段考詳解範圍：指數函數、對數與對數律、換底公式、對數函數的圖形、指數與對數的應用

高雄新興高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題的 (B) 底數二分之一的指數與對數圖形只交在直線 y=x 上一點；第 3 題 (D) 兩個負的對數相比，除以小於一的正數反而變得更負；第 11 題要把負四點二加負二點五寫成負七加零點三；第 16 題絕對值要分 x 大於等於一與小於一兩段看交點；第 17 題要照卷面給的近似值算，得到的最小整數會比精確值多一。詳解逐題寫在本頁。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 4 題（每題 6 分，共 24 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）、填充題 12 格（每格 5 分，共 60 分）、計算題 3 題（共 16 分：第 1 題 5 分、第 2 題 5 分、第 3 題 (1) 2 分、(2) 4 分），合計 100 分。卷頭給的參考對數值：log2≈0.3010，log3≈0.4771，log7≈0.8451。原卷各大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 5～16 題是填充第 1～12 題，第 17～20 題是計算題第 1、2 題與第 3 題的兩小題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題（每題 6 分，共 24 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）

關於指數與對數函數的圖形，下列選項哪些是正確的？

(A) $y = lo g_{3} x$ 與 $y = - lo g_{3} x$ 的圖形對稱於 $x$ 軸
(B) $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 的圖形交於一點
(C) $y = lo g x$ 圖形恆在 $x$ 軸的上方
(D) $y = 5^{x}$ 與 $y = lo g_{5} x$ 之圖形皆為凹口向上
(E) $y = (\frac{1}{5})^{x}$ 與 $y = - lo g_{5} x$ 的圖形對稱於 $x - y = 0$

下列哪些選項是正確的？

(A) $\frac{lo g 8}{lo g 4} = 2$
(B) $lo g_{(- 2)} 1 = 0$
(C) $lo g (- 3)^{2} = 2 lo g 3$
(D) $8^{l o g_{2} 5} = 125$
(E) $(lo g_{2} 6)^{2} = 2 lo g_{2} 6$

下列哪些不等式正確？

(A) $(2)^{π} > (2)^{2}$
(B) $2^{40} > 3^{30}$
(C) $0.3 > (0.09)^{0.5}$
(D) $lo g \frac{2}{5} > lo g_{3} \frac{2}{5}$
(E) $lo g_{\frac{1}{7}} \frac{1}{4} > lo g_{4} 7$

設

(a, b)

為

y = lo g_{2} x

圖形上的一點，請選出正確的選項。

(A) $(- a, - b)$ 為 $y = lo g_{2} x$ 圖形上的一點
(B) $(a, - b)$ 為 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 圖形上的一點
(C) $(a, b + 3)$ 為 $y = lo g_{2} 8 x$ 圖形上的一點
(D) $(2 a, 2 b)$ 為 $y = 2^{x}$ 圖形上的一點
(E) $(b, a)$ 為 $y = 2^{x}$ 圖形上的一點

二、填充題（每格 5 分，12 格，共 60 分）

\frac{1}{lo g _{4} 6} + \frac{2}{lo g _{3} 6} =

____

坐標平面上，函數

y = 8^{x}

與

y = (\frac{1}{2})^{5 x - 4}

的圖形交點坐標為 ____。

已知

x = 2 lo g_{3} 5 + lo g_{3} 10

，若

x

值在兩個連續整數

k

與

k + 1

之間，則

k =

____

若

2^{x} = 25

，

5^{y} = 8

，則

x y =

____。

若

lo g_{2} 7 = a

，

lo g_{7} 3 = b

，試以

a

，

b

表示

lo g_{48} 28 =

____

(lo g_{2} 5 + lo g_{2} \frac{1}{5}) (lo g_{25} 4 + lo g_{5} \frac{1}{4}) =

____

已知

a

、

b

為實數，且滿足

lo g a = - 2.5

、

lo g b = - 4.2

，則

ab

從小數點後第 ____ 位開始出現不為

0

的數字

若直線

L_{1} : y = 4

與

L_{2} : y = 36

，分別交曲線

Γ : y = (\frac{1}{3})^{x}

於

A

、

B

兩點，試求直線

A B

的斜率為 ____。

解不等式

lo g_{2} (x - 2) < lo g_{2} (8 - x)

