高雄新興高中 111 上
高三第二次段考
數學試題、答案與詳解

答案 (A)(C)(E)。$f(x)$ 的係數都是實數，所以對任何複數 $z$，$f(\overline{z})=\overline{f(z)}$。

(A) 正確。 $f(1-i)=\overline{f(1+i)}=\overline{0}=0$。

(B) 錯誤。 $f(3-i)=\overline{f(3+i)}=\overline{-1+2i}=-1-2i$，不是 $2i+1$。

(C) 正確。 $1+i$、$1-i$ 都是 $f(x)=0$ 的根，$(x-(1+i))(x-(1-i))=x^2-2x+2$ 是 $f(x)$ 的因式，而 $x^2-2x+2$ 是整係數的二次式。

(D) 錯誤。 三次方程式有三個根，$1\pm i$ 用掉兩個，第三個根若是虛數，它的共軛也要是根，會超過三個，所以第三個根是實數 $r$，點 $(r,0)$ 就是圖形與 $x$ 軸的交點。

(E) 正確。 $f(x^3)-x$ 是實係數的九次多項式（最高次項是 $f$ 的最高次項係數乘 $x^9$）。實係數方程式的虛根成對出現，九是奇數，所以至少有一個實根。

答案 (A)(E)。用綜合除法連續除以 $x-2$：

$x^3-6x^2+14x-13$ 除以 $x-2$，商 $x^2-4x+6$，餘 $-1$，所以 $d=-1$；

$x^2-4x+6$ 除以 $x-2$，商 $x-2$，餘 $2$，所以 $c=2$；

$x-2$ 除以 $x-2$，商 $1$，餘 $0$，所以 $b=0$，$a=1$。

即 $f(x)=(x-2{)}^3+2(x-2)-1$。

(A) 正確。 $(a,b,c,d)=(1,0,2,-1)$。

(B) 錯誤。 $x=1.999$ 時 $x-2=-0.001$，$f(1.999)=-0.000000001-0.002-1=-1.002000001$，到小數點後第三位的近似值為 $-1.002$。

(C) 錯誤。 $x=2-i$ 時 $x-2=-i$，$f(2-i)=(-i{)}^3+2(-i)-1=i-2i-1=-1-i$。

(D) 錯誤。 $f(x)=g(x-2)$，把 $x$ 換成 $x-2$ 是把圖形向右平移 $2$ 單位。

(E) 正確。 令 $t=x-2$，$f(x)=t^3+2t-1$。當 $t_1<t_2$ 時 $t_1^3<t_2^3$ 且 $2t_1<2t_2$，所以 $t^3+2t-1$ 隨 $t$ 變大而變大，圖形與 $x$ 軸只交一點（三次函數一定與 $x$ 軸相交）。

答案 (C)(E)。聯立 $kx-1=2x^2+3x+1$，得 $2x^2+(3-k)x+2=0$。直線不是鉛直線，恰交一點 $\iff$ 這個二次方程式有重根 $\iff$ 判別式為 $0$：

$$(3-k{)}^2-16=0,3-k=\pm 4,k=-1\text{或}k=7$$

(A) 錯誤。 $k=-7$ 時判別式 $=100-16>0$，交兩點。

(B) 錯誤。 $k=-3$ 時判別式 $=36-16>0$，交兩點。

(C) 正確。 $k=-1$ 時判別式為 $0$。

(D) 錯誤。 $k=1$ 時判別式 $=4-16<0$，不相交。

(E) 正確。 $k=7$ 時判別式為 $0$。

答案 (C)(D)(E)。$f(x)$ 是二次函數，所以 $a\ne 0$。

(A) 錯誤。 $(-1,2)$ 到 $(3,4)$ 的斜率 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$(3,4)$ 到 $(9,7)$ 的斜率 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，三點共線。拋物線與一條直線最多交兩點，所以沒有二次函數通過這三點。

