段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性現象的數學模型、指數與指數函數

高雄新興高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多重選擇題 3 題（每題 6 分，共 18 分）、填充題 10 題共 12 格（每格 5 分，共 60 分）、計算題 2 題共 5 格（共 22 分），合計 100 分。本頁第 4～6 題為原卷填充第 1 題的三格，第 7～15 題為填充第 2～10 題；第 16、17 題為計算第 1 題的 (1)(2)，配分 5 分、6 分；第 18～20 題為計算第 2 題的 (1)(2)(3)，前兩格合計 6 分、第三格 5 分。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題：18%（每題 6 分；錯一個得 4 分，錯兩個得 2 分，錯三個全錯）

下列哪些選項的值為正？

(A) $sin 10$
(B) $sin 20$
(C) $cos 10$
(D) $cos 20$
(E) $tan 10$

有關

y = f (x) = 2 sin (3 x - \frac{π}{6}) - 1

（

x

為實數）之圖形，下列敘述何者正確？

(A) 週期為 $\frac{2 π}{3}$
(B) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(C) $f (x)$ 在 $x = \frac{5 π}{9}$ 時有最小值
(D) 其圖形對稱於直線 $x = \frac{5 π}{9}$
(E) 其圖形會與 $y = 2 sin (3 x)$ 向右 $\frac{π}{6}$ 單位，再向下 $1$ 單位重合

如圖為某正弦波

y = a sin (b x + \frac{π}{6})

的圖形，

x

軸上每小格是

\frac{π}{9}

單位，其中

a

，

b

都是正數，下列何者正確？

(A) 週期 $= \frac{π}{3}$
(B) 頻率 $= \frac{3}{π}$
(C) $a = 2$
(D) $b = 3$
(E) 所有的實數 $x$ ，皆滿足 $f (x) = f (x + 2 π)$

載入中...

二、填充題：60%（每格 5 分，共 12 格）

第 4～6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 4～6 題）　試求下列的值：

(1)

- 24 0^{\circ} =

____ 弳

(2)

3

弳

=

____ 度

(3)

sin \frac{2 π}{3} \cdot cos \frac{π}{6} + cos \frac{3 π}{2} \cdot sin \frac{5 π}{6} + tan \frac{π}{4} \cdot sin \frac{7 π}{6} =

____

若

2^{3} \times 8^{- 2} \times 3 1 6^{2} = 2^{k}

，則

k =

____

一直圓錐的底面半徑為

3

，高為

4

，若將此直圓錐沿一斜高剪開成一扇形，此扇形圓心角

θ

為 ____

載入中...

在三點半時，鐘面上時針與分針所夾的銳角為 ____

載入中...

如圖，半徑分別為

3

及

1

之兩圓

C_{1}

及

C_{2}

外切於

P

點，圓心分別為

O_{1}

及

O_{2}

，設一外公切線段為

\overline{A B}

，

A

、

B

分別表切點，則陰影部分的面積為 ____

載入中...

我國農曆以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸），地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）記年，即甲子、乙丑、…，以

60

年為一週期，俗稱一甲子；例如民國

73

年為甲子年，民國

74

年為乙丑年，民國

75

年為丙寅年，而今年民國

110

年是辛丑年，試求民國

200

年的農曆記年應為 ____ 年

將

Γ_{1} : y = f_{1} (x) = sin x

圖形上所有點的橫坐標都以

y

軸為中心，壓縮為原來的三分之一倍，得到

Γ_{2} : y = f_{2} (x)

函數；再將

Γ_{2}

圖形向右平移

\frac{π}{3}

得到

Γ_{3} : y = f_{3} (x)

；最後將

Γ_{3}

圖形上所有點的縱坐標都以

x

軸為中心，伸長為原來的二倍，得到

Γ_{4} : y = f_{4} (x) = a sin (b x - c)

，則

(a, b, c) =

____

指數函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形分別是右圖的甲、乙、丙、丁，試比較

a

，

b

，

c

，

d

四個數的大小關係為 ____

載入中...

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x \leq - \frac{2}{2}

，則

x

的範圍為 ____

方程式

sin x = \frac{x}{π}

共有 ____ 個實數解．

三、計算題：22%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）

第 16～17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 16～17 題）　新興遊樂場有座圓形摩天輪直徑為

50

公尺，其圓心離地面

30

公尺，並且依逆時針方向等速率運轉，每轉一圈需時

15

分鐘。甲生在摩天輪最低位置時入座，則：

(1) 甲生入座

10

分鐘後離地面的高度為 ____ 公尺。（5%）

載入中...

(2) 若甲生入座

x

分鐘後，離地面的高度可表為

a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

公尺，

a > 0

，

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

____（6%）

第 18～20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～20 題）　右圖為某種病毒在血液中的濃度（

y

萬個/ml）與用藥時間（

x

月）的關係圖。設其關係為指數函數

y = k \cdot a^{x}

，

k

是常數。試問

(1)

k =

____

載入中...

