段考詳解範圍：三角函數（弧度量、三角函數的圖形、和差角與倍角半角公式、正餘弦的疊合）

高雄新興高中 110 上
高二第一次段考
數學試題、答案與詳解

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題原卷全文

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01 · 試題

原卷 20 題，照原卷順序

多重選擇題 4 題（24 分）、填充題 10 格（每格 5 分，共 50 分）、計算題 2 題（26 分：第 1 題四小題各 3 分，第 2 題兩小題各 7 分），合計 100 分；答案卷的計算題欄印有「計算題請詳列計算過程，否則不予計分」。本頁全卷連續編號：第 5～14 題是原卷填充第 1～9 題（第 11、12 題為填充第 7 題的兩格），第 15～18 題是計算第 1 題的四小題，第 19、20 題是計算第 2 題的兩小題。本卷沒有學校公布的答案，本頁答案為本站依題目計算。

一、多重選擇題：24%（每題 6 分；錯一個得 4 分，錯兩個得 2 分，錯三個全錯）

關於三角函數值的大小，下列哪一個選項是正確的？

(A) $cos 1 > sin 1^{\circ}$
(B) $sin 10 > cos 1 0^{\circ}$
(C) $tan 10 > cos 10$
(D) $cos \frac{1}{2} > \frac{1}{2}$
(E) $cos π^{2} > 0$

在

△ A B C

中，其三內角

∠ A

、

∠ B

、

∠ C

之對邊長分別為

a

、

b

、

c

，若

tan B = \frac{3}{4}

，

cos C = - \frac{5}{13}

且

b = 13

，則下列何者正確？

(A) $sin C = \frac{12}{13}$
(B) $sin A = \frac{33}{65}$
(C) $a = 11$
(D) $c = 15$
(E) $△ A B C$ 之面積為 $66$ 。

有關

y = f (x) = 2 sin (3 x - \frac{π}{6}) - 1

（

x

為實數）之圖形，下列敘述何者正確？

(A) 週期為 $\frac{2 π}{3}$
(B) $- 2 \leq f (x) \leq 2$
(C) $f (x)$ 在 $x = \frac{5 π}{9}$ 時有最小值
(D) 其圖形對稱於直線 $x = \frac{5 π}{9}$
(E) 其圖形會與 $y = 2 sin (3 x)$ 向右 $\frac{π}{6}$ 單位，再向下 $1$ 單位重合

如圖是函數

y = f (x) = a sin (b x + c) + k

的部分圖形，其中

a

，

b

，

c

都是正數，已知

y = f (x)

的圖形有頂點

A (\frac{1}{2}, 1)

，

B (2, - 3)

，則下列何者正確？

(A) $a = 2$
(B) $b = \frac{4 π}{3}$
(C) $k = 2$
(D) $c$ 值可以是 $\frac{13 π}{6}$
(E) 若實數 $α$ 使 $f (α) = 0$ ，則 $α$ 必為整數。

載入中...

二、填充題：50%（每格 5 分，共 10 格）

求

cos 13 8^{\circ} cos 6 0^{\circ} cos 7 8^{\circ} - cos 4 8^{\circ} sin 7 8^{\circ} sin 21 0^{\circ} =

____。

設

π < α < \frac{3 π}{2}

，

- \frac{π}{2} < β < 0

且

tan α = \frac{1}{2}

，

tan β = - \frac{1}{3}

，則

α - β =

____。

已知圓

C

的圓心在原點，半徑為

10

，設甲、乙兩人從圓上一點

P (10, 0)

依逆時針方向繞著此圓同時出發，若乙的速度是甲的兩倍，試問當甲第一次走到坐標

(6, 8)

時，乙的坐標為 ____。

在三點半時，鐘面上時針與分針所夾的銳角為 ____。

載入中...

如圖，半徑分別為

3

及

1

之兩圓

C_{1}

及

C_{2}

外切於

P

點，圓心分別為

O_{1}

及

O_{2}

，設一外公切線段為

\overline{A B}

，

A

、

B

分別表切點，則陰影部分的面積為 ____。

載入中...

