段考詳解範圍：分布與統計（離散型隨機變數、期望值、變異數與標準差、二項分布、幾何分布）、複數與多項式方程式

高雄新興高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 4 題（28 分，每題 7 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）、填充題 7 題共 11 格（55 分，每格 5 分）、計算題 2 題共 5 小題（17 分，各小題配分印在題末），合計 100 分。本頁全卷連續編號：第 5、6 題是原卷填充第 1、2 題，第 7、8 題是填充第 3 題的 (1)(2)，第 9、10 題是填充第 4 題的 (1)(2)，第 11、12 題是填充第 5 題的 (1)(2)，第 13、14 題是填充第 6 題的 (1)(2)，第 15 題是填充第 7 題；第 16、17 題是原卷計算第 1 題的 (1)(2)，第 18～20 題是計算第 2 題的 (1)(2)(3)。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題：28%（每題 7 分；錯一個給 5 分，錯兩個給 3 分，錯三個全錯）

已知隨機變數

X

、

Y

、

Z

、

W

、

T

的機率函數質量圖分別如下圖所示，標準差分別為

σ_{X}

、

σ_{Y}

、

σ_{Z}

、

σ_{W}

、

σ_{T}

。下列敘述哪些是正確的？

(A) $σ_{Y} > σ_{X}$
(B) $σ_{W} = σ_{Z}$
(C) $σ_{W} > σ_{X}$
(D) $σ_{Z} > σ_{T}$
(E) $σ_{T} > σ_{X}$

載入中...

投擲一枚不均勻的硬幣

30

次，該硬幣出現正面的機率為

0.7

，出現反面的機率為

0.3

，令隨機變數

X

表示出現反面的次數，假設

P (X = k)

為

X = k

（

k = 0, 1, 2, \dots, 29, 30

）時的機率，則下列何者正確？

(A) $X$ 的期望值為 $9$
(B) $X$ 的標準差為 $6.3$
(C) 在 $k = 9$ 時， $P (X = k)$ 最大
(D) $P (X = 11) < P (X = 12)$
(E) $P (X = 8) < P (X = 10)$

下列敘述何者正確？

(A) $3 \cdot - 5 = (3) (- 5)$
(B) $\frac{3}{- 5} = \frac{3}{- 5}$
(C) 若 $ab > 0$ ，則 $a \times b = a \times b$
(D) 若 $ab > 0$ ，則 $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$
(E) $a$ 、 $b$ 為複數，若 $a^{2} + b^{2} = 0$ ，則 $a = b = 0$

設

f (x)

為一個實係數三次多項式，

i = - 1

，已知

1 + 3 i

為

f (x) = 0

的一根。試問下列何者正確？

(A) $f (3 - i) \neq = 0$
(B) 若 $f (1) > 0$ 且 $f (2) < 0$ ，則 $f (3) > 0$
(C) 若 $f (1) > 0$ 且 $f (5) > 0$ ，則 $f (3) > 0$
(D) 若 $f (i + 2) = 1 + 5 i$ ，則 $f (i - 2) = 1 - 5 i$
(E) $y = f (x)$ 與 $y = x^{2}$ 的圖形至少一個交點