，得

x

的範圍為 ____

解方程式

4^{x} - 2^{x + 2} - 32 = 0

，

x =

____

附圖為

y = a + lo g_{0.5} (x + b)

的部分圖形，已經知道此圖向左延伸會非常靠近直線

x = - 2

，但不會碰觸到，且圖中

A

點坐標為

(0, - \frac{3}{2})

，試求

(a, b) =

____

載入中...

試問方程式

∣ lo g_{2} x ∣ + x - 3 = 0

有 ____ 個實根

三、計算題（16 分，視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分）

霏霏將

10

萬元存入銀行，銀行的年利率是

1.6%

，每年複利一次，設經過了

k

年之後本利和會超過

20

萬元，試求

k

的最小值為多少？（用整數來表示）（5 分）（

lo g 1.016 \approx 0.0068

）

視星等是用來衡量天體亮度的一種規格，其與天體光度的關係式如下：若視星等

m

的天體光度為

F_{m}

，則

m = - 2.5 lo g \frac{F _{m}}{F _{0}}

，其中

F_{0}

為織女星的光度。已知

A

天體視星等為

- 1.5

，

B

天體視星等為

2

，則

A

天體光度為

B

天體光度的 ____ 倍（四捨五入取到小數點後第一位）（5 分）（已知

1 0^{\frac{1}{5}} \approx 1.585

，

1 0^{\frac{2}{5}} \approx 2.512

）

第 19～20 題為題組（原卷計算第 3 題）（第 19～20 題）　依照食品安全衛生管理法–農藥殘留容許量標準的規定，針對除蟲劑百滅寧（Permethrin）殘留於甘藍表面上的容許值是

5

毫克/公斤以下。（

1

毫克

= 0.001

公克）根據過往的經驗，百滅寧在甘藍表面上之殘留值的半衰期為

2

週，若於每顆甘藍上噴灑百滅寧

0.01

公克，試回答下列問題。

(1) 若以函數

f (t)

表示百滅寧在每顆甘藍表面上經過

t

天後的殘留值，則

f (t)

？（2 分）（單位：公克）

(2) 設每顆甘藍的平均重量為

1

公斤，若要滿足食品安全衛生管理法規定的容許值

5

毫克/公斤以下，則至少要在採收前幾天就噴灑百滅寧？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(E)

第 2 題(C)(D)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題(B)(C)(E)

第 5 題

2

第 6 題

(\frac{1}{2}, 22)

第 7 題

5

第 8 題

6

第 9 題

\frac{a + 2}{ab + 4}

第 10 題

1

第 11 題

7

第 12 題

- 16

第 13 題

2 < x < 5

第 14 題

3

第 15 題

(- \frac{1}{2}, 2)

第 16 題

2

第 17 題

45

（依卷面給的近似值；用精確值算是

44

，見詳解）

第 18 題

25.1

第 19 題

f (t) = 0.01 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{14}}

第 20 題

14

天

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選第 1、2 題：指數與對數函數的圖形、對數的定義與對數律

第 1 題

答案 (A)(B)(E)。

(A) 正確。 點 $(p, q)$ 在 $y = lo g_{3} x$ 上（ $q = lo g_{3} p$ ），則它對 $x$ 軸的對稱點 $(p, - q)$ 滿足 $- q = - lo g_{3} p$ ，在 $y = - lo g_{3} x$ 上，所以兩圖形對稱於 $x$ 軸。

(B) 正確。 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。 $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減、 $y = x$ 遞增，兩者恰交於一點 $P$ （ $x = 0$ 時 $(\frac{1}{2})^{0} = 1 > 0$ ， $x = 1$ 時 $\frac{1}{2} < 1$ ，交點在 $0$ 與 $1$ 之間）； $P$ 在 $y = x$ 上，它對 $y = x$ 的對稱點就是自己，所以 $P$ 也在 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 上。底數 $\frac{1}{2}$ 時兩圖形除了 $P$ 沒有別的交點（見補充），所以交於一點。

