段考詳解範圍：指數與對數函數（指數函數、對數與對數律、對數函數、指數與對數的應用）

高雄新興高中 111 上
高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

Q: 高雄新興高中 111 上 高二第二次段考數學的答案在哪裡？

本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

Q: 高雄新興高中 111 上 高二第二次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題要逐一判斷實根個數，2 的 x 次方等於 x 平方還有一個負根，三分之一為底的那一式要用絕對值的對稱算成兩根；第 9 題三個對數的真數都是 0.3，要先看正負再比分母的大小；第 14 題底數根號 2 減 1 小於 1，比指數時不等號要反向；第 18 題除以負的對數值要變號，天數還要依題意取整。

Q: 我們學校的段考卷也可以做詳解嗎？

可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

Q: 這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

原卷 20 題全文、答案一覽與逐題詳解，不用註冊。PDF 是 A4 考卷格式，可以直接印出來寫。

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這一章有整理好的單元冊：《指數與對數函數》

題原卷全文

則逐題詳解

個單元，勾錯題號就知道錯在哪

元，不用註冊

01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多選題 3 題（每題 6 分，共 18 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）、填充題 13 格（每格 5 分，共 65 分）、計算題 2 題共 17 分（第 1 題 (1) 3 分、(2) 5 分；第 2 題 (1) 5 分、(2) 4 分；視過程部分給分），合計 100 分。卷首印有參考對數值：log2≈0.3010，log3≈0.4771，log7≈0.8451。本頁第 4～16 題依序為原卷填充 1(1) 到填充 9，第 17～20 題為原卷計算第 1、2 題的小題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多選題：每題 6 分，共 18 分(錯一個選項扣 2 分，扣完為止)

關於

y = a^{x}

（

a > 0

，

a \neq = 1

）的圖形，試問下列哪些選項正確？

(A) 值域為所有實數
(B) 圖形必凹向上
(C) 和任意直線 $x = k$ 必相交
(D) 當 $a < 1$ ，和 $y = lo g_{a} x$ 必相交
(E) 當 $a > b > 1$ ，對任意 $x$ ， $a^{x} > b^{x}$ 必成立

下列方程式哪些恰有

2

個實根？

(A) $lo g_{2} x = x - 2$
(B) $2^{x} = x^{2}$
(C) $3^{x} = 27 x$
(D) $lo g_{x} 4 = 2$
(E) $(\frac{1}{3})^{∣ x ∣} = lo g_{\frac{1}{3}} ∣ x ∣$

設

(a, b)

為

y = lo g_{2} x

圖形上的一點，請選出正確的選項。

(A) $(- a, - b)$ 為 $y = lo g_{2} x$ 圖形上的一點
(B) $(a, - b)$ 為 $y = lo g_{\frac{1}{2}} x$ 圖形上的一點
(C) $(a, b + 3)$ 為 $y = lo g_{2} 8 x$ 圖形上的一點
(D) $(2 a, 2 b)$ 為 $y = 2^{x}$ 圖形上的一點
(E) $(b, a)$ 為 $y = 2^{x}$ 圖形上的一點

二、填充題：每格 5 分，13 格，共 65 分

第 4～6 題為題組（原卷填充第 1 題）（第 4～6 題）　試求下列各式的值：

(1)

lo g_{2} 8 + lo g_{3} 1 - lo g_{4} 0.25 =

____。

(2)

(lo g_{9} 5 + lo g_{27} 25) (lo g_{5} 3 - lo g_{25} 3) =

____。

(3)

8^{l o g_{4} 12 - l o g_{4} 6} =

____。

若

y = 3^{k x}

函數圖形和

y = 1 0^{x}

重合，則

k =

____

設

a = 381

，

b = 4243

，

c = 5729

，試比較

a

、

b

、

c

之大小順序為 ____。

設

a = lo g_{0.7} 0.3

，

b = lo g_{1.1} 0.3

，

c = lo g_{1.5} 0.3

，試比較

a

、

b

、

c

之大小順序為 ____。

設

lo g 2 = a

，

lo g 3 = b

，請以

a

，

b

表示

lo g_{12} 45 =

____。

已知

lo g_{x} 5 = 2

，

lo g_{y} 5 = 3

，

lo g_{z} 5 = 4

。求

lo g_{x y z} 5 =

____。

第 12、13 題為題組（原卷填充第 7 題）（第 12～13 題）　試解下列各方程式：

(1)

x + lo g_{3} (4 - 3^{x + 1}) = 0

的解為 ____。

(2)

lo g (x + 1) = 3

的解為 ____。

第 14、15 題為題組（原卷填充第 8 題）（第 14～15 題）　試解下列各不等式：

(1)

