段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差、二項分布

高雄新興高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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則逐題詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

多選題 3 題（每題 7 分，共 21 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）、填充題 7 題共 12 格（每格 5 分，共 60 分）、計算題 2 題共 4 小題（共 19 分，各小題配分印在題末），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 4、5 題是原卷填充第 1 題的 (1)(2)，第 6、7 題是填充第 2 題的 (1)(2)，第 8 題是填充第 3 題，第 9、10 題是填充第 4 題的 (1)(2)，第 11、12 題是填充第 5 題的 (1)(2)，第 13、14 題是填充第 6 題的 (1)(2)，第 15 題是填充第 7 題；第 16、17 題是原卷計算第 1 題的 (1)(2)，第 18、19 題是計算第 2 題的 (1)(2)。原卷計算第 2 題印「標準差為 36 次」，照字面沒有符合的機率，本頁把 36 當作變異數來算，詳解有說明。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題：21%（每題 7 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）

已知隨機變數

X

、

Y

、

Z

、

W

、

T

的機率函數質量圖分別如下圖所示，標準差分別為

σ_{X}

、

σ_{Y}

、

σ_{Z}

、

σ_{W}

、

σ_{T}

。下列敘述哪些是正確的？

(A) $σ_{Y} > σ_{X}$
(B) $σ_{W} = σ_{Z}$
(C) $σ_{W} > σ_{X}$
(D) $σ_{Z} > σ_{T}$
(E) $σ_{T} > σ_{X}$

載入中...

若隨機變數

X \sim B (30, 0.3)

，設

P (X = k)

為

X = k

（

k = 0, 1, 2, \dots, 29, 30

）時的機率，則下列何者正確？

(A) $X$ 的期望值為 $9$
(B) $X$ 的標準差為 $6.3$
(C) 在 $k = 9$ 時， $P (X = k)$ 最大
(D) $P (X = 8) > P (X = 20)$
(E) $P (X = 10) > P (X = 15)$

已知隨機變數

X

的期望值

E (X) = \frac{5}{2}

，且

E (X^{2}) = 10

，則下列哪些敘述正確？

(A) $Var (X) = \frac{15}{4}$
(B) $σ (X) = \frac{15}{2}$
(C) $Var (2 X - 3) = 12$
(D) $E (2 X - 3) = 2$
(E) $Var (X + 3) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$