(D) 錯誤。 $y = 5^{x}$ 凹口向上，但 $y = lo g_{5} x$ 凹口向下（兩者對稱於 $y = x$ ，凹口方向會反過來）。例如 $lo g_{5} 1 = 0$ 、 $lo g_{5} 25 = 2$ ，兩點連線的中點 $(13, 1)$ ，而 $lo g_{5} 13 > lo g_{5} 5 = 1$ ，曲線在弦的上方，是凹口向下。

(E) 正確。 $- lo g_{5} x = lo g_{\frac{1}{5}} x$ ，而 $y = (\frac{1}{5})^{x}$ 與 $y = lo g_{\frac{1}{5}} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ ，也就是 $x - y = 0$ 。

補充 (B) 沒有別的交點：若交點

(p, q)

不在

y = x

上，則

q = (\frac{1}{2})^{p}

、

p = (\frac{1}{2})^{q}

，且

p

、

q

都在

0

與

1

之間。不妨設

q > p

，令

d = q - p

（

0 < d < 1

），則

d = (\frac{1}{2})^{p} - (\frac{1}{2})^{q} = (\frac{1}{2})^{q} (2^{d} - 1) = p (2^{d} - 1)

。

y = 2^{x}

凹口向上，在

0 \leq x \leq 1

時圖形在連接

(0, 1)

、

(1, 2)

的弦下方，所以

2^{d} - 1 \leq d

，得

d \leq p d < d

，矛盾。

第 2 題

答案 (C)(D)。

(A) 錯誤。 $\frac{lo g 8}{lo g 4} = \frac{3 lo g 2}{2 lo g 2} = \frac{3}{2}$ ，不是 $2$ 。

(B) 錯誤。 底數必須大於 $0$ 且不等於 $1$ ， $lo g_{(- 2)} 1$ 沒有意義。

(D) 正確。 $8^{l o g_{2} 5} = (2^{3})^{l o g_{2} 5} = (2^{l o g_{2} 5})^{3} = 5^{3} = 125$ 。

(E) 錯誤。 若 $(lo g_{2} 6)^{2} = 2 lo g_{2} 6$ ，則 $lo g_{2} 6 = 0$ 或 $lo g_{2} 6 = 2$ ；但 $2^{2} = 4 < 6 < 8 = 2^{3}$ ， $lo g_{2} 6$ 介於 $2$ 與 $3$ 之間，兩者都不是，所以不相等。

lo g (- 3)^{2}

是先平方再取對數，真數是

9

，有意義；若寫成

2 lo g (- 3)

就沒有意義。

y = a^{x}

與

y = lo g_{a} x

對稱於

y = x

；

lo g_{\frac{1}{a}} x = - lo g_{a} x

。對數式先檢查底數、真數有沒有意義。

02多選第 3、4 題：比較大小、對數函數圖形上的點

第 3 題

答案 (A)(C)(D)。

(A) 正確。 底數 $2 > 1$ ， $y = (2)^{x}$ 遞增； $π \approx 3.14 > 2 \approx 1.414$ ，所以 $(2)^{π} > (2)^{2}$ 。

(B) 錯誤。 $2^{40} = (2^{4})^{10} = 1 6^{10}$ ， $3^{30} = (3^{3})^{10} = 2 7^{10}$ ， $16 < 27$ ，所以 $2^{40} < 3^{30}$ 。

(D) 正確。 $lo g \frac{2}{5} = lo g 4 - lo g 10 = 2 lo g 2 - 1 \approx - 0.398 < 0$ 。由換底公式 $lo g_{3} \frac{2}{5} = \frac{lo g \frac{2}{5}}{lo g 3}$ ，分母 $lo g 3 \approx 0.4771$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，負數除以它會變得更負： $lo g_{3} \frac{2}{5} \approx - 0.834$ ，所以 $lo g \frac{2}{5} > lo g_{3} \frac{2}{5}$ 。