(2 - 1)^{x^{2} + x} < (2 - 1)^{3 x + 2}

，得

x

的範圍為 ____。

(2)

lo g_{2} (x - 2) < lo g_{2} (8 - x)

，得

x

的範圍為 ____。

設

x

、

y > 0

且

4 x + y = 24

，當

(x, y) = (s, t)

時，

lo g_{6} x + lo g_{6} y

有最大值

M

。求

s - t + M =

____。

三、計算題：17 分(視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分)

第 17、18 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 17～18 題）　農產公司 111 年 9 月共計抽驗 1,230 件蔬果產品，檢驗結果 66 件不符合規定，其中主要品項為芥藍芽、辣椒及油菜。依照衛服部農藥殘留容許量標準，辣椒「減脫定」殺菌劑殘留容許量為 2ppm。小農種植辣椒，12 月 1 日噴撒「減脫定」後，送交檢定的農藥殘留量如下表：

日期 殘留量 (ppm) 12/1 18 12/4 12 12/7 8

已知「減脫定」殘留量呈現指數型衰退

(1) 若以函數

f (t)

表示

t

日後「減脫定」的殘留量，求

f (t)

。(3 分)

(2) 若要符合農藥殘留容許量標準，最快哪一天可以採收？(5 分)

第 19、20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 19～20 題）　日前有國人預計前往日本旅遊，出發前做 PCR 篩檢卻驗出 CT 值

< 30

，陽性確診，行程泡湯。你知道 CT 值越低，代表病毒量越高嗎？由於新冠病毒非常微小，儀器檢測不到，PCR 篩檢技術就是利用複製(增為 2 倍)特定基因進行放大觀測。CT 值為 10 代表複製 10 次(增為

2^{10}

倍)才觀測得到病毒，CT 值為 12 則代表複製 12 次(增為

2^{12}

倍)才觀測得到病毒。故 CT 值 10 的患者，病毒量是 CT 值 12 的患者的 4 倍！依現行規定，重症收治患者 CT 值 30 且滿足相關條件時，可以解除隔離。若某患者入院收治時 CT 值 15，參考對數值：

lo g 3.05 \approx 0.485

，

lo g 3.27 \approx 0.515

(1) 測得 CT 值 30 時，病毒量大約是入院收治時的多少倍（以小數表示）？(5 分)

(2) 若該患者收治期間，每日病毒量較前日減少

80%

，5 日後 CT 值是否能高於 30？(4 分)

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(B)(C)(D)

第 2 題(A)(C)(E)

第 3 題(B)(C)(E)

第 4 題

4

第 5 題

\frac{7}{12}

第 6 題

22

第 7 題

lo g_{3} 10

（即

\frac{1}{l o g 3}

）

第 8 題

a > b > c

第 9 題

a > c > b

第 10 題

\frac{1 - a + 2 b}{2 a + b}

第 11 題

\frac{24}{13}

第 12 題

x = 0

或

x = - 1

第 13 題

x = 999

第 14 題

x < 1 - 3

或

x > 1 + 3

第 15 題

2 < x < 5

第 16 題

- 7

第 17 題

f (t) = 18 (\frac{2}{3})^{\frac{t}{3}}

第 18 題12 月 18 日（以整天計；連續計時的讀法見詳解）

第 19 題約

0.0000305

倍

第 20 題不能（5 日後 CT 值約為

26.6

）

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

不用登入。勾完馬上看到錯的集中在哪些單元；註冊後，首頁第一張卡就從那幾章開始。

對完答案了？勾你錯的題號

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還沒勾。全對的話恭喜，下面的逐題檢討卡看看短的那條路你有沒有走到。

