段考詳解範圍：弧度量、弧長與扇形面積、廣義角的三角函數值、正弦函數的圖形與週期、週期性現象的數學模型

高雄新興高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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01 · 試題

原卷 19 題，照原卷順序

單選題 2 題（每題 5 分，共 10 分）、多選題 2 題（每題 6 分，共 12 分，錯一個選項扣 2 分，扣完為止）、填充題 12 格（每格 5 分，共 60 分）、計算題 3 題（每題 6 分，共 18 分），合計 100 分。原卷四大題各自從 1 編號，本頁全卷連續編號：第 3、4 題為原卷多選第 1、2 題，第 5～16 題為原卷填充第 1～12 題，第 17～19 題為原卷計算第 1～3 題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、單選題：每題 5 分，共 10 分

下列哪一個選項的值最大？

(A) $cos 1$
(B) $cos 2$
(C) $sin π^{\circ}$
(D) $tan 2$
(E) $sin \frac{π}{5}$

方程式

12 sin x = x

有多少個實數解？

(A) $5$ 個
(B) $6$ 個
(C) $7$ 個
(D) $8$ 個
(E) $9$ 個

二、多選題：每題 6 分，共 12 分（錯一個選項扣 2 分，扣完為止）

關於三角函數的敘述下列哪些正確？

(A) $sin 10 = sin (2 π + 10)$
(B) $sin (90 + θ) = cos θ$
(C) $sin (x + 1) = sin x + 1$
(D) $sin 3 < \frac{1}{2}$
(E) $y = sin x$ 與 $y = sin ∣ x ∣$ 的週期相同

關於函數

f (x) = 3 sin 2 x

的敘述，下列選項何者正確？

(A) 振幅為 $3$
(B) $y = f (x)$ 的圖形對稱於 $y$ 軸
(C) $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 時，有最大值
(D) $f (1) > 0$
(E) $f (x) = 3 sin 2 x$ 的圖形向左平移 $\frac{π}{6}$ 單位會與 $f (x) = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的圖形重合

三、填充題：每格 5 分，12 格，共 60 分

函數

y = - 3 sin (π x - 2) + 1

的圖形，其週期為

T

、最大值為

M

，求

(T, M) =

____。

將半徑

30

公分的輪子在地面上滾動，若輪子繞著軸轉動

\frac{5 π}{3}

弧度，則該輪子在地面上滾動了 ____ 公分。

求

tan \frac{11 π}{4} sin \frac{5 π}{6} + sin (- \frac{π}{4}) cos π

的值為 ____。

時鐘在

9

點

10

分時，時針與分針所夾之較小的角為 ____ 弳。

設一繩子長度為

120

公分，想圍成一扇形區域，則所有扇形中，面積最大者為 ____ 平方公分。

設

tan θ = \frac{3}{5}

，且

θ

為第三象限角，試求

cos (\frac{π}{2} + θ) + cos (- θ)

的值為 ____。

不同的聲音，會有不同的頻率與波形。大部分的聲音，由好幾種頻率混合而成，波形複雜，而音叉振動時只會發出單一頻率，波形最為單純，因此可做為調音的工具。已知音叉振動的頻率為

440

Hz（赫茲：次／秒），且其波形為

y = sin ω t

，其中

ω > 0

，

t

為時間（秒），則

ω =

____。

將

y = sin x

的圖形先水平伸縮為

2

倍，再向左平移

4

單位，所得函數為

y = sin (a x + b)

，求

(a, b) =

____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，

2 < k < 3

，已知

y = k

和

y = 4 sin x

交於兩點，試求此兩點的

x

坐標和為 ____。

附圖為函數

y = a sin (b x) + c

的圖形，其中

a > 0

，

b > 0

，則

a + b + c =

____。

載入中...

圖灰色的標誌是在網路地圖上常見的定位記號，它的輪廓是由圓弧與兩條與圓相切的線段所組成，如圖所示，其中

\overline{P A}

與

\overline{P B}

為圓

O

的切線。已知

∠ A P B = 6 0^{\circ}

，且圓半徑為

1

，求鋪色區域的面積為 ____。（原卷左側另有一張地圖定位記號的插圖，本頁只重畫右側的幾何圖。）

載入中...