二、填充題：60%（每格 5 分，共 12 格）

第 4～5 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 4～5 題）　某一期的彩券共發行

10

萬張，其中彩金

10

萬元的有

1

張，彩金

1

萬元的有

50

張，彩金

2000

元的有

100

張，每張售價

50

元，試求：

(1) 中獎率為 ____

(2) 今購買一張彩券，你預期會損失 ____ 元。

第 6～7 題為題組（原卷填充第 2 題）（第 6～7 題）　擲

2

枚均勻的硬幣一次，若出現

2

正面可得

30

元，其他情形（一正一反或

2

反面）可得

10

元。則：

(1) 擲一次可得金額的期望值為 ____ 元。

(2) 現今小豪擲

4

次，則他獲得

100

元的機率為 ____

投擲一公正骰子

5

次，恰好出現

3

次

1

點之機率為

\frac{a}{6 ^{5}}

，恰好在第

5

次出現第

3

次

1

點之機率為

\frac{b}{6 ^{5}}

，則數對

(a, b) =

____

第 9～10 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 9～10 題）　根據統計資料：一個

70

歲的人，在一年內保持健康的機率為

55%

，生病的機率為

40%

，死亡的機率為

5%

。某保險公司今年針對

70

歲的人設計了一年期的壽險，理賠金額如下：生病給付

5

萬元，死亡給付

100

萬；每位要保人一開始需繳納保費

8

萬元，試問：

(1) 保險公司獲益的期望值為 ____ 元。

(2) 若保險公司想將獲益提升為

1

萬

6

千元，又不想提高保費或調降死亡給付，則生病給付應調整為 ____ 元。

第 11～12 題為題組（原卷填充第 5 題）（第 11～12 題）　甲、乙兩人進行乒乓球比賽，已知每場甲獲勝之機率為乙的

2

倍，且比賽均不得有和局，約定先勝三場者可獲得獎金

540

元，今比賽了兩場，甲、乙各勝一場，但卻因故停止比賽並決定不再比賽，則

(1) 甲獲得最後勝利的機率為 ____

(2) 獎金依獲勝機率分配，甲應獲得 ____ 元。

第 13～14 題為題組（原卷填充第 6 題）（第 13～14 題）　已知某工廠生產的產品中，良品的機率為

0.96

，意即每生產

100

個產品，平均有

4

個是不良品。今從生產線上任意選取

150

個產品，試求選到不良品個數的

(1) 期望值為 ____

(2) 標準差為 ____

小玲有一顆神奇骰子，其出現

6

點的機率為

p

，假設

p

只可能是

\frac{1}{4}

或

\frac{1}{6}

。今訂定檢定的準則如下：投擲此骰子

5

次，若出現

6

點的次數不超過

1

次，則判定

p = \frac{1}{6}

；否則判定

p = \frac{1}{4}

。試問：若

p = \frac{1}{4}

，則可以做出正確判定的機率為 ____

三、計算題：19%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）

第 16～17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 16～17 題）　一疊撲克牌共

52

張，每種花色有

13

種點數。今自其中任取一張，若抽中

2 \sim 10

則無獎金，抽中 J 可得

10

元，抽中 Q 可得

20

元，抽中 K 可得

40

元，抽中 A 可得

60

元，設隨機變數

X

為抽一張撲克牌所得獎金，試求

(1) 隨機變數

X

的機率分布表？（4%）

(2) 隨機變數

X

的期望值與變異數（8%）

第 18～19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～19 題）　袋中有紅、黃兩種顏色且大小相同的球共

30

個，自袋中取球，每次取

1

球，取後放回，且每個球被取出的機率相同。假設共取

n

次，隨機變數

X

為取到紅球的次數，若

X

期望值為

60

次，標準差為

36

次，試問（卷面印「標準差為

36

次」，照字面算不出合理的機率；依題意應是變異數為

36

，本頁照變異數

36

作答。）

(1) 若取到紅球的機率為

p

，則

p =

？（4%）

(2) 承上，紅球個數有幾個？（3%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(E)

第 2 題(A)(C)(D)(E)

第 3 題(A)(B)(D)(E)

第 4 題

\frac{151}{100000}

（即

0.151%

）

第 5 題

42

第 6 題

15

第 7 題

\frac{3}{64}

第 8 題

(250, 150)

第 9 題

10000

第 10 題

35000

第 11 題

\frac{20}{27}

第 12 題

400

第 13 題

6

第 14 題

2.4

第 15 題

\frac{47}{128}

第 16 題

P (X = 0) = \frac{9}{13}

，

P (X = 10) = P (X = 20) = P (X = 40) = P (X = 60) = \frac{1}{13}

第 17 題期望值

10

，變異數

\frac{4400}{13}

第 18 題

\frac{2}{5}

（把卷面的 36 當作變異數來算；照卷面的「標準差為 36 次」沒有符合的機率，見詳解）

第 19 題

12

個（承上一小題，把卷面的 36 當作變異數）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1 題：由機率質量函數圖比較標準差

第 1 題答案 (A)(B)(C)(E)。先從圖讀出各分布，再算變異數。

X

：取

1, 2, 3, 4, 5

的機率依序是

0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1

，左右對稱，

E (X) = 3

，

Var (X) = (- 2)^{2} \times 0.1 + (- 1)^{2} \times 0.2 + 0 + 1^{2} \times 0.2 + 2^{2} \times 0.1 = 1.2

。

Y

：取值是

10, 20, 30, 40, 50

，機率與

X

相同，也就是

Y = 10 X

，所以

σ_{Y} = 10 σ_{X}

。

Z

：取

1

到

5

的機率都是

0.2

，

E (Z) = 3

，

Var (Z) = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) \times 0.2 = 2

。

W

：取

3

到

7

的機率都是

0.2

，也就是

W = Z + 2

，平移不改變離散程度，

Var (W) = 2

。

T

：取

1, 2, 3, 4, 5

的機率依序是

0.3, 0.15, 0.1, 0.15, 0.3

，

E (T) = 3

，

Var (T) = 4 \times 0.3 + 1 \times 0.15 + 0 + 1 \times 0.15 + 4 \times 0.3 = 2.7

。所以

σ_{X} = 1.2

，

σ_{Y} = 10 1.2

，

σ_{Z} = σ_{W} = 2

，

σ_{T} = 2.7

。(A) ○：

10 1.2 > 1.2

。(B) ○：兩者都是

2

。(C) ○：

2 > 1.2

。(D) ×：

2 < 2.7

。(E) ○：

2.7 > 1.2

。

不必算也看得出大小：機率愈集中在平均數

3

附近（

X

），標準差愈小；愈集中在兩端（

T

），標準差愈大；每個值都一樣多的

Z

介於中間。

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

：整體放大

a

倍，標準差跟著放大；整體平移，標準差不變。

02多選第 2、3 題：二項分布的性質、期望值與變異數的運算

第 2 題答案 (A)(C)(D)(E)。

P (X = k) = C_{k}^{30} (0.3)^{k} (0.7)^{30 - k}

。(A) ○：期望值

n p = 30 \times 0.3 = 9

。(B) ×：變異數

n p (1 - p) = 30 \times 0.3 \times 0.7 = 6.3

，標準差是

6.3

，不是

6.3

。(C) ○：比較相鄰兩項，

\frac{P ( X = k )}{P ( X = k - 1 )} = \frac{31 - k}{k} \times \frac{0.3}{0.7} = \frac{3 ( 31 - k )}{7 k}