下一次段考

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01多選題（第 1～3 題）：指數函數的性質、實根個數、對數圖形上的點

第 1 題

(A) 錯誤。 不論 $x$ 是多少， $a^{x} > 0$ ，值域是所有正實數，不是所有實數。

(B) 正確。 任取相異兩數 $p$ 、 $q$ ，由算幾不等式 $\frac{a ^{p} + a ^{q}}{2} > a^{p} \cdot a^{q} = a^{\frac{p + q}{2}}$ （ $a^{p} \neq = a^{q}$ ，等號不成立）：圖形上任兩點連線的中點都在圖形上方，所以圖形凹向上，與 $a$ 大於或小於 $1$ 無關。

(D) 正確。 $y = a^{x}$ 與 $y = lo g_{a} x$ 互為反函數，圖形對稱於直線 $y = x$ 。當 $0 < a < 1$ ：令 $g (x) = a^{x} - x$ ， $g (0) = 1 > 0$ ， $g (1) = a - 1 < 0$ ，而 $a^{x}$ 遞減、 $x$ 遞增，所以在 $0$ 與 $1$ 之間恰有一個 $x_{0}$ 使 $a^{x_{0}} = x_{0}$ 。這時 $lo g_{a} x_{0} = x_{0}$ ，點 $(x_{0}, x_{0})$ 同時在兩圖形上，兩圖形必相交。

(E) 錯誤。 反例： $x = 0$ 時 $a^{0} = b^{0} = 1$ ，不是大於； $x < 0$ 時更是 $a^{x} < b^{x}$ （例如 $a = 3$ 、 $b = 2$ 、 $x = - 1$ ： $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ ）。

選 (B)(C)(D)。

(E) 只有在

x > 0

時才成立：

(\frac{a}{b})^{x} > 1

。

第 2 題

(A) 正確。 $x = 4$ 時 $lo g_{2} 4 = 2 = 4 - 2$ ，是一個根。另外 $x = \frac{1}{4}$ 時左邊 $- 2$ 、右邊 $- \frac{7}{4}$ ，左邊較小； $x = \frac{1}{2}$ 時左邊 $- 1$ 、右邊 $- \frac{3}{2}$ ，左邊較大，所以在 $\frac{1}{4}$ 與 $\frac{1}{2}$ 之間還有一個根。 $y = lo g_{2} x$ 的圖形凹向下，一條直線和它最多交兩點，所以恰有 $2$ 個實根。

(B) 錯誤。 $x = 2$ 、 $x = 4$ 都是根（ $4 = 4$ 、 $16 = 16$ ）；又 $x = - 1$ 時 $2^{- 1} = \frac{1}{2} < 1 = (- 1)^{2}$ ， $x = 0$ 時 $2^{0} = 1 > 0$ ，所以在 $- 1$ 與 $0$ 之間還有一個負根，至少有 $3$ 個實根（實際恰為 $3$ 個），不是恰 $2$ 個。

(C) 正確。 $x \leq 0$ 時左邊 $3^{x} > 0 \geq 27 x$ ，沒有根。比較兩邊： $x = 0$ 時 $1 > 0$ ， $x = 1$ 時 $3 < 27$ ，在 $0$ 與 $1$ 之間有一根； $x = 4$ 時 $81 < 108$ ， $x = 5$ 時 $243 > 135$ ，在 $4$ 與 $5$ 之間又有一根。 $y = 3^{x}$ 凹向上，直線 $y = 27 x$ 和它最多交兩點，所以恰有 $2$ 個實根。

(D) 錯誤。 底數條件 $x > 0$ 、 $x \neq = 1$ ； $lo g_{x} 4 = 2$ 即 $x^{2} = 4$ ，只有 $x = 2$ 合，恰 $1$ 個實根。

(E) 正確。 兩邊都只和 $∣ x ∣$ 有關，且 $x \neq = 0$ 。先看 $x > 0$ ：設 $x = p > 0$ 是根，令 $q = (\frac{1}{3})^{p}$ ，則 $lo g_{\frac{1}{3}} p = q$ ，即 $p = (\frac{1}{3})^{q}$ 。因為 $p > 0$ ， $0 < q < 1$ ；於是 $\frac{1}{3} < p = (\frac{1}{3})^{q} < 1$ 。同理 $\frac{1}{3} < q < 1$ 。