(2)

a =

____（(1)(2) 合計 6%）

(3) 用藥時間在第

6

個月時，病毒的濃度為 ____ 個/ml（5%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(D)(E)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(C)(D)(E)

第 4 題

- \frac{4}{3} π

第 5 題

\frac{540}{π}

第 6 題

\frac{1}{4}

第 7 題

- \frac{1}{3}

第 8 題

\frac{6}{5} π

弳（即

21 6^{\circ}

）

第 9 題

7 5^{\circ}

（即

\frac{5}{12} π

弳）

第 10 題

43 - \frac{11}{6} π

第 11 題辛未

第 12 題

(2, 3, π)

（c 可相差 2π 的整數倍）

第 13 題

b < a < d < c

第 14 題

\frac{5}{4} π \leq x \leq \frac{7}{4} π

第 15 題

3

第 16 題

\frac{85}{2}

（即

42.5

）

第 17 題

(25, \frac{2 π}{15}, 30)

第 18 題

16

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

2500

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多重選擇第 1～3 題：弧度角的象限、正弦函數的性質、由圖形定係數

第 1 題答案 (B)(D)(E)。卷面的

10

、

20

沒有寫「°」，都是弧度。用

π \approx 3.14

：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。

10

減去一圈

2 π

剩下約

3.72

，介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角：正弦、餘弦為負，正切為正。所以 (A)

sin 10 < 0

不選，(C)

cos 10 < 0

不選，(E)

tan 10 > 0

要選。

20

減去三圈

6 π \approx 18.85

剩下約

1.15

，介於

0

與

\frac{π}{2}

之間，是第一象限角：正弦、餘弦都是正的。所以 (B)

sin 20 > 0

、(D)

cos 20 > 0

都要選。

數值約為

sin 10 \approx - 0.54

、

sin 20 \approx 0.91

、

cos 10 \approx - 0.84

、

cos 20 \approx 0.41

、

tan 10 \approx 0.65

。卷面這五個選項都沒有印度的記號（同一份卷填充第 1 題的

- 24 0^{\circ}

有印），所以照弧度讀；若當成度，五個值都是正的。

第 2 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

x

的係數是

3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。(B) 錯：

- 1 \leq sin (3 x - \frac{π}{6}) \leq 1

，乘以

2

再減

1

，得

- 3 \leq f (x) \leq 1

。(C) 對：

x = \frac{5 π}{9}

時，括號內是

\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{10 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，所以

f (\frac{5 π}{9}) = - 3

，正是最小值。(D) 對：正弦函數的圖形以通過最高點或最低點的鉛直線為對稱軸，由 (C)，

x = \frac{5 π}{9}

通過最低點，是一條對稱軸。(E) 錯：

y = 2 sin (3 x)

向右平移

\frac{π}{6}

得

y = 2 sin (3 (x - \frac{π}{6})) = 2 sin (3 x - \frac{π}{2})

，再向下

1

單位是

y = 2 sin (3 x - \frac{π}{2}) - 1

，和

f (x)

不同；例如

x = \frac{π}{6}

時它的值是

2 sin 0 - 1 = - 1

，而

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{3} - 1 = 3 - 1

。

把

f (x)

寫成

2 sin (3 (x - \frac{π}{18})) - 1

就看得出來：正確的平移是向右

\frac{π}{18}

單位，再向下

1

單位。

第 3 題答案 (C)(D)(E)。先求

a

：圖形通過

(0, 1)

，代入得

a sin \frac{π}{6} = \frac{a}{2} = 1

，

a = 2

（圖上最高點的高度也是

2

）。再求週期：

0

到

2 π

之間有

18

小格，相鄰兩個最高點相隔

6

小格，所以週期

= 6 \times \frac{π}{9} = \frac{2 π}{3}

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

（

b > 0

）得

b = 3

。 (A) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(B) 錯：頻率是週期的倒數，等於

\frac{3}{2 π}

。(C) 對。(D) 對。(E) 對：

2 π = 3 \times \frac{2 π}{3}

恰好是三個週期，所以對所有實數

x

都有

f (x + 2 π) = f (x)

。

檢查：

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{6})

的最高點出現在

3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{9}

，正好是

y

軸右邊第一小格，與圖相符。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：振幅

a

、週期

\frac{2 π}{b}

、範圍

d - a

到

d + a

；看左右平移多少，要先把

b

提出來。

02填充第 1、2 題（本頁第 4～7 題）：度與弧度互換、特殊角、指數律

第 4 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

- 24 0^{\circ} = - 240 \times \frac{π}{180} = - \frac{4}{3} π

弳。

負號照留，約分

\frac{240}{180} = \frac{4}{3}

。

第 5 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

1

弳

= \frac{180}{π}

度，

3

弳

= 3 \times \frac{180}{π} = \frac{540}{π}

度。

約

171.9

度。這一格的

3

沒有

π

，答案裡的

π

會留在分母。

第 6 題先把六個值各自寫出來：

sin \frac{2 π}{3} = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{3 π}{2} = cos 27 0^{\circ} = 0

；

sin \frac{5 π}{6} = sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；

tan \frac{π}{4} = 1

；

sin \frac{7 π}{6} = sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。代回原式：

\frac{3}{2} \times \frac{3}{2} + 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

21 0^{\circ}

在第三象限，正弦為負；

cos 27 0^{\circ} = 0

讓中間那一項整個消失。

第 7 題全部化成以

2

為底：

8^{- 2} = (2^{3})^{- 2} = 2^{- 6}

；

1 6^{2} = (2^{4})^{2} = 2^{8}

，所以

3 1 6^{2} = 2^{\frac{8}{3}}

。原式

= 2^{3} \times 2^{- 6} \times 2^{\frac{8}{3}} = 2^{3 - 6 + \frac{8}{3}} = 2^{- \frac{1}{3}}

，所以

k = - \frac{1}{3}

。

三次方根是

\frac{1}{3}

次方，

3 2^{8} = 2^{\frac{8}{3}}

；指數相加時

3 - 6 = - 3 = - \frac{9}{3}

，再加

\frac{8}{3}

。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；弧度的特殊角先換回度數再找象限與參考角；指數的乘法先化成同底。