二、填充題：55%（每格 5 分，共 11 格）

已知隨機變數

X

的期望值

E (- 2 X + 6) = 1

，且

E (X^{2}) = 10

，則

Var (2 X - 3) =

____

一袋中有

10

顆球其上皆有標示獎金，其中

4

個

500

元，

3

個

300

元，其他

3

個同值，若從袋中一次取出

2

顆球的獎金期望值為

670

元，則其他

3

顆球每個均標示 ____ 元。

第 7～8 題為題組（原卷填充第 3 題）（第 7～8 題）　根據統計資料：一個

70

歲的人，在一年內保持健康的機率為

55%

，生病的機率為

40%

，死亡的機率為

5%

。某保險公司今年針對

70

歲的人設計了一年期的壽險，理賠金額如下：生病給付

5

萬元，死亡給付

100

萬；每位要保人一開始需繳納保費

8

萬元，試問：

(1) 保險公司獲益的期望值為 ____ 元。

(2) 若保險公司想將獲益提升為

1

萬

6

千元，又不想提高保費或調降死亡給付，則生病給付應調整為 ____ 元。

第 9～10 題為題組（原卷填充第 4 題）（第 9～10 題）　試計算下列複數的值

(1) 已知

z + 1 = 4 + 2 i \overline{z}

，則複數

z =

____。

(2) 設

z = \frac{1 + i}{2}

，則

z^{2} + z^{4} + z^{6} + \dots + z^{100} =

____。（請以

a + bi

型式表示，其中

a

，

b

為實數）

第 11～12 題為題組（原卷填充第 5 題）（第 11～12 題）　設

α

，

β

為方程式

x^{2} + 7 x + 9 = 0

之兩根，則

(1)

(α + β)^{2} =

____

(2)

\frac{β}{α ^{2} + 8 α + 9} + \frac{α}{β ^{2} + 8 β + 9} =

____

第 13～14 題為題組（原卷填充第 6 題）（第 13～14 題）　設

a

，

b \in R

，若

x^{4} - x^{3} + a x^{2} + 7 x + b = 0

有一根為

1 + 2 i

，則

(1)

a + b =

____。

(2) 此方程式的實根為 ____

若

a \in R

，

a \neq = 0

，設方程式

f (x) = a x^{2} - (a - 1) x - 6 = 0

在

- 2

與

- 1

之間，

1

與

2

之間都恰有一個實根，則實數

a

的範圍為 ____。

三、計算題：17%（計算題請詳列計算過程，否則不予計分）

第 16～17 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 16～17 題）　右圖是小玲設計的一款彈珠臺遊戲，

O

點在地面上方，

A, B, C, D, E, F

在地面上。此種滾彈珠遊戲，規則如下：在

O

點放置一顆彈珠，讓其沿黑色線隨機滾到

A

、

B

、

C

、

D

、

E

、

F

點停止，在每一個交叉點往左、右機會一樣。若彈珠停在

A

或

F

點得

12

顆糖果，停在

B

或

E

點得

2

顆糖果，停在

C

或

D

點得

1

顆糖果。假設隨機變數

X

為玩一次可得的糖果數，試求

(1) 隨機變數

X

的機率分布表？（3 分）

載入中...

(2) 隨機變數

X

的期望值與變異數？（5 分）

第 18～20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 18～20 題）　小如超市舉辦促銷活動，凡消費滿

199

元即可抽獎一次，獎品為限量發行的海賊王公仔，超市老闆小如宣稱中獎率為

20%

，小鈞聽到非常心動，打算抽到中為止。（已知

lo g 2 \approx 0.3010

，

lo g 3 \approx 0.4771

）

(1) 假設隨機變數

X

為小鈞第一次抽中獎品所需的次數，則

X

的期望值

E (X) =

？（2 分）

(2) 若

k

為一正整數，試求

P (X > k) =

？（請以

k

表示）（3 分）

(3) 現今我們做合理性的檢定：若

P (X > k) < 0.01

，則判定超市老闆所宣稱的中獎率並不屬實，試求

k

的最小正整數為何？（4 分）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(B)(C)(E)

第 2 題(A)(C)

第 3 題(A)(D)

第 4 題(A)(C)(E)

第 5 題

15

第 6 題

150

第 7 題

10000

第 8 題

35000

第 9 題

- 1 - 2 i

第 10 題

- 1 + i

第 11 題

- 13

第 12 題

\frac{31}{9}

第 13 題

- 3

第 14 題

\frac{- 1 \pm 5}{2}

第 15 題

2 < a < \frac{7}{2}

第 16 題

P (X = 1) = \frac{5}{8}

，

P (X = 2) = \frac{5}{16}

，

P (X = 12) = \frac{1}{16}

第 17 題期望值

2

，變異數

\frac{55}{8}

第 18 題

5

第 19 題

(\frac{4}{5})^{k}

第 20 題

21

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪幾個單元、接下來該練什麼。我們只記題號，不記你的答案。