。這個比值大於

1

相當於

93 - 3 k > 7 k

，即

k < 9.3

。所以

k \leq 9

時機率一路變大，

k \geq 10

時一路變小，

k = 9

時最大。(D) ○：

\frac{P ( X = 10 )}{P ( X = 8 )} = \frac{3 \times 21}{7 \times 10} \times \frac{3 \times 22}{7 \times 9} = \frac{9}{10} \times \frac{22}{21} = \frac{33}{35} < 1

，所以

P (X = 8) > P (X = 10)

；又

k \geq 10

之後機率遞減，

P (X = 10) > P (X = 20)

，合起來

P (X = 8) > P (X = 20)

。(E) ○：

k \geq 10

之後機率遞減，所以

P (X = 10) > P (X = 15)

。

選項 (B) 的

6.3

是變異數。選項 (D) 的

8

與

20

分在最大值

k = 9

的兩側，不能直接用遞增或遞減比，要先拿

P (X = 8)

和右側的

P (X = 10)

比。

第 3 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) ○：

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 10 - \frac{25}{4} = \frac{15}{4}

。(B) ○：

σ (X) = \frac{15}{4} = \frac{15}{2}

。(C) ×：

Var (2 X - 3) = 2^{2} Var (X) = 4 \times \frac{15}{4} = 15

，不是

12

。(D) ○：

E (2 X - 3) = 2 E (X) - 3 = 5 - 3 = 2

。(E) ○：加上常數不改變變異數，

Var (X + 3) = Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

。

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

：係數要平方，常數項不影響。

X \sim B (n, p)

：期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

；要找機率最大的次數，比較相鄰兩項的比值。

03填充第 1、2 題（本頁第 4～7 題）：彩券與擲硬幣的期望值

第 4 題有獎的彩券共

1 + 50 + 100 = 151

張，全部

100000

張，中獎率是

\frac{151}{100000} = 0.00151

，也就是

0.151%

。

第 5 題一張彩券彩金的期望值是

100000 \times \frac{1}{100000} + 10000 \times \frac{50}{100000} + 2000 \times \frac{100}{100000} = 1 + 5 + 2 = 8

（元）。買一張要付

50

元，所以預期損失

50 - 8 = 42

元。

也可以用總額想：全部彩金

100000 + 500000 + 200000 = 800000

元，平均分給

10

萬張，每張

8

元。

第 6 題擲

2

枚均勻硬幣，出現

2

正面的機率是

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

，其他情形的機率是

\frac{3}{4}

。期望值

= 30 \times \frac{1}{4} + 10 \times \frac{3}{4} = \frac{30 + 30}{4} = 15

（元）。

第 7 題設

4

次中有

k

次出現

2

正面，總金額是

30 k + 10 (4 - k) = 40 + 20 k

。令

40 + 20 k = 100

，得

k = 3

。每次出現

2

正面的機率是

\frac{1}{4}

，

4

次中恰有

3

次的機率是

C_{3}^{4} (\frac{1}{4})^{3} (\frac{3}{4}) = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}

。

期望值是「每個結果的值乘上它的機率」的總和；預期損失是付出的錢減去期望拿回的錢。

04填充第 3、4 題（本頁第 8～10 題）：重複試驗的機率、保險的期望獲益

第 8 題每次出現

1

點的機率是

\frac{1}{6}

。恰好出現

3

次

1

點：

C_{3}^{5} (\frac{1}{6})^{3} (\frac{5}{6})^{2} = \frac{10 \times 25}{6 ^{5}} = \frac{250}{6 ^{5}}

，所以

a = 250

。恰好在第

5

次出現第

3

次

1

點，表示前

4

次恰有

2

次

1

點，而且第

5

次是

1

點：

C_{2}^{4} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2} \times \frac{1}{6} = \frac{6 \times 25}{6 ^{5}} = \frac{150}{6 ^{5}}

，所以

b = 150

。

(a, b) = (250, 150)

。

題目指定分母是

6^{5}

，分子不要約分。

第 9 題保險公司對每位要保人先收

80000

元。理賠的期望值是

0 \times 0.55 + 50000 \times 0.4 + 1000000 \times 0.05 = 20000 + 50000 = 70000

（元）。獲益的期望值

= 80000 - 70000 = 10000

元。

第 10 題設生病給付調整為

x

元。獲益的期望值

= 80000 - (0.4 x + 1000000 \times 0.05) = 30000 - 0.4 x

。令

30000 - 0.4 x = 16000

，得

0.4 x = 14000

，

x = 35000

（元）。

期望獲益要多

6000

元，生病的機率是

0.4

，所以生病給付要少

6000 \div 0.4 = 15000

元，從

50000

降到

35000

。

「恰在第

n

次出現第

r

次成功」＝前

n - 1

次恰有

r - 1

次成功，再乘上第

n

次成功的機率。

05填充第 5～7 題（本頁第 11～15 題）：比賽中止的獎金分配、二項分布、判定準則

第 11 題每場沒有和局，甲獲勝的機率是乙的

2

倍，所以甲每場獲勝的機率是

\frac{2}{3}

，乙是

\frac{1}{3}

。目前各勝一場，先勝三場者贏，所以誰先再贏

2

場誰就獲勝。如果比下去，甲獲勝的情形有：接下來「甲甲」，機率

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

；「甲乙甲」或「乙甲甲」，機率各是

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{27}

。合計

\frac{4}{9} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} = \frac{12 + 4 + 4}{27} = \frac{20}{27}