03填充第 3～5 題（本頁第 8～10 題）：圓錐展開、時鐘、外切兩圓

第 8 題高、底面半徑與斜高構成直角三角形，斜高

= 3^{2} + 4^{2} = 5

。沿斜高剪開攤平後，扇形的半徑是斜高

5

，扇形的弧長是底面的圓周長

2 π \times 3 = 6 π

。由弧長

s = r θ

得

5 θ = 6 π

，

θ = \frac{6}{5} π

弳，也就是

\frac{6}{5} \times 18 0^{\circ} = 21 6^{\circ}

。

題目沒有指定單位，寫

\frac{6}{5} π

弳或

21 6^{\circ}

都是同一個角。扇形的半徑是斜高

5

，不是高

4

。附圖的扇形只是示意，沒有照實際角度畫。

第 9 題從

12

的位置順時針量。分針在

30

分，指著

6

，位置是

18 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

，三點半時走了

3.5

小時，位置是

3.5 \times 3 0^{\circ} = 10 5^{\circ}

。兩針的夾角

= 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

，是銳角；換成弧度是

75 \times \frac{π}{180} = \frac{5}{12} π

弳。

時針不是停在

3

上，半小時內它又往前走了

1 5^{\circ}

。附圖的時針位置只是示意。

第 10 題陰影是由切線段

\overline{A B}

、大圓的弧

A P

、小圓的弧

B P

圍成的區域，等於四邊形

O_{1} A B O_{2}

扣掉兩個扇形。切線與過切點的半徑垂直，所以

\overline{O_{1} A} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{O_{2} B} ⊥ \overline{A B}

，四邊形

O_{1} A B O_{2}

是直角梯形。過

O_{2}

作

\overline{O_{1} A}

的垂線，垂足為

E

（圖上的虛線），則

O_{2} B A E

是長方形，

\overline{A E} = 1

，

\overline{O_{1} E} = 3 - 1 = 2

。兩圓外切，

\overline{O_{1} O_{2}} = 3 + 1 = 4

。直角三角形

O_{1} E O_{2}

中，

\overline{O_{2} E} = 4^{2} - 2^{2} = 23

，所以

\overline{A B} = 23

；又

cos ∠ E O_{1} O_{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

，所以

∠ A O_{1} O_{2} = \frac{π}{3}

，而梯形同側兩內角互補，

∠ B O_{2} O_{1} = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。梯形面積

= \frac{1}{2} (3 + 1) \times 23 = 43

。大圓的扇形

O_{1} A P

面積

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

；小圓的扇形

O_{2} B P

面積

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

。

陰影面積 = 43 - \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3} = 43 - \frac{11}{6} π

約

1.17

。切點

P

在連心線

\overline{O_{1} O_{2}}

上，所以兩個扇形剛好各以

\overline{O_{1} P}

、

\overline{O_{2} P}

為一邊。

弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

都用弧度；弧圍成的面積拆成多邊形與扇形來加減。

04填充第 6～8 題（本頁第 11～13 題）：干支的週期、圖形的伸縮平移、指數函數的底數

第 11 題天干每

10

年循環一次，地支每

12

年循環一次，兩者分開算。民國

110

年到民國

200

年相隔

200 - 110 = 90

年。天干：

90 \div 10 = 9

餘

0

，剛好回到同一個天干「辛」。地支：

90 \div 12 = 7

餘

6

，從「丑」往後數

6

個：寅、卯、辰、巳、午、未，是「未」。所以民國

200

年是辛未年。

用民國

73

年甲子年核對：

200 - 73 = 127

，

127

除以

10

餘

7

，甲往後

7

個是辛；

127

除以

12

餘

7

，子往後

7

個是未，結果相同。也可以用

60

年一循環：

127

除以

60

餘

7

，民國

200

年與民國

80

年的干支相同。

第 12 題一步一步寫。橫坐標以

y

軸為中心壓縮成

\frac{1}{3}

倍：把

x

換成

3 x

，

f_{2} (x) = sin 3 x

。向右平移

\frac{π}{3}

：把

x

換成

x - \frac{π}{3}

，

f_{3} (x) = sin (3 (x - \frac{π}{3})) = sin (3 x - π)

。縱坐標以

x

軸為中心伸長成

2

倍：整個函數值乘以

2

，

f_{4} (x) = 2 sin (3 x - π)

。與

a sin (b x - c)

比較，

(a, b, c) = (2, 3, π)

。

平移是對

x

本身做的，所以括號裡減的是

3 \times \frac{π}{3} = π

，不是

\frac{π}{3}

。

c

可以相差

2 π

的整數倍（圖形都相同），這裡取照步驟直接得到的

c = π

。

第 13 題四個圖形都通過

(0, 1)

。看

x = 1

的位置：

y = a^{x}

在

x = 1

的高度就是底數

a

，所以在

y

軸右邊畫一條鉛直線

x = 1

，由上往下碰到的圖形，底數由大到小。圖上

y

軸右邊由上到下依序是丙、丁、甲、乙：丙、丁往右上升（底數大於

1

），丙升得比丁快，所以

c > d > 1

；甲、乙往右下降（底數介於

0

與

1

之間），乙降得比甲快，所以

b < a < 1

。合起來

b < a < d < c

。

也可以看

x = - 1

：那裡的高度是底數的倒數。乙在

y

軸左邊最高，表示

\frac{1}{b}

最大，

b

最小。

週期現象用餘數推算；圖形變換時，左右方向的伸縮與平移都作用在

x

上、而且順序有關；指數函數比底數就看

x = 1

的高度。

05填充第 9、10 題（本頁第 14、15 題）：用正弦圖形解不等式、數交點

第 14 題先找等號成立的地方：在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{2}{2}

的角，參考角是

\frac{π}{4}

，而且正弦為負，在第三、四象限，所以

x = π + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}

或

x = 2 π - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}

。畫出

y = sin x

的圖形與水平線

y = - \frac{2}{2}

：圖形在水平線上或下方的部分，正好是兩個交點之間（中間經過最低點

x = \frac{3 π}{2}

，

sin x = - 1

）。所以

\frac{5}{4} π \leq x \leq \frac{7}{4} π

。

題目是「小於或等於」，兩個端點都要包含。

第 15 題實數解就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

- 1 \leq \frac{x}{π} \leq 1

，也就是

- π \leq x \leq π

。先看

0 \leq x \leq π

：

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個交點。

0 < x < π

時正弦圖形是一個拱形，直線由

0

升到

1

：在

x = \frac{π}{2}

，

sin x = 1

比直線的

\frac{1}{2}

高；在

x = π

，

sin x = 0

比直線的

1

低，而且這一段正弦一路下降、直線一路上升，所以在

\frac{π}{2}

與

π

之間恰交一點。在

0

與

\frac{π}{2}

之間，拱形在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{2}, 1)