① 若 $p = q$ ： $(\frac{1}{3})^{p} = p$ 。 $(\frac{1}{3})^{x} - x$ 遞減， $x = 0$ 時為 $1$ 、 $x = 1$ 時為 $- \frac{2}{3}$ ，恰有一個這樣的 $p$ （約 $0.55$ ）。

② 若 $p \neq = q$ ： $p$ 、 $q$ 互換後條件不變，不妨設 $p < q$ 。點 $(0, 1)$ 、 $(p, q)$ 、 $(q, p)$ 都在凹向上的 $y = (\frac{1}{3})^{x}$ 上，且 $0 < p < q$ ，所以 $(p, q)$ 在 $(0, 1)$ 與 $(q, p)$ 的連線段下方： $q < 1 + \frac{p - 1}{q} \cdot p$ ，乘以 $q$ 整理得 $q^{2} - p^{2} < q - p$ ，即 $p + q < 1$ ，所以 $p < \frac{1}{2}$ 。於是 $q = (\frac{1}{3})^{p} > (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} > 0.57$ 。另一方面 $p > \frac{1}{3}$ 給 $q < (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} < 0.7$ （因 $0. 7^{3} = 0.343 > \frac{1}{3}$ ），所以 $p = (\frac{1}{3})^{q} > (\frac{1}{3})^{0.7}$ ；而 $lo g (\frac{1}{3})^{0.7} = - 0.7 \times 0.4771 \approx - 0.334$ ，比 $lo g 0.45 = 2 lo g 3 - lo g 2 - 1 \approx - 0.3468$ 大，得 $p > 0.45$ 。於是 $p + q > 0.45 + 0.57 > 1$ ，與 $p + q < 1$ 矛盾。

所以 $x > 0$ 恰有一根 $x_{0}$ ；由 $∣ x ∣$ 的對稱， $x = \pm x_{0}$ ，恰有 $2$ 個實根。

選 (A)(C)(E)。

(E) 互為反函數的兩圖形不一定只交在

y = x

上（例如底數

\frac{1}{16}

時

(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})

、

(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})

也是交點），所以要像上面②那樣排除對稱成對的交點。

第 3 題

$(a, b)$ 在 $y = lo g_{2} x$ 上，表示 $a > 0$ 且 $b = lo g_{2} a$ ，也就是 $a = 2^{b}$ 。

(A) 錯誤。 $- a < 0$ 不在 $lo g_{2} x$ 的定義域內。

(B) 正確。 $lo g_{\frac{1}{2}} a = \frac{lo g a}{lo g \frac{1}{2}} = - lo g_{2} a = - b$ 。

(D) 錯誤。 需要 $2 b = 2^{2 a}$ ，一般不成立。反例： $(a, b) = (1, 0)$ 時 $2 b = 0$ ，但 $2^{2} = 4$ 。

(E) 正確。 $a = 2^{b}$ ，所以 $(b, a)$ 在 $y = 2^{x}$ 上；這也就是 $y = lo g_{2} x$ 與 $y = 2^{x}$ 對稱於 $y = x$ 。

選 (B)(C)(E)。

02填充題（第 4～9 題，原卷填充第 1～4 題）：對數律、換底、圖形重合、比大小

第 4 題

$lo g_{2} 8 = 3$ ， $lo g_{3} 1 = 0$ ， $lo g_{4} 0.25 = lo g_{4} \frac{1}{4} = - 1$ 。

$3 + 0 - (- 1) = 4$

第 5 題

都換成以 $3$ 為底： $lo g_{9} 5 = \frac{1}{2} lo g_{3} 5$ ， $lo g_{27} 25 = \frac{2}{3} lo g_{3} 5$ ，相加得 $\frac{7}{6} lo g_{3} 5$ 。

$lo g_{5} 3 - lo g_{25} 3 = lo g_{5} 3 - \frac{1}{2} lo g_{5} 3 = \frac{1}{2} lo g_{5} 3$ 。

