段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

高雄新興高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 1 題（6 分）、多選題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、填充題 12 格（每格 5 分，共 60 分）、計算題 2 題（共 16 分：第 1 題 6 分，第 2 題兩小題各 5 分），合計 100 分。原卷四大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 1 題為單選第 1 題，第 2～4 題為多選第 1～3 題，第 5～16 題為填充第 1～12 題，第 17 題為計算第 1 題，第 18、19 題為計算第 2 題的 (1)(2)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：每題 6 分，共 6 分

下列哪一個選項的值最大？

(A) $cos 1$
(B) $cos 2$
(C) $sin π^{\circ}$
(D) $tan 2$
(E) $sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ}$

二、多選題：每題 6 分，共 18 分（錯一個選項扣 2 分，扣完為止）

下列哪些函數的週期為

π

？

(A) $y = sin 2 x + cos 2 x$
(B) $y = 2 tan (x - \frac{π}{3})$
(C) $y = cos ∣ x ∣$
(D) $y = 2 cos^{2} x$
(E) $y = ∣ sin x ∣$

關於函數

y = - 2 sin x + sin (\frac{π}{3} + x)

的圖形，下列何者正確？

(A) 週期為 $2 π$
(B) 函數在 $x = \frac{2 π}{3}$ 時有最大值
(C) $- 1 \leq f (x) \leq 3$
(D) 圖形對稱於直線 $x = \frac{2 π}{3}$
(E) 振幅為 $5$

已知

cos θ = \frac{4}{5}

，其中

\frac{3}{2} π < θ < 2 π

，試選出正確的選項

(A) $sin (θ - π) = \frac{3}{5}$
(B) $tan 2 θ = \frac{- 24}{7}$
(C) $cos 2 θ = \frac{7}{25}$
(D) $2 θ$ 為第三象限角
(E) $cos \frac{θ}{2} = \frac{3}{10}$

三、填充題：每格 5 分，12 格，共 60 分

求

tan \frac{11 π}{4} sin \frac{5 π}{6} + sin (- \frac{π}{4}) cos π

的值為 ____。

sin 3 3^{\circ} \cdot cos 10 2^{\circ} - sin 28 2^{\circ} \cdot sin 5 7^{\circ} =

____。

y = 2 sin 2 x - 3 cos 2 x + 4

，

x

為實數，求

y

之最大值為 ____。

將

y = sin x

的圖形先水平伸縮為

2

倍，再向左平移

4

單位，所得函數為

y = sin (a x + b)

，求

(a, b) =

____。

圖灰色的標誌是在網路地圖上常見的定位記號，它的輪廓是由圓弧與兩條與圓相切的線段所組成，如圖所示，其中

\overline{P A}

與

\overline{P B}

為圓

O

的切線。已知

∠ A P B = 6 0^{\circ}

，且圓半徑為

1

，求鋪色區域的面積為 ____。

載入中...

如圖，一直立圓錐之底圓直徑

\overline{B C} = 3

，稜邊長

\overline{A B} = 9

，

D

是稜邊

\overline{A C}

上一點，且

\overline{A D} = 2

。今有一螞蟻從

C

點沿著錐面繞行一圈至

D

點，則其最短路徑長為 ____。

載入中...

△ A B C

中，已知

cos A = - \frac{1}{5 2}

、

sin B = \frac{3}{5}

，試求

∠ C =

____ 弳。

方程式

8 cos x = x

有 ____ 個實數解。

已知函數

f (x) = cos 2 x + 3 cos x

，

x

為實數，則

f (x)

的最大值為 ____。

將六個大小相同的正方形排成如右圖所示，試求

tan θ =

____。

載入中...