的直線

y = \frac{2 x}{π}

上方，更在

y = \frac{x}{π}

上方，沒有交點。兩個圖形都對稱於原點，所以

- π \leq x < 0

也恰有一個交點。共

1 + 1 + 1 = 3

個實數解。

三個解是

x = 0

與

x \approx \pm 2.31

（後兩個不是特殊角，題目只問個數）。別漏掉

x = 0

與負的那一個。

含正弦的不等式與方程式，先畫

y = sin x

的圖形，再看它和另一條線的上下關係與交點。

06計算第 1 題（本頁第 16、17 題）：摩天輪的高度

第 16 題半徑是

50 \div 2 = 25

公尺，圓心離地

30

公尺，所以最低點離地

30 - 25 = 5

公尺。

15

分鐘轉一圈，

10

分鐘轉了

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

圈，也就是

\frac{2}{3} \times 36 0^{\circ} = 24 0^{\circ}

。從最低點逆時針轉

24 0^{\circ}

：先轉

18 0^{\circ}

到最高點，再多轉

6 0^{\circ}

，這時座位與圓心的連線和「圓心往正上方」的方向夾

6 0^{\circ}

，所以座位比圓心高

25 cos 6 0^{\circ} = 12.5

公尺。離地高度

= 30 + 12.5 = 42.5

公尺。

用下一小題的式子核對：

25 sin (\frac{2 π}{15} \times 10 - \frac{π}{2}) + 30 = 25 sin \frac{5 π}{6} + 30 = 12.5 + 30 = 42.5

。

第 17 題以圓心為原點，往右為角度的起始方向。座位在半徑

25

的圓上，當它的位置角是

θ

時，比圓心高

25 sin θ

，離地高度是

25 sin θ + 30

。入座時在最低點，位置角是

- \frac{π}{2}

；逆時針等速轉動，

15

分鐘轉

2 π

，每分鐘轉

\frac{2 π}{15}

，所以

x

分鐘後的位置角是

\frac{2 π}{15} x - \frac{π}{2}

。高度

= 25 sin (\frac{2 π}{15} x - \frac{π}{2}) + 30

，與題目的形式比較，

(a, b, c) = (25, \frac{2 π}{15}, 30)

。

檢查：

x = 0

時高度

= 25 sin (- \frac{π}{2}) + 30 = 5

，是最低點；

x = 7.5

時

= 25 sin \frac{π}{2} + 30 = 55

，是最高點。

a

是半徑、

c

是圓心的高度、

b

由週期

15

決定。

圓周運動的高度＝圓心高度＋半徑×

sin

（位置角）；位置角＝起始角＋每單位時間轉的角×時間。

07計算第 2 題（本頁第 18～20 題）：病毒濃度的指數模型

第 18 題由圖，

x = 0

時

y = 16

。代入

y = k \cdot a^{x}

：

k \cdot a^{0} = k = 16

。

任何正數的

0

次方都是

1

，所以

k

就是圖形與

y

軸交點的高度。

第 19 題由圖，

x = 1

時

y = 8

。代入

y = 16 \cdot a^{x}

：

16 a = 8

，

a = \frac{1}{2}

。

用圖上其他的點檢查：

x = 2

時

16 \times \frac{1}{4} = 4

，

x = 3

時

16 \times \frac{1}{8} = 2

，都與圖相符。每過一個月濃度減半。

第 20 題

y = 16 \cdot (\frac{1}{2})^{x}

，

x = 6

時

y = 16 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{4}

。

y

的單位是「萬個/ml」，

\frac{1}{4}

萬個

= 2500

個，所以濃度是

2500

個/ml。

空格後面的單位是「個/ml」，不是「萬個/ml」，要把

\frac{1}{4}

萬換成

2500

。

y = k \cdot a^{x}

有兩個未知數，就從圖上讀兩個點：

x = 0

的點給

k

，

x = 1

的點給

a

；最後看清楚答案要的單位。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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上傳考卷

常見問題

高雄新興高中 110 上高二第一次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題的 10 和 20 沒有度的記號，都是弧度，要先減掉整圈再看象限；第 2 題向右平移的量要把 x 的係數 3 提出來才看得出來，是十八分之 π 不是六分之 π；第 10 題要把梯形扣掉兩個扇形，兩個圓心角分別是六十度與一百二十度；第 12 題先壓縮再平移，平移是對 x 本身做，括號裡要減的是 π；第 17 題從最低點出發，所以角度要從負二分之 π 起算。詳解逐題寫在本頁。

我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 110 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

御藍教育／段考卷／高二

段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、正弦函數的圖形與週期、週期性現象的數學模型、指數與指數函數