當

- 2 π \leq x \leq 2 π

，試求方程式

x + tan (\frac{x}{2}) = 0

的實根個數有 ____ 個。

第 11～12 題為題組（原卷填充第 7 題）（第 11～12 題）　新興遊樂場有座圓形摩天輪直徑為

50

公尺，其圓心離地面

30

公尺，並且依逆時針方向等速率運轉，每轉一圈需時

15

分鐘。一位同學在摩天輪最低位置時入座，則：

(1) 這位同學入座

10

分鐘後離地面的高度為 ____ 公尺。

載入中...

(2) 若這位同學入座

x

分鐘後，離地面的高度可表為

a sin (b x - \frac{π}{2}) + c

公尺，

a > 0

，

b > 0

，則序組

(a, b, c) =

____。

設

x \in R

，若

y = 3 sin^{2} x + 43 sin x cos x - cos^{2} x

的最大值為

M

，最小值

m

；則序對

(M, m) =

____。

設

0 \leq x \leq 2 π

，若

2 sin^{2} x - 3 cos x \leq 0

，則

x

範圍為 ____。

三、計算題：26%

第 15～18 題為題組（原卷計算第 1 題）（第 15～18 題）　若

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

，且

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

，試求

(1)

sin 2 θ =

____（3%）

(2)

sin θ - cos θ =

____（3%）

(3)

cos θ =

____（3%）

(4)

sin \frac{θ}{2} =

____（3%）

第 19～20 題為題組（原卷計算第 2 題）（第 19～20 題）　若

0 \leq x \leq π

設，且

f (x) = 2 cos (\frac{π}{3} - x) - 2 cos x + 3

，試求

(1)

f (x)

在

x =

____，有最小值

=

____。（7%）

(2)

f (x)

在

x =

____，有最大值

=

____。（7%）

02 · 答案

答案一覽，先對再看詳解

第 1 題(A)(C)(D)

第 2 題(A)(B)(C)(E)

第 3 題(A)(C)(D)

第 4 題(A)(D)(E)

第 5 題

\frac{1}{4}

第 6 題

\frac{5 π}{4}

第 7 題

(- \frac{14}{5}, \frac{48}{5})

第 8 題

7 5^{\circ}

（即

\frac{5 π}{12}

弧度）

第 9 題

43 - \frac{11 π}{6}

第 10 題

3

第 11 題

42.5

第 12 題

(25, \frac{2 π}{15}, 30)

第 13 題

(5, - 3)

第 14 題

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

第 15 題

- \frac{24}{25}

第 16 題

- \frac{7}{5}

第 17 題

\frac{4}{5}

第 18 題

\frac{10}{10}

第 19 題

x = 0

，最小值

2

第 20 題

x = \frac{2 π}{3}

，最大值

5

03 · 勾錯題號

勾出錯的題號，看錯在哪幾章

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對完答案了？勾你錯的題號

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04 · 逐題詳解

每一題，錯在哪一步

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01多重選擇題（第 1、2 題）：弧度與象限、三角形中的和角公式

第 1 題答案 (A)(C)(D)。沒有寫度的記號的角是弧度；

π \approx 3.14

，

1

弧度約

57. 3^{\circ}

。(A) 對：

0 < 1 < \frac{π}{3}

，餘弦在

0

到

π

之間遞減，所以

cos 1 > cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

；而

sin 1^{\circ} < sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。(B) 錯：

3 π \approx 9.42 < 10 < \frac{7 π}{2} \approx 11.0

，

10

弧度是第三象限角，

sin 10 < 0

；

cos 1 0^{\circ} > 0

。(C) 對：

10

弧度在第三象限，

tan 10 > 0

，

cos 10 < 0

。(D) 對：

0 < \frac{1}{2} < \frac{π}{3}

，所以

cos \frac{1}{2} > cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}

。(E) 錯：

π^{2} \approx 9.87

，同樣介於

3 π

與

\frac{7 π}{2}

之間，是第三象限角，

cos π^{2} < 0

。

題幹寫「哪一個選項」，但本大題是多重選擇題，逐一判斷後成立的有三個。數值：

cos 1 \approx 0.540

、

sin 10 \approx - 0.544

、

tan 10 \approx 0.648

、

cos 10 \approx - 0.839

、

cos \frac{1}{2} \approx 0.878

、

cos π^{2} \approx - 0.903

。

第 2 題答案 (A)(B)(C)(E)。

tan B = \frac{3}{4} > 0

，

B

是銳角：

sin B = \frac{3}{5}

、

cos B = \frac{4}{5}

。(A) 對：

C

是三角形的內角，

sin C > 0

，

sin C = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}

。(B) 對：

A = 18 0^{\circ} - (B + C)