。

乙獲勝的機率是

\frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{7}{27}

，兩者相加是

1

。

第 12 題獎金依獲勝機率分配，甲應得

540 \times \frac{20}{27} = 400

元（乙得

140

元）。

不是照每場的勝率

2 : 1

分成

360

元與

180

元，而是照「如果比完，各自最後獲勝的機率」分。

第 13 題每個產品是不良品的機率是

1 - 0.96 = 0.04

，各產品互不影響，

150

個產品中不良品的個數

X \sim B (150, 0.04)

。期望值

= 150 \times 0.04 = 6

。

第 14 題變異數

= 150 \times 0.04 \times 0.96 = 5.76

，標準差

= 5.76 = 2.4

。

題目問的是不良品的個數，機率要用

0.04

。

5.76 = 2. 4^{2}

。

第 15 題

p = \frac{1}{4}

時，做出正確判定就是判定成

p = \frac{1}{4}

，依準則是「出現

6

點的次數超過

1

次」，也就是至少

2

次。此時

6

點的次數

X \sim B (5, \frac{1}{4})

，

P (X = 0) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024}

，

P (X = 1) = C_{1}^{5} \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{4} = \frac{405}{1024}

。所求

= 1 - \frac{243}{1024} - \frac{405}{1024} = \frac{376}{1024} = \frac{47}{128}

。

計算時用的機率是真正的

p = \frac{1}{4}

，不是

\frac{1}{6}

。

\frac{47}{128} \approx 0.367

，表示這個準則在

p = \frac{1}{4}

時有六成多的機會判錯。

比賽中止的獎金分配：算出「繼續比完」時各人獲勝的機率，照機率分獎金。

06計算第 1 題（本頁第 16、17 題）：撲克牌獎金的機率分布、期望值與變異數

第 16 題

52

張牌中，每種點數各有

4

張。點數

2 \sim 10

共

9

種、

36

張，獎金

0

元；J、Q、K、A 各

4

張，獎金依序是

10

、

20

、

40

、

60

元。所以

P (X = 0) = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}

，其餘各是

\frac{4}{52} = \frac{1}{13}

。機率分布表為

X 機率 0 \frac{9}{13} 10 \frac{1}{13} 20 \frac{1}{13} 40 \frac{1}{13} 60 \frac{1}{13}

五個機率相加是

\frac{9 + 1 + 1 + 1 + 1}{13} = 1

。

第 17 題期望值（單位：元）：

E (X) = 0 \times \frac{9}{13} + \frac{10 + 20 + 40 + 60}{13} = \frac{130}{13} = 10

再算平方的期望值：

E (X^{2}) = \frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} + 4 0 ^{2} + 6 0 ^{2}}{13} = \frac{100 + 400 + 1600 + 3600}{13} = \frac{5700}{13}

所以變異數是

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{5700}{13} - 100 = \frac{4400}{13}

\frac{4400}{13} \approx 338.5

。變異數的單位是元的平方，題目沒有要求標準差，不必再開根號。

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

，先算

E (X)

與

E (X^{2})

再相減。

07計算第 2 題（本頁第 18、19 題）：由期望值與變異數反求機率與球數

第 18 題取後放回，每次取到紅球的機率都是

p

，各次互不影響，

X \sim B (n, p)

，期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。先照卷面的字算：標準差

36

表示變異數是

3 6^{2} = 1296

，與

n p = 60

相除得

1 - p = \frac{1296}{60} = 21.6

，比

1

還大，沒有這樣的機率。事實上二項分布的變異數

n p (1 - p)

一定不超過期望值

n p

，期望值

60

時標準差不可能超過

60 \approx 7.7

。所以卷面的

36

應是變異數。把

36

當作變異數：

n p = 60

，

n p (1 - p) = 36

，兩式相除得

1 - p = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}

，所以

p = \frac{2}{5}

。若把題目改成標準差為

6

，變異數同樣是

36

，結果相同。

代回

n \times \frac{2}{5} = 60

得

n = 150

，是正整數，數字合理。本卷沒有學校公布的答案；若老師在課堂上更正過題目的數字，以老師的更正為準。

第 19 題袋中共

30

個球，每個球被取出的機率相同，取到紅球的機率

p = \frac{紅球個數}{30} = \frac{2}{5}

，所以紅球有

30 \times \frac{2}{5} = 12

個（黃球

18

個）。

二項分布反求：用變異數除以期望值得到

1 - p

，再用

n p

求

n

。

同一次段考的其他學校

同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

你們學校的段考卷也想要詳解？

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常見問題

高雄新興高中 111 上高三第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的選項 C 要比較相鄰兩個次數的機率，才知道機率在九次時最大。第 7 題先由總金額反推出四次裡恰有三次是兩個正面。第 8 題的第二個機率是前四次恰有兩次一點，再乘上第五次是一點。第 11 題要從各勝一場的局面往下推，不是照每場的勝率分。第 18 題卷面印的標準差三十六照字面算不出機率，要當作變異數三十六來算。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學乙，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高三