如圖，一直立圓錐之底圓直徑

\overline{B C} = 3

，稜邊長

\overline{A B} = 9

，

D

是稜邊

\overline{A C}

上一點，且

\overline{A D} = 2

。今有一螞蟻從

C

點沿著錐面繞行一圈至

D

點，則其最短路徑長為 ____。

載入中...

四、計算題：18 分（視過程部分給分，只有答案沒寫算式不予給分）

在

- π \leq x \leq π

範圍內，求滿足不等式

- \frac{2}{2} \leq sin x \leq \frac{1}{2}

的解為？（6 分）

已知函數

f (x) = 2 sin^{2} x - 3 cos x - 1

，

x

為實數，則

f (x)

的最大值為

M

，最小值為

m

，求

(M, m)

？（6 分）

在實驗室中，以示波器觀察一波在介質中前進，並記錄下波隨時間的振動高度，如下表所示：

時間（秒） 高度（公分） 時間（秒） 高度（公分） 0 7.73 74 188 4.27 2 7.73 95 3710646117 5512 7.73 6 4.27 138

觀察其圖形，可約略看出此圖形與正弦波類似，因此我們選用

y = a sin (ω t + ϕ) + k

的函數來描述這筆觀測資料，其中

a > 0

、

ω > 0

、

- π \leq ϕ < π

。試求（

a

、

ω

、

ϕ

、

k

）的值？（6 分）

載入中...

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(E)

第 2 題(C)

第 3 題(A)(D)（選項 (B) 的 90 卷面沒有印度的記號，照卷面當作 90 弳，不成立；若當作 90 度則 (B) 也成立，見詳解）

第 4 題(A)(D)(E)

第 5 題

(2, 4)

第 6 題

50 π

第 7 題

\frac{2 - 1}{2}

第 8 題

\frac{29}{36} π

第 9 題

900

第 10 題

- \frac{34}{17}

第 11 題

880 π

第 12 題

(\frac{1}{2}, 2)

第 13 題

π

第 14 題

\frac{11}{4}

第 15 題

3 + \frac{2}{3} π

第 16 題

67

第 17 題

- π \leq x \leq - \frac{3}{4} π

或

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5}{6} π \leq x \leq π

第 18 題

(M, m) = (\frac{17}{8}, - 4)

第 19 題

(a, ω, ϕ, k) = (2, \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, 6)

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

看完想確認自己真的會，有些題目下面可以當場做一題同型的（免註冊）。

01單選第 1、2 題：弧度角的函數值比大小、用圖形數解的個數

第 1 題答案 (E)。沒有寫「°」的角都是弧度，

\frac{π}{2} \approx 1.57

、

π \approx 3.14

。(B)

2

弳在第二象限，

cos 2 < 0

；(D) 同一個角的正切也是負的，

tan 2 < 0

；這兩個先淘汰。(C)

π^{\circ}

約是

3.1 4^{\circ}

，角很小，

sin π^{\circ}

比

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

小得多。剩下 (A) 與 (E)：由餘角關係

cos 1 = sin (\frac{π}{2} - 1)