求

\frac{2 3}{cos 1 0 ^{\circ}} - \frac{2}{sin 1 0 ^{\circ}}

的值

=

____。

設

\frac{π}{2} \leq x \leq π

，函數

f (x) = 3 sin x - cos x

的最小值為

m

且最小值發生時

x = α

，求數對

(m, α) =

____。

四、計算題：16 分（視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分）

在實驗室中，以示波器觀察一波在介質中前進，並記錄下波隨時間的振動高度，如下表所示：

時間 (秒) 高度 (公分) 時間 (秒) 高度 (公分) 0 7.73 74 188 4.27 2 7.73 95 3710646117 5512 7.73 6 4.27 138

觀察其圖形，可約略看出此圖形與正弦波類似，因此我們選用

y = a sin (ω t + ϕ) + k

的函數來描述這筆觀測資料，其中

a > 0

、

ω > 0

、

- π \leq ϕ < π

。試求 (

a

、

ω

、

ϕ

、

k

) 的值為 ____。（6 分）

載入中...

第 18～19 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～19 題）　公園內有個半徑

40

公尺的圓形池塘，計劃在池塘內建造一座

H

字形的木橋（如圖所示）。已知

O

為圓心，

∠ A E F = ∠ E F D = 9 0^{\circ}

，且

\overline{E O} = \overline{O F}

，求

(1) 木橋總長（即

\overline{A B} + \overline{C D} + \overline{E F}

）最長為多少公尺？（5 分）

載入中...

(2) 此時

\overline{E F}

的長度為多少公尺？（5 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)

第 2 題(A)(B)(D)(E)

第 3 題(A)(D)

第 4 題(A)(B)(C)

第 5 題

\frac{2 - 1}{2}

第 6 題

\frac{2}{2}

第 7 題

4 + 13

第 8 題

(\frac{1}{2}, 2)

第 9 題

3 + \frac{2 π}{3}

第 10 題

67

第 11 題

\frac{π}{4}

第 12 題

5

第 13 題

4

第 14 題

- \frac{7}{4}

（θ 依原卷圖取兩斜線交點正下方的鈍角）

第 15 題

- 8

第 16 題

(1, π)

第 17 題

(2, \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, 6)

第 18 題

805

公尺

第 19 題

165

公尺

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選題（第 1 題）：弧度與度混在一起比大小

第 1 題答案 (A)。沒有寫「°」的角是弧度。

1

弧度約

57. 3^{\circ}

，在

0

與

\frac{π}{3}

（

6 0^{\circ}

）之間，餘弦在這段遞減，所以

cos 1 > cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。

2

弧度約

114. 6^{\circ}

，是第二象限角，所以

cos 2 < 0

、

tan 2 < 0

。

π^{\circ}

約

3.1 4^{\circ}

，

sin π^{\circ} < sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。

sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ} < \frac{1}{2}

。五個數只有

cos 1

大於

\frac{1}{2}

，所以 (A) 最大。

近似值：

cos 1 \approx 0.540

、

cos 2 \approx - 0.416

、

sin π^{\circ} \approx 0.055

、

tan 2 \approx - 2.185

、

sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} \approx 0.171

。

02多選題（第 2～4 題，原卷多選第 1～3 題）：週期、疊合後看圖形、倍角與半角

第 2 題答案 (A)(B)(D)(E)。(A) 對：疊合得

sin 2 x + cos 2 x = 2 sin (2 x + \frac{π}{4})

，週期

\frac{2 π}{2} = π

。(B) 對：正切函數的週期是

π

，平移與乘

2

都不改變週期。(C) 錯：餘弦是偶函數，

cos ∣ x ∣ = cos x

，週期

2 π

。(D) 對：

2 cos^{2} x = 1 + cos 2 x

，週期

π

。(E) 對：

y = ∣ sin x ∣

是把

y = sin x

在

x

軸下方的部分翻上來，

∣ sin (x + π) ∣ = ∣ - sin x ∣ = ∣ sin x ∣

，而且圖形每隔

π

才重複一次，週期

π

。

第 3 題答案 (A)(D)。先用和角公式展開：

sin (\frac{π}{3} + x) = \frac{3}{2} cos x + \frac{1}{2} sin x

，所以

y = - \frac{3}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x

。疊合：

(\frac{3}{2})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = 3

，

y = 3 (- \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x) = 3 sin (x + \frac{5 π}{6})