高雄新興高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

一、多重選擇題：18%（每題 6 分；錯一個得 4 分，錯兩個得 2 分，錯三個全錯）

下列哪些選項的值為正？

(A) $sin 10$
(B) $sin 20$
(C) $cos 10$
(D) $cos 20$
(E) $tan 10$

有關

y = f (x) = 2 sin (3 x - \frac{π}{6}) - 1

（

x

為實數）之圖形，下列敘述何者正確？

(A) 週期為 $\frac{2 π}{3}$
(B) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(C) $f (x)$ 在 $x = \frac{5 π}{9}$ 時有最小值
(D) 其圖形對稱於直線 $x = \frac{5 π}{9}$
(E) 其圖形會與 $y = 2 sin (3 x)$ 向右 $\frac{π}{6}$ 單位，再向下 $1$ 單位重合

如圖為某正弦波

y = a sin (b x + \frac{π}{6})

的圖形，

x

軸上每小格是

\frac{π}{9}

單位，其中

a

，

b

都是正數，下列何者正確？

(A) 週期 $= \frac{π}{3}$
(B) 頻率 $= \frac{3}{π}$
(C) $a = 2$
(D) $b = 3$
(E) 所有的實數 $x$ ，皆滿足 $f (x) = f (x + 2 π)$

載入中...

二、填充題：60%（每格 5 分，共 12 格）

第 4～6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 4～6 題）　試求下列的值：

(1)

- 24 0^{\circ} =

____ 弳

(2)

3

弳

=

____ 度

(3)

sin \frac{2 π}{3} \cdot cos \frac{π}{6} + cos \frac{3 π}{2} \cdot sin \frac{5 π}{6} + tan \frac{π}{4} \cdot sin \frac{7 π}{6} =

____

若

2^{3} \times 8^{- 2} \times 3 1 6^{2} = 2^{k}

，則

k =

____

一直圓錐的底面半徑為

3

，高為

4

，若將此直圓錐沿一斜高剪開成一扇形，此扇形圓心角

θ

為 ____

載入中...

在三點半時，鐘面上時針與分針所夾的銳角為 ____

載入中...

如圖，半徑分別為

3

及

1

之兩圓

C_{1}

及

C_{2}

外切於

P

點，圓心分別為

O_{1}

及

O_{2}

，設一外公切線段為

\overline{A B}

，

A

、

B

分別表切點，則陰影部分的面積為 ____

載入中...

60

年為一週期，俗稱一甲子；例如民國

73

年為甲子年，民國

74

年為乙丑年，民國

75

年為丙寅年，而今年民國

110

年是辛丑年，試求民國

200

年的農曆記年應為 ____ 年

將

Γ_{1} : y = f_{1} (x) = sin x

圖形上所有點的橫坐標都以

y

軸為中心，壓縮為原來的三分之一倍，得到

Γ_{2} : y = f_{2} (x)

函數；再將

Γ_{2}

圖形向右平移

\frac{π}{3}

得到

Γ_{3} : y = f_{3} (x)

；最後將

Γ_{3}

圖形上所有點的縱坐標都以

x

軸為中心，伸長為原來的二倍，得到

Γ_{4} : y = f_{4} (x) = a sin (b x - c)

，則

(a, b, c) =

____

指數函數

y = a^{x}

、

y = b^{x}

、

y = c^{x}

、

y = d^{x}

的圖形分別是右圖的甲、乙、丙、丁，試比較

a

，

b

，

c

，

d

四個數的大小關係為 ____

載入中...

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

sin x \leq - \frac{2}{2}

，則

x

的範圍為 ____

方程式

sin x = \frac{x}{π}

共有 ____ 個實數解．

三、計算題：22%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）

第 16～17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 16～17 題）　新興遊樂場有座圓形摩天輪直徑為

50

公尺，其圓心離地面

30

公尺，並且依逆時針方向等速率運轉，每轉一圈需時

15

分鐘。甲生在摩天輪最低位置時入座，則：

(1) 甲生入座

10

分鐘後離地面的高度為 ____ 公尺。（5%）

載入中...

(2) 若甲生入座

x

分鐘後，離地面的高度可表為

a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

公尺，

a > 0

，

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

____（6%）

第 18～20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～20 題）　右圖為某種病毒在血液中的濃度（

y

萬個/ml）與用藥時間（

x

月）的關係圖。設其關係為指數函數

y = k \cdot a^{x}

，

k

是常數。試問

(1)

k =

____

載入中...

(2)

a =

____（(1)(2) 合計 6%）

(3) 用藥時間在第

6

個月時，病毒的濃度為 ____ 個/ml（5%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(D)(E)

第 2 題(A)(C)(D)

第 3 題(C)(D)(E)

第 4 題

- \frac{4}{3} π

第 5 題

\frac{540}{π}

第 6 題

\frac{1}{4}

第 7 題

- \frac{1}{3}

第 8 題

\frac{6}{5} π

弳（即

21 6^{\circ}

）

第 9 題

7 5^{\circ}

（即

\frac{5}{12} π

弳）

第 10 題

43 - \frac{11}{6} π

第 11 題辛未

第 12 題

(2, 3, π)

（c 可相差 2π 的整數倍）

第 13 題

b < a < d < c

第 14 題

\frac{5}{4} π \leq x \leq \frac{7}{4} π

第 15 題

3

第 16 題

\frac{85}{2}

（即

42.5

）

第 17 題

(25, \frac{2 π}{15}, 30)

第 18 題

16

第 19 題

\frac{1}{2}

第 20 題

2500

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多重選擇第 1～3 題：弧度角的象限、正弦函數的性質、由圖形定係數