，而

\frac{π}{2} - 1 \approx 0.571

、

\frac{π}{5} \approx 0.628

都是第一象限角，第一象限裡角愈大正弦值愈大，所以

sin \frac{π}{5} > cos 1

。又

\frac{π}{5} = 3 6^{\circ} > 3 0^{\circ}

，

sin \frac{π}{5} > \frac{1}{2}

，也比 (C) 大。最大的是 (E)。

五個值約為

0.540

、

- 0.416

、

0.055

、

- 2.185

、

0.588

。

第 2 題答案 (C)。方程式可寫成

sin x = \frac{x}{12}

，實數解就是

y = sin x

與直線

y = \frac{x}{12}

的交點。因為

- 1 \leq sin x \leq 1

，交點只可能在

- 12 \leq x \leq 12

，而

3 π \approx 9.42 < 12 < 4 π \approx 12.57

。

x = 0

是一個交點。再看

x > 0

：在

0 < x < π

的拱形上，

x = \frac{π}{2}

時

sin x = 1

比直線的

\frac{π}{24} \approx 0.13

高，

x = π

時

sin x = 0

比直線的

0.26

低，由圖形知恰交一點。在

π \leq x \leq 2 π

，

sin x \leq 0

而直線在

x

軸上方，沒有交點。在

2 π < x < 3 π

的拱形上，兩端

sin x = 0

都比直線（約

0.52

與

0.79

）低，但最高點

x = \frac{5 π}{2}

處

sin x = 1

比直線的

\frac{5 π}{24} \approx 0.65

高，所以直線從拱形的左右各穿過一次，交兩點。

3 π \leq x \leq 12

時

sin x \leq 0

，沒有交點。所以

x > 0

有

3

個交點；兩個圖形都對稱於原點，

x < 0

也有

3

個。共

1 + 3 + 3 = 7

個。

七個解約為

x = 0

、

\pm 2.90

、

\pm 6.90

、

\pm 8.62

。

弧度角比大小先看象限定正負，再換成同一個函數比；解的個數用圖形一個拱形一個拱形數。

02多選第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：正弦函數的性質

第 3 題答案 (A)(D)（(B) 照卷面當作

90

弳）。(A) 對：正弦函數的週期是

2 π

，角加上

2 π

函數值不變。(B) 卷面的

90

沒有印度的記號，照卷面就是

90

弳；取

θ = 0

，左邊是

sin 90 \approx 0.894

，右邊是

cos 0 = 1

，兩邊不相等，所以不成立。(C) 錯：取

x = 0

，左邊是

sin 1 \approx 0.84

，右邊是

0 + 1 = 1

。(D) 對：

3

弳在第二象限，

sin 3 = sin (π - 3)

，而

π - 3 \approx 0.14

比

\frac{π}{6} \approx 0.52

小，所以

sin 3 < sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。(E) 錯：

y = sin ∣ x ∣

的圖形是把

y = sin x

在

x \geq 0

的部分對

y

軸翻到左邊，在原點附近左右兩邊都是往上的拱形，整個圖形無法靠左右平移和自己重合，不是週期函數；

y = sin x

的週期則是

2 π

。

本卷沒有學校公布的答案。選項 (B) 若是

sin (9 0^{\circ} + θ) = cos θ

，它對所有

θ

都成立，那樣 (B) 也要選；這裡照卷面的字判斷，兩種看法都列出。

第 4 題答案 (A)(D)(E)。(A) 對：

sin

前面的係數是

3

，振幅為

3

。(B) 錯：圖形若對稱於

y

軸，

x

與

- x

的函數值要相等；但

f (\frac{π}{4}) = 3 sin \frac{π}{2} = 3

，

f (- \frac{π}{4}) = - 3

。(C) 錯：

f (\frac{π}{2}) = 3 sin π = 0

，最大值

3

出現在

2 x = \frac{π}{2}

，也就是

x = \frac{π}{4}

這類位置。(D) 對：

f (1) = 3 sin 2

，

2

弳在第二象限，

sin 2 > 0

。(E) 對：圖形向左平移

\frac{π}{6}

，是把

x

換成

x + \frac{π}{6}

，得

3 sin 2 (x + \frac{π}{6}) = 3 sin (2 x + \frac{π}{3})

。

左右平移要把整個

x

換掉，再乘上係數

2

：平移量

\frac{π}{6}

進到括號裡變成

\frac{π}{3}

。

沒有度的記號就是弧度；判斷恆等式對不對，代一個簡單的數進去就能找出反例。

03填充第 1～4 題（本頁第 5～8 題）：週期與最大值、弧長、特殊角、時鐘

第 5 題

x

的係數是

π

，週期

T = \frac{2 π}{π} = 2

。

- 1 \leq sin (π x - 2) \leq 1

，乘以

- 3

後介於

- 3

與

3

之間，再加

1

，所以

- 2 \leq y \leq 4

，最大值

M = 4

（出現在

sin (π x - 2) = - 1

的時候）。

(T, M) = (2, 4)

。

前面的係數是負的，最大值仍是

1 + 3 = 4

，不是

1 - 3

。

第 6 題輪子滾動而不打滑時，在地面上前進的距離等於輪緣轉過的弧長：

s = r θ = 30 \times \frac{5 π}{3} = 50 π

（公分）。

約

157

公分。弧長公式的

θ

要用弧度。

第 7 題

\frac{11 π}{4} = 2 π + \frac{3 π}{4}

，所以

tan \frac{11 π}{4} = tan \frac{3 π}{4} = - 1

。

sin \frac{5 π}{6} = sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2}

。

sin (- \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

，

cos π = - 1

。原式

= (- 1) \times \frac{1}{2} + (- \frac{2}{2}) \times (- 1) = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{2 - 1}{2}