。(A) 對：週期

2 π

。(B) 錯：

x = \frac{2 π}{3}

時

x + \frac{5 π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

y = - 3

，是最小值。(C) 錯：

y

的範圍是

- 3 \leq y \leq 3

，最小值

- 3 \approx - 1.73

比

- 1

小，最大值也到不了

3

。(D) 對：

x = \frac{2 π}{3}

是波谷的位置，通過波峰或波谷的鉛直線是對稱軸。(E) 錯：振幅是

3

。

5

是把係數誤當成

- 2

與

1

直接算

2^{2} + 1^{2}

的結果；兩項的角不同（

x

與

\frac{π}{3} + x

），要先展開成同一個角才能疊合。

第 4 題答案 (A)(B)(C)。

θ

在第四象限，

sin θ < 0

：

sin θ = - 1 - \frac{16}{25} = - \frac{3}{5}

，

tan θ = - \frac{3}{4}

。(A) 對：

sin (θ - π) = - sin (π - θ) = - sin θ = \frac{3}{5}

。(B) 對：

tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} = \frac{- \frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = - \frac{24}{7}

。(C) 對：

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25}

。(D) 錯：

cos 2 θ = \frac{7}{25} > 0

，

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = - \frac{24}{25} < 0

，

2 θ

是第四象限角。(E) 錯：

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，餘弦是負的；

cos^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 + cos θ}{2} = \frac{9}{10}

，所以

cos \frac{θ}{2} = - \frac{3}{10}

。

03填充題（第 5～8 題，原卷填充第 1～4 題）：特殊角、和角公式、疊合、圖形的伸縮平移

第 5 題逐項算：

tan \frac{11 π}{4} = tan (2 π + \frac{3 π}{4}) = tan \frac{3 π}{4} = - 1

；

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

；

sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

；

cos π = - 1

。原式

= (- 1) \times \frac{1}{2} + (- \frac{2}{2}) \times (- 1) = \frac{2 - 1}{2}

。

第 6 題把四個角換成

3 3^{\circ}

與

1 2^{\circ}

：

cos 10 2^{\circ} = cos (9 0^{\circ} + 1 2^{\circ}) = - sin 1 2^{\circ}

；

sin 28 2^{\circ} = sin (36 0^{\circ} - 7 8^{\circ}) = - sin 7 8^{\circ} = - cos 1 2^{\circ}

；

sin 5 7^{\circ} = cos 3 3^{\circ}

。原式

= - sin 3 3^{\circ} sin 1 2^{\circ} + cos 1 2^{\circ} cos 3 3^{\circ} = cos (3 3^{\circ} + 1 2^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}

。

第 7 題疊合：

2 sin 2 x - 3 cos 2 x = 2^{2} + 3^{2} sin (2 x - φ) = 13 sin (2 x - φ)

，其中

cos φ = \frac{2}{13}

、

sin φ = \frac{3}{13}

。

x

是任意實數，

sin (2 x - φ)

可以取到

1

，所以

y

的最大值是

4 + 13

。

約

7.61

。

第 8 題水平伸縮為

2

倍（每個點的橫坐標變成原來的

2

倍），把

x

換成

\frac{x}{2}

：

y = sin \frac{x}{2}

。再向左平移

4

單位，把

x

換成

x + 4

：

y = sin \frac{x + 4}{2} = sin (\frac{1}{2} x + 2)

。所以

(a, b) = (\frac{1}{2}, 2)

。

平移時換掉的是

x

本身，括號裡加的是

\frac{1}{2} \times 4 = 2

，不是

4

。題目沒有限定

a

、

b

的範圍，同一個函數還有別的寫法（例如

b = 2 + 2 π

，或

a = - \frac{1}{2}

、

b = π - 2

），一般取最直接的

(\frac{1}{2}, 2)