還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選 1～4：標準差的比較、二項分布、負數的平方根、實係數三次方程式

第 1 題答案 (A)(B)(C)(E)。五個分布都左右對稱，期望值就是正中間的值，先算各自的變異數。

X

：期望值

3

，

Var (X) = (1 - 3)^{2} (0.1) + (2 - 3)^{2} (0.2) + 0 + (4 - 3)^{2} (0.2) + (5 - 3)^{2} (0.1) = 0.4 + 0.2 + 0.2 + 0.4 = 1.2

。

Y

：每個取值都是

X

的

10

倍、機率相同，即

Y = 10 X

，

σ_{Y} = 10 σ_{X}

。

Z

：期望值

3

，

Var (Z) = 0.2 \times (4 + 1 + 0 + 1 + 4) = 2

。

W

：每個取值都是

Z

加

2

、機率相同，即

W = Z + 2

，

σ_{W} = σ_{Z} = 2

。

T

：期望值

3

，

Var (T) = 4 (0.3) + 1 (0.15) + 0 + 1 (0.15) + 4 (0.3) = 2.7

。所以

σ_{X} = 1.2

，

σ_{Y} = 10 1.2

，

σ_{Z} = σ_{W} = 2

，

σ_{T} = 2.7

。(A) 對：

10 1.2 > 1.2

。(B) 對：平移不改變標準差。(C) 對：

2 > 1.2

。(D) 錯：

2 < 2.7

。(E) 對：

2.7 > 1.2

。

不計算也能判斷大小：機率越集中在中間，標準差越小（

X

）；越集中在兩端，標準差越大（

T

）；平均分散的

Z

介於兩者之間。

第 2 題答案 (A)(C)。

X

服從

n = 30

、

p = 0.3

的二項分布。(A) 對：

E (X) = n p = 30 \times 0.3 = 9

。(B) 錯：

Var (X) = n p (1 - p) = 30 \times 0.3 \times 0.7 = 6.3

，這是變異數；標準差是

6.3 \approx 2.51

。(C) 對：比較相鄰兩項，

\frac{P ( X = k + 1 )}{P ( X = k )} = \frac{C _{k + 1}^{30} ( 0.3 ) ^{k + 1} ( 0.7 ) ^{29 - k}}{C _{k}^{30} ( 0.3 ) ^{k} ( 0.7 ) ^{30 - k}} = \frac{30 - k}{k + 1} \times \frac{3}{7}

。這個比值大於

1

相當於

3 (30 - k) > 7 (k + 1)

，即

k < 8.3

。所以

k \leq 8

時下一項比較大，

k \geq 9

時下一項比較小，機率在

k = 9

最大。(D) 錯：

k \geq 9

之後機率一路變小，

P (X = 11) > P (X = 12)

。(E) 錯：

\frac{P ( X = 9 )}{P ( X = 8 )} = \frac{22}{9} \times \frac{3}{7} = \frac{22}{21}

，

\frac{P ( X = 10 )}{P ( X = 9 )} = \frac{21}{10} \times \frac{3}{7} = \frac{9}{10}

，兩式相乘得

\frac{P ( X = 10 )}{P ( X = 8 )} = \frac{22}{21} \times \frac{9}{10} = \frac{33}{35} < 1

，所以

P (X = 8) > P (X = 10)