(E) 錯誤。 $lo g_{\frac{1}{7}} \frac{1}{4} = \frac{lo g \frac{1}{4}}{lo g \frac{1}{7}} = \frac{- lo g 4}{- lo g 7} = lo g_{7} 4$ 。 $4 < 7$ ， $lo g_{7} 4 < 1$ ； $7 > 4$ ， $lo g_{4} 7 > 1$ 。所以 $lo g_{\frac{1}{7}} \frac{1}{4} < lo g_{4} 7$ 。

(D) 也可以這樣看：

\frac{2}{5} < 1

時，底數愈大、

lo g_{b} \frac{2}{5}

愈接近

0

。底數

10 > 3

，所以

lo g_{10} \frac{2}{5}

比

lo g_{3} \frac{2}{5}

大。

第 4 題

答案 (B)(C)(E)。 $(a, b)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，所以 $a > 0$ 且 $b = lo g_{2} a$ ，也就是 $a = 2^{b}$ 。

(A) 錯誤。 $- a < 0$ ，不在 $y = lo g_{2} x$ 的定義範圍內。

(B) 正確。 $lo g_{\frac{1}{2}} a = - lo g_{2} a = - b$ ，所以 $(a, - b)$ 在 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 上。

(D) 錯誤。 要 $2 b = 2^{2 a}$ 才成立。例如 $(a, b) = (1, 0)$ ： $(2 a, 2 b) = (2, 0)$ ，但 $2^{2} = 4 \neq = 0$ 。

(E) 正確。 $a = 2^{b}$ ，所以 $(b, a)$ 在 $y = 2^{x}$ 上（這正是 $y = lo g_{2} x$ 與 $y = 2^{x}$ 對稱於 $y = x$ ）。

y = lo g_{2} (8 x)

的圖形就是

y = lo g_{2} x

往上平移

3

。

比較大小先化同底或同指數；兩個負的對數相比，要看是除以大於

1

還是小於

1

的數。

03填充第 1～6 題（本頁第 5～10 題）：換底公式、指數函數圖形交點、對數律

第 5 題

由換底公式 $\frac{1}{lo g _{a} b} = lo g_{b} a$ ：

$\frac{1}{lo g _{4} 6} + \frac{2}{lo g _{3} 6} = lo g_{6} 4 + 2 lo g_{6} 3 = lo g_{6} 4 + lo g_{6} 9 = lo g_{6} 36 = 2$

6^{2} = 36

。

第 6 題

化成以 $2$ 為底： $8^{x} = 2^{3 x}$ ， $(\frac{1}{2})^{5 x - 4} = 2^{- (5 x - 4)} = 2^{4 - 5 x}$ 。

交點滿足 $2^{3 x} = 2^{4 - 5 x}$ ，所以 $3 x = 4 - 5 x$ ， $x = \frac{1}{2}$ 。此時 $y = 8^{\frac{1}{2}} = 8 = 22$ 。交點坐標為 $(\frac{1}{2}, 22)$ 。

檢查：

(\frac{1}{2})^{5 \times \frac{1}{2} - 4} = (\frac{1}{2})^{- \frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = 22

，相同。

第 7 題

$x = 2 lo g_{3} 5 + lo g_{3} 10 = lo g_{3} 25 + lo g_{3} 10 = lo g_{3} 250$ 。

$3^{5} = 243 < 250 < 729 = 3^{6}$ ，所以 $5 < lo g_{3} 250 < 6$ ， $k = 5$ 。

lo g_{3} 250

只比

5

多一點點，約

5.03

。

第 8 題

$2^{x} = 25$ ， $x = lo g_{2} 25 = 2 lo g_{2} 5$ ； $5^{y} = 8$ ， $y = lo g_{5} 8 = 3 lo g_{5} 2$ 。