第 1 題答案 (B)(D)(E)。卷面的

10

、

20

沒有寫「°」，都是弧度。用

π \approx 3.14

：

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

\frac{3 π}{2} \approx 4.71

、

2 π \approx 6.28

。

10

減去一圈

2 π

剩下約

3.72

，介於

π

與

\frac{3 π}{2}

之間，是第三象限角：正弦、餘弦為負，正切為正。所以 (A)

sin 10 < 0

不選，(C)

cos 10 < 0

不選，(E)

tan 10 > 0

要選。

20

減去三圈

6 π \approx 18.85

剩下約

1.15

，介於

0

與

\frac{π}{2}

之間，是第一象限角：正弦、餘弦都是正的。所以 (B)

sin 20 > 0

、(D)

cos 20 > 0

都要選。

數值約為

sin 10 \approx - 0.54

、

sin 20 \approx 0.91

、

cos 10 \approx - 0.84

、

cos 20 \approx 0.41

、

tan 10 \approx 0.65

。卷面這五個選項都沒有印度的記號（同一份卷填充第 1 題的

- 24 0^{\circ}

有印），所以照弧度讀；若當成度，五個值都是正的。

第 2 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：

x

的係數是

3

，週期

= \frac{2 π}{3}

。(B) 錯：

- 1 \leq sin (3 x - \frac{π}{6}) \leq 1

，乘以

2

再減

1

，得

- 3 \leq f (x) \leq 1

。(C) 對：

x = \frac{5 π}{9}

時，括號內是

\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{10 π}{6} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

，

sin \frac{3 π}{2} = - 1

，所以

f (\frac{5 π}{9}) = - 3

，正是最小值。(D) 對：正弦函數的圖形以通過最高點或最低點的鉛直線為對稱軸，由 (C)，

x = \frac{5 π}{9}

通過最低點，是一條對稱軸。(E) 錯：

y = 2 sin (3 x)

向右平移

\frac{π}{6}

得

y = 2 sin (3 (x - \frac{π}{6})) = 2 sin (3 x - \frac{π}{2})

，再向下

1

單位是

y = 2 sin (3 x - \frac{π}{2}) - 1

，和

f (x)

不同；例如

x = \frac{π}{6}

時它的值是

2 sin 0 - 1 = - 1

，而

f (\frac{π}{6}) = 2 sin \frac{π}{3} - 1 = 3 - 1

。

把

f (x)

寫成

2 sin (3 (x - \frac{π}{18})) - 1

就看得出來：正確的平移是向右

\frac{π}{18}

單位，再向下

1

單位。

第 3 題答案 (C)(D)(E)。先求

a

：圖形通過

(0, 1)

，代入得

a sin \frac{π}{6} = \frac{a}{2} = 1

，

a = 2

（圖上最高點的高度也是

2

）。再求週期：

0

到

2 π

之間有

18

小格，相鄰兩個最高點相隔

6

小格，所以週期

= 6 \times \frac{π}{9} = \frac{2 π}{3}

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{2 π}{3}

（

b > 0

）得

b = 3

。 (A) 錯：週期是

\frac{2 π}{3}

。(B) 錯：頻率是週期的倒數，等於

\frac{3}{2 π}

。(C) 對。(D) 對。(E) 對：

2 π = 3 \times \frac{2 π}{3}

恰好是三個週期，所以對所有實數

x

都有

f (x + 2 π) = f (x)

。

檢查：

y = 2 sin (3 x + \frac{π}{6})

的最高點出現在

3 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{π}{9}

，正好是

y

軸右邊第一小格，與圖相符。

y = a sin (b x + c) + d

（

a > 0

、

b > 0

）：振幅

a

、週期

\frac{2 π}{b}

、範圍

d - a

到

d + a

；看左右平移多少，要先把

b

提出來。

02填充第 1、2 題（本頁第 4～7 題）：度與弧度互換、特殊角、指數律

第 4 題

18 0^{\circ} = π

弳，所以

- 24 0^{\circ} = - 240 \times \frac{π}{180} = - \frac{4}{3} π

弳。

負號照留，約分

\frac{240}{180} = \frac{4}{3}

。

第 5 題

π

弳

= 18 0^{\circ}

，所以

1

弳

= \frac{180}{π}

度，

3

弳

= 3 \times \frac{180}{π} = \frac{540}{π}

度。

約

171.9

度。這一格的

3

沒有

π

，答案裡的

π

會留在分母。

第 6 題先把六個值各自寫出來：

sin \frac{2 π}{3} = sin 12 0^{\circ} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}

；

cos \frac{3 π}{2} = cos 27 0^{\circ} = 0

；

sin \frac{5 π}{6} = sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}

；

tan \frac{π}{4} = 1

；

sin \frac{7 π}{6} = sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

。代回原式：

\frac{3}{2} \times \frac{3}{2} + 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

21 0^{\circ}

在第三象限，正弦為負；

cos 27 0^{\circ} = 0

讓中間那一項整個消失。

第 7 題全部化成以

2

為底：

8^{- 2} = (2^{3})^{- 2} = 2^{- 6}

；

1 6^{2} = (2^{4})^{2} = 2^{8}

，所以

3 1 6^{2} = 2^{\frac{8}{3}}

。原式

= 2^{3} \times 2^{- 6} \times 2^{\frac{8}{3}} = 2^{3 - 6 + \frac{8}{3}} = 2^{- \frac{1}{3}}

，所以

k = - \frac{1}{3}

。

三次方根是

\frac{1}{3}

次方，

3 2^{8} = 2^{\frac{8}{3}}

；指數相加時

3 - 6 = - 3 = - \frac{9}{3}

，再加

\frac{8}{3}

。

度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳；弧度的特殊角先換回度數再找象限與參考角；指數的乘法先化成同底。