。

第 3 題答案 (A)(D)。負數的平方根一律先寫成

- p = p i

（

p > 0

）再運算；(C)(D) 的

a

、

b

是實數，

ab > 0

表示兩數同為正或同為負。(A) 對：左邊

= 3 \times 5 i = 15 i

，右邊

= - 15 = 15 i

。(B) 錯：左邊

= \frac{3}{5 i} = \frac{3 i}{5 i ^{2}} = - \frac{3}{5} i

，右邊

= - \frac{3}{5} = \frac{3}{5} i

，差一個負號。(C) 錯：兩數同為負時不成立，例如

a = b = - 1

，左邊

= i \times i = - 1

，右邊

= 1 = 1

。(D) 對：兩數同為正時成立；同為負時設

a = - p

，

b = - q

（

p, q > 0

），左邊

= \frac{p i}{q i} = \frac{p}{q}

，右邊

= \frac{- p}{- q} = \frac{p}{q}

，也成立。(E) 錯：取

a = 1

，

b = i

，

a^{2} + b^{2} = 1 - 1 = 0

，但兩數都不是

0

。

整理：

a \times b = ab

只在「兩數同為負」時失效（要多一個負號）；

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

只在「分子為正、分母為負」時失效。

第 4 題答案 (A)(C)(E)。

f (x)

是實係數多項式，

1 + 3 i

是根，所以

1 - 3 i

也是根；這兩根的和為

2

、積為

4

，對應因式

x^{2} - 2 x + 4

。三次方程式共三個根，第三個根

r

必為實數，所以

f (x) = k (x^{2} - 2 x + 4) (x - r)

，

k \neq = 0

。又

x^{2} - 2 x + 4 = (x - 1)^{2} + 3

對所有實數

x

都是正的，所以實數

x

代入時

f (x)

的正負與

k (x - r)

相同。(A) 對：

f (x) = 0

的虛根只有

1 + 3 i

與

1 - 3 i

，而

3 - i

是虛數且不是這兩個數，所以不是根。(B) 錯：

f (1) > 0

且

f (2) < 0

，由勘根定理實根

r

在

1

與

2

之間；

k (1 - r) > 0

而

1 - r < 0

，所以

k < 0

，於是

f (3)

與

k (3 - r)

同號，是負的。(C) 對：

k (1 - r) > 0

且

k (5 - r) > 0

，所以

1 - r

與

5 - r

同號，即

r < 1

或

r > 5

；不論哪一種，

3 - r

都與它們同號，所以

k (3 - r) > 0

，

f (3) > 0

。(D) 錯：實係數多項式有

f (\overline{z}) = \overline{f (z)}

，所以由

f (2 + i) = 1 + 5 i

只能得到

f (2 - i) = 1 - 5 i

；而

i - 2 = - 2 + i

並不是

2 + i

的共軛複數。實際算：

(2 + i)^{2} - 2 (2 + i) + 4 = 3 + 2 i

，

f (2 + i) = k (3 + 2 i) (2 - r + i) = k [(4 - 3 r) + (7 - 2 r) i] = 1 + 5 i

，得

k (4 - 3 r) = 1

，

k (7 - 2 r) = 5

，解出

r = 1

，

k = 1

，即

f (x) = (x^{2} - 2 x + 4) (x - 1)

；此時

f (- 2 + i) = (11 - 6 i) (- 3 + i) = - 27 + 29 i \neq = 1 - 5 i

。(E) 對：交點的

x

坐標滿足

f (x) - x^{2} = 0

，這仍是三次實係數方程式，虛根成對出現，三個根不可能全是虛根，所以至少有一個實根，兩圖形至少有一個交點。

實係數方程式的虛根一定成對，所以奇數次的實係數方程式至少有一個實根。

02填充 5～8（原卷填充 1～3）：期望值與變異數

第 5 題

E (- 2 X + 6) = - 2 E (X) + 6 = 1

，得

E (X) = \frac{5}{2}

。

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = 10 - \frac{25}{4} = \frac{15}{4}

。所以

Var (2 X - 3) = 2^{2} Var (X) = 4 \times \frac{15}{4} = 15

。

Var (a X + b) = a^{2} Var (X)