段考詳解範圍：隨機變數與機率分布、期望值、變異數與標準差、二項分布

高雄新興高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 19 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

一、多選題：21%（每題 7 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）

已知隨機變數

X

、

Y

、

Z

、

W

、

T

的機率函數質量圖分別如下圖所示，標準差分別為

σ_{X}

、

σ_{Y}

、

σ_{Z}

、

σ_{W}

、

σ_{T}

。下列敘述哪些是正確的？

(A) $σ_{Y} > σ_{X}$
(B) $σ_{W} = σ_{Z}$
(C) $σ_{W} > σ_{X}$
(D) $σ_{Z} > σ_{T}$
(E) $σ_{T} > σ_{X}$

載入中...

若隨機變數

X \sim B (30, 0.3)

，設

P (X = k)

為

X = k

（

k = 0, 1, 2, \dots, 29, 30

）時的機率，則下列何者正確？

(A) $X$ 的期望值為 $9$
(B) $X$ 的標準差為 $6.3$
(C) 在 $k = 9$ 時， $P (X = k)$ 最大
(D) $P (X = 8) > P (X = 20)$
(E) $P (X = 10) > P (X = 15)$

已知隨機變數

X

的期望值

E (X) = \frac{5}{2}

，且

E (X^{2}) = 10

，則下列哪些敘述正確？

(A) $Var (X) = \frac{15}{4}$
(B) $σ (X) = \frac{15}{2}$
(C) $Var (2 X - 3) = 12$
(D) $E (2 X - 3) = 2$
(E) $Var (X + 3) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}$

二、填充題：60%（每格 5 分，共 12 格）

第 4～5 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 4～5 題）　某一期的彩券共發行

10

萬張，其中彩金

10

萬元的有

1

張，彩金

1

萬元的有

50

張，彩金

2000

元的有

100

張，每張售價

50

元，試求：

(1) 中獎率為 ____

(2) 今購買一張彩券，你預期會損失 ____ 元。

第 6～7 題為題組（原卷填充第 2 題）（第 6～7 題）　擲

2

枚均勻的硬幣一次，若出現

2

正面可得

30

元，其他情形（一正一反或

2

反面）可得

10

元。則：

(1) 擲一次可得金額的期望值為 ____ 元。

(2) 現今小豪擲

4

次，則他獲得

100

元的機率為 ____

投擲一公正骰子

5

次，恰好出現

3

次

1

點之機率為

\frac{a}{6 ^{5}}

，恰好在第

5

次出現第

3

次

1

點之機率為

\frac{b}{6 ^{5}}

，則數對

(a, b) =

____

第 9～10 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 9～10 題）　根據統計資料：一個

70

歲的人，在一年內保持健康的機率為

55%

，生病的機率為

40%

，死亡的機率為

5%

。某保險公司今年針對

70

歲的人設計了一年期的壽險，理賠金額如下：生病給付

5

萬元，死亡給付

100

萬；每位要保人一開始需繳納保費

8

萬元，試問：

(1) 保險公司獲益的期望值為 ____ 元。

(2) 若保險公司想將獲益提升為

1

萬

6

千元，又不想提高保費或調降死亡給付，則生病給付應調整為 ____ 元。

第 11～12 題為題組（原卷填充第 5 題）（第 11～12 題）　甲、乙兩人進行乒乓球比賽，已知每場甲獲勝之機率為乙的

2

倍，且比賽均不得有和局，約定先勝三場者可獲得獎金

540

元，今比賽了兩場，甲、乙各勝一場，但卻因故停止比賽並決定不再比賽，則

(1) 甲獲得最後勝利的機率為 ____

(2) 獎金依獲勝機率分配，甲應獲得 ____ 元。

第 13～14 題為題組（原卷填充第 6 題）（第 13～14 題）　已知某工廠生產的產品中，良品的機率為

0.96

，意即每生產

100

個產品，平均有

4

個是不良品。今從生產線上任意選取

150

個產品，試求選到不良品個數的

(1) 期望值為 ____

(2) 標準差為 ____

小玲有一顆神奇骰子，其出現

6

點的機率為

p

，假設

p

只可能是

\frac{1}{4}

或

\frac{1}{6}

。今訂定檢定的準則如下：投擲此骰子

5

次，若出現

6

點的次數不超過

1

次，則判定

p = \frac{1}{6}

；否則判定

p = \frac{1}{4}

。試問：若

p = \frac{1}{4}

，則可以做出正確判定的機率為 ____

三、計算題：19%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）

第 16～17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 16～17 題）　一疊撲克牌共

52

張，每種花色有

13

種點數。今自其中任取一張，若抽中

2 \sim 10

則無獎金，抽中 J 可得

10

元，抽中 Q 可得

20

元，抽中 K 可得

40

元，抽中 A 可得

60

元，設隨機變數

X

為抽一張撲克牌所得獎金，試求

(1) 隨機變數

X

的機率分布表？（4%）

(2) 隨機變數

X

的期望值與變異數（8%）

第 18～19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～19 題）　袋中有紅、黃兩種顏色且大小相同的球共