。

04填充題（第 9、10 題，原卷填充第 5、6 題）：定位記號的面積、圓錐面上的最短路徑

第 9 題連

\overline{O A}

、

\overline{O B}

、

\overline{O P}

。切線與過切點的半徑垂直，所以

∠ O A P = ∠ O B P = 9 0^{\circ}

；

\overline{O P}

平分

∠ A P B

，

∠ A P O = 3 0^{\circ}

。直角三角形

O A P

中

\overline{O A} = 1

，

\overline{P A} = \frac{1}{tan 3 0 ^{\circ}} = 3

，面積

\frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{3}{2}

；四邊形

P A O B

是兩個這樣的三角形，面積

3

。四邊形內角和

36 0^{\circ}

，

∠ A O B = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

，所以經過

C

的那一段大弧所對的圓心角是

24 0^{\circ} = \frac{4 π}{3}

，這個扇形的面積是

\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{4 π}{3} = \frac{2 π}{3}

。鋪色區域

=

四邊形

P A O B +

大扇形

= 3 + \frac{2 π}{3}

。

約

3.83

。扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。

第 10 題沿稜邊

\overline{A C}

把錐面剪開、攤平，得到一個以

A

為圓心、半徑

9

的扇形。扇形的弧長等於底圓的周長

3 π

，所以圓心角

= \frac{3 π}{9} = \frac{π}{3}

。攤平後

C

出現在扇形的兩條邊上：螞蟻從一條邊上的

C

（離

A

為

9

）出發，繞一圈後到另一條邊上的

D

（離

A

為

2

），最短路徑是攤平後連接這兩點的線段。這條線段與兩條邊圍成一個三角形，兩邊長

9

、

2

，夾角

\frac{π}{3}

，由餘弦定理：路徑長

^{2} = 9^{2} + 2^{2} - 2 \times 9 \times 2 \times cos \frac{π}{3} = 81 + 4 - 18 = 67

，所以最短路徑長是

67

。

約

8.19

。圓錐的側面展開圖是扇形，圓心角

= \frac{底圓周長}{斜高}

。

05填充題（第 11～13 題，原卷填充第 7～9 題）：三角形的內角、解的個數、化成二次式

第 11 題

cos A < 0

，

A

是鈍角，

sin A = 1 - \frac{1}{50} = \frac{7}{5 2}

。三角形最多一個鈍角，所以

B

是銳角，

cos B = \frac{4}{5}

。

C = π - (A + B)

，所以

cos C = - cos (A + B) = - (cos A cos B - sin A sin B) = - (- \frac{4}{25 2} - \frac{21}{25 2}) = \frac{25}{25 2} = \frac{1}{2}