$x y = 2 lo g_{2} 5 \times 3 lo g_{5} 2 = 6 \times \frac{lo g 5}{lo g 2} \times \frac{lo g 2}{lo g 5} = 6$

lo g_{2} 5

與

lo g_{5} 2

互為倒數。

第 9 題

先找 $lo g_{2} 3$ ：由換底公式 $lo g_{2} 3 = lo g_{2} 7 \times lo g_{7} 3 = ab$ 。

再化成以 $2$ 為底：

$lo g_{48} 28 = \frac{lo g _{2} 28}{lo g _{2} 48} = \frac{lo g _{2} ( 4 \times 7 )}{lo g _{2} ( 16 \times 3 )} = \frac{2 + lo g _{2} 7}{4 + lo g _{2} 3} = \frac{a + 2}{ab + 4}$

28 = 2^{2} \times 7

，

48 = 2^{4} \times 3

。

第 10 題

第一個括號： $lo g_{2} \frac{1}{5} = \frac{lo g _{2} \frac{1}{5}}{lo g _{2} 2} = \frac{- lo g _{2} 5}{\frac{1}{2}} = - 2 lo g_{2} 5$ ，所以 $lo g_{2} 5 + lo g_{2} \frac{1}{5} = lo g_{2} 5 - 2 lo g_{2} 5 = - lo g_{2} 5$ 。

第二個括號： $lo g_{25} 4 = \frac{lo g _{5} 4}{lo g _{5} 25} = \frac{2 lo g _{5} 2}{2} = lo g_{5} 2$ ， $lo g_{5} \frac{1}{4} = - 2 lo g_{5} 2$ ，所以和為 $- lo g_{5} 2$ 。

相乘： $(- lo g_{2} 5) (- lo g_{5} 2) = lo g_{2} 5 \times lo g_{5} 2 = 1$ 。

lo g_{a^{n}} b^{m} = \frac{m}{n} lo g_{a} b

可以一步化簡底數或真數的次方。

換底公式讓

lo g_{a} b \times lo g_{b} a = 1

、

lo g_{a} b \times lo g_{b} c = lo g_{a} c

；不同底的對數先化成同一個底再算。

04填充第 7～12 題（本頁第 11～16 題）：小數的位數、指數與對數的圖形、方程式與不等式

第 11 題

$lo g (ab) = lo g a + lo g b = - 2.5 + (- 4.2) = - 6.7$ 。

把它寫成「整數＋介於 $0$ 與 $1$ 的小數」： $- 6.7 = - 7 + 0.3$ 。

所以 $ab = 1 0^{0.3} \times 1 0^{- 7}$ ，而 $1 < 1 0^{0.3} < 10$ （由 $lo g 2 \approx 0.3010$ 知 $1 0^{0.3}$ 約為 $2$ ）。 $ab$ 約為 $2 \times 1 0^{- 7} = 0.0000002$ ，從小數點後第 $7$ 位開始出現不為 $0$ 的數字。

1 0^{0.3} \approx 1.995

，

ab \approx 1.995 \times 1 0^{- 7} = 0.0000001995

，小數點後先有

6

個

0

，第

7

位是

1

。

第 12 題

$A$ 在 $y = 4$ 上： $(\frac{1}{3})^{x} = 4$ ， $3^{- x} = 4$ ， $x = - lo g_{3} 4$ ， $A (- lo g_{3} 4, 4)$ 。

$B$ 在 $y = 36$ 上： $3^{- x} = 36$ ， $x = - lo g_{3} 36$ ， $B (- lo g_{3} 36, 36)$ 。

$x$ 坐標的差： $- lo g_{3} 36 - (- lo g_{3} 4) = - (lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4) = - lo g_{3} 9 = - 2$ 。

斜率 $= \frac{36 - 4}{- 2} = - 16$ 。

不必算出

lo g_{3} 4

、

lo g_{3} 36

的值，相減時

lo g_{3} \frac{36}{4} = lo g_{3} 9 = 2

剛好是整數。

第 13 題

先列真數為正的條件： $x - 2 > 0$ 且 $8 - x > 0$ ，即 $2 < x < 8$ 。

底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增，不等號方向不變： $x - 2 < 8 - x$ ， $2 x < 10$ ， $x < 5$ 。