30

個，自袋中取球，每次取

1

球，取後放回，且每個球被取出的機率相同。假設共取

n

次，隨機變數

X

為取到紅球的次數，若

X

期望值為

60

次，標準差為

36

次，試問（卷面印「標準差為

36

次」，照字面算不出合理的機率；依題意應是變異數為

36

，本頁照變異數

36

作答。）

(1) 若取到紅球的機率為

p

，則

p =

？（4%）

(2) 承上，紅球個數有幾個？（3%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(E)

第 2 題(A)(C)(D)(E)

第 3 題(A)(B)(D)(E)

第 4 題

\frac{151}{100000}

（即

0.151%

）

第 5 題

42

第 6 題

15

第 7 題

\frac{3}{64}

第 8 題

(250, 150)

第 9 題

10000

第 10 題

35000

第 11 題

\frac{20}{27}

第 12 題

400

第 13 題

6

第 14 題

2.4

第 15 題

\frac{47}{128}

第 16 題

P (X = 0) = \frac{9}{13}

，

P (X = 10) = P (X = 20) = P (X = 40) = P (X = 60) = \frac{1}{13}

第 17 題期望值

10

，變異數

\frac{4400}{13}

第 18 題

\frac{2}{5}

（把卷面的 36 當作變異數來算；照卷面的「標準差為 36 次」沒有符合的機率，見詳解）

第 19 題

12

個（承上一小題，把卷面的 36 當作變異數）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1 題：由機率質量函數圖比較標準差

第 1 題答案 (A)(B)(C)(E)。先從圖讀出各分布，再算變異數。

X

：取

1, 2, 3, 4, 5

的機率依序是

0.1, 0.2, 0.4, 0.2, 0.1

，左右對稱，

E (X) = 3

，

Var (X) = (- 2)^{2} \times 0.1 + (- 1)^{2} \times 0.2 + 0 + 1^{2} \times 0.2 + 2^{2} \times 0.1 = 1.2

。

Y

：取值是

10, 20, 30, 40, 50

，機率與

X

相同，也就是

Y = 10 X

，所以

σ_{Y} = 10 σ_{X}

。

Z

：取

1

到

5

的機率都是

0.2

，

E (Z) = 3

，

Var (Z) = (4 + 1 + 0 + 1 + 4) \times 0.2 = 2

。

W

：取

3

到

7

的機率都是

0.2

，也就是

W = Z + 2

，平移不改變離散程度，

Var (W) = 2

。

T

：取

1, 2, 3, 4, 5

的機率依序是

0.3, 0.15, 0.1, 0.15, 0.3

，

E (T) = 3

，

Var (T) = 4 \times 0.3 + 1 \times 0.15 + 0 + 1 \times 0.15 + 4 \times 0.3 = 2.7

。所以

σ_{X} = 1.2

，

σ_{Y} = 10 1.2

，

σ_{Z} = σ_{W} = 2

，

σ_{T} = 2.7

。(A) ○：

10 1.2 > 1.2

。(B) ○：兩者都是

2

。(C) ○：

2 > 1.2

。(D) ×：

2 < 2.7

。(E) ○：

2.7 > 1.2

。

不必算也看得出大小：機率愈集中在平均數

3

附近（

X

），標準差愈小；愈集中在兩端（

T

），標準差愈大；每個值都一樣多的

Z

介於中間。

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

：整體放大

a

倍，標準差跟著放大；整體平移，標準差不變。

02多選第 2、3 題：二項分布的性質、期望值與變異數的運算

第 2 題答案 (A)(C)(D)(E)。

P (X = k) = C_{k}^{30} (0.3)^{k} (0.7)^{30 - k}

。(A) ○：期望值

n p = 30 \times 0.3 = 9

。(B) ×：變異數

n p (1 - p) = 30 \times 0.3 \times 0.7 = 6.3

，標準差是

6.3

，不是

6.3

。(C) ○：比較相鄰兩項，

\frac{P ( X = k )}{P ( X = k - 1 )} = \frac{31 - k}{k} \times \frac{0.3}{0.7} = \frac{3 ( 31 - k )}{7 k}

。這個比值大於

1

相當於

93 - 3 k > 7 k

，即

k < 9.3

。所以

k \leq 9

時機率一路變大，

k \geq 10

時一路變小，

k = 9

時最大。(D) ○：

\frac{P ( X = 10 )}{P ( X = 8 )} = \frac{3 \times 21}{7 \times 10} \times \frac{3 \times 22}{7 \times 9} = \frac{9}{10} \times \frac{22}{21} = \frac{33}{35} < 1

，所以

P (X = 8) > P (X = 10)

；又

k \geq 10

之後機率遞減，

P (X = 10) > P (X = 20)

，合起來

P (X = 8) > P (X = 20)