。

C

是三角形的內角，所以

∠ C = \frac{π}{4}

。

題目要的是弧度，不寫

4 5^{\circ}

。

第 12 題方程式改寫成

cos x = \frac{x}{8}

，在同一個坐標平面畫

y = cos x

與直線

y = \frac{x}{8}

，數交點。

∣ cos x ∣ \leq 1

，交點只可能在

- 8 \leq x \leq 8

；

\frac{5 π}{2} \approx 7.85 < 8 < 3 π

。先看

x > 0

（直線在

x

軸上方，只有

cos x > 0

的區段可能相交）：①

0 < x < \frac{π}{2}

：

x = 0

時餘弦是

1

、直線是

0

；

x = \frac{π}{2}

時餘弦是

0

、直線是正的；餘弦遞減、直線遞增，交一點。②

\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}

：兩端餘弦是

0

、直線在上；中間

x = 2 π

時餘弦是

1

，直線是

\frac{2 π}{8} \approx 0.79

，餘弦在上；所以交兩點。③

\frac{5 π}{2} < x \leq 8

：餘弦是負的，沒有交點。再看

x < 0

（直線在

x

軸下方，只有

cos x < 0

的區段可能相交）：④

- \frac{3 π}{2} < x < - \frac{π}{2}

：兩端餘弦是

0

、直線在下；中間

x = - π

時餘弦是

- 1

，直線是

- \frac{π}{8} \approx - 0.39

，餘弦在下；所以交兩點。⑤

- 8 \leq x < - \frac{5 π}{2}

：直線的值在

- 1

到

- 0.98

之間，而這一小段

cos x

介於

cos 8 \approx - 0.15

與

0

之間，餘弦一直在直線上方，沒有交點。

x = 0

不是解。合計

1 + 2 + 2 = 5

個。

五個解大約是

x \approx - 4.17

、

- 1.80

、

1.40

、

5.46

、

6.83

。這個圖形左右不對稱（直線通過原點但餘弦是偶函數），正的一側

3

個、負的一側

2

個，不能算一邊再乘

2

。

第 13 題用倍角公式

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1

，令

t = cos x

（

- 1 \leq t \leq 1

）：

f = 2 t^{2} + 3 t - 1 = 2 (t + \frac{3}{4})^{2} - \frac{17}{8}

。拋物線開口向上，頂點在

t = - \frac{3}{4}

；在

- 1 \leq t \leq 1

內離頂點最遠的是

t = 1

，所以最大值是

2 + 3 - 1 = 4

（此時

cos x = 1

，例如

x = 0

）。

兩項的角不同（

2 x

與

x

），不能疊合；要先化成同一個角的二次式，再看

cos x

的範圍。

06填充題（第 14～16 題，原卷填充第 10～12 題）：方格裡的夾角、疊合化簡、範圍內的最小值

第 14 題設每個正方形的邊長為

1

，以左下角為原點。一條斜線從左下角

(0, 0)

連到右上角

(3, 2)

；另一條從左邊中點

(0, 1)

連到底邊上的

(2, 0)

。

θ

是兩條斜線交點下方的那個角，也就是兩條斜線與底邊圍成的三角形中，交點處的內角。這個三角形在底邊上的兩個內角：左下角的角

α

滿足

tan α = \frac{2}{3}

（往右

3

格、往上

2

格）；在

(2, 0)

的角

β

滿足

tan β = \frac{1}{2}

（往左

2

格、往上

1

格）。

tan (α + β) = \frac{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} = \frac{\frac{7}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{7}{4}

。

θ = 18 0^{\circ} - (α + β)

，所以

tan θ = - tan (α + β) = - \frac{7}{4}

。

θ

是鈍角（約

119. 7^{\circ}

），正切是負的。若把

θ

看成兩條斜線所夾的銳角，會得到

\frac{7}{4}

；本頁依原卷圖上

θ

標在交點正下方、弧線畫在兩條斜線往下的兩段之間來判讀。

第 15 題通分：

\frac{2 3}{cos 1 0 ^{\circ}} - \frac{2}{sin 1 0 ^{\circ}} = \frac{2 3 sin 1 0 ^{\circ} - 2 cos 1 0 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ} cos 1 0 ^{\circ}}

。分子疊合：

23 sin 1 0^{\circ} - 2 cos 1 0^{\circ} = 4 (\frac{3}{2} sin 1 0^{\circ} - \frac{1}{2} cos 1 0^{\circ}) = 4 sin (1 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = - 4 sin 2 0^{\circ}

。分母用倍角公式：

sin 1 0^{\circ} cos 1 0^{\circ} = \frac{1}{2} sin 2 0^{\circ}

。所以原式

= \frac{- 4 sin 2 0 ^{\circ}}{\frac{1}{2} sin 2 0 ^{\circ}} = - 8

。

第 16 題疊合：

f (x) = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) = 2 sin (x - \frac{π}{6})

。

\frac{π}{2} \leq x \leq π

時

\frac{π}{3} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

。正弦在這段先升到

1

（角為

\frac{π}{2}

）再下降，最小值在端點：左端

sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}

，右端

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

，右端較小。所以最小值

m = 2 \times \frac{1}{2} = 1

，發生在

x = π

，

(m, α) = (1, π)

。

直接代原式檢查：

f (π) = 3 \times 0 - (- 1) = 1

。最小值不是

- 2

，因為這個範圍內角度走不到波谷。

07計算題一（第 17 題，原卷計算第 1 題）：由觀測數據決定正弦函數

第 17 題由表，最大值是

8

（

t = 1

與

t = 13

），最小值是

4

（

t = 7

）。

y = a sin (ω t + ϕ) + k

（

a > 0

）的值在

k - a

與

k + a

之間：

k = \frac{8 + 4}{2} = 6

，

a = \frac{8 - 4}{2} = 2

。相鄰兩個最大值相隔

13 - 1 = 12

秒，這就是週期：

\frac{2 π}{ω} = 12

，

ω = \frac{π}{6}

。

t = 1

時取最大值，所以

sin (\frac{π}{6} + ϕ) = 1

，

\frac{π}{6} + ϕ = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），

ϕ = \frac{π}{3} + 2 nπ

；在

- π \leq ϕ < π

內只有

ϕ = \frac{π}{3}

。所以

(a, ω, ϕ, k) = (2, \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, 6)