。

約

0.207

。

第 8 題從

12

的位置順時針量。分針在

10

分，指著

2

，位置是

6 0^{\circ}

。時針每小時走

3 0^{\circ}

、每分鐘走

0. 5^{\circ}

，

9

點

10

分時位置是

9 \times 3 0^{\circ} + 10 \times 0. 5^{\circ} = 27 5^{\circ}

。兩針相差

27 5^{\circ} - 6 0^{\circ} = 21 5^{\circ}

，較小的夾角是

36 0^{\circ} - 21 5^{\circ} = 14 5^{\circ}

，換成弧度是

145 \times \frac{π}{180} = \frac{29}{36} π

弳。

相差超過

18 0^{\circ}

時，較小的角要用

36 0^{\circ}

去減。

y = a sin (b x + c) + d

的週期是

\frac{2 π}{∣ b ∣}

、最大值是

d + ∣ a ∣

；度與弧度互換只記

18 0^{\circ} = π

弳。

04填充第 5～7 題（本頁第 9～11 題）：扇形面積最大值、角的換算、音叉

第 9 題設扇形半徑為

r

、弧長為

s

。繩子圍成扇形的周界，包含兩條半徑與一段弧：

2 r + s = 120

，

s = 120 - 2 r

。扇形面積

= \frac{1}{2} r s = \frac{1}{2} r (120 - 2 r) = 60 r - r^{2} = - (r - 30)^{2} + 900

。所以

r = 30

時面積最大，最大面積是

900

平方公分。

這時弧長

s = 60

，圓心角

θ = \frac{s}{r} = 2

弳，比

2 π

小，確實圍得出來。

第 10 題

θ

是第三象限角，終邊上的點

x

、

y

坐標都是負的；由

tan θ = \frac{y}{x} = \frac{3}{5}

可取點

(- 5, - 3)

，到原點的距離

r = 25 + 9 = 34

，所以

sin θ = - \frac{3}{34}

、

cos θ = - \frac{5}{34}

。

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ = \frac{3}{34}

，

cos (- θ) = cos θ = - \frac{5}{34}

。相加得

\frac{3 - 5}{34} = - \frac{2}{34} = - \frac{34}{17}

。

把終邊上的點

(x, y)

逆時針轉

\frac{π}{2}

會到

(- y, x)

，所以

cos (\frac{π}{2} + θ) = - sin θ

；角變號時終邊對

x

軸翻過去，

x

坐標不變，所以

cos (- θ) = cos θ

。

第 11 題頻率

440

Hz 表示每秒振動

440

次，週期是

\frac{1}{440}

秒。

y = sin ω t

（

ω > 0

）的週期是

\frac{2 π}{ω}

，所以

\frac{2 π}{ω} = \frac{1}{440}

，

ω = 880 π

。

頻率是週期的倒數；

ω = 2 π \times

頻率。

周長固定的扇形，用

\frac{1}{2} r s

把面積寫成半徑的二次式再配方；廣義角的函數值從終邊上的點坐標下手。

05填充第 8～10 題（本頁第 12～14 題）：伸縮與平移、對稱性、由圖形定係數

第 12 題水平伸縮為

2

倍，是把

x

換成

\frac{x}{2}

：

y = sin \frac{x}{2}

。再向左平移

4

單位，是把

x

換成

x + 4

：

y = sin \frac{x + 4}{2} = sin (\frac{1}{2} x + 2)

。所以

(a, b) = (\frac{1}{2}, 2)

。

平移是把整個

x

換成

x + 4

，再乘上

\frac{1}{2}

，所以

b

是

2

不是

4

。

b

再加上

2 π

的整數倍圖形也一樣，這裡取最直接的寫法。

第 13 題交點滿足

4 sin x = k

，即

sin x = \frac{k}{4}

，而

\frac{1}{2} < \frac{k}{4} < \frac{3}{4}

是正數。在

0 \leq x \leq 2 π

中，

sin x

只有在

0 < x < π

的拱形上是正的，這個拱形以直線

x = \frac{π}{2}

為對稱軸，所以兩個交點左右對稱：一個的

x

坐標是

α

，另一個就是

π - α

。兩點的

x

坐標和

= α + (π - α) = π

。

例如

k = 22

時，兩交點是

x = \frac{π}{4}

與

x = \frac{3 π}{4}

，和是

π

。

第 14 題圖上標出最高點

(\frac{2}{3} π, 2)