：加上常數不影響變異數，乘上

a

要乘

a^{2}

。

第 6 題設其他

3

顆球每個標示

v

元。從

10

顆取

2

顆共

C_{2}^{10} = 45

種，依兩球的種類列出獎金與取法數：兩顆

500

元，獎金

1000

，

C_{2}^{4} = 6

種；兩顆

300

元，獎金

600

，

C_{2}^{3} = 3

種；兩顆

v

元，獎金

2 v

，

C_{2}^{3} = 3

種；

500

與

300

各一，獎金

800

，

4 \times 3 = 12

種；

500

與

v

各一，獎金

500 + v

，

4 \times 3 = 12

種；

300

與

v

各一，獎金

300 + v

，

3 \times 3 = 9

種。期望值

= \frac{6000 + 1800 + 6 v + 9600 + 12 ( 500 + v ) + 9 ( 300 + v )}{45} = \frac{26100 + 27 v}{45} = 670

，所以

27 v = 30150 - 26100 = 4050

，

v = 150

。

較快的看法：每顆球被取到的機會相同，取

2

顆的獎金期望值等於「一顆球的平均獎金」的

2

倍，所以一顆球的平均是

335

元，

10

顆共

3350

元，

3 v = 3350 - 2000 - 900 = 450

，同樣得到

v = 150

。

第 7 題對每位要保人，保險公司先收保費

80000

元，再依情況理賠：健康（機率

0.55

）不用賠，獲益

80000

；生病（機率

0.4

）賠

50000

，獲益

30000

；死亡（機率

0.05

）賠

1000000

，獲益

- 920000

。期望值

= 80000 \times 0.55 + 30000 \times 0.4 + (- 920000) \times 0.05 = 44000 + 12000 - 46000 = 10000

（元）。

第 8 題設生病給付調整為

s

元，保費與死亡給付不變。獲益的期望值

= 80000 - 0.4 s - 0.05 \times 1000000 = 30000 - 0.4 s

。令

30000 - 0.4 s = 16000

，得

0.4 s = 14000

，

s = 35000

（元）。

03填充 9～12（原卷填充 4、5）：複數的運算、根與係數

第 9 題設

z = a + bi

（

a

，

b

為實數），則

\overline{z} = a - bi

。左邊

z + 1 = (a + 1) + bi

；右邊

4 + 2 i (a - bi) = 4 + 2 ai - 2 b i^{2} = (4 + 2 b) + 2 ai

。比較實部與虛部：

a + 1 = 4 + 2 b

，

b = 2 a

。代入得

a + 1 = 4 + 4 a

，

a = - 1

，

b = - 2

。所以

z = - 1 - 2 i

。

驗算：左邊

z + 1 = - 2 i

；右邊

4 + 2 i (- 1 + 2 i) = 4 - 2 i - 4 = - 2 i

，兩邊相等。

第 10 題

z^{2} = \frac{( 1 + i ) ^{2}}{2} = \frac{1 + 2 i + i ^{2}}{2} = \frac{2 i}{2} = i

。所以所求

= i + i^{2} + i^{3} + \dots + i^{50}

，共

50

項。

i

的次方每四個一循環，連續四項的和

i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0

；

50 = 4 \times 12 + 2

，前

48

項的和是

0

，剩下

i^{49} + i^{50} = i + i^{2} = i - 1

。所以答案是

- 1 + i

。

第 11 題判別式

7^{2} - 4 \times 9 = 13 > 0

，兩根是實數；又

α + β = - 7 < 0

，

α β = 9 > 0

，所以兩根都是負數。設

α = - p

，

β = - q

（

p, q > 0

），則

α = p i

，

β = q i

，

α \times β = pq i^{2} = - pq = - α β = - 3

。所以

(α + β)^{2} = α + β + 2 α β = - 7 + 2 \times (- 3) = - 13

。

若直接寫

α β = α β = 3

會得到

- 1

，這是錯的：兩數都是負數時，根號相乘要多一個負號。也可以這樣看：

α + β = (p + q) i

是純虛數，平方一定是負的，

- (p + q)^{2} = - (p + q + 2 pq) = - (7 + 6) = - 13

。

第 12 題

α

是

x^{2} + 7 x + 9 = 0

的根，所以

α^{2} + 7 α + 9 = 0

，於是

α^{2} + 8 α + 9 = (α^{2} + 7 α + 9) + α = α

；同理

β^{2} + 8 β + 9 = β

。所求

= \frac{β}{α} + \frac{α}{β} = \frac{α ^{2} + β ^{2}}{α β} = \frac{( α + β ) ^{2} - 2 α β}{α β} = \frac{49 - 18}{9} = \frac{31}{9}