。(E) ○：

k \geq 10

之後機率遞減，所以

P (X = 10) > P (X = 15)

。

選項 (B) 的

6.3

是變異數。選項 (D) 的

8

與

20

分在最大值

k = 9

的兩側，不能直接用遞增或遞減比，要先拿

P (X = 8)

和右側的

P (X = 10)

比。

第 3 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) ○：

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 10 - \frac{25}{4} = \frac{15}{4}

。(B) ○：

σ (X) = \frac{15}{4} = \frac{15}{2}

。(C) ×：

Var (2 X - 3) = 2^{2} Var (X) = 4 \times \frac{15}{4} = 15

，不是

12

。(D) ○：

E (2 X - 3) = 2 E (X) - 3 = 5 - 3 = 2

。(E) ○：加上常數不改變變異數，

Var (X + 3) = Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

。

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

：係數要平方，常數項不影響。

X \sim B (n, p)

：期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

；要找機率最大的次數，比較相鄰兩項的比值。

03填充第 1、2 題（本頁第 4～7 題）：彩券與擲硬幣的期望值

第 4 題有獎的彩券共

1 + 50 + 100 = 151

張，全部

100000

張，中獎率是

\frac{151}{100000} = 0.00151

，也就是

0.151%

。

第 5 題一張彩券彩金的期望值是

100000 \times \frac{1}{100000} + 10000 \times \frac{50}{100000} + 2000 \times \frac{100}{100000} = 1 + 5 + 2 = 8

（元）。買一張要付

50

元，所以預期損失

50 - 8 = 42

元。

也可以用總額想：全部彩金

100000 + 500000 + 200000 = 800000

元，平均分給

10

萬張，每張

8

元。

第 6 題擲

2

枚均勻硬幣，出現

2

正面的機率是

\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

，其他情形的機率是

\frac{3}{4}

。期望值

= 30 \times \frac{1}{4} + 10 \times \frac{3}{4} = \frac{30 + 30}{4} = 15

（元）。

第 7 題設

4

次中有

k

次出現

2

正面，總金額是

30 k + 10 (4 - k) = 40 + 20 k

。令

40 + 20 k = 100

，得

k = 3

。每次出現

2

正面的機率是

\frac{1}{4}

，

4

次中恰有

3

次的機率是

C_{3}^{4} (\frac{1}{4})^{3} (\frac{3}{4}) = \frac{12}{256} = \frac{3}{64}

。

期望值是「每個結果的值乘上它的機率」的總和；預期損失是付出的錢減去期望拿回的錢。

04填充第 3、4 題（本頁第 8～10 題）：重複試驗的機率、保險的期望獲益

第 8 題每次出現

1

點的機率是

\frac{1}{6}

。恰好出現

3

次

1

點：

C_{3}^{5} (\frac{1}{6})^{3} (\frac{5}{6})^{2} = \frac{10 \times 25}{6 ^{5}} = \frac{250}{6 ^{5}}

，所以

a = 250

。恰好在第

5

次出現第

3

次

1

點，表示前

4

次恰有

2

次

1

點，而且第

5

次是

1

點：

C_{2}^{4} (\frac{1}{6})^{2} (\frac{5}{6})^{2} \times \frac{1}{6} = \frac{6 \times 25}{6 ^{5}} = \frac{150}{6 ^{5}}

，所以

b = 150

。

(a, b) = (250, 150)

。

題目指定分母是

6^{5}

，分子不要約分。

第 9 題保險公司對每位要保人先收

80000

元。理賠的期望值是

0 \times 0.55 + 50000 \times 0.4 + 1000000 \times 0.05 = 20000 + 50000 = 70000

（元）。獲益的期望值

= 80000 - 70000 = 10000

元。

第 10 題設生病給付調整為

x

元。獲益的期望值

= 80000 - (0.4 x + 1000000 \times 0.05) = 30000 - 0.4 x

。令

30000 - 0.4 x = 16000

，得

0.4 x = 14000

，

x = 35000

（元）。

期望獲益要多

6000

元，生病的機率是

0.4

，所以生病給付要少

6000 \div 0.4 = 15000

元，從

50000

降到

35000

。

「恰在第

n

次出現第

r

次成功」＝前

n - 1

次恰有

r - 1

次成功，再乘上第

n

次成功的機率。

05填充第 5～7 題（本頁第 11～15 題）：比賽中止的獎金分配、二項分布、判定準則

第 11 題每場沒有和局，甲獲勝的機率是乙的

2

倍，所以甲每場獲勝的機率是

\frac{2}{3}

，乙是

\frac{1}{3}

。目前各勝一場，先勝三場者贏，所以誰先再贏

2

場誰就獲勝。如果比下去，甲獲勝的情形有：接下來「甲甲」，機率

\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}

；「甲乙甲」或「乙甲甲」，機率各是

\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{27}

。合計

\frac{4}{9} + \frac{4}{27} + \frac{4}{27} = \frac{12 + 4 + 4}{27} = \frac{20}{27}