與相鄰的最低點

(2 π, - 4)

。因為

a > 0

，最大值

c + a = 2

、最小值

c - a = - 4

，解得

c = - 1

、

a = 3

。相鄰的最高點與最低點相隔半個週期：

2 π - \frac{2}{3} π = \frac{4}{3} π

，所以週期是

\frac{8}{3} π

。由

\frac{2 π}{b} = \frac{8}{3} π

（

b > 0

）得

b = \frac{3}{4}

。

a + b + c = 3 + \frac{3}{4} - 1 = \frac{11}{4}

。

檢查：

y = 3 sin \frac{3 x}{4} - 1

在

x = \frac{2}{3} π

時是

3 sin \frac{π}{2} - 1 = 2

，在

x = 2 π

時是

3 sin \frac{3 π}{2} - 1 = - 4

，與圖相符。

y = a sin b x + c

（

a > 0

、

b > 0

）：最大值與最小值的平均是

c

、差的一半是

a

，相鄰最高點與最低點的水平距離是半個週期。

06填充第 11、12 題（本頁第 15、16 題）：定位記號的面積、圓錐上的最短路徑

第 15 題連

\overline{O A}

、

\overline{O B}

、

\overline{O P}

。切線與過切點的半徑垂直，所以

∠ O A P = ∠ O B P = 9 0^{\circ}

；

\overline{O P}

平分

∠ A P B

，

∠ A P O = 3 0^{\circ}

。直角三角形

O A P

中

\overline{O A} = 1

，所以

\overline{P A} = 3

（

\overline{O P} = 2

），

∠ A O P = 6 0^{\circ}

；同理

∠ B O P = 6 0^{\circ}

，

∠ A O B = 12 0^{\circ}

。鋪色區域拆成兩塊：四邊形

O A P B

是兩個全等的直角三角形，面積

2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = 3

；另一塊是經過

C

的大扇形

O A B

，圓心角

36 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 24 0^{\circ} = \frac{4 π}{3}