，即

y = 2 sin (\frac{π}{6} t + \frac{π}{3}) + 6

。

用其他數據檢查：

t = 0

時

y = 2 sin \frac{π}{3} + 6 = 6 + 3 \approx 7.73

；

t = 3

時

y = 2 sin \frac{5 π}{6} + 6 = 7

；

t = 4

時

y = 2 sin π + 6 = 6

；

t = 6

時

y = 2 sin \frac{4 π}{3} + 6 = 6 - 3 \approx 4.27

，都與表相符。

08計算題二（第 18、19 題，原卷計算第 2 題）：用一個角表示橋長，再疊合

第 18 題由圖，

O

在

\overline{E F}

上，而

∠ A E F = 9 0^{\circ}

，所以

\overline{O E} ⊥ \overline{A B}

；圓心到弦的垂足是弦的中點，

E

是

\overline{A B}

的中點。同理

F

是

\overline{C D}

的中點。連

\overline{O A}

，設

∠ A O E = θ

（

0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}

）。直角三角形

A O E

中

\overline{O A} = 40

：

\overline{A E} = 40 sin θ

，

\overline{O E} = 40 cos θ

。所以

\overline{A B} = 80 sin θ

。又

\overline{O F} = \overline{O E} = 40 cos θ

，直角三角形

C O F

中

\overline{C F} = 4 0^{2} - (40 cos θ)^{2} = 40 sin θ

，

\overline{C D} = 80 sin θ

；

\overline{E F} = 80 cos θ

。總長

= 160 sin θ + 80 cos θ = 80 (2 sin θ + cos θ)

。疊合：

2 sin θ + cos θ = 5 sin (θ + φ)

，其中

φ

是銳角，

cos φ = \frac{2}{5}

、

sin φ = \frac{1}{5}

。

θ

可以取

9 0^{\circ} - φ

（是銳角），這時

sin (θ + φ) = 1

。所以總長最長是

805

公尺。

約

178.9

公尺。

第 19 題總長最長時

θ + φ = 9 0^{\circ}

，所以

cos θ = sin φ = \frac{1}{5}

（同時

sin θ = cos φ = \frac{2}{5}

）。

\overline{E F} = 80 cos θ = \frac{80}{5} = 165

公尺。

約

35.8

公尺。這時

\overline{A B} = \overline{C D} = 80 \times \frac{2}{5} = 325

，三段相加

325 + 325 + 165 = 805

，與上一小題相符。

幾何求極值：先選一個角，把每一段長都用這個角的正弦、餘弦表示，整理成

a sin θ + b cos θ

再疊合；取到極值時的角由

θ + φ = 9 0^{\circ}

反推。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題沒有寫度的角是弧度，1 弧度約 57 度、2 弧度在第二象限；第 3 題兩項的角不同，要先用和角公式展開再疊合，振幅是根號 3 不是根號 5；第 12 題圖形左右不對稱，正的一側 3 個解、負的一側 2 個解，共 5 個；第 14 題圖上的角是鈍角，正切是負的；第 16 題最小值在範圍的端點，不是波谷。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

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題目取自高雄新興高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選題（第 1 題）：弧度與度混在一起比大小

02多選題（第 2～4 題，原卷多選第 1～3 題）：週期、疊合後看圖形、倍角與半角

03填充題（第 5～8 題，原卷填充第 1～4 題）：特殊角、和角公式、疊合、圖形的伸縮平移

04填充題（第 9、10 題，原卷填充第 5、6 題）：定位記號的面積、圓錐面上的最短路徑

05填充題（第 11～13 題，原卷填充第 7～9 題）：三角形的內角、解的個數、化成二次式

06填充題（第 14～16 題，原卷填充第 10～12 題）：方格裡的夾角、疊合化簡、範圍內的最小值

07計算題一（第 17 題，原卷計算第 1 題）：由觀測數據決定正弦函數

08計算題二（第 18、19 題，原卷計算第 2 題）：用一個角表示橋長，再疊合

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高雄新興高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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