03填充第 3～5 題（本頁第 8～10 題）：圓錐展開、時鐘、外切兩圓

第 8 題高、底面半徑與斜高構成直角三角形，斜高

= 3^{2} + 4^{2} = 5

。沿斜高剪開攤平後，扇形的半徑是斜高

5

，扇形的弧長是底面的圓周長

2 π \times 3 = 6 π

。由弧長

s = r θ

得

5 θ = 6 π

，

θ = \frac{6}{5} π

弳，也就是

\frac{6}{5} \times 18 0^{\circ} = 21 6^{\circ}

。

題目沒有指定單位，寫

\frac{6}{5} π

弳或

21 6^{\circ}

都是同一個角。扇形的半徑是斜高

5

，不是高

4

。附圖的扇形只是示意，沒有照實際角度畫。

第 9 題從

12

的位置順時針量。分針在

30

分，指著

6

，位置是

18 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

，三點半時走了

3.5

小時，位置是

3.5 \times 3 0^{\circ} = 10 5^{\circ}

。兩針的夾角

= 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}

，是銳角；換成弧度是

75 \times \frac{π}{180} = \frac{5}{12} π

弳。

時針不是停在

3

上，半小時內它又往前走了

1 5^{\circ}

。附圖的時針位置只是示意。

第 10 題陰影是由切線段

\overline{A B}

、大圓的弧

A P

、小圓的弧

B P

圍成的區域，等於四邊形

O_{1} A B O_{2}

扣掉兩個扇形。切線與過切點的半徑垂直，所以

\overline{O_{1} A} ⊥ \overline{A B}

、

\overline{O_{2} B} ⊥ \overline{A B}

，四邊形

O_{1} A B O_{2}

是直角梯形。過

O_{2}

作

\overline{O_{1} A}

的垂線，垂足為

E

（圖上的虛線），則

O_{2} B A E

是長方形，

\overline{A E} = 1

，

\overline{O_{1} E} = 3 - 1 = 2

。兩圓外切，

\overline{O_{1} O_{2}} = 3 + 1 = 4

。直角三角形

O_{1} E O_{2}

中，

\overline{O_{2} E} = 4^{2} - 2^{2} = 23

，所以

\overline{A B} = 23

；又

cos ∠ E O_{1} O_{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

，所以

∠ A O_{1} O_{2} = \frac{π}{3}

，而梯形同側兩內角互補，

∠ B O_{2} O_{1} = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}

。梯形面積

= \frac{1}{2} (3 + 1) \times 23 = 43

。大圓的扇形

O_{1} A P

面積

= \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

；小圓的扇形

O_{2} B P

面積

= \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

。

陰影面積 = 43 - \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3} = 43 - \frac{11}{6} π

約

1.17

。切點

P

在連心線

\overline{O_{1} O_{2}}

上，所以兩個扇形剛好各以

\overline{O_{1} P}

、

\overline{O_{2} P}

為一邊。

弧長

s = r θ

、扇形面積

\frac{1}{2} r^{2} θ

都用弧度；弧圍成的面積拆成多邊形與扇形來加減。

04填充第 6～8 題（本頁第 11～13 題）：干支的週期、圖形的伸縮平移、指數函數的底數

第 11 題天干每

10

年循環一次，地支每

12

年循環一次，兩者分開算。民國

110

年到民國

200

年相隔

200 - 110 = 90

年。天干：

90 \div 10 = 9

餘

0

，剛好回到同一個天干「辛」。地支：

90 \div 12 = 7

餘

6

，從「丑」往後數

6

個：寅、卯、辰、巳、午、未，是「未」。所以民國

200

年是辛未年。

用民國

73

年甲子年核對：

200 - 73 = 127

，

127

除以

10

餘

7

，甲往後

7

個是辛；

127

除以

12

餘

7

，子往後

7

個是未，結果相同。也可以用

60

年一循環：

127

除以

60

餘

7

，民國

200

年與民國

80

年的干支相同。

第 12 題一步一步寫。橫坐標以

y

軸為中心壓縮成

\frac{1}{3}

倍：把

x

換成

3 x

，

f_{2} (x) = sin 3 x

。向右平移

\frac{π}{3}

：把

x

換成

x - \frac{π}{3}

，

f_{3} (x) = sin (3 (x - \frac{π}{3})) = sin (3 x - π)

。縱坐標以

x

軸為中心伸長成

2

倍：整個函數值乘以

2

，

f_{4} (x) = 2 sin (3 x - π)

。與

a sin (b x - c)

比較，

(a, b, c) = (2, 3, π)

。

平移是對

x

本身做的，所以括號裡減的是

3 \times \frac{π}{3} = π

，不是

\frac{π}{3}

。

c

可以相差

2 π

的整數倍（圖形都相同），這裡取照步驟直接得到的

c = π

。

第 13 題四個圖形都通過

(0, 1)