兩個條件取交集： $2 < x < 5$ 。

若忘了真數條件，會誤寫成

x < 5

。

第 14 題

令 $t = 2^{x}$ （ $t > 0$ ），則 $4^{x} = t^{2}$ ， $2^{x + 2} = 4 t$ ，原式變成

$t^{2} - 4 t - 32 = 0, (t - 8) (t + 4) = 0$

$t = 8$ 或 $t = - 4$ 。 $t = 2^{x} > 0$ ， $t = - 4$ 不合。所以 $2^{x} = 8 = 2^{3}$ ， $x = 3$ 。

代回檢查：

4^{3} - 2^{5} - 32 = 64 - 32 - 32 = 0

。

第 15 題

$y = a + lo g_{0.5} (x + b)$ 的圖形向左延伸會靠近直線 $x = - b$ （真數 $x + b$ 趨近 $0$ ），題目說靠近的是 $x = - 2$ ，所以 $- b = - 2$ ， $b = 2$ 。

$A (0, - \frac{3}{2})$ 在圖形上： $- \frac{3}{2} = a + lo g_{0.5} 2$ 。 $lo g_{0.5} 2 = lo g_{\frac{1}{2}} 2 = - 1$ ，所以 $- \frac{3}{2} = a - 1$ ， $a = - \frac{1}{2}$ 。

$(a, b) = (- \frac{1}{2}, 2)$ 。

y = - \frac{1}{2} + lo g_{0.5} (x + 2)

是

y = lo g_{0.5} x

往左平移

2

、往下平移

\frac{1}{2}

。底數

0.5 < 1

，圖形遞減，與附圖相符。

第 16 題

方程式改寫成 $∣ lo g_{2} x ∣ = 3 - x$ （ $x > 0$ ），實根個數就是 $y = ∣ lo g_{2} x ∣$ 與直線 $y = 3 - x$ 的交點個數。

$x \geq 1$ 時： $∣ lo g_{2} x ∣ = lo g_{2} x$ 遞增， $3 - x$ 遞減，最多一個交點； $x = 2$ 時 $lo g_{2} 2 = 1 = 3 - 2$ ，所以恰有一個交點 $x = 2$ 。

$0 < x < 1$ 時： $∣ lo g_{2} x ∣ = - lo g_{2} x$ ，從很大一路降到接近 $0$ ； $3 - x$ 介於 $2$ 與 $3$ 之間。 $x = \frac{1}{8}$ 時左邊 $3$ 、右邊 $\frac{23}{8} < 3$ ； $x = \frac{1}{4}$ 時左邊 $2$ 、右邊 $\frac{11}{4} > 2$ ，兩圖形在 $\frac{1}{8}$ 與 $\frac{1}{4}$ 之間交一次，畫圖可見 $y = - lo g_{2} x$ 在這一段比直線下降得快，只交這一次（見補充）。

合計 $2$ 個實根。

補充

0 < x < 1

只交一次：令

h (x) = - lo g_{2} x + x - 3

。

0 < x_{1} < x_{2} < 1

時，

h (x_{1}) - h (x_{2}) = lo g_{2} \frac{x _{2}}{x _{1}} - (x_{2} - x_{1})

。因為

x_{1} < 1

，

\frac{x _{2}}{x _{1}} = 1 + \frac{x _{2} - x _{1}}{x _{1}} > 1 + (x_{2} - x_{1})

；而

y = lo g_{2} x

凹口向下，

1 \leq x \leq 2

時圖形在連接

(1, 0)

、

(2, 1)

的弦上方，

lo g_{2} (1 + s) \geq s

（

0 \leq s \leq 1

）。所以

h (x_{1}) - h (x_{2}) > x_{2} - x_{1} - (x_{2} - x_{1}) = 0

，

h

遞減，最多一個零點。另一個根約為

x \approx 0.14

。

負的對數要寫成「負整數＋介於

0

與

1

的小數」再判斷位數；解對數不等式先列真數為正；方程式的實根個數可以改成兩個圖形的交點個數來數。

05計算第 1、2 題（本頁第 17、18 題）：複利、視星等

第 17 題

$k$ 年後本利和為 $10 \times (1.016)^{k}$ 萬元。要超過 $20$ 萬元：

$10 \times (1.016)^{k} > 20, (1.016)^{k} > 2$

兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）： $k lo g 1.016 > lo g 2$ ，

