算到一階會誤選；單選第 4 題要用三個條件分別排除選項，反曲點在 y 軸哪一側由 a、b 的正負決定；多選第 2 題的錯誤選項都可以用三次方或四次方的函數在原點舉反例；填充第 2 題與第 9 題的點不在圖形上，要先設切點再讓切線通過那一點。

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01單選題（第 1～3 題）：導數的計算與邊際利潤

02單選第 4 題、多選第 1 題（第 4、5 題）：由係數與導函數判斷圖形

03多選第 2、3 題（第 6、7 題）：極值、反曲點的觀念與四次函數

04填充第 1、2、9 題（第 8、9、16 題）：切線方程式

05填充第 3～8 題（第 10～15 題）：增減、極值、反曲點與由條件定函數

06混合題（第 17～19 題）：拋物線內梯形面積的最大值

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高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

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