，所以

sin A = sin (B + C) = sin B cos C + cos B sin C

，代入得

sin A = \frac{3}{5} \times (- \frac{5}{13}) + \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} = \frac{- 15 + 48}{65} = \frac{33}{65}

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = 13 \div \frac{3}{5} = \frac{65}{3}

，所以

a = \frac{65}{3} \times \frac{33}{65} = 11

。(D) 錯：

c = \frac{65}{3} \times \frac{12}{13} = 20

。(E) 對：面積

= \frac{1}{2} ab sin C = \frac{1}{2} \times 11 \times 13 \times \frac{12}{13} = 66

。

02多重選擇題（第 3、4 題）：正弦函數圖形的週期、對稱軸與係數

第 3 題答案 (A)(C)(D)。(A) 對：週期

= \frac{2 π}{3}

。(B) 錯：

- 1 \leq sin (3 x - \frac{π}{6}) \leq 1

，所以

- 3 \leq f (x) \leq 1

。(C) 對：

x = \frac{5 π}{9}

時

3 x - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{3} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}

，正弦值是

- 1

，

f (x) = - 3

是最小值。(D) 對：通過最低點（或最高點）的鉛直線是圖形的對稱軸，由 (C)，

x = \frac{5 π}{9}

通過最低點。(E) 錯：

y = 2 sin 3 x

向右平移

\frac{π}{6}

是把

x

換成

x - \frac{π}{6}

，得

2 sin (3 x - \frac{π}{2})

，不是

2 sin (3 x - \frac{π}{6})

。

f (x) = 2 sin 3 (x - \frac{π}{18}) - 1

，所以正確的平移是向右

\frac{π}{18}

單位，再向下

1

單位。

第 4 題答案 (A)(D)(E)。最高點的

y

坐標是

1

，最低點是

- 3

：中心

k = \frac{1 + ( - 3 )}{2} = - 1

，振幅

a = \frac{1 - ( - 3 )}{2} = 2

（

a > 0

）。(A) 對、(C) 錯。由圖，

A

、

B

是相鄰的最高點與最低點，相隔半個週期：半週期

= 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

，週期

3

，

b = \frac{2 π}{3}

，(B) 錯。(D) 對：

x = \frac{1}{2}

是最高點，

\frac{2 π}{3} \times \frac{1}{2} + c = \frac{π}{2} + 2 nπ

，

c = \frac{π}{6} + 2 nπ

（

n

為整數），

n = 1

時

c = \frac{13 π}{6}

。(E) 對：

f (x) = 2 sin (\frac{2 π}{3} x + \frac{π}{6}) - 1

，

f (α) = 0

即

sin (\frac{2 π}{3} α + \frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

，所以

\frac{2 π}{3} α + \frac{π}{6} = \frac{π}{6} + 2 nπ

或

\frac{5 π}{6} + 2 nπ

，解得

α = 3 n

或

α = 3 n + 1

，都是整數。

與圖相符：圖形通過原點與

(1, 0)

，下一個與

x

軸的交點在

x = 3

。

03填充題（第 5～7 題，原卷填充第 1～3 題）：和差角公式與倍角公式

第 5 題

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

，

sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

，所以原式

= \frac{1}{2} (cos 13 8^{\circ} cos 7 8^{\circ} + cos 4 8^{\circ} sin 7 8^{\circ})

。又

cos 4 8^{\circ} = sin 4 2^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 4 2^{\circ}) = sin 13 8^{\circ}

，括號裡就是

cos 13 8^{\circ} cos 7 8^{\circ} + sin 13 8^{\circ} sin 7 8^{\circ} = cos (13 8^{\circ} - 7 8^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