，面積

\frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{4 π}{3} = \frac{2}{3} π

。合計

3 + \frac{2}{3} π

。

約

3.83

。大扇形的圓心角是

24 0^{\circ}

，不是

12 0^{\circ}

。

第 16 題底圓半徑是

\frac{3}{2}

，底圓周長

2 π \times \frac{3}{2} = 3 π

。沿

\overline{A C}

把側面剪開攤平，得到一個扇形：半徑是

\overline{A C} = \overline{A B} = 9

，弧長是底圓周長

3 π

，圓心角

= \frac{3 π}{9} = \frac{π}{3}

。剪開線

\overline{A C}

變成扇形的兩條邊，螞蟻從一條邊上的

C

（離

A

為

9

）繞一圈走到另一條邊上的

D

（離

A

為

2

），最短路徑是攤平後連接這兩點的線段。在這個三角形中，兩邊長

9

與

2

、夾角

\frac{π}{3}

，由餘弦定理，路徑長的平方

= 9^{2} + 2^{2} - 2 \times 9 \times 2 \times cos \frac{π}{3} = 81 + 4 - 18 = 67

，所以最短路徑長是

67

。

約

8.19

。扇形的圓心角只有

6 0^{\circ}

，連接兩點的線段整條落在扇形裡面。附圖的圓錐與

D

點位置只是示意，沒有照實際比例畫。

曲面上的最短路徑先攤平：圓錐側面展開成扇形，扇形半徑＝斜高，扇形弧長＝底面圓周長。

07計算第 1～3 題（本頁第 17～19 題）：正弦不等式、最大最小值、正弦模型

第 17 題在

- π \leq x \leq π

畫出

y = sin x

的圖形，再畫兩條水平線

y = \frac{1}{2}

與

y = - \frac{2}{2}

，要找圖形夾在兩條線之間（含線上）的部分。先找交點：

sin x = \frac{1}{2}

的解是

x = \frac{π}{6}

、

\frac{5 π}{6}

；

sin x = - \frac{2}{2}

的解是

x = - \frac{π}{4}

、

- \frac{3 π}{4}

。由圖形，

sin x \leq \frac{1}{2}

的範圍是

- π \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5 π}{6} \leq x \leq π

；

sin x \geq - \frac{2}{2}

的範圍是

- π \leq x \leq - \frac{3 π}{4}

或

- \frac{π}{4} \leq x \leq π

。兩者要同時成立，取共同的部分：

- π \leq x \leq - \frac{3}{4} π

或

- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{6}

或

\frac{5}{6} π \leq x \leq π

。

共三段。兩端

x = \pm π

時

sin x = 0

，在範圍內，別漏掉最左與最右這兩段。

第 18 題用

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

全部換成

cos x

：

f (x) = 2 (1 - cos^{2} x) - 3 cos x - 1 = - 2 cos^{2} x - 3 cos x + 1

。令

t = cos x

，

- 1 \leq t \leq 1

，

f = - 2 t^{2} - 3 t + 1 = - 2 (t + \frac{3}{4})^{2} + \frac{17}{8}

。

t = - \frac{3}{4}

在範圍內，所以最大值

M = \frac{17}{8}

。圖形開口向下，最小值在離

t = - \frac{3}{4}

較遠的端點

t = 1

：

f = - 2 - 3 + 1 = - 4

，所以

m = - 4

。

(M, m) = (\frac{17}{8}, - 4)

。

另一個端點

t = - 1

的值是

- 2 + 3 + 1 = 2

，比

- 4

大。換元之後一定要寫出

t

的範圍。

第 19 題由表，高度最大是

8

（

t = 1

與

t = 13

）、最小是

4

（

t = 7

）。因為

a > 0

，

k + a = 8

、

k - a = 4

，解得

k = 6

、

a = 2

。相鄰兩次最大值相隔

13 - 1 = 12

秒，週期是

12

，由

\frac{2 π}{ω} = 12

（

ω > 0

）得

ω = \frac{π}{6}

。

t = 1

時高度最大，所以

sin (\frac{π}{6} + ϕ) = 1

，

\frac{π}{6} + ϕ = \frac{π}{2} + 2 nπ

（

n

為整數），

ϕ = \frac{π}{3} + 2 nπ

；在

- π \leq ϕ < π

中只有

ϕ = \frac{π}{3}

。所以

(a, ω, ϕ, k) = (2, \frac{π}{6}, \frac{π}{3}, 6)

。

檢查：

y = 2 sin (\frac{π}{6} t + \frac{π}{3}) + 6

在

t = 0

時是

2 \times \frac{3}{2} + 6 \approx 7.73

，在

t = 4

時是

2 sin π + 6 = 6

，在

t = 7

時是

2 sin \frac{3 π}{2} + 6 = 4

，都與表相符。

正弦不等式用圖形加水平線來看；含正弦平方與餘弦的式子換成單一函數的二次式；模型的係數依序由最大最小值、週期、最高點的位置決定。

同一次段考的其他學校

同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 19 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 111 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 2 題數交點要一個拱形一個拱形看，別漏掉原點與負的那三個；第 3 題要分清楚有沒有度的記號，沒有記號的 10、90、3 都是弧度；第 9 題扇形的周長包含兩條半徑，面積最大時半徑是 30；第 16 題要把圓錐側面攤平成圓心角六十度的扇形，最短路徑是攤平後的直線；第 18 題把正弦平方換成餘弦之後，別忘了餘弦只能在負一到一之間。詳解逐題寫在本頁。

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可以。考完把題目頁拍照或掃描，從本頁「上傳考卷」傳給我們，收到後會盡快做好放上來，一樣免費。

這份段考卷可以下載列印嗎？

可以，免註冊。PDF 是 A4 考卷格式，填充與計算題留了作答空間，最後幾頁是答案與逐題詳解。

題目取自高雄新興高中 111 學年度上學期高二第一次段考數學B，由御藍教育重新打字排版；答案逐題重新計算，詳解為御藍教育撰寫。

高雄新興高中 111 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01單選第 1、2 題：弧度角的函數值比大小、用圖形數解的個數

02多選第 1、2 題（本頁第 3、4 題）：正弦函數的性質

03填充第 1～4 題（本頁第 5～8 題）：週期與最大值、弧長、特殊角、時鐘

04填充第 5～7 題（本頁第 9～11 題）：扇形面積最大值、角的換算、音叉

05填充第 8～10 題（本頁第 12～14 題）：伸縮與平移、對稱性、由圖形定係數

06填充第 11、12 題（本頁第 15、16 題）：定位記號的面積、圓錐上的最短路徑

07計算第 1～3 題（本頁第 17～19 題）：正弦不等式、最大最小值、正弦模型

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高雄新興高中 111 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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