。

看到根代進去的式子和原方程式很像，就先用「根滿足方程式」把它換成簡單的式子。

04填充 13～15（原卷填充 6、7）：虛根成對、勘根定理

第 13 題方程式是實係數，

1 + 2 i

是根，所以

1 - 2 i

也是根。這兩根的和為

2

、積為

(1 + 2 i) (1 - 2 i) = 5

，所以左式有因式

x^{2} - 2 x + 5

。設

x^{4} - x^{3} + a x^{2} + 7 x + b = (x^{2} - 2 x + 5) (x^{2} + p x + q)

，右邊展開為

x^{4} + (p - 2) x^{3} + (q - 2 p + 5) x^{2} + (5 p - 2 q) x + 5 q

。比較係數：

x^{3}

項

p - 2 = - 1

，得

p = 1

；

x

項

5 p - 2 q = 7

，得

q = - 1

；

x^{2}

項

a = q - 2 p + 5 = - 1 - 2 + 5 = 2

；常數項

b = 5 q = - 5

。所以

a + b = 2 + (- 5) = - 3

。

驗算：

(x^{2} - 2 x + 5) (x^{2} + x - 1) = x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} + 7 x - 5

，

x^{3}

與

x

的係數和題目相符。

第 14 題承上，方程式為

(x^{2} - 2 x + 5) (x^{2} + x - 1) = 0

。

x^{2} - 2 x + 5 = 0

的根是

1 \pm 2 i

（虛根）；

x^{2} + x - 1 = 0

的根是

x = \frac{- 1 \pm 1 + 4}{2} = \frac{- 1 \pm 5}{2}

，都是實數。所以實根為

\frac{- 1 + 5}{2}

與

\frac{- 1 - 5}{2}

。

第 15 題先算四個端點的函數值：

f (- 2) = 4 a + 2 (a - 1) - 6 = 6 a - 8

，

f (- 1) = a + (a - 1) - 6 = 2 a - 7

，

f (1) = a - (a - 1) - 6 = - 5

，

f (2) = 4 a - 2 (a - 1) - 6 = 2 a - 4

。二次方程式只有兩個根，題目說一個在

- 2

與

- 1

之間、一個在

1

與

2

之間，所以圖形在這兩個區間各穿過

x

軸恰一次，兩端點的函數值異號：

f (- 2) f (- 1) < 0

且

f (1) f (2) < 0

。反過來，這兩個條件成立時，由勘根定理兩個區間內各有實根，而二次方程式只有兩個根，所以各恰有一個。由

f (1) f (2) < 0

：

- 5 (2 a - 4) < 0

，得

a > 2

。由

f (- 2) f (- 1) < 0

：

(6 a - 8) (2 a - 7) < 0

，得

\frac{4}{3} < a < \frac{7}{2}

。兩者取共同範圍：

2 < a < \frac{7}{2}

。

檢查：取

a = 3

，

f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 6

，兩根

\frac{1 \pm 19}{3} \approx - 1.12

與

1.79

，分別落在兩個區間內。

實係數方程式有一個虛根，就先用它和共軛根的和與積寫出二次因式，再比較係數。

05計算 16～17（原卷計算 1）：彈珠臺的機率分布、期望值與變異數

第 16 題從

O

點到地面，彈珠一共經過

5

個交叉點（含

O

點），每次往左或往右的機率各

\frac{1}{2}

，共有

2^{5} = 32

種等機率的走法。停在哪一點由「往右走幾次」決定：往右

0, 1, 2, 3, 4, 5

次分別停在

A, B, C, D, E, F

，走法數依序是

C_{0}^{5}, C_{1}^{5}, C_{2}^{5}, C_{3}^{5}, C_{4}^{5}, C_{5}^{5}

，即

1, 5, 10, 10, 5, 1

。所以停在

A

或

F

的機率是

\frac{1 + 1}{32} = \frac{1}{16}

，停在

B

或

E

的機率是

\frac{5 + 5}{32} = \frac{5}{16}

，停在

C

或

D

的機率是

\frac{10 + 10}{32} = \frac{5}{8}

。

X

的機率分布表：