。所以原式

= \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

第 6 題正切的差角公式：

tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1

再看角的範圍：

π < α < \frac{3 π}{2}

，

0 < - β < \frac{π}{2}

，相加得

π < α - β < 2 π

。這個範圍內正切值為

1

的角只有

\frac{5 π}{4}

，所以

α - β = \frac{5 π}{4}

。

只由

tan (α - β) = 1

會得到

\frac{π}{4} + nπ

，一定要用範圍選出其中一個。

第 7 題設甲走到

(6, 8)

時轉過的角為

θ

，第一次到達，所以

0 < θ < \frac{π}{2}

，且

cos θ = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

、

sin θ = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

。兩人在同一個圓上，乙的速度是甲的兩倍，同樣時間內乙走的弧長是甲的兩倍，轉過的角是

2 θ

。倍角公式：

cos 2 θ = cos^{2} θ - sin^{2} θ = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = - \frac{7}{25}

，

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ = \frac{24}{25}

。乙的坐標

= (10 cos 2 θ, 10 sin 2 θ) = (- \frac{14}{5}, \frac{48}{5})

。

即

(- 2.8, 9.6)

，在第二象限；

2 θ < π

，乙還沒繞完一圈。

04填充題（第 8～10 題，原卷填充第 4～6 題）：鐘面夾角、扇形面積、實根個數

第 8 題鐘面一圈

36 0^{\circ}

分成

12

大格，每大格

3 0^{\circ}

。三點半時分針指著

6

；時針從

3

往

4

走了半格，位置在

3.5

。兩針相隔

6 - 3.5 = 2.5

大格，夾角

= 2.5 \times 3 0^{\circ} = 7 5^{\circ}

，換成弧度是

75 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{12}

。

時針不是停在

3

：半小時內它走了

3 0^{\circ} \times \frac{1}{2} = 1 5^{\circ}

，所以不是

9 0^{\circ}

。

第 9 題兩圓外切，

\overline{O_{1} O_{2}} = 3 + 1 = 4

。半徑與切線垂直，所以

\overline{O_{1} A}

、

\overline{O_{2} B}

都垂直

\overline{A B}

，兩者平行。過

O_{2}

作

\overline{O_{2} E}

垂直

\overline{O_{1} A}

於

E

（圖中虛線），

A B O_{2} E

是矩形，

\overline{A E} = 1

，

\overline{O_{1} E} = 3 - 1 = 2

，

\overline{A B} = \overline{O_{2} E} = 4^{2} - 2^{2} = 23

。直角三角形

O_{1} E O_{2}

中

cos ∠ A O_{1} O_{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

，

∠ A O_{1} O_{2} = \frac{π}{3}

；

\overline{O_{1} A}

與

\overline{O_{2} B}

平行，同側內角互補，

∠ B O_{2} O_{1} = \frac{2 π}{3}

。陰影

=

梯形

O_{1} A B O_{2} -

扇形

O_{1} A P -

扇形

O_{2} B P

。梯形面積

= \frac{( 3 + 1 ) \times 2 3}{2} = 43

；扇形

O_{1} A P = \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}

；扇形

O_{2} B P = \frac{1}{2} \times 1^{2} \times \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}

。所以陰影面積

= 43 - \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3} = 43 - \frac{11 π}{6}