$k > \frac{lo g 2}{lo g 1.016} \approx \frac{0.3010}{0.0068} \approx 44.26$

$k$ 為整數，最小值為 $45$ 。

卷面給的

lo g 1.016 \approx 0.0068

是捨去後的值，精確值約

0.00689

，這時

\frac{lo g 2}{lo g 1.016} \approx 43.67

，最小整數是

44

；實際上

(1.016)^{44} \approx 2.011 > 2

，

44

年就已超過

20

萬元。本頁答案照卷面給的近似值寫

45

。

第 18 題

由關係式， $A$ 、 $B$ 兩天體：

$- 1.5 = - 2.5 lo g \frac{F _{A}}{F _{0}}, 2 = - 2.5 lo g \frac{F _{B}}{F _{0}}$

兩式相減： $- 1.5 - 2 = - 2.5 (lo g \frac{F _{A}}{F _{0}} - lo g \frac{F _{B}}{F _{0}}) = - 2.5 lo g \frac{F _{A}}{F _{B}}$ ，

所以 $lo g \frac{F _{A}}{F _{B}} = \frac{- 3.5}{- 2.5} = 1.4$ ， $\frac{F _{A}}{F _{B}} = 1 0^{1.4} = 10 \times 1 0^{\frac{2}{5}} \approx 10 \times 2.512 = 25.12$ 。

四捨五入到小數點後第一位， $A$ 天體光度約為 $B$ 天體光度的 $25.1$ 倍。

視星等愈小愈亮：

A

的視星等比

B

小

3.5

，光度是

B

的二十幾倍。

應用題列出不等式後取對數求解；兩個量的比用對數律「相減變相除」一步得到。

06計算第 3 題（本頁第 19、20 題）：百滅寧殘留的半衰期模型

第 19 題

半衰期 $2$ 週 $= 14$ 天，每過 $14$ 天殘留值變成一半。一開始噴灑 $0.01$ 公克，經過 $t$ 天共經過 $\frac{t}{14}$ 個半衰期，所以

$f (t) = 0.01 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{14}} （公克）$

檢查：

f (0) = 0.01

，

f (14) = 0.005

，

f (28) = 0.0025

，每

14

天減半。

第 20 題

每顆甘藍 $1$ 公斤，容許值 $5$ 毫克/公斤以下，也就是每顆殘留不超過 $5$ 毫克 $= 5 \times 0.001 = 0.005$ 公克。

$0.01 \times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{14}} \leq 0.005, (\frac{1}{2})^{\frac{t}{14}} \leq \frac{1}{2}$

底數 $\frac{1}{2} < 1$ ， $y = (\frac{1}{2})^{x}$ 遞減，所以 $\frac{t}{14} \geq 1$ ， $t \geq 14$ 。

至少要在採收前 $14$ 天就噴灑百滅寧。

0.005

公克剛好是

0.01

公克的一半，所以要等一個半衰期，也就是

2

週。

半衰期

T

的殘留量模型是「初始量

\times (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}

」；單位先統一（毫克換公克、週換天）再列式。

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同樣是高二第二次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 111 上高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題的 (B) 底數二分之一的指數與對數圖形只交在直線 y=x 上一點；第 3 題 (D) 兩個負的對數相比，除以小於一的正數反而變得更負；第 11 題要把負四點二加負二點五寫成負七加零點三；第 16 題絕對值要分 x 大於等於一與小於一兩段看交點；第 17 題要照卷面給的近似值算，得到的最小整數會比精確值多一。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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03填充第 1～6 題（本頁第 5～10 題）：換底公式、指數函數圖形交點、對數律

04填充第 7～12 題（本頁第 11～16 題）：小數的位數、指數與對數的圖形、方程式與不等式

05計算第 1、2 題（本頁第 17、18 題）：複利、視星等

06計算第 3 題（本頁第 19、20 題）：百滅寧殘留的半衰期模型

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高雄新興高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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