。

乙獲勝的機率是

\frac{1}{9} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{7}{27}

，兩者相加是

1

。

第 12 題獎金依獲勝機率分配，甲應得

540 \times \frac{20}{27} = 400

元（乙得

140

元）。

不是照每場的勝率

2 : 1

分成

360

元與

180

元，而是照「如果比完，各自最後獲勝的機率」分。

第 13 題每個產品是不良品的機率是

1 - 0.96 = 0.04

，各產品互不影響，

150

個產品中不良品的個數

X \sim B (150, 0.04)

。期望值

= 150 \times 0.04 = 6

。

第 14 題變異數

= 150 \times 0.04 \times 0.96 = 5.76

，標準差

= 5.76 = 2.4

。

題目問的是不良品的個數，機率要用

0.04

。

5.76 = 2. 4^{2}

。

第 15 題

p = \frac{1}{4}

時，做出正確判定就是判定成

p = \frac{1}{4}

，依準則是「出現

6

點的次數超過

1

次」，也就是至少

2

次。此時

6

點的次數

X \sim B (5, \frac{1}{4})

，

P (X = 0) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024}

，

P (X = 1) = C_{1}^{5} \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{4} = \frac{405}{1024}

。所求

= 1 - \frac{243}{1024} - \frac{405}{1024} = \frac{376}{1024} = \frac{47}{128}

。

計算時用的機率是真正的

p = \frac{1}{4}

，不是

\frac{1}{6}

。

\frac{47}{128} \approx 0.367

，表示這個準則在

p = \frac{1}{4}

時有六成多的機會判錯。

比賽中止的獎金分配：算出「繼續比完」時各人獲勝的機率，照機率分獎金。

06計算第 1 題（本頁第 16、17 題）：撲克牌獎金的機率分布、期望值與變異數

第 16 題

52

張牌中，每種點數各有

4

張。點數

2 \sim 10

共

9

種、

36

張，獎金

0

元；J、Q、K、A 各

4

張，獎金依序是

10

、

20

、

40

、

60

元。所以

P (X = 0) = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}

，其餘各是

\frac{4}{52} = \frac{1}{13}

。機率分布表為

X 機率 0 \frac{9}{13} 10 \frac{1}{13} 20 \frac{1}{13} 40 \frac{1}{13} 60 \frac{1}{13}

五個機率相加是

\frac{9 + 1 + 1 + 1 + 1}{13} = 1

。

第 17 題期望值（單位：元）：

E (X) = 0 \times \frac{9}{13} + \frac{10 + 20 + 40 + 60}{13} = \frac{130}{13} = 10

再算平方的期望值：

E (X^{2}) = \frac{1 0 ^{2} + 2 0 ^{2} + 4 0 ^{2} + 6 0 ^{2}}{13} = \frac{100 + 400 + 1600 + 3600}{13} = \frac{5700}{13}

所以變異數是

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = \frac{5700}{13} - 100 = \frac{4400}{13}

\frac{4400}{13} \approx 338.5

。變異數的單位是元的平方，題目沒有要求標準差，不必再開根號。

Var (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

，先算

E (X)

與

E (X^{2})

再相減。

07計算第 2 題（本頁第 18、19 題）：由期望值與變異數反求機率與球數

第 18 題取後放回，每次取到紅球的機率都是

p

，各次互不影響，

X \sim B (n, p)

，期望值

n p

，變異數

n p (1 - p)

。先照卷面的字算：標準差

36

表示變異數是

3 6^{2} = 1296

，與

n p = 60

相除得

1 - p = \frac{1296}{60} = 21.6

，比

1

還大，沒有這樣的機率。事實上二項分布的變異數

n p (1 - p)

一定不超過期望值

n p

，期望值

60

時標準差不可能超過

60 \approx 7.7

。所以卷面的

36

應是變異數。把

36

當作變異數：

n p = 60

，

n p (1 - p) = 36

，兩式相除得

1 - p = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}

，所以

p = \frac{2}{5}

。若把題目改成標準差為

6

，變異數同樣是

36

，結果相同。

代回

n \times \frac{2}{5} = 60

得

n = 150

，是正整數，數字合理。本卷沒有學校公布的答案；若老師在課堂上更正過題目的數字，以老師的更正為準。

第 19 題袋中共

30

個球，每個球被取出的機率相同，取到紅球的機率

p = \frac{紅球個數}{30} = \frac{2}{5}

，所以紅球有

30 \times \frac{2}{5} = 12

個（黃球

18

個）。

二項分布反求：用變異數除以期望值得到

1 - p

，再用

n p

求

n

。

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03填充第 1、2 題（本頁第 4～7 題）：彩券與擲硬幣的期望值

04填充第 3、4 題（本頁第 8～10 題）：重複試驗的機率、保險的期望獲益

05填充第 5～7 題（本頁第 11～15 題）：比賽中止的獎金分配、二項分布、判定準則

06計算第 1 題（本頁第 16、17 題）：撲克牌獎金的機率分布、期望值與變異數

07計算第 2 題（本頁第 18、19 題）：由期望值與變異數反求機率與球數

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高三第一次段考
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