$\frac{7}{6} lo g_{3} 5 \times \frac{1}{2} lo g_{5} 3 = \frac{7}{12}$

lo g_{3} 5 \times lo g_{5} 3 = 1

。

第 6 題

$lo g_{4} 12 - lo g_{4} 6 = lo g_{4} \frac{12}{6} = lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$ 。

$8^{\frac{1}{2}} = 8 = 22$

第 7 題

兩個函數圖形重合，表示對所有 $x$ ， $3^{k x} = 1 0^{x}$ ，即 $(3^{k})^{x} = 1 0^{x}$ ，所以 $3^{k} = 10$ 。

$k = lo g_{3} 10 = \frac{lo g 10}{lo g 3} = \frac{1}{lo g 3}$

用卷首的

lo g 3 \approx 0.4771

，

k \approx 2.096

。

第 8 題

都化成以 $3$ 為底： $81 = 3^{4}$ 、 $243 = 3^{5}$ 、 $729 = 3^{6}$ 。

$a = 3^{\frac{4}{3}}, b = 3^{\frac{5}{4}}, c = 3^{\frac{6}{5}}$

比指數： $\frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3}$ ， $\frac{5}{4} = 1 + \frac{1}{4}$ ， $\frac{6}{5} = 1 + \frac{1}{5}$ ，所以 $\frac{4}{3} > \frac{5}{4} > \frac{6}{5}$ 。底數 $3 > 1$ ， $y = 3^{x}$ 遞增，指數大的值大： $a > b > c$ 。

第 9 題

換成常用對數： $lo g 0.3 < 0$ 。

$a = \frac{lo g 0.3}{lo g 0.7}$ ：分子、分母都是負的， $a > 0$ （又 $0.3 < 0.7$ ，底數小於 $1$ 的對數遞減， $a > lo g_{0.7} 0.7 = 1$ ）。

$b = \frac{lo g 0.3}{lo g 1.1}$ 、 $c = \frac{lo g 0.3}{lo g 1.5}$ ：分子負、分母正， $b$ 、 $c$ 都是負的。

因為 $0 < lo g 1.1 < lo g 1.5$ ，同一個負數除以較小的正數，絕對值較大： $∣ b ∣ > ∣ c ∣$ ，所以 $b < c < 0$ 。

得 $a > c > b$ 。

用卷首的對數值估：

lo g 0.3 = 0.4771 - 1 = - 0.5229

，

lo g 1.5 = lo g 3 - lo g 2 = 0.1761

，

c \approx - 2.97

；

b \approx - 12.6

，

a \approx 3.38

。

03填充題（第 10～13 題，原卷填充第 5～7 題）：用 log2、log3 表示、換底、解方程式

第 10 題

$lo g 45 = lo g \frac{90}{2} = lo g 9 + lo g 10 - lo g 2 = 2 b + 1 - a$ 。

$lo g 12 = lo g 4 + lo g 3 = 2 a + b$ 。

$lo g_{12} 45 = \frac{lo g 45}{lo g 12} = \frac{1 - a + 2 b}{2 a + b}$

第 11 題

倒過來看： $lo g_{5} x = \frac{1}{lo g _{x} 5} = \frac{1}{2}$ ， $lo g_{5} y = \frac{1}{3}$ ， $lo g_{5} z = \frac{1}{4}$ 。

$lo g_{5} x y z = \frac{1}{2} (lo g_{5} x + lo g_{5} y + lo g_{5} z) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \times \frac{13}{12} = \frac{13}{24}$