(B) 錯誤。 判別式小於 $0$ 時，$f(x)=0$ 沒有實數解（兩根為共軛虛根）。

(C) 正確。 $f(1-x)=f(3+x)$ 表示圖形對稱於 $x=\frac{(1-x)+(3+x)}{2}=2$，即 $-\frac{b}{2a}=2$，$b=-4a$。$a>0$ 時 $b<0$。

(D) 正確。 若 $a<0$，圖形開口向下，$x$ 取很大的正數時 $f(x)$ 是負數，圖形就會進入第四象限。所以不通過第四象限必須 $a>0$。

(E) 正確。 直線 $y=ax+b$ 不通過第二象限，斜率不可為負，所以 $a\ge 0$；又 $a\ne 0$，得 $a>0$，拋物線開口向上，$f(x)$ 有最小值。

分母乘共軛：

$$\frac{1+2i}{2+i}=\frac{(1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{2-i+4i+2}{5}=\frac{4+3i}{5}$$

第二項是第一項的共軛，$\frac{1-2i}{2-i}=\frac{4-3i}{5}$。相加得 $\frac{8}{5}$。

$5+i$ 是根，代入：$(5+i{)}^2+4(5+i)+a=0$。

$(5+i{)}^2=25+10i-1=24+10i$，$4(5+i)=20+4i$，所以 $a=-(24+10i+20+4i)=-44-14i$。

左邊 $=(a+3-5)+(-4-b+3)i=(a-2)+(-1-b)i$。和 $2+5i$ 比較實部、虛部：$a-2=2$，$-1-b=5$，得 $a=4$，$b=-6$。

$a+bi=4-6i$，共軛為 $\overline{4-6i}=4+6i$。

實係數二次方程式的根為共軛虛根 $\iff$ 判別式小於 $0$：

$$(-a{)}^2-4(-a+3)<0,a^2+4a-12<0,(a+6)(a-2)<0$$

所以 $-6<a<2$。

由根與係數的關係，$\alpha +\beta =-\frac{5}{3}$，$\alpha \beta =\frac{7}{3}$。

$$\frac{\beta }{\alpha }+\frac{\alpha }{\beta }=\frac{{\alpha }^2+{\beta }^2}{\alpha \beta }=\frac{(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta }{\alpha \beta }=\frac{\frac{25}{9}-\frac{14}{3}}{\frac{7}{3}}=\frac{-\frac{17}{9}}{\frac{7}{3}}=-\frac{17}{21}$$

$\overline{z}=a-bi$，代入：$a+bi=2(a-bi)-3+15i=(2a-3)+(-2b+15)i$。

比較實部：$a=2a-3$，$a=3$；比較虛部：$b=-2b+15$，$b=5$。所以 $(a,b)=(3,5)$。

$\sqrt{-9}=3i$，$\sqrt[3]{8}=2$，$\sqrt{-4}=2i$。

$$\frac{3i+2}{2i}=\frac{(2+3i)\cdot (-i)}{2i\cdot (-i)}=\frac{-2i-3i^2}{2}=\frac{3-2i}{2}=\frac{3}{2}-i$$

實根 $k$ 代入，整理成實部與虛部：

$$\left(k^2+ak+3a\right)+(2k+4)i=0$$

$a$、$k$ 都是實數，實部與虛部都要是 $0$。虛部 $2k+4=0$，$k=-2$；代入實部 $4-2a+3a=0$，$a=-4$。所以 $(a,k)=(-4,-2)$。

設 $z=x+yi$（$x,y$ 為實數），$z^2=(x^2-y^2)+2xyi=-5+12i$，所以

$$x^2-y^2=-5,xy=6$$

由 $y=\frac{6}{x}$ 代入：$x^2-\frac{36}{x^2}=-5$，$x^4+5x^2-36=0$，$(x^2+9)(x^2-4)=0$。$x$ 是實數，$x^2=4$，$x=\pm 2$，對應 $y=\pm 3$。所以 $z=2+3i$ 或 $z=-2-3i$。