。看

x = 1

的位置：

y = a^{x}

在

x = 1

的高度就是底數

a

，所以在

y

軸右邊畫一條鉛直線

x = 1

，由上往下碰到的圖形，底數由大到小。圖上

y

軸右邊由上到下依序是丙、丁、甲、乙：丙、丁往右上升（底數大於

1

），丙升得比丁快，所以

c > d > 1

；甲、乙往右下降（底數介於

0

與

1

之間），乙降得比甲快，所以

b < a < 1

。合起來

b < a < d < c

。

也可以看

x = - 1

：那裡的高度是底數的倒數。乙在

y

軸左邊最高，表示

\frac{1}{b}

最大，

b

最小。

週期現象用餘數推算；圖形變換時，左右方向的伸縮與平移都作用在

x

上、而且順序有關；指數函數比底數就看

x = 1

的高度。

05填充第 9、10 題（本頁第 14、15 題）：用正弦圖形解不等式、數交點

第 14 題先找等號成立的地方：在

0 \leq x \leq 2 π

內，

sin x = - \frac{2}{2}

的角，參考角是

\frac{π}{4}

，而且正弦為負，在第三、四象限，所以

x = π + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}

或

x = 2 π - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4}

。畫出

y = sin x

的圖形與水平線

y = - \frac{2}{2}

：圖形在水平線上或下方的部分，正好是兩個交點之間（中間經過最低點

x = \frac{3 π}{2}

，

sin x = - 1

）。所以

\frac{5}{4} π \leq x \leq \frac{7}{4} π

。

題目是「小於或等於」，兩個端點都要包含。

第 15 題實數解就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{π}

的交點。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

- 1 \leq \frac{x}{π} \leq 1

，也就是

- π \leq x \leq π

。先看

0 \leq x \leq π

：

x = 0

時兩邊都是

0

，是一個交點。

0 < x < π

時正弦圖形是一個拱形，直線由

0

升到

1

：在

x = \frac{π}{2}

，

sin x = 1

比直線的

\frac{1}{2}

高；在

x = π

，

sin x = 0

比直線的

1

低，而且這一段正弦一路下降、直線一路上升，所以在

\frac{π}{2}

與

π

之間恰交一點。在

0

與

\frac{π}{2}

之間，拱形在連接

(0, 0)

與

(\frac{π}{2}, 1)

的直線

y = \frac{2 x}{π}

上方，更在

y = \frac{x}{π}

上方，沒有交點。兩個圖形都對稱於原點，所以

- π \leq x < 0

也恰有一個交點。共

1 + 1 + 1 = 3

個實數解。

三個解是

x = 0

與

x \approx \pm 2.31

（後兩個不是特殊角，題目只問個數）。別漏掉

x = 0

與負的那一個。

含正弦的不等式與方程式，先畫

y = sin x

的圖形，再看它和另一條線的上下關係與交點。

06計算第 1 題（本頁第 16、17 題）：摩天輪的高度

第 16 題半徑是

50 \div 2 = 25

公尺，圓心離地

30

公尺，所以最低點離地

30 - 25 = 5

公尺。

15

分鐘轉一圈，

10

分鐘轉了

\frac{10}{15} = \frac{2}{3}

圈，也就是

\frac{2}{3} \times 36 0^{\circ} = 24 0^{\circ}

。從最低點逆時針轉

24 0^{\circ}

：先轉

18 0^{\circ}

到最高點，再多轉

6 0^{\circ}

，這時座位與圓心的連線和「圓心往正上方」的方向夾

6 0^{\circ}

，所以座位比圓心高

25 cos 6 0^{\circ} = 12.5

公尺。離地高度

= 30 + 12.5 = 42.5

公尺。

用下一小題的式子核對：

25 sin (\frac{2 π}{15} \times 10 - \frac{π}{2}) + 30 = 25 sin \frac{5 π}{6} + 30 = 12.5 + 30 = 42.5

。

第 17 題以圓心為原點，往右為角度的起始方向。座位在半徑

25

的圓上，當它的位置角是

θ

時，比圓心高

25 sin θ

，離地高度是

25 sin θ + 30

。入座時在最低點，位置角是

- \frac{π}{2}

；逆時針等速轉動，

15

分鐘轉

2 π

，每分鐘轉

\frac{2 π}{15}

，所以

x

分鐘後的位置角是

\frac{2 π}{15} x - \frac{π}{2}

。高度

= 25 sin (\frac{2 π}{15} x - \frac{π}{2}) + 30

，與題目的形式比較，

(a, b, c) = (25, \frac{2 π}{15}, 30)

。

檢查：

x = 0

時高度

= 25 sin (- \frac{π}{2}) + 30 = 5

，是最低點；

x = 7.5

時

= 25 sin \frac{π}{2} + 30 = 55

，是最高點。

a

是半徑、

c

是圓心的高度、

b

由週期

15

決定。

圓周運動的高度＝圓心高度＋半徑×

sin

（位置角）；位置角＝起始角＋每單位時間轉的角×時間。

07計算第 2 題（本頁第 18～20 題）：病毒濃度的指數模型

第 18 題由圖，

x = 0

時

y = 16

。代入

y = k \cdot a^{x}

：

k \cdot a^{0} = k = 16

。

任何正數的

0

次方都是

1

，所以

k

就是圖形與

y

軸交點的高度。

第 19 題由圖，

x = 1

時

y = 8

。代入

y = 16 \cdot a^{x}

：

16 a = 8

，

a = \frac{1}{2}

。

用圖上其他的點檢查：

x = 2

時

16 \times \frac{1}{4} = 4

，

x = 3

時

16 \times \frac{1}{8} = 2

，都與圖相符。每過一個月濃度減半。

第 20 題

y = 16 \cdot (\frac{1}{2})^{x}

，

x = 6

時

y = 16 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{4}

。

y

的單位是「萬個/ml」，

\frac{1}{4}

萬個

= 2500

個，所以濃度是

2500

個/ml。

空格後面的單位是「個/ml」，不是「萬個/ml」，要把

\frac{1}{4}

萬換成

2500

。

y = k \cdot a^{x}

有兩個未知數，就從圖上讀兩個點：

x = 0

的點給

k

，

x = 1

的點給

a

；最後看清楚答案要的單位。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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01多重選擇第 1～3 題：弧度角的象限、正弦函數的性質、由圖形定係數

02填充第 1、2 題（本頁第 4～7 題）：度與弧度互換、特殊角、指數律

03填充第 3～5 題（本頁第 8～10 題）：圓錐展開、時鐘、外切兩圓

04填充第 6～8 題（本頁第 11～13 題）：干支的週期、圖形的伸縮平移、指數函數的底數

05填充第 9、10 題（本頁第 14、15 題）：用正弦圖形解不等式、數交點

06計算第 1 題（本頁第 16、17 題）：摩天輪的高度

07計算第 2 題（本頁第 18～20 題）：病毒濃度的指數模型

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高雄新興高中 110 上
高二第一次段考
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