。

約

1.17

。扇形面積公式

\frac{1}{2} r^{2} θ

的

θ

要用弧度。

第 10 題方程式即

tan \frac{x}{2} = - x

，在同一個坐標平面畫

y = tan \frac{x}{2}

與直線

y = - x

，數交點。

y = tan \frac{x}{2}

的週期是

2 π

，在

x = \pm π

沒有定義（鉛直漸近線）。①

- π < x < π

：

tan \frac{x}{2}

遞增，

- x

遞減，最多交一點；

x = 0

時兩邊都是

0

，所以恰有一個交點。②

π < x \leq 2 π

：

tan \frac{x}{2}

由負無限大遞增到

0

，直線由

- π

遞減到

- 2 π

；靠近

x = π

時曲線在直線下方，

x = 2 π

時曲線（

0

）在直線（

- 2 π

）上方，所以恰交一點。③

- 2 π \leq x < - π

：兩個圖形都對稱於原點，同樣恰交一點。合計

3

個實根。

三個根大約是

x = 0

與

x \approx \pm 3.67

。

05填充題（第 11、12 題，原卷填充第 7 題）：摩天輪的高度

第 11 題半徑

25

公尺，圓心離地

30

公尺。

15

分鐘轉一圈，

10

分鐘轉了

\frac{10}{15}

圈，轉過的角是

2 π \times \frac{2}{3} = \frac{4 π}{3}

。從最低點（圓心正下方）出發，轉過

φ

之後，位置比圓心低

25 cos φ

，高度是

30 - 25 cos φ

。代

φ = \frac{4 π}{3}

：

30 - 25 \times (- \frac{1}{2}) = 42.5

公尺。

檢查：

φ = 0

時高度

5

（最低點），

φ = π

時高度

55

（最高點）。

第 12 題每分鐘轉

\frac{2 π}{15}

，

x

分鐘轉過

\frac{2 π}{15} x

。由上一小題，高度

= 30 - 25 cos (\frac{2 π}{15} x)

。因為

sin (t - \frac{π}{2}) = - cos t

，高度可寫成

25 sin (\frac{2 π}{15} x - \frac{π}{2}) + 30

。所以

(a, b, c) = (25, \frac{2 π}{15}, 30)

。

也可以直接看：振幅是半徑

25

，中心高度是圓心的

30

，週期

15

分鐘得

b = \frac{2 π}{15}

；

x = 0

時

25 sin (- \frac{π}{2}) + 30 = 5

，正是最低點。

06填充題（第 13、14 題，原卷填充第 8、9 題）：降次疊合、三角不等式

第 13 題用倍角公式降次：

sin^{2} x = \frac{1 - c o s 2 x}{2}

，

cos^{2} x = \frac{1 + c o s 2 x}{2}

，

sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

。代入：

y = \frac{3 ( 1 - cos 2 x )}{2} + 23 sin 2 x - \frac{1 + cos 2 x}{2} = 23 sin 2 x - 2 cos 2 x + 1

疊合：

(23)^{2} + 2^{2} = 4

，

y = 4 (\frac{3}{2} sin 2 x - \frac{1}{2} cos 2 x) + 1 = 4 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 1

。

x

是任意實數，正弦值可取遍

- 1

到

1

，所以

M = 4 + 1 = 5

，

m = - 4 + 1 = - 3

，

(M, m) = (5, - 3)

。

第 14 題把

sin^{2} x

換成

1 - cos^{2} x

：

2 (1 - cos^{2} x) - 3 cos x \leq 0

，整理得

2 cos^{2} x + 3 cos x - 2 \geq 0

，即

(2 cos x - 1) (cos x + 2) \geq 0

。因為

cos x + 2 > 0

恆成立，所以

2 cos x - 1 \geq 0

，

cos x \geq \frac{1}{2}

。在

0 \leq x \leq 2 π

內看

y = cos x

的圖形：

cos x = \frac{1}{2}

於

x = \frac{π}{3}

、

\frac{5 π}{3}

，圖形在

y = \frac{1}{2}

以上的部分是

0 \leq x \leq \frac{π}{3}

或

\frac{5 π}{3} \leq x \leq 2 π

。

07計算題一（第 15～18 題，原卷計算第 1 題）：和與差的平方、半角公式

第 15 題把

sin θ + cos θ = \frac{1}{5}

兩邊平方：

sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ + cos^{2} θ = \frac{1}{25}

，即

1 + sin 2 θ = \frac{1}{25}

，所以

sin 2 θ = - \frac{24}{25}

。

第 16 題

(sin θ - cos θ)^{2} = 1 - 2 sin θ cos θ = 1 - sin 2 θ = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}

，所以

sin θ - cos θ = \pm \frac{7}{5}

。

θ

在第四象限，

sin θ < 0 < cos θ

，差是負的：

sin θ - cos θ = - \frac{7}{5}

。

第 17 題和減差：

(sin θ + cos θ) - (sin θ - cos θ) = 2 cos θ = \frac{1}{5} + \frac{7}{5} = \frac{8}{5}