驗算：$(2+3i{)}^2=4+12i-9=-5+12i$。

設 $z=3+yi$（$y$ 為實數）。

$$\frac{1}{z}=\frac{3-yi}{(3+yi)(3-yi)}=\frac{3-yi}{9+y^2}$$

虛部為 $-\frac{y}{9+y^2}=\frac{1}{10}$，$-10y=9+y^2$，$y^2+10y+9=0$，$(y+1)(y+9)=0$，$y=-1$ 或 $-9$。所以 $z=3-i$ 或 $z=3-9i$。

扇形從半徑 $10$ 的圓形紙張剪下，扇形的半徑就是圓錐的母線，長 $10$。設圓錐的高為 $x$、底面半徑為 $r$，母線、高、底面半徑構成直角三角形：$r^2=10^2-x^2=100-x^2$。

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot x=\frac{\pi }{3}x\left(100-x^2\right)$$

$\frac{\pi }{3}x(100-x^2)=125\pi$，整理得

$$x^3-100x+375=0$$

整數根必為 $375$ 的因數。試 $x=5$：$125-500+375=0$，成立。所以圓錐高度為 $5$。

（用綜合除法：$x^3-100x+375=(x-5)(x^2+5x-75)$。）

高 $x=5$ 時底面半徑 $r=\sqrt{100-25}=5\sqrt{3}$，底圓周長 $2\pi r=10\sqrt{3}\pi$。

扇形的弧長等於底圓周長；扇形半徑 $10$、圓心角 $\theta$（弧度），弧長 $=10\theta$。

$$10\theta =10\sqrt{3}\pi ,\theta =\sqrt{3}\pi$$

$\sqrt{3}\pi \approx 5.44$，小於 $2\pi \approx 6.28$，確實可以從圓形紙張剪出。

$a$、$b$ 為實數，$f(x)$ 是實係數，虛根成對，$1+3i$ 也是根。

$$(x-(1-3i))(x-(1+3i))=x^2-2x+10$$

是 $f(x)$ 的因式。設 $f(x)=(x^2-2x+10)(2x+c)$，展開：

$$2x^3+(c-4)x^2+(20-2c)x+10c$$

比較 $x^2$ 項：$c-4=-5$，$c=-1$。所以 $a=20-2c=22$，$b=10c=-10$。

驗算：$(x^2-2x+10)(2x-1)=2x^3-x^2-4x^2+2x+20x-10=2x^3-5x^2+22x-10$。

$f(x)=(x^2-2x+10)(2x-1)=0$。

$x^2-2x+10=0$ 的根為 $x=\frac{2\pm \sqrt{4-40}}{2}=1\pm 3i$；$2x-1=0$ 得 $x=\frac{1}{2}$。

所以方程式的解為 $x=1+3i$，$1-3i$，$\frac{1}{2}$。

圖形與 $x$ 軸交於相異兩點 $\iff$ $-2x^2-4x+k=0$ 有兩相異實根 $\iff$ 判別式大於 $0$：

$$(-4{)}^2-4(-2)(k)=16+8k>0$$

所以 $k>-2$。

配方：$y=-2(x^2+2x)+k=-2(x+1{)}^2+k+2$，頂點 $P(-1,k+2)$。由 (1)，$k>-2$，頂點在 $x$ 軸上方。

$△PAB$ 是等腰三角形（$A$、$B$ 對稱於 $x=-1$），高的垂足 $H$ 是 $\overline{AB}$ 的中點 $(-1,0)$，$\overline{PH}=k+2$。

$A$、$B$ 的 $x$ 坐標：$-2(x+1{)}^2+k+2=0$，$(x+1{)}^2=\frac{k+2}{2}$，所以 $\overline{AH}=\sqrt{\frac{k+2}{2}}$。

正三角形的高等於底邊一半的 $\sqrt{3}$ 倍：$\overline{PH}=\sqrt{3}\overline{AH}$，兩邊平方

$$(k+2{)}^2=3\cdot \frac{k+2}{2}$$

$k+2>0$，兩邊除以 $k+2$：$k+2=\frac{3}{2}$，$k=-\frac{1}{2}$（符合 $k>-2$）。