x P (X = x) 1 \frac{5}{8} 2 \frac{5}{16} 12 \frac{1}{16}

檢查：

\frac{10}{16} + \frac{5}{16} + \frac{1}{16} = 1

。

第 17 題期望值（單位：顆）：

E (X) = 1 \times \frac{10}{16} + 2 \times \frac{5}{16} + 12 \times \frac{1}{16} = \frac{32}{16} = 2

再算平方的期望值：

E (X^{2}) = 1 \times \frac{10}{16} + 4 \times \frac{5}{16} + 144 \times \frac{1}{16} = \frac{174}{16} = \frac{87}{8}

所以變異數是

Var (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2} = \frac{87}{8} - 4 = \frac{55}{8}

06計算 18～20（原卷計算 2）：幾何分布與合理性的檢定

第 18 題照老闆宣稱的中獎率，每次抽獎中獎的機率

p = 0.2 = \frac{1}{5}

，各次互不影響。

X

是第一次中獎所需的次數，服從幾何分布，期望值

E (X) = \frac{1}{p} = 5

（次）。

第 19 題

X > k

表示抽了

k

次都還沒中，也就是前

k

次全部沒中獎。每次沒中的機率是

1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}

，所以

P (X > k) = (\frac{4}{5})^{k}

。

也可以用餘事件：前

k

次之內中獎的機率，用等比級數加起來是

1 - (\frac{4}{5})^{k}

，用

1

減去它就得到同樣的結果。

第 20 題要解

(\frac{4}{5})^{k} < 0.01

。兩邊取常用對數：

k lo g \frac{4}{5} < lo g 0.01 = - 2

。其中

lo g \frac{4}{5} = lo g \frac{8}{10} = 3 lo g 2 - 1 \approx 3 \times 0.3010 - 1 = - 0.0970

。所以

- 0.0970 k < - 2

，兩邊同除以負數，不等號方向改變：

k > \frac{2}{0.0970} \approx 20.6

。

k

的最小正整數是

21

。

意思是：如果中獎率真的是

20%

，連抽

21

次都沒中的機率不到

1%

；真的發生了，就有理由懷疑宣稱的中獎率。題目給的

lo g 3

用不到。

幾何分布裡「超過 k 次才成功」就是「前 k 次都失敗」，機率是失敗機率的 k 次方。

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同樣是高三第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 111 上高三第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題的選項 B 把變異數當成標準差，選項 E 要用相鄰兩項的比值連乘兩次才比得出來。第 4 題的選項 D 看起來像共軛，其實 i−2 不是 i+2 的共軛複數。第 11 題的兩根都是負數，根號相乘要多一個負號。第 20 題要把不等式取對數，除以負數時不等號要反過來。

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題目取自高雄新興高中 111 學年度上學期高三第一次段考數學甲，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 111 上高三第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多選 1～4：標準差的比較、二項分布、負數的平方根、實係數三次方程式

02填充 5～8（原卷填充 1～3）：期望值與變異數

03填充 9～12（原卷填充 4、5）：複數的運算、根與係數

04填充 13～15（原卷填充 6、7）：虛根成對、勘根定理

05計算 16～17（原卷計算 1）：彈珠臺的機率分布、期望值與變異數

06計算 18～20（原卷計算 2）：幾何分布與合理性的檢定

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高雄新興高中 111 上
高三第一次段考
數學試題、答案與詳解

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