所以 $lo g_{x y z} 5 = \frac{1}{lo g _{5} x y z} = \frac{24}{13}$ 。

第 12 題

移項： $lo g_{3} (4 - 3^{x + 1}) = - x$ ，所以 $4 - 3^{x + 1} = 3^{- x}$ 。

令 $u = 3^{x} > 0$ ： $4 - 3 u = \frac{1}{u}$ ，兩邊乘 $u$ ：

$3 u^{2} - 4 u + 1 = 0, (3 u - 1) (u - 1) = 0$

$u = 1$ 或 $u = \frac{1}{3}$ ，即 $x = 0$ 或 $x = - 1$ 。

檢查真數： $x = 0$ 時 $4 - 3 = 1 > 0$ ； $x = - 1$ 時 $4 - 3^{0} = 3 > 0$ ，兩個都合。

代回：

x = - 1

時

- 1 + lo g_{3} 3 = 0

；

x = 0

時

0 + lo g_{3} 1 = 0

。

第 13 題

lo g (x + 1) = 3

表示

x + 1 = 1 0^{3} = 1000

，所以

x = 999

（真數

1000 > 0

，合）。

04填充題（第 14～16 題，原卷填充第 8、9 題）：指數與對數不等式、最大值

第 14 題

$1 < 2 < 2$ ，所以底數 $0 < 2 - 1 < 1$ ， $y = (2 - 1)^{x}$ 遞減：函數值較小的，指數較大，不等號反向。

$x^{2} + x > 3 x + 2, x^{2} - 2 x - 2 > 0$

$x^{2} - 2 x - 2 = 0$ 的兩根是 $x = 1 \pm 3$ ，所以 $x < 1 - 3$ 或 $x > 1 + 3$ 。

第 15 題

真數條件： $x - 2 > 0$ 且 $8 - x > 0$ ，即 $2 < x < 8$ 。

底數 $2 > 1$ ， $y = lo g_{2} x$ 遞增： $x - 2 < 8 - x$ ， $x < 5$ 。

合併得 $2 < x < 5$ 。

第 16 題

$lo g_{6} x + lo g_{6} y = lo g_{6} (x y)$ ，底數 $6 > 1$ ， $x y$ 最大時它最大。

由算幾不等式（ $4 x > 0$ ， $y > 0$ ）：

$\frac{4 x + y}{2} \geq 4 x y, 12 \geq 2 x y, x y \leq 36$

等號在 $4 x = y$ 時成立，配合 $4 x + y = 24$ 得 $4 x = y = 12$ ，即 $x = 3$ ， $y = 12$ 。

所以 $s = 3$ ， $t = 12$ ， $M = lo g_{6} 36 = 2$ ， $s - t + M = 3 - 12 + 2 = - 7$ 。

也可以代入

y = 24 - 4 x

：

x y = - 4 x^{2} + 24 x = - 4 (x - 3)^{2} + 36

，

x = 3

時最大

36

。

底數小於

1

的指數、對數比大小時不等號要反向；對數不等式先寫真數條件；對數的和要求最大值，先用對數律合成一個對數，再求真數的最大值。

05計算題一（第 17、18 題，原卷計算第 1 題）：農藥殘留的指數衰退

第 17 題

以 12 月 1 日為 $t = 0$ ，設 $f (t) = k \cdot r^{t}$ （ $k > 0$ ， $0 < r < 1$ ）。

$f (0) = 18$ 得 $k = 18$ ； $f (3) = 12$ 得 $18 r^{3} = 12$ ， $r^{3} = \frac{2}{3}$ ， $r = (\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (t) = 18 (\frac{2}{3})^{\frac{t}{3}}$

檢查第三筆： $f (6) = 18 \times (\frac{2}{3})^{2} = 18 \times \frac{4}{9} = 8$ ，與 12/7 的數據相符。

表格每隔

3

天殘留量都乘

\frac{2}{3}

（

18 \to 12 \to 8

），這正是指數型衰退。

第 18 題

要 $f (t) \leq 2$ ：

$18 (\frac{2}{3})^{\frac{t}{3}} \leq 2, (\frac{2}{3})^{\frac{t}{3}} \leq \frac{1}{9}$

兩邊取常用對數（底數 $10 > 1$ ，不等號方向不變）：

$\frac{t}{3} (lo g 2 - lo g 3) \leq - 2 lo g 3$

$lo g 2 - lo g 3 \approx 0.3010 - 0.4771 = - 0.1761 < 0$ ，兩邊除以負數，不等號反向：

$t \geq \frac{3 \times 2 \times 0.4771}{0.1761} = \frac{2.8626}{0.1761} \approx 16.26$