，所以

cos θ = \frac{4}{5}

。

同理

sin θ = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} - \frac{7}{5}) = - \frac{3}{5}

，符合第四象限。

第 18 題

\frac{3 π}{2} < θ < 2 π

，所以

\frac{3 π}{4} < \frac{θ}{2} < π

，

\frac{θ}{2}

在第二象限，

sin \frac{θ}{2} > 0

。半角公式：

sin^{2} \frac{θ}{2} = \frac{1 - c o s θ}{2} = \frac{1 - \frac{4}{5}}{2} = \frac{1}{10}

，所以

sin \frac{θ}{2} = \frac{1}{10} = \frac{10}{10}

。

08計算題二（第 19、20 題，原卷計算第 2 題）：差角展開、疊合、在範圍內求極值

第 19 題先用餘弦的差角公式展開：

2 cos (\frac{π}{3} - x) = 2 (cos \frac{π}{3} cos x + sin \frac{π}{3} sin x) = cos x + 3 sin x

。所以

f (x) = 3 sin x - cos x + 3

。疊合：

(3)^{2} + 1^{2} = 2

，

f (x) = 2 (\frac{3}{2} sin x - \frac{1}{2} cos x) + 3 = 2 sin (x - \frac{π}{6}) + 3

0 \leq x \leq π

時

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

。這段角度裡正弦值最小的是左端

sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}

（右端

sin \frac{5 π}{6} = \frac{1}{2}

是正的），所以最小值在

x = 0

，

f (0) = 2 \times (- \frac{1}{2}) + 3 = 2

。

直接代原式檢查：

f (0) = 2 cos \frac{π}{3} - 2 cos 0 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2

。最小值不是

- 2 + 3 = 1

，因為範圍內的角走不到

- \frac{π}{2}

。

第 20 題沿用上一小題，

f (x) = 2 sin (x - \frac{π}{6}) + 3

，

- \frac{π}{6} \leq x - \frac{π}{6} \leq \frac{5 π}{6}

。這段角度包含

\frac{π}{2}

，正弦值可以到

1

：

x - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}

，即

x = \frac{2 π}{3}

時有最大值

2 \times 1 + 3 = 5

。

直接代原式檢查：

f (\frac{2 π}{3}) = 2 cos (- \frac{π}{3}) - 2 cos \frac{2 π}{3} + 3 = 1 + 1 + 3 = 5

。

求極值先整理成單一正弦（疊合），再看角度的範圍走不走得到最高點、最低點；走不到的那一邊，極值在端點。

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同樣是高二第一次段考，範圍相近，可以拿來限時再寫一份。

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本頁列出全部 20 題的答案；答案由御藍教育逐題重新計算。

高雄新興高中 110 上高二第一次段考數學哪幾題最容易錯？

第 1 題沒有度的記號的角是弧度，10 弧度與 π 平方都落在第三象限；第 4 題要由最高點與最低點定出週期 3，再解出 f 的零點都是整數；第 6 題算出正切值是 1 之後，要用兩個角的範圍選出四分之五 π；第 10 題要注意正切圖形在正負 π 斷開，兩側各多一個交點，共三個實根；第 19 題的最小值在端點 x 等於 0，不是疊合後的最低點。詳解逐題寫在本頁。

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高雄新興高中 110 上高二第一次段考數學試題、答案與詳解

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01多重選擇題（第 1、2 題）：弧度與象限、三角形中的和角公式

02多重選擇題（第 3、4 題）：正弦函數圖形的週期、對稱軸與係數

03填充題（第 5～7 題，原卷填充第 1～3 題）：和差角公式與倍角公式

04填充題（第 8～10 題，原卷填充第 4～6 題）：鐘面夾角、扇形面積、實根個數

05填充題（第 11、12 題，原卷填充第 7 題）：摩天輪的高度

06填充題（第 13、14 題，原卷填充第 8、9 題）：降次疊合、三角不等式

07計算題一（第 15～18 題，原卷計算第 1 題）：和與差的平方、半角公式

08計算題二（第 19、20 題，原卷計算第 2 題）：差角展開、疊合、在範圍內求極值

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高雄新興高中 110 上
高二第一次段考
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