以整天計， $t$ 至少取 $17$ ，也就是 12 月 1 日之後第 $17$ 天：12 月 18 日。

檢查：

t = 16

（12 月 17 日）時

f (16) = 18 (\frac{2}{3})^{\frac{16}{3}} \approx 2.07

，還超過

2

；

t = 17

（12 月 18 日）時

f (17) \approx 1.81

，符合標準。若把時間從 12 月 1 日噴撒的時刻起連續計算，

t \approx 16.26

是 12 月 17 日噴撒時刻後約

6

小時，那時殘留量已降到

2

以下，這種讀法答 12 月 17 日；本頁以整天計答 12 月 18 日。

06計算題二（第 19、20 題，原卷計算第 2 題）：CT 值與病毒量

第 19 題

CT 值每多 $1$ ，表示要多複製一次（多增為 $2$ 倍）才觀測得到，也就是原本的病毒量只有一半。所以病毒量與 $2^{- CT}$ 成正比。

CT 值由 $15$ 變成 $30$ ，多了 $15$ ，病毒量是原來的

$2^{- 15} = \frac{1}{2 ^{15}}$

取常用對數： $lo g 2^{- 15} = - 15 \times 0.3010 = - 4.515 = - 5 + 0.485$ 。由 $lo g 3.05 \approx 0.485$ ：

$2^{- 15} \approx 3.05 \times 1 0^{- 5} = 0.0000305$

病毒量大約是入院收治時的 $0.0000305$ 倍。

2^{15} = 32768

，

\frac{1}{32768} \approx 0.0000305

，與用對數算的結果相同。

第 20 題

每日病毒量較前日減少 $80%$ ，即每天變成前一天的 $0.2$ 倍。5 日後病毒量是入院時的

$0. 2^{5} = \frac{1}{3125} = 0.00032 = 3.2 \times 1 0^{- 4} 倍$

由第 19 題，CT 值要到 $30$ ，病毒量須降到入院時的 $2^{- 15} \approx 0.0000305$ 倍以下。但 $0.00032 > 0.0000305$ ，病毒量還不夠少，所以 5 日後 CT 值不能高於 30。

也可以算出 CT 值：設 5 日後 CT 值為 $c$ ，則 $2^{- (c - 15)} = 0. 2^{5}$ ，取常用對數：

$- (c - 15) lo g 2 = 5 lo g 0.2 = 5 (lo g 2 - 1)$

$c - 15 = \frac{5 ( 1 - 0.3010 )}{0.3010} = \frac{3.495}{0.3010} \approx 11.6, c \approx 26.6 < 30$

答：不能。

要讓 CT 值高於

30

，需

0. 2^{n} < 2^{- 15}

，

n lo g 5 > 15 lo g 2

，

n > \frac{4.515}{0.699} \approx 6.46

，至少要第

7

天。

建立指數模型時，先找「每隔固定時間乘上同一個倍數」；求天數時兩邊取常用對數，除以負的對數值時不等號要反向，最後依題意取整數並代回檢查。

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《指數與對數函數》單元冊 09・高二上（數A）

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

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第 2 題要逐一判斷實根個數，2 的 x 次方等於 x 平方還有一個負根，三分之一為底的那一式要用絕對值的對稱算成兩根；第 9 題三個對數的真數都是 0.3，要先看正負再比分母的大小；第 14 題底數根號 2 減 1 小於 1，比指數時不等號要反向；第 18 題除以負的對數值要變號，天數還要依題意取整。

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題目取自高雄新興高中 111 學年度上學期高二第二次段考數學A，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 111 上高二第二次段考數學試題、答案與詳解

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02填充題（第 4～9 題，原卷填充第 1～4 題）：對數律、換底、圖形重合、比大小

03填充題（第 10～13 題，原卷填充第 5～7 題）：用 log2、log3 表示、換底、解方程式

04填充題（第 14～16 題，原卷填充第 8、9 題）：指數與對數不等式、最大值

05計算題一（第 17、18 題，原卷計算第 1 題）：農藥殘留的指數衰退

06計算題二（第 19、20 題，原卷計算第 2 題）：CT 值與病毒量

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高二第二次段考
數學試題、答案與詳解

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